資源簡介

2024-2025學年遼寧省鞍山五十二中九年級（下）月考數學試卷（3月份）
一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.下列方程是關于x的一元二次方程的是（　　）
A. B. ax2+bx+c=0 C. y2+3x=2 D. （x+1）2=2x2
2.垃圾分類功在當代，利在千秋.下列垃圾分類指引標志中，文字上方的圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（　　）
A. 廚余垃圾 B. 有害垃圾
C. 其他垃圾 D. 可回收物
3.如圖，在由大小相同的小正方形組成的網格中有一條“心形線”.數學小組為了探究隨機投放一個點恰好落在“心形線”內部的概率，進行了計算機模擬試驗，得到如下數據：
試驗總次數 100 200 300 500 1500 2000 3000
落在“心形線”內部的次數 61 93 165 246 759 996 1503
落在“心形線”內部的頻率 0.610 0.465 0.550 0.492 0.506 0.498 0.501
根據表中的數據，估計隨機投放一點落在“心形線”內部的概率為（　　）
A. 0.46 B. 0.50 C. 0.55 D. 0.61
4.如圖，⊙O中，點C為弦AB中點，連接OC，OB，∠COB=58°24'，點D是上任意一點，則∠ADB度數為（　　）
A. 111°76'
B. 121°36'
C. 116°48'
D. 148°24'
5.摩拜共享單車計劃2023年第三季度（8，9，10月）連續3個月對成都投放新型摩拜單車，計劃8月投放3000臺，第三季度共投放12000臺，每月按相同的增長率投放，設增長率為x,則可列方程（　　）
A. 3000（1+x）2=12000
B. 3000（1+x）+3000（1+x）2=12000
C. 3000（1-x）2=12000
D. 3000+3000（1+x）+3000（1+x）2=12000
6.如圖，矩形OABC的頂點A在x軸上，點B的坐標為.固定邊OA，向左“推”矩形OABC，使點B落在y軸的點B′的位置，則點C的對應點C′的坐標為（　　）
A.
B.
C.
D.
7.下列說法正確的是（　　）
A. “明天降雨的概率是80%”表示明天有80%的時間都在降雨
B. “打開電視機，正在播放《新聞聯播》”是必然事件
C. “彩票中獎的概率為1%”情況下買了一張彩票就能中獎是不可能事件
D. “拋一枚正方體骰子，朝上的點數為2的概率為”表示隨著拋擲次數的增加，“拋出朝上的點數為2”這一事件發生的頻率穩定在附近
8.如圖1所示是一款帶毛刷的圓形掃地機器人，它的俯視圖如圖2所示，⊙O的直徑為40cm,毛刷的一端為固定點P，另一端為點C，，毛刷繞著點P旋轉形成的圓弧交⊙O于點A，B，且A，P，B三點在同一直線上.則圖中陰影部分的周長為（　　）

A. cm B. 20πcm C. cm D. cm
9.如圖，一次函數y1=-x與二次函數y2=ax2+bx+c的圖象相交于P，Q兩點，則函數y=ax2+（b+1）x+c的圖象可能為（　　）
A.
B.
C.
D.
10.用直尺和圓規作Rt△ABC斜邊AB上的高線CD，以下四個作圖中，正確的作法有（　　）
A. 1種 B. 2種 C. 3種 D. 4種
二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。
11.若關于x的方程x2-x+cosα=0有兩個相等的實數根，則銳角α為______．
12.若一組勾股數的其中兩個為5和12，則第三個勾股數是______.
13.如圖，兩個反比例函數和在第一象限內的圖象依次是C1和C2，設點P在C1上，PC⊥x軸于點C，交C2于點A，PD⊥y軸于點D，交C2于點B，則四邊形PAOB的面積為______.
14.如圖所示，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜邊AB的中點，將△ACB繞點A按順時針方向旋轉得到△AEF，點E在CD的延長線上，若AC=6，BC=8，則△ADE與△BCD的面積比為______.
15.如圖，二次函數y=-x2+2x+3的圖象與x軸交于點A，B（點A在點B左側），與y軸交于點C.點P是此函數圖象上在第一象限內的一動點，當S△PCB=3時，點P的坐標為______.
三、解答題：本題共8小題，共75分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
16.(本小題10分)
（1）解方程：.
（2）計算：.
17.(本小題8分)
在“趣味化學實驗室”課上，黃老師用毛筆蘸取透明無色液體，并在白紙上書寫，立馬顯現出紅色的文字，這是酚酞溶液產生的神奇變化.酚酞是化學領域重要的酸堿指示劑，它遇堿變紅，遇酸或中性溶液不變色.現有四個完全相同且無標簽的滴瓶，里面分別裝有四種無色溶液：
（1）小明同學從中隨機拿出一瓶，選中酚酞的概率是______；
（2）張老師從四瓶無色液體中隨機選取兩瓶，并分別取一定量的溶液混合均勻，請利用畫樹狀圖或列表的方法求混合后溶液變紅的概率.
18.(本小題8分)
如圖，一次函數y=k1x+b與反比例函數圖象交于點B（-1，6）、點A，且點A的縱坐標為3.
（1）填空：一次函數解析式為______，反比例函數解析式為______；
（2）結合圖形，直接寫出時x的取值范圍；
（3）在梯形ODCA中，AC∥OD，且下底DO在x軸上，CD⊥x軸于點D，CD和反比例函數的圖象交于點M，當梯形ODCA的面積為12時，求此時點M坐標.
19.(本小題8分)
“滑滑梯”是同學們小時候經常玩的游戲，滑梯的坡角越小，安全性越高.從安全性及適用性出發，小亮同學對所在小區的一處滑梯進行調研，制定了如下改造方案，請你幫小亮解決方案中的問題.
方案名稱 滑梯安全改造
測量工具 測角儀、皮尺等
方案設計 如圖，將滑梯頂端BC拓寬為BE，使CE=1m,并將原來的滑梯CF改為EG.（圖中所有點均在同一平面內，點B，C，E在同一直線上，點A，D，F，G在同一直線上）
測量數據 【步驟一】利用皮尺測量滑梯的高度CD=1.8m；
【步驟二】在點F處用測角儀測得∠CFD=42°；
【步驟三】在點G處用測角儀測得∠EGD=32°.
解決問題 調整后的滑梯會多占多長一段地面？（即求FG的長）
（參考數據：sin32°≈，cos32°≈，tan32°≈，sin42°≈，cos42°≈，tan42°≈）
20.(本小題8分)
如圖，△ABD內接于⊙O，∠ABD=45°，連接AO，點C在AB的延長線上，且∠OAC=∠ACD.
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若，，求⊙O半徑的長.
21.(本小題8分)
某商店購進了一種消毒用品，進價為每件8元，在銷售過程中發現，每天的銷售量y（件）與每件售價x（元）之間存在一次函數關系（其中8≤x≤15，且x為整數）．當每件消毒用品售價為9元時，每天的銷售量為105件；當每件消毒用品售價為11元時，每天的銷售量為95件．
（1）求y與x之間的函數關系式；
（2）設該商店銷售這種消毒用品每天獲利w（元），當每件消毒用品的售價為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？
22.(本小題12分)
綜合與實踐
【操作與發現】
（1）如圖1，矩形ABCD中，P為邊BC中點，將△ABP沿直線AP翻折得到△AEP，點B的對應點為E，延長AE，PE分別交CD于點F，G.
①線段EF和CF的數量關系為______；
寫出圖中與△EFG相似的三角形：______（寫出一個即可）；
②若BC=6，EG=1，求AB的長；
【類比探究】
（2）如圖2，在（1）中的矩形ABCD改為平行四邊形，其他條件不變，線段EF和CF的數量關系是否仍然成立？如果成立，請說明理由；如果不成立，寫出線段EF和CF的數量關系，并說明理由；
【拓展應用】
（3）如圖2，平行四邊形ABCD中，∠ABC=60°，BC=6，P為邊BC的中點，將△ABP沿直線AP翻折得到△AEP，點B的對應點為E，延長AE，PE分別交CD于點F，G，若EG=1，直接寫出線段AB的長______.
23.(本小題13分)
在平面直角坐標系中，對“縱橫值”給出如下定義：點A（x,y）是函數圖象上任意一點，縱坐標y與橫坐標x的差“y-x”稱為點A的“縱橫值”.函數圖象上所有點的“縱橫值”中的最大值稱為函數的“最優縱橫值”.
例如：點A（1，3）在函數y=2x+1圖象上，點A的“縱橫值”為3-1=2，函數y=2x+1圖象上所有點的“縱橫值”可以表示為y-x=2x+1-x=x+1，當3 x 6時，x+1的最大值為6+1=7，所以函數y=2x+1（3 x 6）的“最優縱橫值”為7.
根據定義，解答下列問題：
（1）①點B（-6，2）的“縱橫值”為______；
②函數的“最優縱橫值”為______；
（2）若二次函數y=-x2+bx+c的頂點在直線上，且最優縱橫值為5，求c的值；
（3）若二次函數y=-（x-h）2+k的頂點在直線y=x+9上，當-1 x 4時，二次函數的最優縱橫值為7求h的值.
參考答案
1.解：A、是分式方程，不是x的一元二次方程，故A選項不符合題意；
B、ax2+bx+c=0，a=0時，不是x的一元二次方程，故B選項不符合題意；
C、y2+3x=2中含有兩個未知數，不是x的一元二次方程，故C選項不符合題意；
D、（x+1）2=2x2，化簡得x2-2x-1=0，是x的一元二次方程，故D選項符合題意．
故選：D．
2.解：A是軸對稱圖形，但它不是中心對稱圖形，則A不符合題意；
B既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，則B符合題意；
C不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，則C不符合題意；
D不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，則D不符合題意；
故選：B．
3.解：當試驗次數逐漸增大時，落在“心形線”內部的頻率穩定在0.50附近，
則估計隨機投放一點落在“心形線”內部的概率為0.50．
故選：B．
4.解：延長BO交圓于E，連接DE，
∵點C為弦AB中點，
∴OC⊥AB，
∴∠BCO=90°，
∵∠COB=58°24'，
∴∠ABE=90°-∠COB=31°36′，
∴∠ADE=∠ABE=31°36′，
∵BE是圓的直徑，
∴∠BDE=90°，
∴∠ADB=∠BDE+∠ADE=121°36′．
故選：B．
5.解：由題意得：3000+3000（1+x）+3000（1+x）2=12000．
故選：D．
6.解：∵四邊形OABC是矩形，點B的坐標為（，2），
∴OA=，AB=2，
由題意得：AB'=AB=2，四邊形OAB'C'是平行四邊形，
∴OB'==3，B'C'=OA=，
∴點C的對應點C'的坐標為（-，3）；
故選：D．
7.解：A．“明天降雨的概率是80%”表示明天有80%的時間都在降雨錯誤，不符合題意；
B．“打開電視機，正在播放《新聞聯播》”是隨機事件，不是必然事件，不符合題意；
C．“彩票中獎的概率為1%”情況下買了一張彩票就能中獎是隨機事件，不是不可能事件，不符合題意；
D．“拋一枚正方體骰子，朝上的點數為2的概率為”表示隨著拋擲次數的增加，“拋出朝上的點數為2”這一事件發生的頻率穩定在附近，正確，符合題意；
故選：D．
8.解：連接AB，OA，OB，OP，
∵A，P，B三點在同一直線上．
∴AB經過點P，
由題意得AB為半圓的直徑，PB=PA=CP=cm,OA=OB=20cm,
∴OP⊥AB，
在Rt△OAP中，，
∴∠AOP=45°，
∵OA=OB，OP⊥AB，
∴∠BOP=∠AOP=45°，
∴∠AOB=90°，
∴cm,
cm,
∴陰影部分的周長為cm,
故選：D．
9.解：∵一次函數y1=-x與二次函數y2=ax2+bx+c圖象相交于P、Q兩點，
∴方程ax2+（b+1）x+c=0有兩個不相等的根，
∴函數y=ax2+（b+1）x+c與x軸有兩個交點，
∵-＜0，a＞0，c>0，
∴-=--＜0
∴函數y=ax2+（b+1）x+c的對稱軸x=-＜0，
∵a＞0，開口向上，與y軸交點在正半軸．
故選：B．
10.解：（1）根據垂徑定理作圖的方法可知：
CD是Rt△ABC斜邊AB上的高線，故作法正確；
（2）根據直徑所對圓周角是直角的方法可知：
CD是Rt△ABC斜邊AB上的高線，故作法正確；
（3）根據相交兩圓的公共弦的性質可知：
CD是Rt△ABC斜邊AB上的高線，故作法正確；
（4）無法證明CD是Rt△ABC斜邊AB上的高線，故作法不正確；
綜上所述：正確的作法有3種．
故選：C．
11.解：∵關于x的方程x2-x+cosα=0有兩個相等的實數根，
∴b2-4ac=（-）2-4×1×cosα=0，
∴cosα=，
∴α=60°．
故答案為：60°．
12.解：設第三個數是x,
分兩種情況：
①12為最大數時，x2+52=122，
解得：x=（不合題意，舍去）；
②x為最大數時，52+122=x2，
解得：x=13（負值已舍去）；
綜上所述，第三個勾股數是13．
故答案為：13．
13.解：由條件可得S△BOD=S△AOC=2，S四邊形OCPD=9，
∴S四邊形PAOB=S四邊形OCPD-S△BOD-S△AOC=5，
故答案為：5．
14.解：∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB===10，
∵D是斜邊AB的中點，
∴S△BCD=S△DCA，CD=BD=AD=AB=5，
∴∠ACD=∠CAD，
∵將△ACB繞點A按順時針方向旋轉得到△AEF，點E在CD的延長線上，
∴AE=AC=6，
∴∠ACD=∠CEA，
∴∠CEA=∠CAD，
∴△ACE∽△DCA，
∴=（）2=（）2=，
∴=，
∴=，
故答案為：．
15.解：令y=0，則-x2+2x+3=0，
解得x1=-1，x2=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
令x=0，則y=-3，
∴C（0，-3），
設直線BC的解析式為y=kx+b,
將B（3，0）和C（0，3）代入得：，
解得：，
∴直線BC的解析式為y=-x+3，
過點P作PE⊥x軸于點E，交BC于點G，
設P（t,-t2+2t+3），則G（t,-t+3），
∴PG=-t2+2t+3-（-t+3）=-t2+3t,
∵S△PCB=3，
∴PG OB=3，即（-t2+3t）×3=3，
解得：t1=1，t2=2，
∴點P的坐標為（1，4）或（2，3），
故答案為：（1，4）或（2，3）．
16.解：（1）∵a=2，b=-2，c=1，
∴Δ=8-4×2×1=0，
則x==，即x1=x2=；
（2）原式=2-1-2+2
=1．
17.解：（1）由題意知小明同學從中隨機拿出一瓶，選中酚酞的概率是；
故答案為：．
（2）列表如下，
A B C D
A （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C）
共有12種等可能結果，其中混合后的溶液變紅色的結果有：（A，B），（B，A），共2種，
∴混合后的溶液變紅色的概率為．
18.解：（1）∵一次函數y=k1x+b與反比例函數的圖象交于點B（-1，6），
∴k2=-1×6=-6，
∴反比例函數y=-．
∵點A的縱坐標為3，
∴把y=3代入得，3=-，
∴x=-2，
∴A（-2，3），
把A、B坐標代入y=k1x+b得，
∴．
∴一次函數為y=3x+9．
故答案為：y=3x+9；y=-，
（2）由題意得，不等式的解集是一次函數y=k1x+b在反比例函數圖象上方部分對應的自變量的取值范圍．
又∵一次函數y=k1x+b與反比例函數圖象交于點A（-2，3），B（-1，6），
∴結合圖象可得，時x的取值范圍是-2＜x＜-1或x＞0；
（3）由題意，設點M的坐標為，
∵CD⊥x軸于D，
∴D（m,0），
∵AC∥OD，A（-2，3），
∴C（m,3），
∴AC=-2-m,
∴CD=3，OD=-m,
∴，即．
∴m=-5，
∴M點的坐標為（-5，）．
19.
20.（1）證明：連接OD，
∵∠ABD=45°，
∴∠AOD=2∠ABD=45°，
∵∠OAC=∠ACD，
∴OA∥CD，
∴∠CDO=∠AOD=90°，
∵OD是⊙O的半徑，
∴CD是⊙O的切線；
（2）解：過D作DH⊥AC于H，
∴∠DHC=90°，
∵∠DBH=45°，
∴DH=BH，
∵tanC===，
∴BH=DH=2，
設AC，OD交于E，
∵∠CDE=∠DHE=∠CHD=90°，
∴∠HDE=∠C，
∴==，
∴EH==，
∴DE==，
∵∠CAO=∠C，∠AOD=90°，
∴tan∠OAE==，
設AO=OD=3x,
∴OE=x,
∴DE=2x=，
∴OA=3x=2，
∴⊙O半徑的長為2．
21.
22.解：（1）①如圖1，
連接PF，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=∠C=∠B=90°，
∵△ABP沿直線AP翻折得到△AEP，
∴∠FEC=∠AEP=∠B=90°，EP=BP，
∴∠FEC=∠C=90°，
∵點P是BC的中點，
∴CP=BP，
∴EP=CP，
∵FP=FP，
∴Rt△PCF≌Rt△PEF（HL），
∴EF=CF，
∵∠D=∠FEG=90°，∠EFG=∠ACD，
∴△EFG∽△DFA，
故答案為：EF=CF，△ADF；
②如圖2，
延長EP，交AB的延長線于H，
∵∠PBH=∠C=90°，∠BPH=∠CPG，BP=CP，
∴△BPH≌△CPG（ASA），
∴PH=PG，BH=CG，
∵EP=BP=CP=BC=3，EG=1，
∴PG=EG+EP=4，
∴PH=4，
∵CG==，
∴BH=，
∵∠PBH=∠AEP=90°，∠H=∠H，
∴△HBP∽△HEA，
∴，
∴，
∴AE=3，
∴AB=AE=3；
（2）解：如圖3，
線段EF和CF的數量關系仍然成立，理由如下：
連接CE，
∵EP=BP=CP，
∴∠PEC=∠PCE，
∵△ABP沿直線AP翻折得到△AEP，
∴∠AEP=∠B，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠PCF=180°，
∴∠AEP+∠PCF=180°，
∵∠AEP+∠PEF=180°，
∴∠PCF=∠PEF，
∴∠PCF-∠PCE=∠PEF-∠PEC，
∴∠FCE=∠FEC，
∴EF=CF，
∴線段EF和CF的數量關系仍然成立；
（3）如圖4，
作PW⊥CD，交DC的延長線于W，作AV⊥GH于V，
在Rt△PCW中，CP=BC=3，∠PCW=∠B=60°，
∴CW=3 cos60°=，PW=3，
在Rt△PWG中，PG=PE+EG=3+1=4，PW=，
∴GW==，
∴CG=GW-CW=，
∴BH=CG=，
設AB=AE=x,
在Rt△AVE中，AE=x,∠AEP=∠B=60°，
∴AV=，
∴HV=EH-EV=7-，
在Rt△AVH中，由勾股定理得，
AV2+VH2=AH2，
∴，
∴x=，
∴AB=，
故答案為：．
23.解：（1）①點B（-6，2）的“縱橫值”為2-（-6）=8，
故答案為：8；
②∵y=，
∴y-x=-x=，
∵-4≤x≤-2，
∴x=-4時，y-x的最大值是-1，
∴函數的“最優縱橫值”為-1；
故答案為：-1；
（2）∵二次函數y=-x2+bx+c的頂點在直線上，
∴-=，
∴b=3，
∴y=-x2+3x+c,
∴y-x=-x2+3x+c-x=-x2+2x+c=-（x-1）2+1+c,
∵最優縱橫值為5，
∴1+c=5，
∴c=4；
（3）∵二次函數y=-（x-h）2+k的頂點在直線y=x+9上，
∴k=h+9，
∴y=-（x-h）2+h+9，
∴y-x=-（x-h）2+h+9-x=-（x-h+）2+，
∵當-1 x 4時，二次函數的最優縱橫值為7，
當h-≥4，即h≥時，則x=4時，有最大值為7，
∴-（4-h+）2+=7，
解得h=6或h=3（舍去），
當h-≤-1，即h≤-時，則x=-1時，有最大值為7，
∴-（-1-h+）2+=7，
解得h=-2或h=1（舍去）．
故h的值為-2或6．
第1頁，共1頁

展開更多......

收起↑