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3.1.1橢圓及其標準方程課后提升訓練人教A版2019選擇性必修第一冊2025-2026學年
一、單項選擇題
1．若橢圓的兩個焦點分別為和，且橢圓過點，則橢圓的方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．若橢圓的焦點在坐標軸上，焦距為8，且過點，則橢圓的標準方程為（ ）
A．或 B．
C． D．
3．方程表示的曲線為（ ）
A．圓 B．橢圓 C．線段 D．不表示任何圖形
4．已知定點，平面上滿足下列條件的動點的軌跡是橢圓的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知點，，動點滿足，則動點的軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知橢圓E：的左、右焦點分別為，，焦距為2，過點且斜率不為0的直線與交于兩點，若為的上頂點，且，則的方程為（ ）
A． B．
C． D．
7．已知是橢圓的兩個焦點，為上一點，且的內切圓半徑為，若在第一象限，則點的縱坐標為（ ）
A．2 B． C． D．
8．設為橢圓的兩個焦點，點在上，若，則（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、多項選擇題
9．已知是橢圓上一點，、為其左、右焦點，且的面積為，則下列說法正確的是（ ）
A．點縱坐標為 B．的周長為
C． D．的內切圓半徑為
10．已知點，分別是橢圓的左、右頂點，為橢圓的右焦點，且，點P是橢圓上異于，的一動點，直線，分別與直線交于點，，則下列說法正確的有（ ）
A． B．
C．的最小值為 D．的最小值為
11．已知、是橢圓的左、右焦點，點在上，是上的動點，軸，垂足為，且為的中點，則（ ）
A．的最大值為 B．的最小值為
C．點的軌跡方程為 D．的最小值為
三、填空題.
12．已知橢圓的左、右焦點分別為，，為橢圓上一點，若，則點的坐標為 ．
13．已知橢圓方程為，若橢圓上的點到左焦點距離的最大值為3，最小值為1，則橢圓方程是 ．
14．已知橢圓：過點且與：焦點相同，則 ．
四、解答題
15．已知的周長為18，，．
(1)求頂點的軌跡的標準方程；
(2)當時，求點的縱坐標．
16．已知曲線的左右焦點為，P是曲線E上一動點
(1)求△的周長；
(2)過的直線與曲線E交于AB兩點，且，求直線AB的方程；
17．已知點是橢圓上的一點，和是焦點，焦距為，且．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)若，求的面積．
18．已知，分別是橢圓C：（）的左、右焦點，P為C上一點.
(1)若，點P的坐標為，求橢圓C的標準方程；
(2)若，的面積為4，求b的值.
19．已知橢圓E的方程為，與是E的左右兩個焦點，是E的下頂點．
(1)設斜率為1的直線l過點，且與E交于M，N兩點，求弦的長；
(2)若E上一點P滿足，求三角形的面積．
參考答案
一、單項選擇題
1．B
2．C
3．D
4．C
5．A
6．A
7．C
8．D
二、多項選擇題
9．BCD
10．AB
11．ACD
三、填空題
12．或
13．
14．
四、解答題
15．【解】（1）設，易得，則，
由橢圓定義可得點的軌跡是以，為焦點的橢圓（不含軸上兩點），
且，，
所以，，，
所以所求軌跡方程為．
（2）當動點滿足時，可得在以為直徑的圓上，
所以該圓圓心為，半徑為，即圓的方程為，
設點， 可得，
又點在橢圓上，所以，
即，
解得，，則的縱坐標為．
16．【解】（1）∵曲線E：
∴，則
∴
∴，，
故△的周長為.
（2）依題意，知直線AB斜率存在且不為，設直線AB：，
設
聯立，消去，得，
恒成立，
由韋達定理得：
因為,
所以 則，
從而有,
消去，得，即
所以直線AB的方程為，即.
17．【解】（1）因為橢圓的焦距為，得，
又，則，得，
因此，橢圓的標準方程為.
（2）因為點是橢圓上的一點，則有，
可得，①
又由結合余弦定理，得②
①②可得，即，
則的面積.
18．【解】（1）已知，因為，所以.點在橢圓上，將其代入橢圓方程，可得，即，解得.
又因為，，，所以.
所以橢圓的標準方程為.
（2）因為，所以的面積，則.根據橢圓定義，.
由勾股定理可得.
又，即.
在橢圓中有，將變形為，即，解得.
19．【解】（1）由橢圓方程可得，
所以，
故直線的方程為，
聯立，可得，
設，則，
所以，
（2）由以及，
得，
故由余弦定理可得，
由于，
故.
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