資源簡介

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12.2　一次函數(6)
第12章　函數與一次函數
y＜0
y＞0
讓我們來觀察一下平面直角坐標系，
思考下列問題：
(1)縱坐標等于 0 的點在哪里？
(2)縱坐標大于 0 的點在哪里？
(3)縱坐標小于 0 的點在哪里？
x
y
O
y = 0
新課導入
問題1：(1)解方程2x+20=0；
(2)當自變量x為何值時，函數y=2x+20的值為0？
解：(1)2x+20=0，
2x=-20，
x=-10.
(2)當y = 0時，即
2x+20=0，
2x=-20，
x=-10.
從“函數值”
角度看
兩個問題實際上是同一個問題.
一次函數與一元一次方程
新課講授
(3)畫出函數 y=2x+20的圖象，并確定它與x軸的交點坐標.
O
x
y
20
-10
y=2x+20
思考：
直線y=2x+20與x軸交點坐標為(____，___)，這說明方程2x＋20＝0的解是 x＝_____.
從“函數圖象”上看
-10
0
-10
3
2
1
2
1
-2
O
x
y
-1
-1
3
問題2：下面三個方程有什么共同特點？你能從函數的角度對解這三個方程進行解釋嗎？
(1)2x+1=3；(1)2x+1= 0；(3)2x+1=-1.
用函數的觀點看：
解一元一次方程
ax+b=k 就是求當函
數(y=ax+b)值為k
時對應的自變量的值．
2x+1=3 的解
y=2x+1
2x+1=0 的解
2x+1=-1 的解
1.直線 y=2x+20與x軸交點坐標為(____，____)，這說明方程2x＋20＝0的解是 x=_____.
-10
0
-10
練一練
2.若方程kx＋2＝0 的解是x=5，則直線y=kx＋2與x軸交點坐標為(____，______).
5
0
求一元一次方程
kx+b=0的解．
一次函數與一元一次方程的關系
一次函數 y=kx+b
中，y=0 時 x 的值．
從“函數值”看
求一元一次方程
kx+b=0 的解．
求直線 y=kx+b
與x軸交點的橫
坐標．
從“函數圖象”看
歸納總結
例1.直線 y＝2x＋b與x軸的交點坐標是(2，0)，則關于 x 的方程 2x＋b＝0 的解是 x＝___．
解析：∵直線 y＝2x＋b與x軸的交點坐標是 (2，0)，
則x＝2時，y＝0，
∴關于x的方程 2x＋b＝0 的解是x＝2.
典例精析
2
直線y＝kx＋b與x軸交點的橫坐標就是方程 kx＋b＝0 的解，反之亦然．所以在解題時，常需作出一次函數的草圖，結合圖形分析更加直觀、方便．
方法總結
1.已知一次函數 y = 0.8x - 2 與 x 軸的交點為 (2.5，0)，你能說出 0.8x - 2 = 0 的解嗎？
2.已知一次函數 y = kx - 5 與 x 軸的交點為 (3，0)，那么你能說出 kx - 5 = 0 的解嗎？
3.已知關于 x 的一元一次方程 mx + n = 0 的解是 -3，則直線 y = mx + n 與 x 軸的交點坐標是_______.
試一試
x=2.5
x=3
(-3，0)
例2. 一個物體現在的速度是 5 米/秒，其速度每秒增加 2 米/秒，再過幾秒它的速度為 17 米/秒？(從方程、函數解析式及圖象三個不同方面進行解答)
解法1：設再過 x 秒它的速度為 17 米/秒，
由題意得2x+5=17，
解得 x=6，
答：再過6 秒它的速度為17 米/秒.
解法2：速度 y (單位：米/秒)是時間 x (單位：秒)的函數 y=2x+5，
由 2x+5=17，得 2x－12=0，
由右圖看出直線y= 2x－12與x軸的交點為 (6，0)，得x=6.
O
x
y
6
－12
y=2x－12
例2. 一個物體現在的速度是 5 米/秒，其速度每秒增加 2 米/秒，再過幾秒它的速度為 17 米/秒？(從方程、函數解析式及圖象三個不同方面進行解答)
由右圖可以看出當 y = 17 時，
x = 6.
y = 2x + 5
x
y
O
6
17
5
－2.5
解法3：速度 y (單位：米/秒)是
時間 x (單位：秒)的函數 y = 2x + 5，
例2. 一個物體現在的速度是 5 米/秒，其速度每秒增加 2 米/秒，再過幾秒它的速度為 17 米/秒？(從方程、函數解析式及圖象三個不同方面進行解答)
觀察在 x 軸上方的函數圖象所對應的函數值 y 和自變量 x 的取值范圍.
y = 2x + 6
思考：它們與不等式 2x+ 6＞0 及其解集有何關系？
y＞0
x＞-3
1
2
3
-1
-2
-3
-4
-1
1
2
3
4
5
6
7
O
x
y
A(0，6)
B(0，-3)
一次函數與一元一次不等式
想一想：你能通過觀察函數圖象得出
一次不等式 2x + 6＜0 的解集嗎？
y=2x+6
x＜-3
1
2
3
-1
-2
-3
-4
1
3
4
5
7
O
A(0，6)
B(0，-3)
2
6
4
-1
x
y
2
問題：請同學們觀察一次函數 y = 2x + 6 和 y = 3 的圖象，你能說出 2x + 6 = 3 的解和 2x + 6＞3 的解集嗎？
-1.5
1
3
-1
-2
-3
-4
1
3
4
5
7
O
A(0，6)
B(0，-3)
2
6
4
-1
x
y
x = -1.5， x＞-1.5
y = 2x + 6
y = 3
求 kx+b＞0 (或＜0)
(k ≠ 0)的解集
一次函數與一元一次不等式的關系
y = kx + b 的值
大于(或小于) 0 時，
x 的取值范圍
從“函數值”看
求 kx + b＞0 (或＜0)
(k ≠ 0)的解集
確定直線 y = kx + b
在 x 軸上方(或下方)
的圖象所對應的 x
取值范圍
從“函數圖象”看
歸納總結
例3.畫出函數 y = -3x + 6 的圖象，結合圖象求：
(1)方程 -3x + 6 = 0 的解；
(2)不等式 -3x + 6＞0 和 -3x + 6＜0 的解集；
(3)當x取何值時，y＜3？
解： (1)作出函數 y = -3x + 6 的圖象，
如圖所示，
圖象與 x 軸交于點 B(2，0).
所以，方程 -3x + 6 = 0 的解就是交點 B 的橫坐標.
x
O
B(2，0)
A(0，6)
y
x
O
B(2，0)
A(0，6)
y
解：(2)由圖象可知，不等式 -3x + 6＞0 的解集是圖象位于 x 軸上方的 x 的取值范圍，即 x＜2；
不等式 -3x + 6＜0 的解集是圖象位于 x 軸下方的 x 的取值范圍，即 x＞2；
(3)由圖象可知，當x＞1時，y＜3.
3
1
(1，3)
例3.畫出函數 y=-3x+6 的圖象，結合圖象求：
(1)方程 -3x+6=0 的解；
(2)不等式 -3x+6＞0 和 -3x+6＜0的解集；
(3)當x取何值時，y＜3？
試一試
1.一次函數 y = -x + 2 的圖象如圖，你能說出 -x + 2＜0 的解集嗎？
x
y
O
y = -x + 2
2
x＞2
2.一次函數 y = kx + b 的圖象如圖，你能說出 kx + b＜0 的解集嗎？
x
y
O
y = kx + b
-4
x＜-4
1.利用圖象解一元一次方程 x+3=0.
3
y = x + 3
O
y
解：作y=x+3圖象如右圖.
由圖象知y=x+3交x軸于(-3，0)，
所以原方程的解為 x= 3.
x
3
課堂練習
2.用畫函數圖象的方法解不等式 5x+4＜2x+10.
解：原不等式化為 3x - 6＜0
畫出直線 y = 3x - 6 (如圖).
可以看出，當x＜2 時這條直線上的點在 x 軸的下方,
即這時 y = 3x - 6＜0，所以不等式的解集為 x＜2.
y = 3x - 6
1
2
3
-1
-2
-3
-1
-3
-4
-5
2
O
-2
1
4
-6
x
y
即 5x + 4＜2x + 10 的解集為 x＜2.
課堂練習
解：畫出兩個函數 y = 5x 1
和 y = 2x + 5 的圖象．
由圖象知，兩直線交于點 (2，9)，所以原方程的解為 x = 2．
O
y = 5x 1
y = 2x + 5
9
2
x
y
3.利用函數圖象求 x 的值.
5x 1 = 2x + 5.
課堂練習
4.函數 y=2x+6的圖象如圖，利用圖象求：
(1)方程 2x + 6 = 0 的解；
由圖象可得：圖象過點 (-3，0).
∴方程 2x + 6 = 0 的解為 x = -3；
(2)不等式 2x + 6＞0 的解集；
由圖象可得：
當 x＞-3 時，函數 y = 2x + 6 的圖象在 x 軸上方.
∴不等式 2x + 6＞0 的解集為 x＞-3；
課堂練習
(3)若 -1≤y≤3，求 x 的取值范圍.
由圖象可得：函數圖象過
F (-1.5，3)，G (-3.5，-1) 兩點，
當 -3.5≤x≤-1.5 時，
函數y = 2x+6的函數值滿足-1≤y≤3，
∴x 的取值范圍是 -3.5≤x≤-1.5.
4.函數 y=2x+6的圖象如圖，利用圖象求：
課堂練習
一次函數與一元一次方程、一元一次不等式
解一元一次方程可以轉化為：當某個一次函數的值為 0 時，求相應的自變量的值，即一次函數與 x 軸交點的橫坐標.
解一元一次不等式可以看作：當一次函數的函數值大(小)于 0 時，求自變量相應的取值范圍.
課堂總結
本課結束

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