資源簡介

第五章 一次函數
5.3 一次函數的意義教學設計
一、內容和內容解析
內容：
本節課主要內容為一次函數的定義、特征及其與實際問題的聯系。學生將通過具體實例理解一次函數 （）的結構特征，區分一次函數與正比例函數的關系，并初步掌握用待定系數法求一次函數表達式的方法。
內容解析：
一次函數是函數學習的入門內容，是后續學習二次函數、反比例函數的基礎。本節課通過風力發電、個人所得稅、水費計算等現實情境，引導學生從實際問題中抽象出函數模型，理解函數的本質是描述變量之間的關系。教學中應注重數形結合思想、模型思想的滲透，培養學生從具體到抽象的數學思維能力。
二、目標和目標解析
目標：
理解一次函數和正比例函數的定義，能判斷一個函數是否為一次函數或正比例函數。
能根據實際問題建立一次函數模型，并求出函數表達式。
初步掌握待定系數法求一次函數表達式的方法。
目標解析：
通過本節課的學習，學生應能識別一次函數的結構特征，理解 和 的含義，能根據實際問題中的數量關系列出函數表達式。通過待定系數法的學習，學生能通過兩組對應值求出一次函數的表達式，為后續函數圖像與性質的學習打下基礎。
三、教學問題診斷分析
函數概念抽象：學生對“函數”的理解仍停留在變量依賴關系上，難以從表達式中抽象出函數結構。
正比例函數與一次函數的混淆：學生易忽略 的特殊情況，誤將正比例函數排除在一次函數之外。
待定系數法應用不熟練：學生對方程組的解法掌握不牢，導致在求 和 時出現計算錯誤。
四、教學過程設計
（一）情景引入
問題1：
某地區風力發電裝機容量如下表所示，請觀察數據，你能發現什么規律？
年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022
容量/萬千瓦 18 22 26 30 34 38
問題2：
若將2017年記為第1年，第 年的裝機容量為 ，你能寫出 與 的關系式嗎？
問題3：
這種關系是否具有普遍性？能否用一類函數來描述這種變化規律？
設計意圖：
通過真實數據引導學生發現變量之間的線性關系，引出一次函數的概念，激發學習興趣，對應目標1。
（二）合作探究1
探究1：一次函數與正比例函數的辨析
教師出示以下函數表達式：
問題：請判斷這些函數中，哪些是一次函數？哪些是正比例函數？并說明理由。
學生活動：獨立思考后小組討論，派代表發言。
預期回答：
：是正比例函數，也是特殊的一次函數（），比例系數 。
：是一次函數，，，但不是正比例函數（因為 ）。
：不是一次函數，因為自變量 在分母上，不滿足 的形式。
：可化簡為 ，是一次函數，，，不是正比例函數。
：不是一次函數，因為含有 項。
追問1：
正比例函數是否一定是一次函數？一次函數是否一定是正比例函數？
引導學生歸納：
正比例函數是特殊的一次函數（當 時），但一次函數不一定是正比例函數（當 時）。
追問2：
一次函數的一般形式中，為什么要求 ？若 ，函數變成了什么？
引導學生思考：
（三）鞏固練習1
判斷下列函數是否為一次函數？若是，指出 和 的值。
(1)
(2)
(3)
答案：
(1) 是，
(2) 是，
(3) 否
若 是一次函數，求 的取值范圍。
答案：
（四）合作探究2
探究2：從實際問題中抽象一次函數模型
問題1：
某農場每平方米種植玉米6株。設種植面積為 （m ），玉米株數為 （株），你能寫出 與 的關系式嗎？它是函數嗎？屬于哪一類函數？
學生回答：
，是函數，且是正比例函數。
問題2：
正方形的周長 與面積 之間是否具有函數關系？若是，是否為一次函數？
引導學生分析：
設邊長為 ，則 ，。
由 ，代入得 。
∴ 是 的函數，但不是一次函數（是二次函數）。
問題3：
等腰三角形 的周長為16 cm，腰長為 cm，底邊長為 cm。寫出 關于 的函數表達式，并判斷其類型。
學生嘗試：
由周長公式：，得 。
∴ 是 的一次函數，但不是正比例函數。
追問：
自變量 的取值范圍是什么？為什么？
引導學生思考：
由三角形三邊關系：
研究3：歸納一次函數的建模方法
教師引導學生總結：
識別問題中的變量與常量；
根據數量關系列出等式；
將等式化為 的形式；
判斷是否為一次函數，并確定 和 的值；
注意自變量的取值范圍要符合實際意義。
設計意圖：
通過多個實際問題的分析，幫助學生從具體情境中抽象出函數模型，理解一次函數的本質特征，培養數學建模能力，同時強化對自變量取值范圍的意識，對應目標1、2。
（五）典例分析
例1：
按國家個人所得稅規定，年應納稅所得額 元（），應納個人所得稅 元滿足：
求小聰媽媽應納稅所得額為60000元時應繳納的個稅。
答案：3480元
設計意圖：
通過實際問題應用一次函數模型，培養學生建模能力，對應目標2、3。
（六）鞏固練習
已知 是 的正比例函數，當 時，，求函數表達式。
答案：
某市出租車起步價10元（4 km內），超出部分每千米2元。寫出車費 關于里程 （）的函數表達式。
答案：
已知 是 的一次函數，當 時，；當 時，，求函數表達式。
答案：
設計意圖：
通過多角度練習鞏固一次函數的求法和應用，提升學生綜合運用能力，對應目標2、3。
（七）歸納總結
函數類型 一般形式 特點
一次函數
正比例函數
（八）感受中考（2024–2025年真題精選）
（2024·浙江）若函數 是正比例函數，則
答案：
（2024·杭州）某快遞公司收費標準為：首重10元，每續重1千克加收2元。寫出費用 與重量 （）的函數關系式。
答案：
（2025·寧波）已知 是 的一次函數，當 時，；當 時，，求該函數表達式。
答案：
（2025·溫州）某氣體在0℃時體積為100 L，每升高1℃體積增加0.37 L。寫出體積 與溫度 的函數關系式。
答案：
設計意圖：
通過中考真題訓練，幫助學生熟悉考試題型，提升應試能力，增強學習動力。
（九）小結梳理
知識點 說明
一次函數定義 ，
正比例函數 ，
待定系數法 通過兩組對應值求
實際應用 建模、求解、解釋
（十）布置作業
必做題：
教材P168 作業題A組 1、2、3
教材P171 作業題A組 1、2、3
選做題：
教材P171 作業題B組 4、5
設計題：調查家庭用水情況，寫出水費函數表達式。
五、教學反思
（課后填寫）

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