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3.3.2拋物線的簡單性質課后提升訓練
人教A版2019選擇性必修第一冊2025-2026學年
一、單項選擇題
1．已知一條直線與拋物線交于，兩點，過坐標原點引的垂線，垂足的坐標為，，則（ ）
A． B． C．1 D．2
2．設拋物線的焦點為，準線為，過拋物線上的一點作的垂線，垂足為，若，則（ ）
A． B． C． D．
3．過且傾斜角為的直線與拋物線相交于兩點，且滿足，則（ ）
A． B． C． D．1
4．已知拋物線的焦點為F，過點F且斜率大于0的直線l交C于A，B兩點，若，則l的斜率為（ ）
A． B． C． D．
5．已知拋物線的焦點是，直線均過焦點且互相垂直，則的值是（ ）.
A． B． C． D．
6．已知O為坐標原點，直線交拋物線于A，B兩點，P為y軸正半軸上一點，點A，P，B的縱坐標分別為，且，則P的坐標為（ ）
A． B． C． D．
7．已知M為拋物線G：上的動點，P，Q為圓C：上的兩個不同點，若MP，MQ均與圓C相切，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．3
8．已知直線過拋物線的焦點，且與拋物線交于兩點，則線段的中點到準線的距離為（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
二、多項選擇題
9．已知拋物線的焦點為，準線為，過點的直線與拋物線交于兩點.點為坐標原點，且，則（ ）
A．過點且與有且僅有一個公共點的直線恰有3條
B．滿足為直角三角形的點有且僅有2個
C．若直線的傾斜角為，則
D．若，則的面積為4
10．拋物線的焦點在軸正半軸上，其焦點到準線的距離為2，點是上一點．設直線的斜率存在且與相交于兩點，則（ ）
A．拋物線方程為
B．直線的斜率為
C．若與的斜率互為相反數，則的斜率為
D．若過焦點，傾斜角為，則面積為
11．已知拋物線，準線為，過焦點的直線交拋物線于兩點，過分別作的垂線，垂足分別為，則（ ）
A．
B．若，則直線的斜率為
C．三點共線（其中為坐標原點）
D．
三、填空題.
12．已知點是拋物線上一點，則點到直線的最短距離是
13．已知為拋物線上的兩點，若是邊長為的等邊三角形，為坐標原點，則拋物線方程為 ．
14．設拋物線被直線截得的弦的長為，則 ．
四、解答題
15．過點作拋物線的弦，弦恰被點P平分.
(1)求弦所在直線的方程；
(2)求弦的長度.
16．已知F是拋物線E：的焦點，為拋物線E上一點，且.
(1)求拋物線E的方程；
(2)設A，B為拋物線E上的兩點（不同于點P），直線AP，BP分別與y軸交于M，N兩點，且原點O恰為MN的中點.
（i）證明：直線AB過定點；
（ii）若直線AB的斜率大于0，且的面積為，求直線AB的方程.
17．過拋物線上一點作直線，交拋物線于兩點，且斜率．問：
(1)直線的斜率是否為定值？
(2)的面積是否有最大值？
18．如圖，已知拋物線是曲線上兩點，且．
(1)求中點的軌跡方程；
(2)求證：直線過定點．
19．已知拋物線的頂點在坐標原點，焦點在軸上，為定點.
(1)若點為拋物線的焦點，求拋物線的方程；
(2)若動圓過點，且圓心在拋物線上運動，點是圓與軸的兩交點，試推斷是否存在一條拋物線，使為定值？若存在，求這個定值；若不存在，說明理由.
參考答案
一、單項選擇題
1．B
2．C
3．A
4．B
5．D
6．C
7．B
8．B
二、多項選擇題
9．ACD
10．BC
11．ACD
三、填空題
12．
13．
14．2
四、解答題
15．【解】（1）點在拋物線內部，過點的所有斜率不為0的直線都與拋物線相交，
又是中點，直線斜率存在，
設，則，
則，相減得，
所以，
所以直線方程為，即；
（2）由，得，
則，
所以．
16．【解】（1）因為拋物線的焦點為，準線方程為，且在拋物線上，，根據拋物線定義有，，
又因為在拋物線上，所以，即，
消去，可得，即，解得，
所以拋物線的方程為.
（2）（i）設，，直線AB方程為，聯立，消得，則，，
直線AP：，令，得縱坐標；同理縱坐標，
因是MN中點，，即，化簡得，將，代入，得，即，
直線AB方程為，當時，，故直線AB過定點.
（ii）設直線AB：，聯立，得，
由韋達定理，，，
弦長，
根據點到直線的距離公式可知，點到直線AB距離為，
由可得，，即，化簡得，
因式分解得，因，得，
所以直線AB方程為.
17．【詳解】（1）設，
，代入得．
所以，設直線斜率為,則，所以，
即所以
所以．
即為定值．
（2）設直線的傾斜角為，由對稱性不妨令為銳角，則，
．
而．
因為，所以，
故．
①點處切線方程為，即．當與切線重合時，，；
②當點在右側，即時，沒有最大值；
③當點在兩側，，
，此時．
當點在兩側時，有最大值．
18．【解】（1）設，，
則，
解得（舍）或，
由，兩式作差得
當時，,故，
設：，聯立，得（*）
，，且，
故直線，可知直線恒過定點，
∴且,
故，即，
當，亦滿足上式，，
所以所求為.
（2）由（1）可知直線
所以直線恒過定點.
19．【解】（1）設拋物線方程為，則拋物線的焦點坐標為.由已知，，
即，故拋物線的方程是.
（2）設圓心，點.
因為圓過點，則可設圓的方程為.
令，得，則
所以.
設拋物線的方程為，
因為圓心在拋物線上，則.
所以.
由此可得，當時，為定值.
故存在一條拋物線，使為定值4.
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