資源簡介

浙教版初中數學八年級上冊第五章《一次函數》
5.2 認識函數 教學設計
一、內容和內容解析
內容
本節課主要內容為"認識函數"，包括函數的定義、函數的三種表示方法（解析法、列表法、圖象法），以及函數值的求法和自變量取值范圍的確定。通過實際問題引入函數概念，幫助學生理解變量之間的依賴關系，并初步掌握函數的表示與簡單應用。
內容解析
函數是描述現實世界中變量之間關系的重要數學模型，是中學數學的核心內容之一。本節從學生已有的生活經驗出發，通過跳遠距離與助跑速度、報酬與工作時間、氣溫與時間等實例，引導學生理解"一個變量隨另一個變量變化而變化"的關系，進而抽象出函數的定義。教學中強調函數的三種表示方法及其應用，為學生后續學習一次函數、反比例函數等打下基礎。
二、目標和目標解析
目標
理解函數的定義，能判斷兩個變量之間是否具有函數關系。
掌握函數的三種表示方法（解析法、列表法、圖象法），并能根據實際情況選擇合適的表示方法。
能根據函數表達式求函數值，并確定自變量的取值范圍。
目標解析
通過本節課的學習，學生應能識別生活中的函數關系，理解"唯一確定"的含義，能通過解析式、表格或圖象表示函數關系，并能進行簡單的函數值計算和自變量范圍分析。教學中注重從具體到抽象的思維過程，培養學生的數學建模能力和應用意識。
三、教學問題診斷分析
函數概念理解困難：學生容易將"變量關系"與"函數關系"混淆，需通過多個實例對比強化"唯一確定"這一核心特征。
自變量取值范圍忽略：學生在求函數值時容易忽略自變量的實際意義，導致取值范圍錯誤。
圖象法理解不深：學生可能難以從圖象中準確讀取函數值，需加強圖象與實際情境的關聯訓練。
四、教學過程設計
（一）情景引入
問題1
跳遠的距離公式為 （），其中 隨哪個量的變化而變化？
師：請同學們觀察這個公式，思考跳遠距離 是由哪個量決定的？
生： 是由助跑速度 決定的。
師：很好！那么當 變化時， 會怎樣變化？
生： 也會隨著變化。
問題2
小明哥哥工作 小時，報酬 元，填寫下表并回答 是否隨 變化？
工作時間 時 6 8 12 16 24 ... t ...
報酬 / 元 120 160 240 320 480 ... 20t ...
師：請同學們計算并填寫表格，觀察 和 之間的關系。
生： 總是 的20倍。
師：那么 是否隨 的變化而變化？
生：是的， 越大， 也越大。
問題3
圖5-3是杭州市某天氣溫變化圖，氣溫 是否隨時間 變化？為什么？
師：觀察這個氣溫圖，你能說出在某個特定時間點的氣溫嗎？
生：比如在16時，氣溫是36℃。
師：那么對于每一個時間點，氣溫是否都有唯一確定的值？
生：是的，從圖象可以看出每個時間點對應一個氣溫值。
設計意圖
通過三個不同背景的問題，引導學生發現變量之間的依賴關系，初步感知"函數"的特征。問題1從物理公式引入，問題2從經濟問題展開，問題3通過圖象分析，多角度幫助學生理解變量間的對應關系，為后續定義函數做鋪墊，對應目標1。
（二）合作探究1
（二）合作探究1
探究1：一次函數與正比例函數的辨析
教師出示以下函數表達式：
問題：請判斷這些函數中，哪些是一次函數？哪些是正比例函數？并說明理由。
學生活動：獨立思考后小組討論，派代表發言。
預期回答：
：是正比例函數，也是特殊的一次函數（），比例系數 。
：是一次函數，，，但不是正比例函數（因為 ）。
：不是一次函數，因為自變量 在分母上，不滿足 的形式。
：可化簡為 ，是一次函數，，，不是正比例函數。
：不是一次函數，因為含有 項。
追問1：
正比例函數是否一定是一次函數？一次函數是否一定是正比例函數？
引導學生歸納：
正比例函數是特殊的一次函數（當 時），但一次函數不一定是正比例函數（當 時）。
追問2：
一次函數的一般形式中，為什么要求 ？若 ，函數變成了什么？
引導學生思考：
若 ，則 ，是常函數，不再具有“變化”的特征，因此不屬于一次函數。
（三）鞏固練習1
某市水費為2.9元/立方米，用水量 立方米，水費 元，寫出函數表達式并求 時的函數值。
答：， 元
知識點：解析法表示函數關系
騎自行車30分鐘，熱量消耗 與體重 的關系如圖，求 和 時的 值。
答：從圖象可得， 時 焦； 時 焦
知識點：圖象法表示函數關系
（四）合作探究2
探究2：從實際問題中抽象一次函數模型
問題1：
某農場每平方米種植玉米6株。設種植面積為 （m ），玉米株數為 （株），你能寫出 與 的關系式嗎？它是函數嗎？屬于哪一類函數？
學生回答：
，是函數，且是正比例函數。
問題2：
正方形的周長 與面積 之間是否具有函數關系？若是，是否為一次函數？
引導學生分析：
設邊長為 ，則 ，。
由 ，代入得 。
∴ 是 的函數，但不是一次函數（是二次函數）。
問題3：
等腰三角形 的周長為16 cm，腰長為 cm，底邊長為 cm。寫出 關于 的函數表達式，并判斷其類型。
學生嘗試：
由周長公式：，得 。
∴ 是 的一次函數，但不是正比例函數。
追問：
自變量 的取值范圍是什么？為什么？
引導學生思考：
由三角形三邊關系：
研究3：歸納一次函數的建模方法
教師引導學生總結：
識別問題中的變量與常量；
根據數量關系列出等式；
將等式化為 的形式；
判斷是否為一次函數，并確定 和 的值；
注意自變量的取值范圍要符合實際意義。
設計意圖：
通過多個實際問題的分析，幫助學生從具體情境中抽象出函數模型，理解一次函數的本質特征，培養數學建模能力，同時強化對自變量取值范圍的意識，對應目標1、2。
（五）典例分析
例1
潮汐高度 與時間 的函數圖象如圖5-4所示：
（1）判斷 是否為 的函數；
（2）求 時的函數值；
（3）一天內潮高為200 cm的次數。
解：
（1）在 的范圍內，任意取一個 的值 時，過點 作 軸的垂線，垂線和圖象有唯一的公共點 ，也就是潮高 有唯一的確定值 ，所以潮高 是時間 的函數。
（2）過點 作 軸的垂線，交圖象于點 。所以當 時，函數值為 cm。
（3）過點 作垂直于 軸的直線，交圖象于 三點，所以一天內有3次潮高為200 cm。
設計意圖
通過圖象分析強化函數定義的理解和圖象法的應用。培養學生從圖象中讀取信息、分析問題的能力。通過實際問題讓學生體會數學的應用價值，對應目標3。
（六）鞏固練習
電費 （元），求 時的 值。
答： 元
知識點：函數值的計算
求 在 時的值。
答：
知識點：函數值的計算
高為6 cm，底邊 cm，面積 cm ，求 和 時的 值。
答： 時， cm ； 時， cm
知識點：函數值的計算
函數 ，求自變量 的取值范圍。
答：
知識點：自變量取值范圍的確定
設計意圖
通過多種類型的練習鞏固函數值的求法和實際意義的理解。包括正比例函數、二次函數、分式函數等不同類型，幫助學生全面掌握函數概念，對應目標3。
（七）歸納總結
知識點 說明
函數的定義 唯一確定對應關系
函數的表示方法 解析法、列表法、圖象法
函數值的求法 代入解析式或查表、讀圖
自變量取值范圍 實際意義與數學意義結合
（八）感受中考
（2024·浙江）若 ，則 的取值范圍是______。
答：
知識點：分式函數自變量取值范圍
（2024·杭州）某商品單價為 元，銷量 件，收入 ，若 元， 件，則 ______。
答：2000元
知識點：函數值的計算
（2025·寧波）如圖為某車行駛路程 與時間 的關系，求 時的 值。
答：60 km
知識點：圖象法求函數值
（2025·溫州）已知 ，當 時，______。
答：7
知識點：函數值的計算
設計意圖
通過中考真題訓練，幫助學生熟悉考試題型，提升應考能力。題目涵蓋函數值的計算、自變量取值范圍的確定等核心知識點，檢驗學習成果。
（九）小結梳理
知識點 關聯內容
函數定義 變量關系、唯一確定性
表示方法 解析式、表格、圖象
函數值 代入、查表、讀圖
自變量范圍 實際約束、數學意義
（十）布置作業
必做題
教材P158 作業題A組第1、2題
第1題：電費問題，鞏固函數表達式和函數值的計算
第2題：函數值計算，鞏固函數概念
教材P161 作業題A組第1、2題
第1題：直角三角形角度關系，理解函數關系
第2題：加油費用問題，鞏固函數表達式和自變量取值范圍
選做題
教材P159 B組第4題
停車收費問題，理解分段函數的概念
教材P162 B組第4題
鋼筋折彎問題，鞏固函數表達式和函數值的計算
五、教學反思
（課后填寫）

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