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第二十三章《旋轉》單元檢測試卷(原卷版+解析版)

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第二十三章《旋轉》單元檢測試卷(原卷版+解析版)

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第二十三章《旋轉》單元檢測試卷
(時間:120分鐘 滿分:120分)
學校:___________姓名:___________班級:___________考號:___________
一.選擇題(共10小題,滿分30分,每小題3分)
1.(3分)數學有很多寓意美好的線或圖,下面圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是(  )
A.笛卡爾心形線 B.科克曲線
C.阿基米德螺旋線 D.趙爽弦圖
2.(3分)如圖,點A、B、C、D、O都在方格紙的格點上,若△COD是由△AOB繞點O按逆時針方向旋轉而得,則旋轉的角度為(  )
A.30° B.45° C.90° D.135°
3.(3分)平面直角坐標系內一點P(﹣6,5)關于原點對稱點的坐標是(  )
A.(6,﹣5) B.(﹣6,﹣5) C.(5,﹣6) D.(6,5)
4.(3分)如圖,紫荊花圖案旋轉一定角度后能與自身重合,則旋轉的角度可能是(  )
A.30° B.60° C.72° D.90°
5.(3分)如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,將△ABC繞點A順時針旋轉90°后得到△AB′C′(點B的對應點是點B′,點C的對應點是點C′),連接CC′.若∠CC′B′=32°,則∠BCA=(  )
A.13° B.28° C.32° D.45°
6.(3分)如圖,將△ABC繞點P順時針旋轉90°得到△A′B′C′,則點P的坐標是(  )
A.(1,1) B.(1,2) C.(1,3) D.(1,4)
7.(3分)有兩個完全重合的矩形,將其中一個始終保持不動,另一個矩形繞其對稱中心O按逆時針方向進行旋轉,每次均旋轉45°,第1次旋轉后得到圖①,第2次旋轉后得到圖②,……,則第2024次旋轉后得到的圖形與圖①﹣④中相同的是(  )
A.圖① B.圖② C.圖③ D.圖④
8.(3分)如圖,在平面直角坐標系中,矩形ABCO兩邊與坐標軸重合,OA=2,OC=1.將矩形ABCO繞點O逆時針旋轉,每次旋轉90°,則第2025次旋轉結束時,點B的坐標為(  )
A.(1,2) B.(2,1) C.(﹣2,﹣1) D.(﹣1,2)
9.(3分)已知點P(a+1,2a﹣3)關于原點的對稱點在第二象限,則a的取值范圍是(  )
A.a<﹣1 B.﹣1<a C.a<1 D.a
10.(3分)在方格紙中,選擇標有序號①②③④中的一個小正方形涂黑,與圖中陰影部分構成中心對稱圖形,該小正方形的序號是(  )
A.④ B.③ C.② D.①
二.填空題(共5小題,滿分15分,每小題3分)
11.(3分)如圖,在平面直角坐標系xOy中,點A(1,0),B(0,2).將線段AB繞點A順時針旋轉90°得到線段AC,則點C的坐標為     .
12.(3分)第一象限的點(a,b)繞(0,﹣1)旋轉180°后所得點的坐標為    .
13.(3分)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2,將△ABC繞點C按順時針方向旋轉n度后,得到△EDC,此時,點D在AB邊上,斜邊DE交AC邊于點F,則n的大小和圖中陰影部分的面積分別為    .
14.(3分)如圖所示,在△ABC中,∠B=40°,將△ABC繞點A逆時針旋轉至△ADE處,使點B落在BC延長線上的D點處,則∠CAE=    度.
15.(3分)如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,點D在斜邊AB上,將線段CD繞點C逆時針旋轉90°得到線段CE,∠DCE的平分線交AB于點F,連接BE,若BE=4,BF=3,則CD的長為    .
三.解答題(共9小題,滿分75分)
16.(6分)在如圖的網格中有△ABC和點O,將△ABC以O為旋轉中心逆時針分別旋轉90°得到△A1B1C1,旋轉180°得到△A2B2C2,請畫出旋轉后的圖形.
17.(6分)如圖,在△ABC中,∠B=50°,點D在邊BC上,將△ABC經過旋轉后與△ADE重合.
(1)這一旋轉的旋轉中心是點     ;
(2)旋轉角是多少度?
18.(6分)如圖.網格中的四邊形ABCD中,A(﹣4,0),B(0,2),C(﹣3,4),D(﹣5,3)
(1)將四邊形ABCD繞點A順時針旋轉90°得到四邊形A1B1C1D1,在圖中畫出四邊形A1B1C1D1;
(2)把四邊形ABCD繞點B旋轉180°得到四邊形A2B2C2D2,在圖中畫出四邊形A2B2C2D2,并直接寫出A2、C2、D2的坐標.
19.(8分)(1)解方程:x2﹣5x+6=0;
(2)如圖,在Rt△OAB中,∠OAB=90°,OA=AB=6,將△OAB繞點O沿逆時針方向旋轉90°得到ΔOA1B1.
①線段OA1的長是     ,∠AOB1的度數是     ;
②連接AA1,求證:四邊形OAA1B1是平行四邊形.
20.(8分)如圖,△ABC的頂點坐標為A(﹣2,3),B(﹣3,0),C(0,1).
(1)畫出△ABC關于點O成中心對稱的△A1B1C1;
(2)將△ABC繞點C順時針旋轉90°,畫出旋轉后的△A2B2C;
(3)四邊形BCB1C1的面積為     .
21.(8分)如圖,將正方形ABCD繞點C順時針旋轉30°得到正方形FECG,EF交AD于點P.
(1)求證:PE=PD;
(2)若,求PA的長.
22.(10分)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,將△ABC繞著點B逆時針旋轉得到△FBE,點C,A的對應點分別為E,F,點E落在BA上,連接AF.
(1)若∠BAC=42°.求∠BAF的度數;
(2)若AC=4,BC=3,求AF的長.
23.(11分)將線段AB繞點A逆時針旋轉60°得到線段AC,繼續旋轉α(0°<α<120°)得到線段AD,連接CD.
(1)連接BD.
①如圖①,若α=80°,則∠BDC的度數為     ;
②在第二次旋轉過程中,請探究∠BDC的大小是否改變.若不變,求出∠BDC的度數;若改變,請說明理由.
(2)如圖②.以AB為斜邊作Rt△ABE,使得∠B=∠ACD,連接CE,DE.且CE⊥DE.試猜想線段AB,CD之間的數量關系,寫出結論并給予證明.
24.(12分)如圖,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D在邊CA的延長線上,E在邊AB上,AD=AE,連接DE.
觀察與思考:如圖1,連接BD,CE,△ABD可以由△ACE通過旋轉變換得到,請寫出旋轉中心、旋轉方向及旋轉角的大小.
遷移與運用:將圖1中的△ADE繞點A旋轉,當直線DE經過BC的中點F時,連接BD,如圖2,求證:BD∥AE.
操作與拓展:將圖1中的△ADE繞點A旋轉,當B,D,E三點在同一條直線上,且該直線恰好經過AC的中點,直接寫出的值.中小學教育資源及組卷應用平臺
第二十三章《旋轉》單元檢測試卷
一.選擇題(共10小題)
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C A C A B D D B C
一.選擇題(共10小題,滿分30分,每小題3分)
1.(3分)數學有很多寓意美好的線或圖,下面圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是(  )
A.笛卡爾心形線 B.科克曲線
C.阿基米德螺旋線 D.趙爽弦圖
【思路點拔】根據中心對稱圖形的定義:把一個圖形繞某一點旋轉180°,如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合,那么這個圖形就叫做中心對稱圖形;如果一個圖形沿一條直線折疊,直線兩旁的部分能夠互相重合,這個圖形叫做軸對稱圖形,這條直線叫做對稱軸,這時,我們也可以說這個圖形關于這條直線(成軸)對稱.
【解答】解:A、不是中心對稱圖形,是軸對稱圖形,故本選項不符合題意;
B、是中心對稱圖形,也是軸對稱圖形,故本選項符合題意;
C、既不是中心對稱圖形,也不是軸對稱圖形,故本選項不符合題意;
D、是中心對稱圖形,不是軸對稱圖形,故本選項不符合題意;
故選:B.
2.(3分)如圖,點A、B、C、D、O都在方格紙的格點上,若△COD是由△AOB繞點O按逆時針方向旋轉而得,則旋轉的角度為(  )
A.30° B.45° C.90° D.135°
【思路點拔】△COD是由△AOB繞點O按逆時針方向旋轉而得,由圖可知,∠AOC為旋轉角,可利用△AOC的三邊關系解答.
【解答】解:如圖,設小方格的邊長為1,得,
OC,AO,AC=4,
∵OC2+AO216,
AC2=42=16,
∴△AOC是直角三角形,
∴∠AOC=90°.
故選:C.
3.(3分)平面直角坐標系內一點P(﹣6,5)關于原點對稱點的坐標是(  )
A.(6,﹣5) B.(﹣6,﹣5) C.(5,﹣6) D.(6,5)
【思路點拔】根據兩個點關于原點對稱時,它們的坐標符號相反可得答案.
【解答】解:點P(﹣6,5)關于原點對稱點的坐標是(6,﹣5),
故選:A.
4.(3分)如圖,紫荊花圖案旋轉一定角度后能與自身重合,則旋轉的角度可能是(  )
A.30° B.60° C.72° D.90°
【思路點拔】紫荊花圖案是一個旋轉不變圖形,根據這個圖形可以分成幾個全等的部分,即可計算出旋轉的角度.
【解答】解:紫荊花圖案可以被中心發出的射線分成5個全等的部分,因而旋轉的角度是360÷5=72度,
故選:C.
5.(3分)如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,將△ABC繞點A順時針旋轉90°后得到△AB′C′(點B的對應點是點B′,點C的對應點是點C′),連接CC′.若∠CC′B′=32°,則∠BCA=(  )
A.13° B.28° C.32° D.45°
【思路點拔】由題意可得AC=AC',∠CAC'=90°,∠AB'C'=∠B,可得∠ACC'=45°,根據三角形的外角等于不相鄰的兩個內角和,可求∠AB'C'=∠B=∠ACC'+∠CC'B'=77°,即可得∠BCA的度數.
【解答】解:∵將△ABC繞點A順時針旋轉90°后得到△AB′C′,
∴AC=AC',∠CAC'=90°,∠AB'C'=∠B,
∴∠ACC'=45°,
∵∠AB'C'=∠ACC'+∠CC'B',
∴∠AB'C'=45°+32°=77°,
∴∠B=77°,
∴∠BCA=13°,
故選:A.
6.(3分)如圖,將△ABC繞點P順時針旋轉90°得到△A′B′C′,則點P的坐標是(  )
A.(1,1) B.(1,2) C.(1,3) D.(1,4)
【思路點拔】先根據旋轉的性質得到點A的對應點為點A′,點B的對應點為點B′,再根據旋轉的性質得到旋轉中心在線段AA′的垂直平分線,也在線段BB′的垂直平分線,即兩垂直平分線的交點為旋轉中心.
【解答】解:∵△ABC繞P點順時針旋轉90°得到△A′B′C′,
∴點A的對應點為點A′,點C的對應點為點C′,
作線段AA′和CC′的垂直平分線,它們的交點為P(1,2),
∴旋轉中心的坐標為(1,2).
故選:B.
7.(3分)有兩個完全重合的矩形,將其中一個始終保持不動,另一個矩形繞其對稱中心O按逆時針方向進行旋轉,每次均旋轉45°,第1次旋轉后得到圖①,第2次旋轉后得到圖②,……,則第2024次旋轉后得到的圖形與圖①﹣④中相同的是(  )
A.圖① B.圖② C.圖③ D.圖④
【思路點拔】由于每經過4次旋轉后兩矩形重合,而2024=4×506,所以第2024次旋轉后得到的圖形與圖④相同.
【解答】解:∵2024=4×506,
∴第2024次旋轉后得到的圖形與圖④相同.
故選:D.
8.(3分)如圖,在平面直角坐標系中,矩形ABCO兩邊與坐標軸重合,OA=2,OC=1.將矩形ABCO繞點O逆時針旋轉,每次旋轉90°,則第2025次旋轉結束時,點B的坐標為(  )
A.(1,2) B.(2,1) C.(﹣2,﹣1) D.(﹣1,2)
【思路點拔】先根據矩形的性質可知B(2,1),再作出旋轉后的圖形,進而找到B點的坐標規律即可.
【解答】解:∵OA=2,OC=1,
∴B(2,1).
將矩形ABCO繞點O逆時針旋轉,如圖:
可知:B1(﹣1,2),B2(﹣2,﹣1),B3(1,﹣2),B4(2,1),…,
則:每旋轉4次則回到原位置,
∵2025÷4=506 1,
即:第2025次旋轉結束時,完成了506次循環,與B1(﹣1,2)的位置相同,
∴B2025的坐標為(﹣1,2).
故選:D.
9.(3分)已知點P(a+1,2a﹣3)關于原點的對稱點在第二象限,則a的取值范圍是(  )
A.a<﹣1 B.﹣1<a C.a<1 D.a
【思路點拔】直接利用關于原點對稱點的性質得出P點位置,進而得出答案.
【解答】解:∵點P(a+1,2a﹣3)關于原點的對稱的點在第二象限,
∴點P在第四象限,
∴a+1>0,2a﹣3<0,
解得:﹣1<a.
故選:B.
10.(3分)在方格紙中,選擇標有序號①②③④中的一個小正方形涂黑,與圖中陰影部分構成中心對稱圖形,該小正方形的序號是(  )
A.④ B.③ C.② D.①
【思路點拔】根據中心對稱圖形的特點進行判斷即可.
【解答】解:應該將②涂黑.
故選:C.
二.填空題(共5小題,滿分15分,每小題3分)
11.(3分)如圖,在平面直角坐標系xOy中,點A(1,0),B(0,2).將線段AB繞點A順時針旋轉90°得到線段AC,則點C的坐標為  (3,1)  .
【思路點拔】過點C作CH⊥x軸于點H.證明△AOB≌△CHA(AAS),推出OA=CH=1,OB=AH=2,可得結論.
【解答】解:過點C作CH⊥x軸于點H.
∵A(1,0),B(0,2),
∴OA=1,OB=2,
∵∠AOB=∠AHC=∠BAC=90°,
∴∠BAO+∠CAH=90°,∠CAH+∠ACH=90°,
∴∠BAO=∠ACH,
在△AOB和∠CHA中,

∴△AOB≌△CHA(AAS),
∴OA=CH=1,OB=AH=2,
∴OH=OA+AH=1+2=3,
∴C(3,1),
故答案為:(3,1).
12.(3分)第一象限的點(a,b)繞(0,﹣1)旋轉180°后所得點的坐標為 (﹣a,﹣2﹣b)  .
【思路點拔】設旋轉后的點坐標為(x,y),然后根據點的中心對稱列式計算即可得解.
【解答】解:設旋轉后的點坐標為(x,y),
則0,1,
解得x=﹣a,y=﹣2﹣b,
所以,所得點的坐標為(﹣a,﹣2﹣b).
故答案為:(﹣a,﹣2﹣b).
13.(3分)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2,將△ABC繞點C按順時針方向旋轉n度后,得到△EDC,此時,點D在AB邊上,斜邊DE交AC邊于點F,則n的大小和圖中陰影部分的面積分別為 60°,  .
【思路點拔】由旋轉的性質,易得BC=DC=2,由在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,即可求得∠B=60°,即可判定△DBC是等邊三角形,即可求得旋轉角n的度數,易得△DFC是含30°角的直角三角形,則可求得DF與FC的長,繼而求得陰影部分的面積.
【解答】解:∵將△ABC繞點C按順時針方向旋轉n度后得到△EDC,
∴BC=DC,
∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,
∴∠B=90°﹣∠A=60°,
∴△DBC是等邊三角形,
∴n=∠DCB=60°,
∴∠DCA=90°﹣∠DCB=90°﹣60°=30°,
∵BC=2,
∴DC=2,
∵∠FDC=∠B=60°,
∴∠DFC=90°,
∴DFDC=1,
∴FC,
∴S陰影=S△DFCDF FC1.
故答案為:60°,.
14.(3分)如圖所示,在△ABC中,∠B=40°,將△ABC繞點A逆時針旋轉至△ADE處,使點B落在BC延長線上的D點處,則∠CAE= 100  度.
【思路點拔】根據旋轉的性質得AB=AD,∠BAD等于旋轉角,再根據等腰三角形的性質得∠B=∠ADB=40°,然后根據三角形內角和定理計算∠BAD的度數.
【解答】解:∵△ABC繞點A逆時針旋轉至△ADE處,使點B落在BC延長線上的D點處,
∴AB=AD,∠BAD等于旋轉角,
∴∠B=∠ADB=40°,
∴∠BAD=180°﹣∠B﹣∠ADB=100°.
故答案為100.
15.(3分)如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,點D在斜邊AB上,將線段CD繞點C逆時針旋轉90°得到線段CE,∠DCE的平分線交AB于點F,連接BE,若BE=4,BF=3,則CD的長為   .
【思路點拔】先證明△ACD≌△BCE,得到∠CBE=∠A=45°,BE=AD,進而得到∠FBE=90°,勾股定理算出EF,再證明△FCD≌△FCE,得出DF=EF=5,BD=8,勾股定理算出DE,再根據等腰直角三角形的性質和勾股定理即可解答.
【解答】解:如圖,連接DE,EF,
∵∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠A=∠ABC=45°,
由題意可得:
∴CD=CE,∠ECD=∠ACB=90°,
∴∠ACD=∠BCE=90°﹣∠BCD,
∵AC=BC,∠ACD=∠BCE,CD=CE,
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴∠CBE=∠A=45°,BE=AD=4,
∴∠FBE=∠CBE+∠ABC=90°,
∴,
∵CF平分∠DCE,
∴∠DCF=∠ECF,
∵CF=CF,∠DCF=∠ECF,CD=CE,
∴△FCD≌△FCE(SAS),
∴DF=EF=5,
∴BD=DF+BF=8,
∴,
∵CD2+CE2=2CD2=DE2,
∴.
故答案為:.
三.解答題(共9小題,滿分75分)
16.(6分)在如圖的網格中有△ABC和點O,將△ABC以O為旋轉中心逆時針分別旋轉90°得到△A1B1C1,旋轉180°得到△A2B2C2,請畫出旋轉后的圖形.
【思路點拔】根據題意所述旋轉三要素,依次找到各點對應點,然后順次連接即可得出旋轉后的圖形.
【解答】解:旋轉90°的圖形如下:

旋轉180°的圖形如下:

17.(6分)如圖,在△ABC中,∠B=50°,點D在邊BC上,將△ABC經過旋轉后與△ADE重合.
(1)這一旋轉的旋轉中心是點  A  ;
(2)旋轉角是多少度?
【思路點拔】(1)根據旋轉前后點A與自身重合可知點A為旋轉中心;
(2)根據旋轉的性質可得AB=AD,再由等邊對等角和三角形內角和定理可得∠BAD=80°,據此可得答案.
【解答】解:(1)∵將△ABC經過旋轉后與△ADE重合,
∴旋轉中心即為點A,
故答案為:A;
(2)∵△ABC經過旋轉后與△ADE重合,
∴AB=AD,
∴∠B=∠ADB,
∵∠B=50°,
∴∠ADB=50°,
∴∠BAD=180°﹣50°﹣50°=80°,
∴旋轉角是80°.
18.(6分)如圖.網格中的四邊形ABCD中,A(﹣4,0),B(0,2),C(﹣3,4),D(﹣5,3)
(1)將四邊形ABCD繞點A順時針旋轉90°得到四邊形A1B1C1D1,在圖中畫出四邊形A1B1C1D1;
(2)把四邊形ABCD繞點B旋轉180°得到四邊形A2B2C2D2,在圖中畫出四邊形A2B2C2D2,并直接寫出A2、C2、D2的坐標.
【思路點拔】(1)根據網格結構找出點A、B、C、D的對應點A1、B1、C1、D1的位置,然后順次連接即可;
(2)根據網格結構找出點A、B、C、D的對應點A2、B2、C2、D2的位置,然后順次連接即可,再根據平面直角坐標系寫出即可.
【解答】解:(1)四邊形A1B1C1D1如圖所示;
(2)四邊形A2B2C2D2如圖所示,
A2(4,4),C2(3,0),D2(5,1).
19.(8分)(1)解方程:x2﹣5x+6=0;
(2)如圖,在Rt△OAB中,∠OAB=90°,OA=AB=6,將△OAB繞點O沿逆時針方向旋轉90°得到ΔOA1B1.
①線段OA1的長是  6  ,∠AOB1的度數是  135°  ;
②連接AA1,求證:四邊形OAA1B1是平行四邊形.
【思路點拔】(1)方程利用因式分解法求出解即可;
(2)①圖形在旋轉過程中,邊長和角的度數不變;
②可證明OA∥A1B1且相等,即可證明四邊形OAA1B1是平行四邊形.
【解答】(1)解:把方程左邊分解因式得:(x﹣2)(x﹣3)=0,
所以x﹣2=0或x﹣3=0,
解得:x1=2,x2=3.
(2)①解:∵∠OAB=90°,OA=AB,
∴△OAB為等腰直角三角形,即∠AOB=45°,
根據旋轉的性質,對應點到旋轉中心的距離相等,即OA1=OA=6,
對應角∠A1OB1=∠AOB=45°,旋轉角∠AOA1=90°,
∴∠AOB1的度數是90°+45°=135°.
故答案為:6,135°;
②證明:∵∠AOA1=∠OA1B1=90°,
∴OA∥A1B1,
又OA=AB=A1B1,
∴四邊形OAA1B1是平行四邊形.
20.(8分)如圖,△ABC的頂點坐標為A(﹣2,3),B(﹣3,0),C(0,1).
(1)畫出△ABC關于點O成中心對稱的△A1B1C1;
(2)將△ABC繞點C順時針旋轉90°,畫出旋轉后的△A2B2C;
(3)四邊形BCB1C1的面積為  6  .
【思路點拔】(1)根據中心對稱的性質作圖即可.
(2)根據旋轉的性質作圖即可.
(3)利用割補法求四邊形的面積即可.
【解答】解:(1)如圖,△A1B1C1即為所求.
(2)如圖,△A2B2C即為所求.
(3)四邊形BCB1C1的面積為6.
故答案為:6.
21.(8分)如圖,將正方形ABCD繞點C順時針旋轉30°得到正方形FECG,EF交AD于點P.
(1)求證:PE=PD;
(2)若,求PA的長.
【思路點拔】(1)連接PC,由題意易得CE=CD,∠E=∠D=90°,然后可證△PEC≌△PDC(HL),進而問題可求解;
(2)由題意易得∠BCE=30°,則有∠ECD=60°,然后根據含30度直角三角形的性質可得PD=1,進而問題可求解.
【解答】(1)證明:連接PC,如圖所示:
∵正方形ABCD繞點C順時針旋轉30°得到正方形FECG,
∴CE=CD,∠E=∠D=90°,
∴△PEC和△PDC是直角三角形,
在Rt△PEC≌Rt△PDC中,

∴Rt△PEC≌Rt△PDC(HL),
∴PE=PD;
(2)解:∵正方形ABCD繞點C順時針旋轉30°得到正方形FECG,
∴∠BCE=30°,,
∴∠ECD=60°,
∵△PEC≌△PDC,
∴∠PCD=∠PCE=30°,
∴PC=2PD,
∴,
∴PD=1,
∴.
22.(10分)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,將△ABC繞著點B逆時針旋轉得到△FBE,點C,A的對應點分別為E,F,點E落在BA上,連接AF.
(1)若∠BAC=42°.求∠BAF的度數;
(2)若AC=4,BC=3,求AF的長.
【思路點拔】(1)求出∠ABC,結合AB=BF即可求解;
(2)求出AB,根據旋轉得BE=BC=3,EF=AC=4,進而得AE=5﹣3=2,即可求解.
【解答】解:(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=42°,
∴∠ABC=48°,
由旋轉得,∠EBF=∠ABC=48°,
∴AB=BF,
∴;
(2)在△ABC中,∵∠C=90°,AC=4,BC=3,
∴,
由旋轉得,BE=BC=3,EF=AC=4,
∴AE=5﹣3=2,
在Rt△ABC中,由勾股定理得:.
23.(11分)將線段AB繞點A逆時針旋轉60°得到線段AC,繼續旋轉α(0°<α<120°)得到線段AD,連接CD.
(1)連接BD.
①如圖①,若α=80°,則∠BDC的度數為  30°  ;
②在第二次旋轉過程中,請探究∠BDC的大小是否改變.若不變,求出∠BDC的度數;若改變,請說明理由.
(2)如圖②.以AB為斜邊作Rt△ABE,使得∠B=∠ACD,連接CE,DE.且CE⊥DE.試猜想線段AB,CD之間的數量關系,寫出結論并給予證明.
【思路點拔】(1)①先推出∠ADC=50°,在推出∠ADB=20°,從而得出結果;
②同理①由AC=AD推出∠ADC=90°,由AB=AD推出∠ADB=60°,進而推出結果;
(2)作AF⊥CD于F,推出△ABE≌△ACF,進而得出△AEF是等邊三角形,再推出△ABE是等腰直角三角形,進而得出關系.
【解答】解:(1)①∵AC=AD,
∴∠ADC=∠C
=50°,
∵AB=AD,
∴∠ADB=∠B
=20°,
∴∠BDC=∠ADC﹣∠ABD
=50°﹣20°
=30°,
故答案是30°;
②不變,理由如下:
∵AC=AD,
∴∠ADC=∠C
=90°,
∵AB=AD,
∴∠ADB=∠B
=60°,
∴∠BDC=∠ADC﹣∠ABD
=90°(60°)
=30°,
(2)如圖,
作AF⊥CD于F,
∵AC=AD,
∴CF=DF,
∵CE⊥DE,
∴∠CED=90°,
∴EF=CFCD,
∵AB=AC,
∠B=∠ACD,
∠BEA=∠AFC=90°,
∴△ABE≌△ACF(AAS),
∴BE=CF,AE=AF,∠BAE=∠CAF,
∴∠CAF+∠CAE=∠BAE+∠CAE
即∠EAF=BAC=60°,
∴△AEF是等邊三角形,
∴AE=EF,
∴BE=AE,
∴△ABE是等腰直角三角形,
∴∠ADF=∠ACF=∠B=45°,
∴△ACD是等腰直角三角形,
∴CDACAB.
24.(12分)如圖,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D在邊CA的延長線上,E在邊AB上,AD=AE,連接DE.
觀察與思考:如圖1,連接BD,CE,△ABD可以由△ACE通過旋轉變換得到,請寫出旋轉中心、旋轉方向及旋轉角的大小.
遷移與運用:將圖1中的△ADE繞點A旋轉,當直線DE經過BC的中點F時,連接BD,如圖2,求證:BD∥AE.
操作與拓展:將圖1中的△ADE繞點A旋轉,當B,D,E三點在同一條直線上,且該直線恰好經過AC的中點,直接寫出的值.
【思路點拔】觀察與思考:由∠BAC=90°,AB=AC,D在邊CA的延長線上,得∠DAB=∠EAC=90°,而AD=AE,可證明△ABD≌△ACE,則△ABD可以由△ACE繞點A逆時針旋轉90°得到,所以旋轉中心為點A,旋轉方向為逆時針,旋轉角為90°;
遷移與運用:取AB的中點O,連接AF、OF,由∠BAC=90°,AB=AC,F是BC的中點,得∠ABC=∠C=45°,∠AFB=90°,則OF=OA=OB,以點O為圓心,以OF為半徑作圓,則點A、B、F都在⊙O上,因為∠ADF=∠ABF,所以點D在⊙O上,則∠ADB=180°﹣∠AFB=90°,所以∠ADB+∠DAE=180°,則BD∥AE;
操作與拓展:當B,D,E三點在同一條直線上,設直線BE經過AC的中點G,作AH⊥BE于點H,則∠HAD=∠HDA=45°,所以AH=DH,則ADAH,設AG=CG=m,則AB=AC=2m,根據勾股定理求得BGm,由m AHm×2m=S△ABG,求得AHm,即可求得ADm,則.
【解答】觀察與思考:解:旋轉中心為點A,旋轉方向為逆時針,旋轉角為90°,
理由:如圖1,∵∠BAC=90°,AB=AC,D在邊CA的延長線上,
∴∠DAB=∠EAC=90°,
在△ABD和△ACE中,

∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴△ABD可以由△ACE繞點A逆時針旋轉90°得到,
∴旋轉中心為點A,旋轉方向為逆時針,旋轉角為90°.
遷移與運用:證明:如圖2,取AB的中點O,連接AF、OF,
∵∠BAC=90°,AB=AC,F是BC的中點,
∴∠ABC=∠C=45°,AF⊥BC,
∴∠AFB=90°,
∴OF=OA=OB,
以點O為圓心,以OF為半徑作圓,則點A、B、F都在⊙O上,
∵∠DAE=90°,AD=AE,AE經過點F,
∴∠ADF=∠AED=45°,
∴∠ADF=∠ABF,
∴點D在⊙O上,
∴∠ADB=180°﹣∠AFB=90°,
∴∠ADB+∠DAE=180°,
∴BD∥AE.
操作與拓展:解:的值為,
理由:如圖3,B,D,E三點在同一條直線上,且直線BE經過AC的中點G,
作AH⊥BE于點H,則∠AHD=90°,
∵∠ADE=∠E=45°,
∴∠HAD=∠HDA=45°,
∴AH=DH,
∴ADAH,
設AG=CG=m,則AB=AC=2m,
∴BGm,
∵BG AHAG AB=S△ABG,
∴m AHm×2m,
∴AHm,
∴ADmm,
∴,
∴的值為.

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