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2.5.1直線與圓的位置關(guān)系課培優(yōu)訓(xùn)練
人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)2025-2026學(xué)年
一、單項(xiàng)選擇題
1．直線與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相離 B．相切
C．相交且直線過(guò)圓心 D．相交但直線不過(guò)圓心
2．已知圓，直線，則直線與圓的位置關(guān)系為（ ）
A．相交 B．相離 C．相切 D．相交或相切
3．設(shè)直線與圓相交于兩點(diǎn)，且，則為（ ）
A．2 B． C．3 D．
4．已知P是：上的動(dòng)點(diǎn)，則P到直線l：距離的最小值為（ ）
A． B． C． D．1
5．是圓上的動(dòng)點(diǎn)，是直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
6．已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，且，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A． B． C．或 D．或
7．直線與圓交于兩點(diǎn)，，則為（ ）
A． B． C． D．
8．已知直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．2 B．4 C．5 D．10
二、多項(xiàng)選擇題
9．已知直線與圓交于兩點(diǎn)，則（ ）
A．直線恒過(guò)定點(diǎn) B．圓與軸相切
C．最大值為2 D．的面積最大值為
10．已知圓，直線與圓交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為圓上異于，的任意一點(diǎn)，若，，則（ ）
A．
B．面積的最大值為
C．直線的方程為
D．滿足到直線的距離為的點(diǎn)有且僅有3個(gè)
11．已知點(diǎn)，，直線：.為圓：上的動(dòng)點(diǎn)，下列選項(xiàng)中正確的是（ ）
A．若圓關(guān)于對(duì)稱，則 B．與圓總有公共點(diǎn)
C．面積的最大值為 D．面積的最小值為
三、填空題.
12．過(guò)原點(diǎn)的直線與圓交于、兩點(diǎn)，若三角形的面積為，則直線的方程為 .
13．已知圓，過(guò)點(diǎn)作不過(guò)圓心的直線交圓于兩點(diǎn)，則面積的最大值是 .
14．若直線 上有且僅有一點(diǎn) ，使得 ，則直線 被圓 截得的弦長(zhǎng)為
四、解答題
15．已知的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為 、 、
(1)求邊 上的高所在的直線方程；
(2)若圓 是 的外接圓，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線 被圓 所截得的弦長(zhǎng)為 ，求直線的方程.
16．已知直線與圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn).
(1)求實(shí)數(shù)的值以及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)已知圓上恰有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，求的取值范圍.
17．已知圓，直線.
(1)判斷直線與圓C的位置關(guān)系；
(2)求該圓過(guò)點(diǎn)的切線方程.
18．已知圓，直線l過(guò)點(diǎn).
(1)當(dāng)直線l與圓C相切時(shí)，求直線l的方程;
(2)設(shè)線段AB的端點(diǎn)B在圓C上運(yùn)動(dòng)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.
19．已知圓，直線．
(1)求過(guò)圓心且與直線垂直的直線的一般式方程；
(2)直線與圓交于，兩點(diǎn)，求的面積．
20．已知的圓心在y軸上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)和
(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)點(diǎn)的直線l與交于A，B兩點(diǎn).若，求直線l的方程.
21．已知?jiǎng)狱c(diǎn)與點(diǎn)的距離是它與原點(diǎn)的距離的2倍.
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；
(2)求的最小值；
(3)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的兩條互相垂直的直線分別與軌跡相交于，兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，求四邊形ACBD的面積的最大值.
22．在平面直角坐標(biāo)系中，存在四點(diǎn)．
(1)求過(guò)三點(diǎn)的圓的方程，并判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；
(2)若過(guò)點(diǎn)的直線被圓截得的弦長(zhǎng)為8，求直線的方程．
23．已知圓心為的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，且圓心在直線上．
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及過(guò)點(diǎn)的切線方程；
(2)直線與圓相交于兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值．
24．已知圓與直線相切于點(diǎn)，圓心在軸上.
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若過(guò)點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求直線的一般式方程；
(3)點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，求的取值范圍.
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試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
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參考答案
一、單項(xiàng)選擇題
1．C
2．D
3．B
4．C
5．C
6．C
7．B
8．B
二、多項(xiàng)選擇題
9．BCD
10．BD
11．BC
三、填空題
12．
13．
14．
四、解答題
15．【解】（1）由可得，直線斜率為，
所以邊上的高所在直線的斜率為：，
則邊上的高所在直線方程為：，整理得；
（2）設(shè)圓的方程為，代入三點(diǎn)坐標(biāo)可得：
則，解得，，．
圓的方程為，化為標(biāo)準(zhǔn)方程：；
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，
代入圓的方程得：，
此時(shí)直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為，滿足題意；
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，即．
由垂徑定理可得，當(dāng)弦長(zhǎng)為時(shí)，可知圓心到直線的距離
再由圓心到直線的距離公式得：，解得．
直線方程為．
即直線的方程為或．
16．【解】（1）將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，
得，故圓心，半徑為.
因?yàn)橹本€與圓相切，
所以，
解得，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）設(shè)圓心到直線的距離為.由（1）可知：，圓的半徑為2.
因?yàn)閳A上恰有兩個(gè)點(diǎn)到該直線的距離為1，則有
即
解得：或.
所以的取值范圍為.
17．【解】（1）圓，圓心，半徑，
因?yàn)橹本€，所以圓心C到直線l的距離為，
因?yàn)椋矗灾本€與圓C相交.
（2）若切線沒(méi)有斜率，則方程為. 圓心C到直線的距離為，滿足條件；
若切線有斜率，設(shè)其值為，切線方程為，即，
，解得；此時(shí)，切線方程為；
綜上所述，該圓過(guò)點(diǎn)的切線方程和.
18．【解】（1）已知圓C的圓心是，半徑是2，
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為，符合題意;
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，即，
則圓心O到直線l的距離為=2，解得，故直線l的方程為.
綜上，直線l的方程為或.
（2）設(shè)點(diǎn)，則由點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)得，所以①，
因?yàn)辄c(diǎn)B在圓C上運(yùn)動(dòng)，所以②，將①代入②得，
化簡(jiǎn)得點(diǎn)M的軌跡方程是.
19．【解】（1）由題意可知：圓的圓心為，半徑，
設(shè)與直線垂直的直線的一般式方程為，
代入可得，即，
所以所求直線方程為.
（2）因?yàn)閳A心到直線的距離，
則，
所以的面積.
20．【解】（1）設(shè)：，
根據(jù)題意，得,解得,
所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）①當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線l與x軸垂直時(shí)，直線l的方程為，
此時(shí)直線l與相交于、，可得，符合題意；
②當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線l與x軸不垂直時(shí)，
設(shè)l：，即,
由直線l被截得的弦長(zhǎng)，
可知點(diǎn)到直線l的距離d滿足，解得，
所以，解得，
所以直線l的方程為，即,
綜上所述，直線l的方程是或 .
21．【解】（1）因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)與點(diǎn)的距離是它與原點(diǎn)的距離的2倍，
所以，
即，
；
（2）設(shè)，則，代入，
得，
由，得，
解得，即，
所以的最小值為；
（3）當(dāng)AB和CD的斜率都存在時(shí)，設(shè)直線AB方程為：，
則直線CD的方程為：，
已知軌跡是以為圓心，以2為半徑的圓，
則圓心到直線的距離為，
所以，同理，
所以四邊形ACBD的面積為：，
；
當(dāng)AB和CD兩直線中有一條沒(méi)有斜率，另一條的斜率為0，
此時(shí)，
所以四邊形ACBD的面積為，
當(dāng)，即時(shí)，四邊形ACBD的面積的最大值是7.
22．【解】（1）設(shè)圓M方程為，
把A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)代入可得：
解得，，，
所以圓M方程是,
把D點(diǎn)坐標(biāo)代入可得：，故D在圓M內(nèi)；
（2）由（1）可知圓M：，則圓心，半徑，
由題意可知圓心到直線l的距離是，
當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l方程為：，
所以由點(diǎn)到直線的距離公式得，解得，故直線l的方程為；
當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，則直線l方程為：，
此時(shí)圓心到直線l的距離是3，符合題意.
綜上所述，直線l的方程為或.
23．【解】（1）由圓心在直線上，設(shè)圓心，
由，得，解得，
因此圓心，半徑，
所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，圓心到直線的距離為半徑3，則直線是符合題意的切線；
當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，即，
，解得，直線方程為，
所以切線方程為或.
（2）由（1）知，圓的圓心，半徑，
由，得圓心到直線的距離，
則，即，則，解得或，
所以實(shí)數(shù)的值為或.
24．【解】（1）設(shè)圓心的坐標(biāo)為，已知圓與直線相切于點(diǎn)，則直線（）與直線垂直.
直線的斜率，可得直線的斜率，
即，解得，所以圓心.
圓的半徑.
則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)圓心到直線的距離.
根據(jù)垂徑定理，滿足題意.
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即.
圓心到直線的距離.
由垂徑定理可得，
即，，，解得.
則直線的方程為，即.
綜上，直線的一般式方程為或.
（3）設(shè)，則，即.
的幾何意義是圓上的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率.
當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離，即，
.由圖形知道，
所以的取值范圍是.

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