資源簡介

浙教版初中數學八年級上冊
第5章 一次函數
5.5 一次函數的簡單應用 教學設計
一、內容和內容解析
內容
本節課主要內容是一次函數在實際問題中的簡單應用，包括通過實驗數據判斷兩個變量是否近似滿足一次函數關系，并求出函數表達式；利用一次函數圖像解決實際問題中的最值問題、相遇問題等；以及通過建立函數模型解決生活中的優化問題，如運費最小化、溫度單位換算等。
內容解析
一次函數是初中數學的核心內容之一，其應用廣泛存在于生產、生活與科學實驗中。本節課通過多個實際問題，引導學生從數據中提取函數關系，建立模型，并運用圖像與代數方法進行分析與求解。重點培養學生從實際問題中抽象出數學模型的能力，以及運用數形結合思想解決實際問題的能力。
二、目標和目標解析
1. 目標
能通過實驗數據判斷兩個變量是否近似滿足一次函數關系，并求出函數表達式。
能利用一次函數圖像解決最值問題、相遇問題等實際應用問題。
能建立一次函數模型，解決生活中的優化問題，如最小運費、最優選擇等。
2. 目標解析
通過本節課的學習，學生將能夠從實際情境中提取數據，通過描點、觀察圖像判斷函數類型，并運用待定系數法求出函數表達式。學生將進一步掌握如何利用函數圖像分析問題，如求交點、最值等，并能將幾何問題與函數圖像結合，提升數形結合的能力。最終，學生能綜合運用所學知識解決生活中的實際問題，增強數學建模與應用意識。
三、教學問題診斷分析
判斷函數類型的困難：學生可能難以從散點圖中準確判斷是否滿足一次函數關系，需通過多組數據訓練其觀察與判斷能力。
待定系數法的運用不熟練：部分學生在代入點求 時容易出錯，需加強計算訓練。
圖像與代數方法結合不靈活：學生可能習慣于代數計算，忽視圖像直觀性，需通過典型例題引導其綜合運用兩種方法。
四、教學過程設計
（二）合作探究1
探究1：通過實驗數據判斷函數類型并建立模型
教師出示生物學家測量的7條成熟雄性鯨的吻尖到噴水孔的長度x（m）與全長y（m）的數據：
x（m） 1.78 1.91 2.06 2.32 2.59 2.82 2.95
y（m） 10.00 10.25 10.72 11.52 12.50 13.16 13.90
問題提出：
"同學們，觀察這組數據，你們認為x和y之間可能存在什么樣的函數關系？"
學生活動：
學生以小組為單位，在坐標系中描出各點（1.78,10.00）、（1.91,10.25）、（2.06,10.72）、（2.32,11.52）、（2.59,12.50）、（2.82,13.16）、（2.95,13.90）。
追問1：
"觀察這些點的分布，它們呈現出什么特征？是否近似在一條直線上？"
預期回答：
學生通過觀察發現這些點大致分布在一條直線附近，說明x和y之間可能近似滿足一次函數關系。
追問2：
"如果這是一次函數關系，我們應該如何求出這個函數表達式？"
預期回答：
學生回憶待定系數法，知道需要選擇兩個點來建立方程組。
深入探究：
教師引導學生思考："我們應該選擇哪兩個點來確定這條直線？為什么？"
學生討論：
有些學生可能選擇第一個點和最后一個點，有些可能選擇中間的點。教師引導比較不同選擇對結果的影響。
教師指導：
"在實際應用中，我們通常選擇分布較為均勻、能夠代表整體趨勢的點。比如點（1.91,10.25）和（2.59,12.50），它們的位置大致在數據范圍的中間區域。"
計算過程：
設函數為 ，代入點（1.91,10.25）和（2.59,12.50）：
解得：
所以函數表達式為：
驗證與反思：
教師引導學生將其他點的x值代入函數表達式，計算理論值并與實際值比較：
"當x=2.82時，y=3.31×2.82+3.93≈9.34+3.93=13.27，與實際值13.16相差0.11"
"這說明用一次函數來刻畫這兩個量之間的關系是近似的，在實際應用中這種近似是允許的。"
設計意圖：
通過完整的探究過程，培養學生從數據中提取信息、建立數學模型的能力。強調"近似"概念，讓學生理解數學模型與現實世界的關系。對應目標1：能通過實驗數據判斷兩個變量是否近似滿足一次函數關系，并求出函數表達式。
（四）合作探究2
探究2：利用一次函數解決優化問題
呈現實際問題："要從甲、乙兩倉庫向A、B工地運送水泥。已知甲倉庫可運出100噸水泥，乙倉庫可運出80噸水泥；A工地需70噸水泥，B工地需110噸水泥。兩倉庫到兩工地的路程和運費如下表："
工地 甲倉庫路程（km） 乙倉庫路程（km） 甲倉庫運費（元/噸·km） 乙倉庫運費（元/噸·km）
A 20 15 1.2 1.2
B 25 20 1.0 0.8
問題提出：
"設甲倉庫運往A工地水泥x噸，請建立總運費y關于x的函數表達式。"
分步引導：
"甲倉庫運往A工地x噸，那么甲倉庫運往B工地多少噸？"
（100 - x）噸
"A工地需要70噸，甲倉庫已經供應了x噸，那么乙倉庫需要向A工地供應多少噸？"
（70 - x）噸
"乙倉庫總共可運出80噸，已經向A工地供應了（70 - x）噸，那么向B工地供應多少噸？"
[80 - (70 - x)] = (10 + x) 噸
"現在請計算各段的運費："
甲→A：1.2 × 20 × x = 24x
甲→B：1.0 × 25 × (100 - x) = 2500 - 25x
乙→A：1.2 × 15 × (70 - x) = 1260 - 18x
乙→B：0.8 × 20 × (10 + x) = 160 + 16x
"總運費y是多少？"
追問1：
"x的取值范圍是多少？需要考慮哪些約束條件？"
學生思考：
甲倉庫運往A工地的量x ≥ 0
甲倉庫運往B工地的量100 - x ≥ 0 x ≤ 100
乙倉庫運往A工地的量70 - x ≥ 0 x ≤ 70
乙倉庫運往B工地的量10 + x ≥ 0 x ≥ -10（自然滿足）
所以x的取值范圍是：0 ≤ x ≤ 70
追問2：
"觀察函數y = -3x + 3920，這是一個什么函數？它的增減性如何？"
預期回答：
這是一次函數，k = -3 < 0，所以y隨x的增大而減小。
追問3：
"那么，當x取什么值時，總運費y最小？最小運費是多少？"
預期回答：
因為y隨x增大而減小，所以當x取最大值70時，y最小。
y = -3 × 70 + 3920 = -210 + 3920 = 3710（元）
驗證與反思：
"請說明此時各倉庫向各工地的運輸方案："
甲倉庫：運往A工地70噸，運往B工地30噸
乙倉庫：運往A工地0噸，運往B工地80噸
"這個方案是否滿足所有工地的需求？"
A工地：70 + 0 = 70噸（滿足）
B工地：30 + 80 = 110噸（滿足）
設計意圖：
通過這個復雜的實際問題，培養學生綜合運用數學知識解決實際問題的能力。包括：理解問題背景、定義變量、建立函數模型、確定自變量取值范圍、利用函數性質求最優解、驗證解的合理性等。對應目標2和3：能利用一次函數圖像解決最值問題，能建立一次函數模型解決生活中的優化問題。
（其他教學環節保持不變，以下部分與之前相同）
（三）鞏固練習1
練習1
通過實驗獲得u, v兩個變量的各對應值如下表：
u 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 4
v 50 100 155 207 260 290 365 470
判斷變量u, v是否滿足或近似滿足一次函數關系式。如果是，求v關于u的函數式。
答案：
近似滿足一次函數關系，v = 105u + 50
練習2
利用上面得到的函數式，求當u = 2.2時函數v的值。
答案：
v = 105 × 2.2 + 50 = 281
（五）典例分析
例1
小聰和小慧分別從古剎和塔林出發，相約在飛瀑見面。小聰乘電動汽車從古剎出發，車速為30 km/h；小慧騎電動自行車從塔林出發，車速為20 km/h。小慧出發時離古剎10 km。
求：（1）當小聰追上小慧時，他們是否已經過了草甸？（草甸在古剎35 km處）
（2）當小聰到達飛瀑時（飛瀑在古剎45 km處），小慧離飛瀑還有多少千米？
解：
設經過t小時，小聰離古剎的距離為s = 30t，小慧離古剎的距離為s = 20t + 10。
（1）聯立方程：
因為30 < 35，所以還未過草甸。
（2）小聰到達飛瀑時，s = 45，代入s = 30t得t = 1.5
此時s = 20 × 1.5 + 10 = 40
所以小慧離飛瀑還有45 - 40 = 5 km
設計意圖：
通過行程問題培養學生利用函數圖像分析實際問題的能力，強化數形結合思想，對應目標2。
（六）鞏固練習
求方程組
的解。
答案：x = -2, y = 4
某公司推銷員月報酬方案如下：
A方案：每月3280元基本工資，另加銷售額的2%作為獎金
B方案：每月2840元基本工資，另加銷售額的4%作為獎金
請問銷售額為多少時，兩種方案報酬相同？
答案：
設銷售額為x元，
3280 + 0.02x = 2840 + 0.04x
解得x = 22000元
某商場要印制商品宣傳材料，甲印刷廠的收費標準是：每份材料收1元印制費，另收1500元制版費；乙印刷廠的收費標準是：每份材料收2.5元印制費，不收制版費。
（1）分別寫出兩廠的收費y（元）與印制數量x（份）之間的關系式。
（2）印制800份宣傳材料時，選擇哪一家印刷廠比較合算？
（3）商場計劃花費3000元用于印刷宣傳材料，找哪一家印刷廠能印制宣傳材料多一些？
答案：
（1）甲廠：y = x + 1500；乙廠：y = 2.5x
（2）甲廠：800 + 1500 = 2300元；乙廠：2.5 × 800 = 2000元，選擇乙廠
（3）甲廠：3000 = x + 1500 x = 1500份；乙廠：3000 = 2.5x x = 1200份，選擇甲廠
設計意圖：
通過多種類型的實際問題，鞏固學生建立函數模型、求最值、解方程組的綜合能力，對應目標3。
（七）歸納總結
知識點 方法說明
判斷一次函數關系 描點觀察是否近似直線
求函數表達式 待定系數法
利用圖像求交點 解方程組或觀察圖像交點
求最值 分析函數增減性或圖像趨勢
建立實際問題的函數模型 確定變量、約束條件、目標函數
（八）感受中考
（2024·浙江） 某快遞公司收費標準為：首重1kg內10元，每續重1kg加2元。寫出收費y（元）與重量x（kg）的函數關系式。
答案：
（2024·杭州） 直線y = 2x - 3與y = -x + 6的交點坐標為______。
答案：(3, 3)
（2025·寧波） 某商品進價為每件40元，售價為每件60元，每天可售出100件。若每降價1元，每天多售出10件。求日利潤y與降價x元的函數關系式。
答案：
（2025·溫州） 某溫度計顯示攝氏溫度C與華氏溫度F滿足一次函數關系，已知0°C = 32°F，100°C = 212°F，求F關于C的函數表達式。
答案：
設計意圖：
通過中考真題訓練，幫助學生熟悉考試題型，提升應考能力，增強學習動力。
（九）小結梳理
知識點 關聯內容
一次函數的判斷與求解 描點法、待定系數法
函數圖像的應用 交點、最值、行程問題
實際問題的建模與優化 運費、報酬、印刷成本等問題
數形結合思想 圖像與代數方法互補
（十）布置作業
必做題
教材P183 作業題A組第1、2題
教材P187 作業題B組第4題
選做題
教材P188 探索題：彈簧測力計實驗報告
自學"攝氏與華氏溫度轉換"的歷史背景，寫一篇數學小短文。
五、教學反思
（課后填寫）

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