資源簡介

第五章 一次函數
5.1 常量與變量教學設計
一、內容和內容解析
內容：
本節課主要內容是引導學生理解“常量”與“變量”的概念，識別在某一過程中哪些量保持不變，哪些量發生變化，并能用數學語言描述這些關系。通過實際問題如圓的面積計算、鐘點工工資計算、快遞費用計算等，幫助學生建立常量與變量的初步概念，為后續學習函數奠定基礎。
內容解析：
常量與變量是函數學習的起點，是描述變化現象的基本工具。學生需通過對實際問題的分析，理解“不變”與“變”的數學含義，掌握識別常量和變量的方法，并能在具體情境中區分它們。本節內容貼近生活，易于激發學生興趣，也為后續學習一次函數、正比例函數等提供概念支持。
二、目標和目標解析
目標：
理解常量與變量的概念，能識別實際問題中的常量和變量。
能用數學語言描述常量與變量之間的關系。
能在具體情境中判斷量的變化情況，并解釋其意義。
目標解析：
通過本節課的學習，學生應能準確識別在某一過程中哪些量是固定不變的（常量），哪些量是可以取不同值的（變量），并能夠用數學符號或語言表達這種關系。學生還應能夠將所學知識應用于實際問題中，如計算、圖表分析等，為后續函數學習打下堅實基礎。
三、教學問題診斷分析
學生對“變化”與“不變”的理解容易停留在表面，難以抽象為數學概念。
學生在判斷多個量中哪些是常量、哪些是變量時，容易混淆。
學生在用數學語言描述變量關系時，表達能力較弱，需加強訓練。
四、教學過程設計
（一）情景引入
問題1：
馬術比賽中，馬從起點跑向終點，涉及路程、時間、速度等量。哪些量在改變？哪些量不變？
問題2：
圓的面積公式為 ，當半徑 取不同值時，面積 如何變化？哪些量不變？
問題3：
鐘點工工資為25元/小時，工作 小時，工資 元，關系為 。哪些量是變的？哪些是不變的？
設計意圖：
通過學生熟悉的實際情境引入，激發興趣，引導學生初步感知“變”與“不變”的數學概念，為目標1的達成做鋪墊。
（二）合作探究1
探究1：
教師出示快遞公司收費標準圖（如圖5-1），引導學生觀察并思考以下問題：
教師提問：
“同學們，請看這張快遞費用圖。橫軸表示郵件質量 （單位：千克），縱軸表示快遞費 （單位：元）。請你根據圖像判斷，當郵件質量 變化時，快遞費 是如何變化的？”
學生回答：
“當 在0到10千克之間時， 一直為6元；當 超過10千克時， 隨著 的增加而增加。”
教師追問：
“如果我們固定郵件質量 在0到10千克之間，那么快遞費 是變化的還是不變的？如果我們寄 件這樣的郵件，總費用 應該如何表示？其中哪些量是常量？哪些是變量？”
學生回答：
“若 ，則 是固定不變的，所以 是常量。總費用 ，其中 和 是變量。”
教師進一步追問：
“如果郵件質量 超過10千克，快遞費 會隨著 的變化而變化。此時若寄 件郵件，總費用 又如何表示？其中的常量和變量又是什么？”
學生回答：
“此時 是變量， 也是變量，沒有常量。”
設計意圖：
通過圖像和問題鏈引導學生逐步理解常量與變量的判斷方法，培養其觀察、分析和表達能力，為目標1和2的達成提供支持。
（三）鞏固練習1
某水果店橘子4.5元/千克，買 千克總價為 元。指出常量和變量。
答案：常量：4.5；變量：、
聲音在空氣中傳播速度 ，指出常量和變量。
答案：常量：331、0.6；變量：、
（四）合作探究2
探究2：
教師引導學生分析列車行駛問題：A、B兩城市之間的鐵路路程 為固定值，列車行駛的平均速度 可以變化，行駛時間 。
教師提問：
“若A、B兩城之間的鐵路路程 是固定的，列車以不同速度 行駛，時間 會如何變化？其中哪些量是常量？哪些是變量？”
學生回答：
“ 是常量， 和 是變量。”
教師追問：
“如果列車的速度 固定為220 km/h，那么此時哪些量是常量？哪些是變量？”
學生猜想：
“如果 固定，那么 是常量， 和 是變量。”
教師驗證：
“正確。也就是說，常量和變量的判斷取決于我們所關注的過程是否發生變化。”
研究3：
通過多個類似例子（如購物總價、聲音傳播速度等），教師引導學生總結判斷常量和變量的方法：在某一過程中，取值不變的量是常量，可以取不同值的量是變量。
設計意圖：
通過具體情境中的變量關系分析，幫助學生從具體到抽象地理解常量與變量的本質，培養其數學建模和邏輯推理能力，支持目標2和3的達成。
（五）典例分析
例1：
某快遞公司收費標準如下：
郵件質量 （kg）在0~10 kg時，快遞費 元；
超過10 kg時，每千克加收1元。
若寄 件郵件，總費用為 元，指出常量和變量。
答案：
若 ，則 為常量，、、 為變量。
設計意圖：
通過綜合例題訓練學生判斷復雜情境中的常量和變量，提升應用能力，支持目標3。
（六）鞏固練習
圓的周長公式 ，指出常量和變量。
答案：常量：；變量：、
水位記錄表中，時刻 與水位 的關系，指出常量和變量。
答案：變量：、；無常量
質能公式 ，指出常量和變量。
答案：常量：；變量：、
設計意圖：
通過多角度練習鞏固所學，提升判斷和表達能力。
（七）歸納總結
概念 含義 示例
常量 在過程中固定不變的量 , 25元/小時
變量 在過程中可以取不同值的量 , ,
（八）感受中考
（2024·浙江）某商品單價為10元，買 件總價 元，則常量為______，變量為______。
答案：常量：10；變量：、
（2024·杭州）聲音速度 ，其中常量為______。
答案：331、0.6
（2025·寧波）圓的面積 ，下列說法正確的是（ ）
A. 是變量
B. 是常量
C. 是變量
D. 以上都錯
答案：C
（2025·溫州）列車行駛時間 ，若 km， km/h，則常量為______。
答案：、
設計意圖：
通過中考真題訓練，幫助學生熟悉考試題型，提升應試能力。
（九）小結梳理
知識點 常量 變量
定義 過程中不變 過程中變化
示例 , 單價 半徑、時間、總價
判斷方法 是否發生變化 是否可取不同值
（十）布置作業
必做題：
課本P154 作業題A組第1、2、3題；B組第4題。
選做題：
通過互聯網查找一個涉及多個量的實際例子，寫出其中的常量和變量，并說明理由。
五、教學反思
（課后填寫）

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