資源簡介

(共22張PPT)
第14章 全等三角形
練專題八 構造全等三角形的常用輔助線
類型1 倍長中線法
遇到中線或中點時，可以考慮“倍長中線法”，即將中點處的線段延長一倍，根據“
”構造全等三角形.
圖①
1.（14分）（2025·蕪湖模擬）
【問題提出】
如圖①，在中，，，求邊上的中線 的取
值范圍.
【問題解決】
經過組內合作交流，小明得到了如下的解決方法：延長到點，使 ，連接
，經過推理可知，
（1）由已知和作圖得到 的理由是______________.
（2） 的取值范圍為_ ___________.
邊角邊或
【問題應用】
（3）如圖②，在中，點為邊的中點，點在邊上，與相交于點 ，
，求證： .
圖②
證明：如圖，延長到點，使，連接 .
在和中，
所以 ，
所以， .
因為 ，
所以 .
因為 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
類型2 截長補短法
（1）截長法：在長線段上取一段，使其等于其中一條短線段；
（2）補短法：①延長一條短線段，使延長部分等于另一條短線段;②延長一條短線段，
使其等于長線段.
2.（10分）如圖，，平分，平分，點在 上.求證：
.
證明：如圖，在上截取，連接 .
因為平分 ，
所以 .
在和中，
所以 ，
所以 .
因為，所以 .
因為 ，所以 .
因為平分，所以 .
在和中，
所以 ，
所以 ，
所以 .
3.（14分）【解決問題】
圖①
（1）如圖①，點,分別在正方形的邊, 上，
，連接，則 ，試說明理由.
請將以下證明過程補充完整.
證明：延長到點，使 .
因為四邊形是正方形，所以 , .
在與 中，
所以 .
進而可證， _______，
理由：_________________，
進而得 .
（或邊角邊）
【變式探究】
（2）如圖②，四邊形中，， ，點，分別在邊，
上， .若，都不是直角，則當與 滿足等量關系______________
_____時，仍有 .請證明你的猜想.
圖②
證明：如圖，延長至點，使 .
因為 ， ，
所以 .
在與 中，
所以 ，
所以, .
所以 .
因為 ，所以 .
在與 中，
所以 ，
所以 .
【拓展延伸】
（3）如圖③，若， ， ，但 ，
，連接，請直接寫出，， 之間的數量關系.
圖③
[答案] .
如圖，延長至點，使 .
在與 中，
所以 ，
所以, ，
所以 .
因為 ，
所以 .
在與 中，
所以 .
所以 .
類型3 利用角平分線構造全等三角形
4.（8分）如圖，在四邊形中，，.若平分 ，求證：
.
證明：如圖，過點作于點，作交 的延長
線于點 ，
所以 .
因為平分 ，
所以 .
在和中,
所以，所以 .
在和 中，
因為， ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
5.（8分）如圖，是的平分線，，垂足為點 .求證：
.
證明：如圖，延長交于點 .
因為，所以 .
因為是 的平分線，
所以 .
又因為 ，
所以 ，
所以 .
因為 ，
所以 .(共19張PPT)
14.2.5 兩個直角三角形全等的判定
第2課時 三角形全等的判定與性質的綜合應用
知識點 三角形全等的判定與性質
第1題圖
1.如圖，以的頂點 為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交
，于點,，再分別以點,為圓心，大于 的長為半
徑畫弧，兩弧交于點，作射線，則說明 的
依據是( )
B
A. B. C. D.
第2題圖
2.（2024·蕪湖期中）如圖，已知 ，那么添加下列一個
條件后，仍無法判定 的是( )
B
A. B.
C. D.
3.已知的三邊長及三個內角的度數如圖所示，現要作一個與 全等的三角形，
下面是四位同學作出的圖形.
（1）
（2）
（3）
（4）
其中符合條件的有( )
B
A.4個 B.3個 C.2個 D.1個
4.如圖，已知，要使 .
第4題圖
（1）若以“ ”為依據，則需添加的一個條件是_________;
（2）若以“ ”為依據，則需添加的一個條件是_________;
（3）若以“ ”為依據，則需添加的一個條件是__________________________.
或
5.如圖，為中斜邊上的一點，且，過點作的垂線，交 于
點，若，則的長為____ .
12
第5題圖
6.（10分）如圖，點，，，在一條直線上，，， .
（1）求證： ；
證明：因為 ，
所以 .
因為 ，
所以 ，
即 .
在和中，
所以 ，
所以 ，
所以 .
（2）連接，若 ， ，求 的度數.
解：因為 ，
所以 .
因為 ，
所以 .
因為 ，
所以 ，
所以 .
7.如圖，在中，點和點分別是和上一點，， ，
.若 ，則 ____.
第7題圖
8.（2024·宣城期末）如圖，在中，，，點在邊 上，
，點，在線段上，，若的面積為2， 的
面積為24，則 的面積為____.
10
第8題圖
9.如圖，在中，平分，在射線上取一點，使 ，
.
（1） _______;
（2）若，，則 ___.
7
10.（12分）（2025·安徽模擬）如圖，在 中，
，延長至點，過點作，使 ，連
接交于點 .
（1）求證： ；
證明：因為， ，
所以 .
在和中，
所以 ，
所以 .
（2）若是上一點，滿足，連接，求證： .
[答案] 因為，所以 .
因為 ，
所以 ，
所以 ，
即 .
在和中，
所以 ，
所以 .
11.（14分）（2024·合肥期末）（幾何直觀）在中，，點, 分別是邊
,上一點，連接,交于點 .
（1）如圖①，點是上一點，連接，若，求證： .
圖①
證明：因為，, ，
所以 ，
所以 .
又因為, ，
所以 ，
所以 .
在和 中，
所以 .
所以 .
（2）如圖②，若 ，于點，交的延長線于點 ，若
，求證： .
圖②
[答案] 在中，， ，
所以 .
因為 ，
所以 ， .
因為 ，
所以 ，
所以 .
又因為 ，
所以 .
在和中，
所以 .
所以 .
因為 ， ，
所以 .
在和 中，
所以 ，
所以，所以 .(共17張PPT)
14.2 三角形全等的判定
14.2.2 兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形
知識點1 利用“ASA”判定三角形全等
第1題圖
1.如圖，點，，，在同一直線上，， ，
如果根據“”判定 ，那么需要補充的條件是
( )
B
A. B. C. D.
2.如圖，已知，為的中點，若，，則 ______.
第2題圖
3.如圖，
（1）如果，，那么就可以得到 ，其理論根據是_____
_____________;
（2）圖中的隱含條件是____________.
（或角邊角）
是公共角
4.（8分）如圖，已知，， .
（1）求證： .
證明：因為 ，
所以 ，
所以 .
在和 中，
所以 .
（2）若 ，求 的度數.
解：如圖，與交于點 .
因為， ，
所以 .
因為 ，
所以 .
知識點2 “ASA”的實際應用
5.小明不慎將一塊三角形的玻璃碎成如圖所示的四塊（圖中所標1，2，3，4），你認為
將其中的哪一塊帶去，就能配一塊與原來大小一樣的三角形玻璃？應該帶第___塊去，
這利用了三角形全等中的_________________原理.
4
（或角邊角）
6.（8分）某數學興趣小組同學就“測量河兩岸, 兩點間的距離”這一問題，設計了如下
方案.#2
課題 測量河兩岸, 兩點間的距離
測量工具 測量角度的儀器，皮尺等
測量方案示 意圖 ___________________________________________________________
課題 測量河兩岸, 兩點間的距離
測量步驟 ①在點所在河岸同側的平地上取點和點，使得點,, 在一條直線
上，且 ；
②測得 ， ；
③在的延長線上取點，使得 ；
④測得的長度為
續表
請你根據以上方案求出,兩點間的距離 .#2.2
解：因為 ， ，
所以 ,
所以 .
在與中，
所以，所以 .
又因為，所以 .
第7題圖
7.（2024·合肥期末）如圖，的面積為， 平分
，于點，連接，則 的面積為( )
B
A. B. C. D.
8.如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為，， ，則點
的坐標是_______.
第8題圖
9.（10分）如圖，已知和，點，在直線上，， ，
.
如圖①，易證： .請解答下列問題：
圖①
圖②
圖③
（1）如圖②，圖③，請猜想，， 之間的數量關系，并直接寫出猜想結論；
解：題圖②： ，
題圖③： .
（2）請選擇（1）中任意一個結論進行證明.
解：題圖②：因為，， ，
所以 .
所以 .
所以 .
題圖③：因為，，，所以 ，
所以 .
所以 .
10.（14分）（幾何直觀）如圖，在中，，于點， 平分
，于點，且與相交于點 .求證：
（1） ;
證明：因為， ，
所以 .
因為 ，
所以 .
在和中，
所以 ，
所以 .
（2） .
[答案] 因為平分， ,
所以, .
在和中，
所以 ，
所以 .
由（1），知，所以 .(共17張PPT)
第14章 全等三角形
第14章 章末復習
考點1 全等三角形的性質
1.（2024·廬江月考）如圖，，，， 三點在
同一條直線上，且，，則 的長為( )
B
A.4 B.5 C.6 D.8
2.如圖，，線段的延長線過點，與線段交于點 ，
， ， ，則 的度數為____.
考點2 全等三角形的性質與判定
3.根據下列已知條件，不能唯一畫出 的是( )
A
A.，， B.，，
C.，， D. ， ，
4.在和中有，，， ，
，，則下列各組條件中不能保證 的是( )
C
A.①②③ B.①②⑤ C.①②④ D.②⑤⑥
5.如圖，在的正方形網格中，每個小正方形的邊長都為1，則 ______.
第5題圖
6.如圖，在中，，為邊上的中線，為邊上一點，連接交
于點，連接 .
第6題圖
（1）圖中的全等三角形共有___對.
（2）若，且的面積為3，則 的面積為____.
3
20
7.如圖，，與相交于點，.點從點 出發，沿
方向以的速度運動，同時點從點出發，沿方向以 的
速度運動，設點的運動時間為，當點回到點時，， 兩點同時停止運動.
（1）的長為___ .
（2）連接，當線段經過點時， 的值為______.
8
2或4
8.（12分）（2024·阜陽月考）如圖，中，為上一點，為 延長線上一點，
且，過點作于點，過點作交的延長線于點 ，且
，連接交于點 .求證：
（1） ；
證明：因為，，且， ，
所以 .
（2） .
[答案] 因為 ，
所以 .
在和中，
所以 ，
所以 ，
所以 .
又因為 ，
所以，即 .
考點3 全等三角形的實際應用
9.（8分）如圖，某市新建了一個公園，在公園的湖心有一個小島 ，管理人員打算從游
樂場處修建一條可以直接通往小島的小路.為了估算成本，需要知道游樂場 與小島
的距離，由于無法直接測量，工作人員設計了下列方案：畫出 ，
，射線與射線交于點，測得，請你求出小路 的長度.
解：在和中，
所以 ，
所以 .
因為 ，
所以 ，
即小路的長度為 .
圖①
10.（14分）（綜合與實踐）
【問題背景】如圖①，在中，于點， ，點
在上，，連接 .
【初步認識】
（1）求證： .
證明：因為,所以 .在和 中，
所以 ，
所以 .
【繼續探索】
（2）如圖②，延長交于點，連接，求 的度數.
圖②
圖①
解：如圖①，過點作于點，于點 .
因為 ，
所以， .
因為 ，
所以 .
因為， ,
所以 ，
所以 .
又因為， ，
所以 ，
所以 .
圖②
【拓展延伸】
（3）如圖③，過點作，，連接交于點，若 ，
，直接寫出 的面積為____.
24
圖③(共23張PPT)
第14章 全等三角形
14.1 全等三角形及其性質
知識點1 全等形、全等三角形及對應元素
1.下列各組圖形中，全等的是( )
C
A. B. C. D.
2.下列說法正確的是( )
C
A.形狀相同的兩個三角形全等 B.面積相等的兩個三角形全等
C.能夠完全重合的兩個三角形全等 D.周長相等的兩個三角形全等
3.如圖，，和是對應角，和是對應邊，那么 的對應角
是_______，的對應角是_______，的對應邊是_____， 的對應邊是____.
4.（10分） 如圖， ，寫出這一對全等三角形中所有的
對應邊和對應角.
解：與，與，與是對應邊；與，與,與
是對應角.
知識點2 全等三角形的性質
5.已知圖中的兩個三角形全等，則 等于( )
D
A. B. C. D.
第6題圖
6.（2024·合肥期末）如圖，，若 ，
，則 的長為( )
C
A.4 B.5 C.6 D.7
7.如圖，，在邊上， ， ，則 ____.
第7題圖
8.如圖， .
（1）若的周長為24，，，則 ___.
（2）若 ，則 ____.
9
易錯點 未分類討論對應邊而致錯
9.一個三角形的三條邊的長分別是3，5，7，另一個三角形的三條邊的長分別是3，
，.若這兩個三角形全等，則 ___.
3
10.如圖，，點，，，在同一條直線上，， ，
，則 的長為___.
1
第10題圖
11.如圖，，邊過點且平分交于點， ，
，則 的度數為____.
第11題圖
12.如圖，兩個全等的直角三角形重疊在一起，將其中的一個三角形沿著點到 的方向
平移到的位置，， ，平移距離為6，則陰影部分面積為____.
48
13.（12分）如圖，， ，，，交于點 ，
.
（1） 的度數為____.
（2）平行于 嗎？說明理由.
解： .理由如下：
因為，所以 .
因為 ，
所以 .
所以 .
所以 .
（3）求 的度數.
解：因為，所以 .
因為，所以 .
所以 ,所以
.
14.（14分）（幾何直觀）（2024·安慶月考）在中， ， ，
，.現有一動點從點出發，沿著三角形的邊 運
動，回到點時停止，速度為，設運動時間為 .
圖①
（1）如圖①，當時，___；當時，__________
（用含 的式子表示）.
6
（2）如圖①，當的面積等于 的面積的一半時.
①若點在上，則____ ；
4.5
②若點在上，求 的值.
解：如圖②，當點在中點時，的面積等于 面積的一半，
圖①
圖②
所以 .
所以 .
（3）如圖②，在中, ，，，.在
的邊上，若有一個動點，與點同時從點出發，沿著邊 運動，回到點
時停止.若在兩點運動過程中的某一時刻，恰好.求點 的運動速度.
圖②
圖③
[答案] 設點的運動速度為 .
①如圖③,當點在上，點在上， 時，
， ，
所以，解得 .
圖④
②如圖④，當點在上，點在上， 時，
, ，
所以點運動的路程為，點 運動的路程為
，
所以，解得 .
所以點的運動速度為或 .(共16張PPT)
第14章 全等三角形
練專題七 全等三角形的基本模型
模型1 平移模型
模型總結
1.（8分）如圖，已知點，在線段上， ，
，，求證： .
證明：因為 ,
所以，即 .
在與中，
所以 .
所以 ,
所以 .
模型2 對稱模型
模型總結
共邊BD
共邊AC
對頂角
共角∠A
共角∠EAC
2.（8分）如圖，是的中點，，.求證： .
證明：因為是 的中點，
所以 .
在和中，
所以 .
3.（10分）我們把兩組鄰邊相等的四邊形叫作“箏形”.如圖，四邊形 是一個箏形，
其中，.對角線，相交于點，， ，垂足分別
是，.求證： .
證明：因為在和中，
所以 ，
所以 .
又因為， ，
所以 .
在和 中，
所以 ，
所以 .
模型3 旋轉模型
模型總結
共頂點：
不共頂點：
4.（10分）如圖，在四邊形中，對角線，交于點 ，
，點是上一點，且， .求
證： .
證明：因為 ，
所以 ，
即 .
在和中，
所以 ，
所以 .
5.（10分）如圖，已知點，，，在直線上，點 ，
在異側，連接，，且， ，
.
（1）求證： ；
證明：因為 ，
所以 .
在和中，
所以 .
（2）說明， 的關系.
解：因為 ，
所以 .
在和中，
所以 ，
所以， ，
所以 ，
即， .
模型4 一線三等角模型
模型總結
6.（14分）通過對數學模型“ 字”模型或“一線三等角”模型的研究學習，解決下列問題：
【模型呈現】
任務1： 如圖①， ，，過點作于點，過點 作
于點.求證： .
圖①
證明：因為 ，
所以 .
因為， ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
在和 中，
所以 ，
所以 .
【模型應用】
任務2： 如圖②，,且，,且 ，請按照圖中所標注的
數據，計算圖中實線所圍成的圖形的面積為____.
50
圖②
【深入探究】
圖③
任務3： 如圖③， ，， ，連
接，，且于點，與直線交于點.若 ，
，則 的面積為____.
63(共19張PPT)
14.2 三角形全等的判定
14.2.4 其他判定兩個三角形全等的條件
知識點1 不能判定三角形全等的條件
1.在和 中，下列條件不能判定這兩個三角形全等的是( )
A
A.，，
B.，，
C.，，
D. ，，
2.已知在中，為上任意一點，若交于點，則與 的
三個角分別相等，但這兩個三角形不全等，這說明當兩個三角形滿足________相等時，
這兩個三角形不一定全等.
三個角
知識點2 用“ ”判定三角形全等
3.如圖，點，，，在同一條直線上，，， ，則判定
與 全等的依據是( )
A
第3題圖
A. B. C. D.
4. 如圖，點，，，在同一條直線上，， ，要
使，且判定依據是“ ”，還需添加的一個條件是__________________
_______________.（填一個即可）
（答案不唯一）
第4題圖
5.如圖， ，.若 ，則____ .
20
6.如圖，在中， ，，于點，于點 ，
，，則 的長是___.
4
7.（8分）（2024·合肥期末）如圖，在中， 是三角形的
中線，點，在直線上，且，求證： .
證明：因為 ，
所以 .
因為 是中線，
所以 .
在和 中，
所以 ，
所以 .
8.（10分）（2025·安徽模擬）如圖，，， 三點在同一直
線上，，， ，
（1）求證： .
證明：因為 ，
所以， .
因為，所以 .
在和中，
所以 ，
所以 .
（2）若 ，求 的度數.
解：因為 ，
所以 ，
所以 .
第9題圖
9.（2024·蚌埠期末）如圖，，是的高，相交于點 ，
若，，，則 的長為( )
A
A.2 B.3 C.4 D.5
10.如圖，小麗坐在秋千的起始位置處， 與地面垂直，兩腳在地面上用力一蹬，媽
媽在距地面高的處接住她后用力一推，爸爸在處接住她.若媽媽與爸爸到 的水
平距離，分別為和， ，則 處距離地面的高度是( )
D
第10題圖
A. B. C. D.
11.如圖，，，若， ，則點 的坐標為_______.
第11題圖
12.如圖，在中，為中線，過點作，交的延長線于點，過點 作
于點.在的延長線上取一點，連接，使 .
第12題圖
（1）若，則 ___；
（2） __.
2
13.（10分）如圖，在與中，與交于點，且 ，
，分別延長與交于點，求證： .
證明：在和 中，
所以 .
所以 .
因為 ，
所以 .
在和中，
所以，所以 .
14.（14分）（幾何直觀）
【感知】 如圖①，平分， ， ，易知：
_______.
圖①
【探究】 如圖②，平分， ， .
求證： .
圖②
解：如圖，過點作于點，，交 的延長線于
點，則 .
因為平分，， ，
所以 .
因為 ， ，
所以 .
在和中,
所以 ，
所以 .(共20張PPT)
14.2 三角形全等的判定
14.2.1 兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形
知識點1 已知兩邊及其夾角作三角形
1.根據下列條件，能畫出唯一 的是( )
A
A.，， B.，，
C. ， ， D.，，
知識點2 利用“SAS”判定三角形全等
第2題圖
2.如圖，和相交于點，若，用“ ”證明
還需( )
B
A. B.
C. D.
3.如圖，，點，在上,且 .請你只添加一個條件，使得
.
第3題圖
（1）你添加的條件是_________；
（2）依據所添條件，判定與 全等的理由是_________________.
（或邊角邊）
4.（8分）如圖，點,,,在同一直線上， ，
，.求證： .
證明：因為，所以 ，
所以 .
因為，所以 .
在和中，
所以 ，
所以 ，
所以 .
知識點3 “SAS”的實際應用
5.如圖，將兩根長度相同的鋼條,的中點連在一起，使,能繞點 自由轉
動，這樣就做成了一個測量工具，則的長等于內槽的長.判定 的
理由是_________________.
（或邊角邊）
6.（8分）【情境】如圖，為了測量池塘兩端， 之間的距離，在地面上選取可以直接
到達點和點的點，點，連接，，，，使平分， ，此
時測量出線段的長便是池塘兩端， 之間的距離.
【論證】請你證明“情境”中的結論正確.
證明：因為平分 ，
所以 .
在和中,
所以 ,
所以 .
7.在中，，中線，則 邊的取值范圍是( )
D
A. B. C. D.
8.如圖，在中，是的外角平分線，是上異于 的任意一點，設
，，，，則與 的大小關系是( )
A
第8題圖
A. B.
C. D.無法確定
第9題圖
9.（2024·合肥期中）如圖，在等邊三角形中， ，則
等于( )
C
A. B. C. D.
10.如圖①，在中， ，是高，是外一點， ，
，若，，，求 的面積.小穎思考后認為可以
在上截取,連接 （如圖②）.根據小穎的提示，解決以下問題：
圖①
圖②
（1） _______；
（2） 的面積為____.
64
11.（10分）（2024·淮南期末）如圖，在中，,分別是的高，在 上
取一點，使，在的延長線上取一點，使，連接與.判斷
與 的關系并證明你的結論.
解：， .證明如下：
因為 ，
所以， ，
所以 .
在和中，
所以 ，
所以， .
又因為 ，
所以 ，
所以 .
12.（14分）（幾何直觀）在和中，， ，
.
【基礎猜想】
（1）當點在上時，如圖①所示，線段， 有怎樣的數量關系和位置關系？并
說明理由.
圖①
圖①
解：， .理由如下：
延長交于點 ，如圖①所示.
在和 中，
所以 ，
所以， .
因為 ，
所以 ，
所以 ，
所以在中， ，
所以 .
綜上所述，， .
【拓展延伸】
（2）當點 在如圖②所示的位置時，請問（1）中的數量關系和位置關系是否還成立？
請說明理由.
圖②
圖②
解：（1）中的數量關系和位置關系還成立.理由如下：
延長交于點,交于點 ，如圖②所示.
因為 ，
所以 ，
即 .
在和中，
所以 ，
所以， .
因為 ，
所以 .
因為， ，
所以 .
所以在中， ，
所以 ，
綜上所述，， ，
所以（1）中的數量關系和位置關系還成立.(共19張PPT)
14.2.5 兩個直角三角形全等的判定
第1課時 兩個直角三角形全等的判定
知識點1 用“ ”判定直角三角形全等
第1題圖
1.如圖，有兩個長度相同的滑梯靠在一面墻上.已知左邊滑梯的
高度與右邊滑梯的水平長度相等，那么判定 與
全等的依據是( )
B
A. B. C. D.
2.如圖，已知于點，，若以“”為依據，使
（不添加輔助線），則可添加條件_________.
第2題圖
3.（8分）如圖，在和 中，
，，點,,, 在同一條直線
上，且，求證： .
證明：因為 ，
所以，即 .
因為 ，
所以與 為直角三角形.
在和中，
所以 .
知識點2 全等三角形的判定 與性質的綜合運用
4.下列各選項中的兩個直角三角形不一定全等的是( )
B
A.兩條直角邊對應相等 B.兩個銳角對應相等
C.斜邊和一條直角邊對應相等 D.有一個銳角及這個銳角的對邊對應相等
第5題圖
5.如圖，，于點，于點， ，若
，則 的度數為( )
B
A. B. C. D.
第6題圖
6.如圖（示意圖），嘉嘉與淇淇玩蹺蹺板游戲，蹺蹺板的支點
（即蹺蹺板的中點）到地面的距離是 ，當淇淇從水平位置
垂直上升 時，嘉嘉離地面的高度是( )
D
A. B. C. D.
7.（10分）如圖，點是線段的中點，在線段的同側作， ，過
點作于點，過點作于點，已知 .求證：
（1） ；
證明：因為點是線段 的中點，
所以 .
因為， ，
所以 .
因為， ，
所以 .
在和中，
所以 ，
所以 .
（2） .
[答案] 因為 ，
所以 .
因為 ，
即 ，
所以 .
第8題圖
8.如圖，在和中， ，
， ，則下列說法不正確的是( )
D
A. B.
C. D.
第9題圖
9.（2025·安徽模擬）如圖，在中， ，
點在邊上，，于點， .
若，，的面積是54，則 的長為
( )
B
A.13 B.15 C.16 D.18
易錯點 分類討論不全面導致漏解
10.如圖， ，，，，點和點同時從點 出發，分
別在線段和射線上運動，且，當________時，以點，， 為頂點
的三角形與 全等.
10或20
第10題圖
11.（2024·淮北月考）如圖，在中， ，以為邊作 ，滿足
，點為上一點，連接，，交于點.若， ，
，則
第11題圖
（1） ____；
（2） ____.
12.（14分）（幾何直觀）在平面直角坐標系中，已知 .
（1）如圖①,點在軸的正半軸上運動，點在軸的正半軸上運動，且 .
圖①
①求證： .
證明：如圖，過點作軸于點，作軸于點 ，
所以 .
因為，所以 .
在和中，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
②求 的值.
解：因為 ，
所以 .
因為， ，
所以 .
（2）如圖②,點在軸的正半軸上運動，點在軸的負半軸上運動，且 ，求
的值.
圖②
解：如圖，過點作軸于點，作軸于點 .
同理得 ，
所以 .
因為 ，
，
所以 ，
所以 .(共18張PPT)
14.2 三角形全等的判定
14.2.3 三邊分別相等的兩個三角形
知識點1 用“ ”判定三角形全等
1. 如圖，下列三角形中，與 全等的是( )
C
A. B. C. D.
2.用直尺和圓規作一個角等于已知角的示意圖如圖所示，則說明 的依
據是全等三角形的________相等，其全等的依據是_________________.
對應角
（或邊邊邊）
第2題圖
3.如圖，，，要利用“”來判定和 全等，下面的4個條
件：，，， ，其中可利用的是________.
①或②
第3題圖
4.（8分）（2024·淮北月考）如圖，在中， ，
分別以，為圓心，大于 的長為半徑畫弧，兩弧交于點
，連接，，.求證： .
證明：由作圖知 .
在和中，
所以 .
知識點2 三角形的穩定性
第5題圖
5.如圖，工人師傅做了一個長方形窗框，，，， 分別是四
條邊上的中點，為使它穩固，需要在窗框上釘一根木條，這根木條應
釘在( )
A
A.，兩點之間 B.， 兩點之間
C.，兩點之間 D.， 兩點之間
6.空調安裝在墻上時，一般都會采用如圖所示的方法固定，這種方法應用的幾何原理是
__________________.
三角形具有穩定性
第6題圖
知識點3 “ ”的實際應用
7.（8分）（傳統文化）放風箏是中國民間的傳統游戲之一，風箏又稱風琴，紙鷂，鷂
子，紙鳶.小華制作的風箏骨架的示意圖如圖所示，其中， ，他發現
不僅平分，且平分 ，你覺得他的結論正確嗎？請說明理由.
解：正確.理由如下：
在和中，
所以 ，
所以， ，
即不僅平分，且平分 ，
所以結論正確.
第8題圖
8.如圖，已知，， ，則圖中全等三
角形共有( )
B
A.2對 B.3對 C.4對 D.5對
9.如圖，，，， ， ，下列結論錯誤
的是____.（填序號）
④
第9題圖
;; ； .
10.（8分）如圖，已知是上一點，，， .
（1）求證： .
證明：因為， ，
所以 .
因為 ，
所以 .
在和中，
所以 ，
所以 .
（2）若 ，則 ____.
11.（8分）如圖，在中，線段的端點位于平面直角坐標系的網格點上，點 的
坐標為 .
（1）請在平面直角坐標系中畫出，使得與 全等.（畫出所有可能
的三角形，點， 不重合）
解： 如圖所示.
（2）直接寫出點 的坐標.
解：點的坐標為或或 .
12.（14分）（幾何直觀）
【初步探索】
（1）如圖①,在四邊形中，， ，,分別是, 上
的點，且，探究圖中,, 之間的數量關系.
圖①
小明同學探究此問題的方法是延長到點，使.連接 ，
先證明，再證明 ，可得出結論，他的
結論應是______________________；
【靈活運用】
（2）如圖②，若在四邊形中，， ，,分別是,
上的點，且 ，上述結論是否仍然成立 請說明理由.
圖②
解：成立.理由如下：
如圖，延長到點，使，連接 .
因為 ， ，
所以 .
又因為， ,
所以 ，
所以， .
因為，， ,
所以 ，
所以 .

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