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3.2.1雙曲線及其標準方程課后提升訓練人教A版2019選擇性必修第一冊2025-2026學年
一、單項選擇題
1．已知，雙曲線的左焦點為是雙曲線的右支上的動點，則的最大值是（ ）
A． B．2 C．3 D．1
2．已知方程表示雙曲線，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
3．已知動點到點的距離與它到點的距離之差等于6，則點的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
4．雙曲線：上的點到右焦點的距離為19，則它到左焦點的距離為（ ）
A．9 B．7 C．9或29 D．7或19
5．雙曲線的兩個焦點分別是、，焦距為，是雙曲線上的一點，且，則（ ）
A． B． C．或 D．
6．已知是雙曲線的左、右焦點，點在雙曲線上，，則（ ）
A． B． C． D．
7．已知雙曲線的焦距為6，則為（ ）
A．5 B． C． D．32
8．已知雙曲線過點，且與橢圓有公共焦點，則雙曲線的標準方程是（ ）
A． B． C． D．
二、多項選擇題
9．已知點在雙曲線上，分別是左、右焦點，若的面積為20，則下列判斷正確的有（ ）
A．點到軸的距離為 B．
C．為鈍角三角形 D．
10．已知曲線，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則是橢圓
B．若，則是雙曲線
C．當是橢圓時，若越大，則越接近于圓
D．當是雙曲線時，若越小，則的開口越大
11．已知是雙曲線上關于原點對稱的兩點，過點作軸于點（異于點），交于點.設直線的斜率為，則（ ）
A．的取值范圍是
B．直線的斜率為
C．直線的斜率為
D．時，直線與直線的斜率之和的最小值為
三、填空題.
12．設為雙曲線的左 右焦點，若點在雙曲線上，且，則 .
13．已知點是雙曲線的一個焦點，過且斜率為1的直線交于兩點，若，且，則 ．
14．雙曲線的一個焦點坐標為，則實數的值為 ．
四、解答題
15．已知雙曲線的左、右焦點分別為為雙曲線右支上一點（不在軸上）．
(1)若，求的面積；
(2)若該雙曲線與橢圓有共同的焦點且過點，求內切圓圓心的橫坐標．
16．已知雙曲線：的右焦點為，為上一點，為坐標原點，且的面積為12.
(1)求的方程；
(2)設過點且斜率分別為的直線，，．與的左支分別交于三點，為線段的中點，求的面積．
17．已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，若C的離心率為2，點在C上，過的直線l交C的右支于P，Q兩點．
(1)求直線AP，AQ的斜率之積；
(2)若的面積為，求l的方程．
18．設雙曲線，點，是雙曲線的左右頂點，點在雙曲線上．若，點
(1)求雙曲線的方程；
(2)，斜率為的直線過點，直線與雙曲線只有一個交點，求的值
19．在平面直角坐標系xOy中，已知點D為雙曲線E：的右頂點，，在雙曲線上.
(1)求雙曲線E的方程；
(2)過點且斜率為的直線l與雙曲線E的左支交于A，B兩點，的外接圓的圓心為P，直線OP的斜率為，證明：為定值.
20．已知點 到點 和 的距離之差的絕對值等于 為坐標原點，
(1)求點 的軌跡及軌跡方程；
(2)若過點 的直線 與點 的軌跡交于 兩點， 的面積為 ，求直線 的方程.
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試卷第1頁，共3頁
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參考答案
一、選擇題
1．D
2．B
3．C
4．C
5．A
6．C
7．A
8．B
二、多項選擇題
9．BC
10．BD
11．BC
三、填空題
12．13
13．
14．
四、解答題
15．【解】（1）設，，由雙曲線的定義可得，
在中，由余弦定理，得，
可得，則的面積．
（2）如圖所示，，，
設內切圓與軸的切點為與內切圓的切點分別為．
由雙曲線的定義可得，由圓的切線長定理知，，
故，即．
設內切圓圓心的橫坐標為，則點的橫坐標為，故，可得．
由該雙曲線與橢圓有共同的焦點，且過點，
可得，，
解得，，
可得內切圓圓心的橫坐標為．
16．【解】（1）由題意得解得
所以的方程為．
（2）由題意得直線的方程為，聯立，
消去得（，且），
設，，，則，
得，代入直線的方程得，
所以．
同理可得，所以PQ的中點．
如圖，連接OB，
則，所以點在直線上，所以．
由題意得直線的方程為，即，
所以點B到直線的距離等于點O到直線的距離，即為．
聯立，解得或（舍），
故，所以，
所以．
17．【解】（1）由題意得，解得，
所以C的方程為．
所以，由于直線l的斜率不為0，設l的方程為，，，
聯立消去得，
由，
得，則，，
故
．
（2）由（1）得，，
所以
所以，
即，即，
解得或，
因為直線l交C的右支于P，Q兩點，
所以且，
即，，
解得，所以僅有滿足題意，
所以直線l的方程為或．
18．【解】（1）由題意有：，解得，所以雙曲線的方程為．
（2）（i）令，解得，所以的值可以是，
（ii）當時，過點的斜率為的直線的方程為，
聯立雙曲線方程與直線方程得，化簡得，
因為直線與雙曲線只有一個交點，
所以，解得；
綜上所述，的值為或.
19．【解】（1）因為，在雙曲線E上，
所以，故，所以E的標準方程為．
（2）如圖：
設直線l：，由
得，①
所以，因為直線l與雙曲線E的左支交于A，B兩點，
所以，且，故，
設圓P：，，由，
得，②
由雙曲線的右頂點D在圓上得，
由①②得.
由，可得③
由，可得④
所以3④③可得，即．
20．【解】（1）設點 到 和 的距離分別為 和 ,根據題意：
兩點 、 的距離為4,而 ,符合雙曲線的定義,因此軌跡為雙曲線，
,得 ； ,得 ； ，
雙曲線的標準方程為:，
（2）當斜率不存在時，直線與曲線沒有交點，不滿足題意.
當斜率存在時，設直線的方程為，
聯立，得.
展開整理得， ，
設，，由韋達定理（），.
根據弦長公式
先求
.
所以.
原點到直線的距離.
已知.
即. 化簡得.
兩邊平方整理得，即.
得，因為，所以，.
也滿足.
所以直線的方程為.

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