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3.2.2雙曲線的幾何性質課后提升訓練
人教A版2019選擇性必修第一冊2025-2026學年
一、單項選擇題
1．直線是雙曲線的一條漸近線，則（ ）
A．1 B．4 C．16 D．18
2．焦點在軸上，焦距為4且離心率為2的雙曲線的標準方程為（ ）
A． B． C． D．
3．已知雙曲線（，）的左，右焦點分別為，，過的直線與其右支交于，兩點，若，，則的離心率為（ ）
A． B．2 C． D．4
4．已知為雙曲線上經過原點的一動弦，為圓上一動點，則的最大值為（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
5．已知雙曲線的左、右焦點分別為，若上一點到軸的距離為，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
6．已知雙曲線，右焦點，過點且斜率為的直線交于、兩點，且，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
7．已知雙曲線的焦點分別在軸，軸上，漸近線方程為，離心率分別為，則的最小值為（ ）
A．2 B． C．3 D．
8．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點在上，且，的面積為．若為鈍角，則的焦距為（ ）
A． B． C．7 D．14
二、多項選擇題
9．已知分別為雙曲線的左、右焦點，的一條漸近線的方程為，且到的距離為，點為在第一象限上的點，點的坐標為，為的平分線．則下列正確的是（ ）
A．雙曲線的方程為 B．
C． D．點到軸的距離為
10．已知雙曲線C：的實軸長為4，左、右焦點分別為，，左頂點為A，平行于x軸的直線l與C左、右兩支分別交于M，N兩點，且直線AM，AN的斜率之積為－4，P為C的右支上一點，若，則（ ）
A．C的漸近線方程為 B．C的離心率為
C．M到兩漸近線的距離之積為 D．
11．已知，是雙曲線的左、右焦點，過作C的一條漸近線的垂線l，垂足為H且l與雙曲線右支相交于點P，若且．則下列說法正確的是（ ）．
A．雙曲線的實軸長為4 B．雙曲線的離心率為
C．四邊形的面積為15 D．
三、填空題.
12．與雙曲線有公共漸近線，且過點的雙曲線的實軸長為 ．
13．已知雙曲線過點，且與雙曲線有相同的離心率，則雙曲線的標準方程為 ．
14．若雙曲線的離心率為3，則雙曲線的離心率為 ．
四、解答題
15．已知雙曲線與雙曲線的漸近線相同，且經過點．
(1)求雙曲線的方程；
(2)若斜率為的直線過雙曲線的左焦點，分別交雙曲線于、兩點，求證：.
16．已知雙曲線Γ：的左、右焦點分別為，，O為坐標原點.
(1)求，的坐標及雙曲線Γ的漸近線方程；
(2)是否存在過點的直線l與Γ的左、右兩支分別交于A，B兩點，使得.若存在，求直線l的方程；若不存在，請說明理由.
17．已知雙曲線的實軸長為，且過點．
(1)求雙曲線的方程；
(2)過雙曲線的右焦點作斜率為1的直線l，l與雙曲線交于A，B兩點，求｜AB｜；
(3)若是坐標原點，M，N是雙曲線上不同的兩點，且直線MN的斜率為2，線段MN的中點為，求直線OP的斜率．
18．已知雙曲線與有相同的漸近線，且經過點．
(1)求雙曲線的方程，并寫出其離心率；
(2)求的焦點到其漸近線的距離；
(3)已知直線與雙曲線交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點在圓上，求實數的值．
19．已知雙曲線的離心率為，點在上．
(1)求的方程；
(2)設斜率為且不經過點的直線交于兩點，記直線的斜率分別為，，若，證明：直線過定點．
參考答案
一、單項選擇題
1．D
2．A
3．B
4．D
5．B
6．B
7．D
8．B
二、多項選擇題
9．BD
10．BCD
11．ACD
三、填空題
12．2
13．
14．
四、解答題
15．【解】（1）因為雙曲線與雙曲線的漸近線相同，
所以可設：，又雙曲線過，
所以，則，即，
所以雙曲線的方程為.
（2）證明：設，
又 ，所以左焦點，則，
，
，
，
則，
所以.
16．【解】（1）由雙曲線Γ的方程得，，得，
則，即.
故，，漸近線方程為.
（2）存在過點的直線l與Γ的左、右兩支分別交于A，B兩點，使得.
易知直線l不與x軸重合.（當直線l與x軸重合時，A，B為雙曲線的左右頂點，，，不滿足題意）
設，，AB的中點.
由得為等腰三角形，
則，，
即，，
即，.①
因為點A，B在Γ上，所以
②－③得，即，
則，即，
所以.④
聯立①④，消去得，
解得或（舍），
當時，，所以，
由得，
所以直線的方程為.
17．【解】（1）根據題意可得，則．
將點的坐標代入，得，解得，故雙曲線的方程為．
（2）由（1）得，即，則，則直線的方程為．
設，由得，
，
所以．
（3）設，
則兩式相減得．
設，則所以，
即，所以，即，
所以直線OP的斜率．
18．【解】（1）因為雙曲線與有相同的漸近線，
所以可設雙曲線的方程為，
將代入，得，得，
故雙曲線的方程為，所以，故離心率．
（2）由（1）可知，的焦點為，漸近線方程為，
故的焦點到其漸近線的距離．
（3）聯立直線AB與雙曲線的方程，得
整理得，．
設，則AB的中點坐標為，
由根與系數的關系得，，
所以AB的中點坐標為．
又點在圓上，所以，所以．
19．【解】（1）因為點在雙曲線上，所以，
由離心率為可得，解得，
所以的方程為．
（2）如圖，設直線的方程為，，
聯立得，
由題意可得，且，
化簡得，
由韋達定理得．
因為，
所以，
整理得，
即，
化簡得，因為直線不經過點，所以，
此處需要排除當直線經過點時滿足的參數關系．
所以，即，滿足，
所以直線的方程為，即直線過定點．
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