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3.3.1拋物線及其標準方程課后提升訓練
人教A版2019選擇性必修第一冊2025-2026學年
一、單項選擇題
1．設為拋物線：的焦點，點在上，且在第一象限，若直線AF的傾斜角為，則（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．已知曲線過拋物線的焦點，則C的準線方程為（ ）
A． B． C． D．
3．拋物線上一點到其焦點的距離為6，則的值為（ ）
A． B． C．-8 D．-4
4．拋物線的準線方程為（ ）
A． B． C． D．
5．拋物線的焦點到準線的距離是（ ）
A．4 B．2 C． D．
6．已知拋物線Γ：的焦點為F，準線為l，過Γ上一點P作于A，若，則（ ）
A． B．2 C． D．
7．已知直線l過拋物線C：的焦點F，且與C交于A，B兩點（A在第一象限），點P在C的準線上，若為等邊三角形，則l的傾斜角為（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
8．在平面直角坐標系xOy中，為拋物線的焦點，點在上，若軸，則（ ）
A． B． C． D．
二、多項選擇題
9．已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，若，O為坐標原點，則（ ）
A． B． C． D．的坐標為
10．記拋物線的焦點為，直線與相交于兩點，直線與相交于兩點，則（ ）
A．當，點在上時，
B．當，點在上時，
C．當，三點共線時，
D．當，四邊形的外接圓圓心坐標為時，
11．已知點在拋物線上運動，為拋物線的焦點，點，則的值可能是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
三、填空題.
12．若拋物線上的點到焦點的距離是4，則點的坐標為 ．
13．已知A為拋物線（）上一點，點A到C的焦點的距離為12，到y軸的距離為9，則C的焦點坐標為 .
14．已知是拋物線的焦點，是拋物線上的一個動點，，則周長的最小值為 ．
四、解答題
15．已知拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合．
(1)求拋物線的方程；
(2)如圖，若過點的直線與拋物線交于不同的兩點A，B，O為坐標原點，證明：．
16．已知拋物線上一點到焦點的距離為，直線與拋物線交于、兩點，（為坐標原點）．
(1)求拋物線的方程；
(2)求的值．
17．已知拋物線：的焦點為，點在上，且．
(1)求的方程；
(2)過點作兩條互相垂直的直線，若點分別為弦的中點，當取最小值時，求四邊形的面積．
18．已知頂點在坐標原點，焦點在坐標軸上的拋物線過點．
(1)求拋物線的標準方程及其準線方程；
(2)過點作直線交拋物線于另一個交點（在第四象限），設直線的斜率分別為，若，求的面積．
19．拋物線的焦點為，且過點．
(1)求的方程；
(2)過點的一條直線與交于、兩點（在線段之間），且與線段交于點．
①證明：點到和的距離相等；
②若的面積等于的面積，求點的坐標．
參考答案
一、單項選擇題
1．C
2．C
3．A
4．B
5．A
6．D
7．C
8．D
二、多項選擇題
9．AC
10．ACD
11．ABC
三、填空題
12．
13．
14．/
四、解答題
15．【解】（1）設橢圓的長半軸為，短半軸為，半焦距為，
，又，，該橢圓的右焦點為，
又拋物線的焦點為，所以，解得，
故拋物線的方程為．
（2）直線過點且與拋物線交于不同的兩點，故直線的 斜率不為，
設直線的方程為，
聯立，得，即，
方程的判別式，
設，，則，，
由根與系數的關系得，
因為，，
所以，
.
16．【解】（1）因為拋物線上點到焦點的距離為，所以，
解得，所以拋物線的方程為.
（2）設，由，消得到，
因為，所以，且，
所以，
又，則，即
解得或，又因為，所以.
17．【解】（1）由拋物線的定義得，
因為，所以，解得，所以的方程為．
（2）由（1）知，直線的斜率存在且不為0．
設直線的方程為，，，
由消去得，則，
所以，因為點G是AB的中點，
所以，同理得，
所以
，
當且僅當且，即時，等號成立，所以的最小值為8．
根據對稱性，不妨取，即直線AB的方程為，
則，同理得，故．
18．【解】（1）根據題意，當拋物線開口向右時，設拋物線方程為，
將點代入方程可得，解得，
此時拋物線的標準方程為，準線方程為；
當拋物線開口向上時，設其方程為，
將點代入方程可得，解得，
此時拋物線的標準方程為，準線方程為.
綜上，拋物線的標準方程為，準線方程為或，準線方程為.
（2）根據題意，因為點在第四象限，所以拋物線的標準方程為，準線方程為.
畫出圖象為：
由題意可知存在，，因為，所以.
設點，所以，解得（舍去）或.
直線的方程為，即.
所以點的坐標為.
所以的面積為.
19．【解】（1）因為拋物線過點，所以，得：，所以C的方程為：.
（2）①設直線方程為，，，
由得：，則，
，，
又，
，
易知點，所以垂直于軸，
所以，所以點到和的距離相等.
②因為，所以，
故直線PA//FQ，所以，
由①知，所以，
所以點P在線段AF的中垂線上，點的縱坐標為1，代入拋物線方程可得點P.
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