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12.2　一次函數(4)
第12章　函數與一次函數
學習目標
1.理解分段函數的特點；
2.會根據題意求出分段函數的表達式并畫出函數圖象；
3.在實際問題中，建立兩個或兩個以上的一次函數模型；
4.會計算兩個一次函數的交點，會比較兩個一次函數的大小；
5.能利用一次函數的知識，在實際問題中選擇最佳方案.
小明從家里出發去菜地澆水，又去玉米地鋤草，然后回家，其中x表示時間，y表示小明離他家的距離．
該圖表示的函數是正比例函數嗎？是一次函數嗎？你是怎樣認為的？
在0—15分是正比例函數，在25—37分是一次函數，在55—80分是一次函數.
新知導入
例1.為節約用水，某城市制定以下用水收費標準：每戶每月用水不超過
8 m3時，每立方米收取 1元外加0.3元的污水處理費；超過8 m3時，超過部分每立方米收取1.5元外加1.2元的污水處理費． 設一戶每月用水量為
x m3 ，應繳水費y元．
(1)給出y與 x 之間的函數表達式；
(2)畫出上述函數圖象；
(3)當該市一戶某月的用水量為x＝5 m3或x＝10 m3時，求其應繳的水費；
(4)該市一戶某月繳水費26.6元，求該戶這個月用水量．
新知講解
任務一：了解分段函數并解決相關問題.
分析：用水時以8 m3為界，分成兩段，收費標準不一 樣：當x≤8時，每立方米收費(1＋0.3)元；
當x＞8時，超出部分每立方米收費(1.5＋1.2)元．
另外，收費時x一般取整數，不足1 m3的可并入下月計費．
新知講解
解： (1)y關于x的函數關系式為
新知講解
30
20
10
8
16
O
y/元
x/m3
.
.
(8，10.4)
(16，32)
(2)函數圖象如圖所示：
y=
解：(3)當x=5 m3時，y=1.3×5=6.5(元)；
當x=10m3時，y=2.7×10-11.2=15.8(元).
即當用水量為5m3時，該戶應繳水費6.5元；
當用水量為10m3時，該戶應繳水費15.8元.
(4)y=26.6>1.3×8，可知該戶這月用水超過8m3,
因此，2.7x-11.2=26.6，
解方程，得 x=14.
即該戶本月用水量為14m3.
新知講解
分段函數:
在自變量的不同取值范圍內表示函數關系的表達式有不同的
形式，這樣的函數稱為分段函數.
新知講解
注意：表示函數關系的表達式，每一段后面必須加上自變量的取值范圍.
由分段函數的圖象確定函數解析式的方法：
(1)定類型：根據自變量在不同范圍內的圖象的特點，先確定函數的類型；
(2)設函數式：設出函數的解析式；
(3)列方程(組)：根據圖象中的已知點，列出方程 (組)，求出該段內的解析式；
(4)下結論：最后用“{”表示出各段解析式，注意自變量的取值范圍.
新知講解
例2.某單位有職工幾十人，想在節假日期間組織到外地 H處旅游． 當地有甲、乙兩家旅行社，它們服務質量基本相同，到H地旅游的價格都是每人100元． 經聯系協商， 甲旅行社表示可給予每位游客八折優惠；乙旅行社表示單位先交1000元后，給予每位游客六折優惠． 問該單位選擇哪家旅行社，使其支付的旅游總費用較少？
新知講解
任務二：利用一次函數進行方案決策
分析：假設該單位參加旅游人數為 x，按甲旅行社的優惠條件，應付費用80x元；按乙旅行社的優惠條件，應付費用(60x＋1000)元． 問題變為比較80x與60x＋1 000的大小了．
新知講解
解法一：設該單位參加旅游人數為x.那么選甲旅行社，應付費用80x(元)；選乙旅行社，應付(60x+1000)(元).
記 y1= 80x，y2= 60x+1000.在同一直角坐標系內作出兩個函數的圖象， y1與y2的圖象交于點(50，4000).
新知講解
觀察圖象，可知：
當人數為50時，選擇甲或乙旅行社費用都一樣；
當人數為0～49人時，選擇甲旅行社費用較少；
當人數為51～100人時，選擇乙旅行社費用較少.
新知講解
解法二：設選擇甲、乙旅行社費用之差為y，
則y=y1-y2=80x-(60x+1000)=20x-1000.
畫出一次函數y= 20x-1000的圖象如圖，它與x軸交點為(50，0)．
由圖可知：
新知講解
(1)當x=50時，y=0，即y1=y2；甲、乙兩家旅行社的費用一樣；
(2)當x＞50時，y＞0，即y1＞y2；乙旅行社的費用較低；
(3)當x＜50時，y＜0，即y1＜y2.甲旅行社的費用較低.
新知講解
本題還可按下面方法來解，即： 當80x－(60x＋1000)＝0，
即x＝50時，選甲或乙旅行社費用一樣，都是80×50＝4000元；
當80x－(60x＋1 000)＞0，即x＞50時，選乙旅行社費用較少；
當80x－(60x ＋1 000)＜0，即x＜50時，選甲旅行社費用較少．
新知講解
(一)觀察圖象選擇方案
從數學的角度分析數學問題，建立函數模型；
列出兩個一次函數，畫出圖象，計算兩個一次函數的交點；
觀察自變量在不同的取值范圍內，函數值的大小，比較兩個函數值，
根據實際需要，選擇最佳方案.
新知講解
(二)用作差法比較函數值的大小
從數學的角度分析數學問題，建立函數模型；
列出兩個一次函數，用作差法構建一個新的函數，通過判斷新函數與x軸的交點，判斷原來兩個函數值的大小關系.
根據實際需要，選擇最佳方案.
新知講解
1.如圖，l1反映某公司產品的銷售收入與銷售量的關系，l2反映該公司產品的銷售成本與銷售量的關系，根據圖象判斷該公司盈利時的銷售量( )
A.小于4件 B.大于4件
C.等于4件 D.大于或等于4件
B
課堂練習
[知識技能類作業]必做題：
2.電信局為滿足不同客戶的需要，設有A、B兩種優惠方案，這兩種方案應付話費(元)與通話時間(分鐘)之間的關系如圖(MN∥CD)，若通話時間為500分鐘，則應選擇哪種方案更優惠(　　)
A.方案A
B.方案B
C.兩種方案一樣優惠
D.不能確定
B
課堂練習
[知識技能類作業]必做題：
3.某單位準備和一個體車主或一國營出租車公司中的一家簽訂月租車合同，設汽車每月行駛x 千米，個體車主收費y1元，國營出租車公司收費為y2元，觀察下列圖象可知，當x________時，選用個體車較合算．
＞1500
[知識技能類作業]必做題：
課堂練習
解：由題意得：
當0≤t≤2時，T=20；
當2函數表達式為：
T =
4.一個試驗室在0：00—2：00保持20℃的恒溫，在2：00—4：00勻速升溫，每小時升高5℃.寫出試驗室溫度T（單位：℃）關于時間t（單位：h）的函數表達式，并畫出函數圖象.
T=20(0≤t≤2)
T=5t+10(220
10
40
T/℃
t/h
O
1
2
30
4
3
[知識技能類作業]必做題：
課堂練習
5.一輛汽車由A地開往B地，它距離B地的路程s(km)與行駛時間t(h)的關系如圖所示，如果汽車一直快速行駛，那么可以提前_____h到達B地．
[知識技能類作業]選做題：
課堂練習
2
6.某縣區大力發展獼猴桃產業，預計今年A地將采摘200噸，B地將采摘300噸．
若要將這些獼猴桃運到甲、乙兩個冷藏倉庫，已知甲倉庫可儲存240噸，乙
倉庫可儲存260噸，從A地運往甲、乙兩處的費用分別為每噸20元和25元，從B
地運往甲、乙兩處的費用分別為每噸15元和18元．設從A地運往甲倉庫的獼猴桃
為x噸，A、B兩地運往兩倉庫的獼猴桃運輸費用分別為yA元和yB元．
(1)分別求出yA、yB與x之間的函數關系式；
解：yA＝20x＋25(200－x)＝－5x＋5000，
yB＝15(240－x)＋18(60＋x)＝3x＋4680；
[綜合拓展類作業]
課堂練習
(2)試討論A、B兩地中，哪個的運費較少；
解：∵yA－yB＝(－5x＋5000)－(3x＋4680)＝－8x＋320，
∴當－8x＋320＞0，即x＜40時，B地的運費較少；
當－8x＋320＝0，即x＝40時，兩地的運費一樣多；
當－8x＋320＜0，即x＞40時，A地的運費較少；
[綜合拓展類作業]
課堂練習
(3)考慮B地的經濟承受能力，B地的獼猴桃運費不得超過4830元，在這種情況下，請問怎樣調運才能使兩地運費之和最少？求出這個最小值．
解：設兩地運費之和為y元，
則y＝yA＋yB＝(－5x＋5000)＋(3x＋4680)＝－2x＋9680.
由題意得yB＝3x＋4680≤4830，解得 x≤50.
∵y隨x的增大而減小，x最大為50，
∴y最小＝－2×50＋9680＝9580.
∴在此情況下，當A地運往甲、乙兩倉庫分別為50噸、150噸；B地運往甲、乙兩倉庫分別為190噸、110噸時，才能使兩地運費之和最少，最少是9580元．
[綜合拓展類作業]
課堂練習
課堂總結
1.分段函數：
在自變量的不同取值范圍內表示函數關系的表達式有不同的形式，這樣的
函數稱為分段函數.
2.方案選擇：
(一)觀察圖象選擇方案
從數學的角度分析數學問題，建立函數模型；
列出兩個一次函數，畫出圖象，計算兩個一次函數的交點；
觀察自變量在不同的取值范圍內，函數值的大小，比較兩個函數值，根據實際需要，選擇最佳方案.
課堂總結
2.方案選擇：
(二)用作差法比較函數值的大小
從數學的角度分析數學問題，建立函數模型；
列出兩個一次函數，用作差法構建一個新的函數，通過判斷新函數與x軸的交點，判斷原來兩個函數值的大小關系.
根據實際需要，選擇最佳方案.
本課結束

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