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3.1.2橢圓的簡單幾何性質課后提升訓練人教A版2019選擇性必修第一冊2025-2026學年
一、單項選擇題
1．若橢圓的焦距為，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
2．橢圓的標準方程為，其焦點的坐標為（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．已知和橢圓，點在上，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．2
4．已知橢圓和，且經過的焦點，的兩個焦點與的頂點重合，設的離心率分別為，則（ ）
A． B． C．1 D．
5．已知是橢圓的兩個焦點，是橢圓上的一點，，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，為橢圓的兩個焦點，若橢圓上存在點滿足，則橢圓離心率的范圍是（ ）
A． B．
C． D．
7．設橢圓的左、右焦點分別為，上頂點為A，直線交M于另一點B，的內切圓與相切于點C，若，則橢圓M的離心率為（ ）
A． B． C． D．
8．已知橢圓方程為，為過橢圓的左焦點的弦，則的值為（ ）
A． B． C． D．
二、多項選擇題
9．已知分別是橢圓的左、右焦點．點為短軸的一個端點，點是上的任意一點，則下列結論成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知橢圓的兩個焦點分別為，，為坐標原點，過的直線交橢圓于兩點，則下列說法正確的是（ ）
A．的周長為16
B．的周長為14
C．若，則
D．若，則的面積為7
11．已知橢圓的左、右焦點分別為，，點為橢圓上一點，則（ ）
A．若，則的面積為
B．存在點，使得
C．若直線交橢圓于另一點，則
D．使得為等腰三角形的點共有4個
三、填空題.
12．已知橢圓，過右焦點且斜率為的直線交橢圓于兩點，若，則 ．
13．已知橢圓的一個焦點是，過原點的直線與相交于點，的面積是，則 ．
14．已知橢圓的左頂點與左焦點分別為點A，F，下頂點為點，且的面積等于，則橢圓的離心率為 ．
四、解答題
15．已知橢圓的左、右焦點分別為，點在上，且滿足．
(1)求的方程；
(2)設直線與交于兩點，若線段中點的縱坐標為1，求面積的最大值．
16．橢圓的左、右焦點分別為，點為橢圓上動點，的值域為．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)設橢圓的上下頂點分別為，直線交橢圓于另一點，點和點位于軸兩側，若四點構成的四邊形面積為，求直線的斜率．
17．已知曲線C上任一點到兩個定點和的距離和為定值4．
(1)求C的方程；
(2)過點的直線l（斜率存在且不為0）與C交于M，N兩點，N關于x軸的對稱點為P．
（ⅰ）證明：直線PM過定點Q；
（ⅱ）對于（ⅰ）中的點Q，求的取值范圍．
18．已知橢圓的離心率，且橢圓的長軸長為4.
(1)求橢圓的方程；
(2)過點的直線與橢圓交于兩點，且，求直線的方程.
19．已知橢圓的長軸長為4，焦距為2．
(1)求橢圓C的標準方程．
(2)過點作斜率為k的直線與橢圓相交于A，B兩點，y軸上存在點Q使得直線與直線的斜率之和為0．
（i）求點Q的坐標；
（ii）求的面積的最大值．
參考答案
一、單項選擇題
1．A
2．D
3．A
4．C
5．D
6．B
7．D
8．C
二、多項選擇題
9．AD
10．BCD
11．BC
三、填空題
12．3
13．
14．
四、解答題
15．【解】（1）因為在上，所以①．
由題意知，所以．
由，得，解得②．
由①②聯立解得，
所以的方程為．
（2）當直線的斜率不存在時，線段的中點的縱坐標為0，故直線的斜率存在．
設其方程為，聯立消得．
由，得③．
如圖，設，
則．
所以，則．
所以，代入③得，
所以．
，
點到直線的距離，
，
．
當時，最大，最大值為．
16．【解】（1）設，則，故，
又，
故，
由題可得，，故，
故橢圓的標準方程為；
（2）若直線的斜率為0，則，不滿足條件，
斜率不為0時，設直線為，直線的斜率為，
聯立，消去整理得，
則，
根據點和點所在位置，如圖：
如圖，可得，
又四邊形的面積為
，
又，即，
故，所以直線的斜率為.
17．【解】（1）因為，由橢圓定義可知，曲線C為以和為兩焦點的橢圓，
其中，，解得，，
故C的方程為；
（2）（ⅰ）依題意可設直線l的方程為，
設，，．
聯立得得，
由韋達定理得，，
則直線PM的方程為，
即，
其中
，
則直線PM的方程為，
故直線PM過定點；
（ⅱ），，
，
因為，所以，，
所以的取值范圍為．
18．【解】（1）由題可知，，，
又，且，解得，，
則橢圓的方程為.
（2）法一：①當直線斜率為0時，， 不符合題意.
②當直線斜率不為0時，設直線方程為，
聯立，得，，
設，則.
由題意，，
即，解得.
故直線的方程為：或.
法二：①當直線斜率不存在時，，不符合題意.
②設直線方程為，
聯立，得，，
設，則，
由，得，
即，解得.
故直線的方程為或.
19．【解】（1）由橢圓的長軸長為4，焦距為2，可得，，
又由，
可得橢圓C的標準方程為；
（2）設直線的方程為，設點A，B的坐標分別為，，點Q的坐標為，
（i）聯立方程消去y后整理為，
有，可得或，
又有，，可得，
直線的斜率為，
同理可得直線的斜率為，
又由直線與直線的斜率之和為0，有，
可化為，
有，有，由k的任意性可得，
故點Q的坐標為；
（ii）
令，有，
有，
當且僅當時等號成立，此時，
故的面積的最大值為．
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