資源簡介

浙教版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)
第3章 一元一次不等式3.3 一元一次不等式及其解法 教學(xué)設(shè)計(jì)
一、內(nèi)容和內(nèi)容解析
內(nèi)容
本節(jié)課主要內(nèi)容為一元一次不等式的概念、解集表示、解法步驟及其在實(shí)際問題中的應(yīng)用。學(xué)生將通過具體實(shí)例理解不等式的解與解集的含義，掌握解一元一次不等式的基本方法，并能在數(shù)軸上表示解集。
內(nèi)容解析
一元一次不等式是初中數(shù)學(xué)中代數(shù)部分的重要內(nèi)容，與一元一次方程既有聯(lián)系又有區(qū)別。學(xué)生已掌握一元一次方程的解法，本節(jié)在此基礎(chǔ)上引入不等式的概念和解法，重點(diǎn)在于理解不等式的解集表示和數(shù)軸表示方法，特別是當(dāng)系數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)不等號(hào)方向的變化規(guī)律。通過實(shí)際問題的引入，幫助學(xué)生建立不等式模型，提升數(shù)學(xué)建模能力和解決實(shí)際問題的能力。
二、目標(biāo)和目標(biāo)解析
目標(biāo)
理解一元一次不等式的概念，能判斷一個(gè)不等式是否為一元一次不等式。
掌握解一元一次不等式的基本步驟，能正確求解并在數(shù)軸上表示解集。
能運(yùn)用一元一次不等式解決簡單的實(shí)際問題，提升數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。
目標(biāo)解析
通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)能準(zhǔn)確識(shí)別一元一次不等式，理解其解集的含義，掌握解不等式的基本方法，特別是處理系數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)不等號(hào)方向的變化。學(xué)生應(yīng)能獨(dú)立完成不等式的求解過程，并在數(shù)軸上正確表示解集。通過實(shí)際問題的解決，學(xué)生應(yīng)能初步建立不等式模型，提升數(shù)學(xué)思維和應(yīng)用能力。
三、教學(xué)問題診斷分析
不等號(hào)方向變化的理解困難：學(xué)生在處理系數(shù)為負(fù)數(shù)的不等式時(shí)，容易忽略不等號(hào)方向的變化，導(dǎo)致解集錯(cuò)誤。
解集在數(shù)軸上的表示不準(zhǔn)確：學(xué)生可能對(duì)端點(diǎn)是否包含判斷不清，導(dǎo)致數(shù)軸表示錯(cuò)誤。
實(shí)際問題中不等式模型的建立困難：學(xué)生可能難以將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為不等式模型，尤其是對(duì)“至多” “至少”等關(guān)鍵詞的理解不準(zhǔn)確。
四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)
（一）情景引入
問題1
某種U盤的存儲(chǔ)容量為128G。有一批視頻文件，每個(gè)文件占用空間為2.5G，這個(gè)U盤至多能存放多少個(gè)這樣的文件？
學(xué)生回答：設(shè)能存放 個(gè)文件，則 ，解得 ，因此至多能存放51個(gè)文件。
問題2
觀察下列不等式：
(1)
(2)
(3)
(4)
它們有哪些共同特征？與一元一次方程比較有何異同？
學(xué)生回答：都含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是一次，但含有不等號(hào)。
問題3
你能舉出生活中還有哪些問題可以用不等式表示嗎？
學(xué)生舉例：購物打折、溫度范圍、時(shí)間限制等。
設(shè)計(jì)意圖
通過實(shí)際問題的引入，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生初步建立不等式模型，理解不等式的實(shí)際意義，對(duì)應(yīng)目標(biāo)3。
（二）合作探究1：理解不等式解與解集的本質(zhì)
教師提問：同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次方程，知道方程的解是使方程成立的未知數(shù)的值。那么，什么是不等式的解？請(qǐng)以不等式 為例說明。
學(xué)生回答：能使不等式成立的未知數(shù)的值就是不等式的解。比如 時(shí)，，成立； 時(shí)，，不成立。
教師追問：那么 是不等式 的解嗎？ 呢？
學(xué)生思考回答： 時(shí)，，成立； 時(shí)，，不大于30，不成立。
教師進(jìn)一步追問：這樣的解有多少個(gè)？能否全部列舉出來？
學(xué)生回答：有無數(shù)個(gè)，比如10.1、10.01、11、12......無法全部列舉。
教師引導(dǎo)：所以我們用解集來表示所有解的集合。不等式 的解集是什么？如何在數(shù)軸上表示？
學(xué)生回答：解集是 ，在數(shù)軸上表示為10右側(cè)的所有點(diǎn)，10處畫空心圓。
教師深化：比較一下"解"與"解集"的區(qū)別。 是解，但解集是 。解是具體的數(shù)值，解集是所有解的集合。
設(shè)計(jì)意圖：通過層層遞進(jìn)的提問，引導(dǎo)學(xué)生從具體數(shù)值理解走向抽象集合概念，深刻理解不等式解與解集的本質(zhì)區(qū)別，建立數(shù)形結(jié)合思想，對(duì)應(yīng)目標(biāo)1和目標(biāo)2。
（三）鞏固練習(xí)1
解不等式 ，并在數(shù)軸上表示解集。
答案：
解不等式 ，并在數(shù)軸上表示解集。
答案：
（四）合作探究2：探索不等式性質(zhì)與解法
教師提出探究問題：解不等式 ，觀察解不等式與解方程的異同。
學(xué)生嘗試解答：
移項(xiàng)：
合并：
兩邊同除以-2：
教師追問：最后一步為什么不等號(hào)方向改變了？
學(xué)生回答：因?yàn)閮蛇呁瑫r(shí)除以了負(fù)數(shù)-2。
教師引導(dǎo)猜想：不等式兩邊同乘或同除以同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)方向是否需要改變？請(qǐng)舉例驗(yàn)證你的猜想。
學(xué)生舉例驗(yàn)證：
已知 ，兩邊同乘-2：，，因?yàn)?，所以不等號(hào)方向改變。
已知 ，兩邊同除以-1：，，因?yàn)?，所以不等號(hào)方向改變。
教師總結(jié)證明：
設(shè) ，
∵ ，∴
又 ∵ ，∴ （負(fù)數(shù)乘負(fù)數(shù)為正）
即 ，∴
因此，當(dāng) 時(shí)，
研究3：不等式的基本性質(zhì)3：不等式兩邊同乘（或同除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改變。
設(shè)計(jì)意圖：通過具體例子引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律，通過代數(shù)證明深化理解，幫助學(xué)生牢固掌握不等式性質(zhì)，特別是負(fù)數(shù)系數(shù)的處理方法，突破教學(xué)難點(diǎn)，對(duì)應(yīng)目標(biāo)2。
（五）典例分析
例1 解不等式 ，并在數(shù)軸上表示解集。
分析：本題涉及去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)等步驟，是鞏固不等式解法的典型例題。
解：
去括號(hào)：
移項(xiàng)：
合并同類項(xiàng)：
解集在數(shù)軸上表示：從-1向右的所有實(shí)數(shù)，-1處畫空心圓。
教師強(qiáng)調(diào)：解不等式時(shí)，要注意每一步的變形依據(jù)：
去括號(hào)：乘法分配律
移項(xiàng)：不等式基本性質(zhì)2（兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)，不等號(hào)方向不變）
合并同類項(xiàng)：合并同類項(xiàng)法則
系數(shù)化為1：不等式基本性質(zhì)3（注意系數(shù)正負(fù)對(duì)不等號(hào)方向的影響）
設(shè)計(jì)意圖：通過典型例題的規(guī)范解答，幫助學(xué)生鞏固解不等式的完整步驟，明確每一步的數(shù)學(xué)依據(jù)，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維習(xí)慣，對(duì)應(yīng)目標(biāo)2。
（六）鞏固練習(xí)
解不等式
答案：
解不等式
答案：
解不等式
答案：
設(shè)計(jì)意圖
通過多種類型的不等式練習(xí)，幫助學(xué)生熟練掌握解法，提升解題速度和準(zhǔn)確性，對(duì)應(yīng)目標(biāo)2。
（七）歸納總結(jié)
知識(shí)點(diǎn) 說明
一元一次不等式定義 含一個(gè)未知數(shù)，次數(shù)為1的不等式
解與解集 所有解的集合
數(shù)軸表示 注意端點(diǎn)是否包含
解法步驟 去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并、化系數(shù)為1
不等號(hào)方向變化 當(dāng)乘以或除以負(fù)數(shù)時(shí)改變方向
（八）感受中考
（2024·浙江）不等式 的解集是（　）
答案：
（2024·杭州）解不等式 ，并在數(shù)軸上表示解集。
答案：
（2025·寧波）某商品進(jìn)價(jià)200元，標(biāo)價(jià)300元，打折后利潤率不低于5%，則最低打幾折？
答案：7折
（2025·溫州）解不等式組：
答案：
設(shè)計(jì)意圖
通過中考真題練習(xí)，幫助學(xué)生熟悉考試題型，檢驗(yàn)學(xué)習(xí)成果，提升應(yīng)考能力。
（九）小結(jié)梳理
知識(shí)點(diǎn) 關(guān)聯(lián)內(nèi)容
不等式定義 與方程對(duì)比
解集表示 數(shù)軸表示方法
解法步驟 與方程解法的異同
實(shí)際應(yīng)用 建模與求解
（十）布置作業(yè)
必做題
解不等式
解不等式
求不等式 的最小負(fù)整數(shù)解。
選做題
某知識(shí)競賽共20題，答對(duì)一題得5分，答錯(cuò)扣2分，不答得0分。小聰有1題未答，成績超過80分，他至多答錯(cuò)幾題？
解不等式
五、教學(xué)反思
（課后填寫）

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