資源簡介

(共19張PPT)
15.4 等腰三角形
第1課時 等腰三角形的性質定理1及推論
知識點1 等腰三角形的性質定理1
1.為等腰三角形，， ，則 的度數是( )
B
A. B. C. D.
2.如圖，在中，， ，
，則 的度數為( )
A
A. B. C. D.
3.（2024·合肥期末）如圖，在 中，
，若 ，則 的度數
為( )
C
A. B. C. D.
4.如圖，， ，.則____ .
66
知識點2 等邊三角形的性質
5.如圖，直線，等邊三角形的頂點在直線上， ，則 的度數為
( )
C
A. B. C. D.
6.如圖，是等邊三角形，，分別是，上的點，若 ，
,則____ .
40
7.（8分）如圖，為等邊三角形，點是線段 上的任意一點，
點是線段上的任意一點，且，直線與交于點 .
（1）求證： .
證明：因為 為等邊三角形，
所以， .
因為，所以 .
又因為 ，
所以 .
（2） 的度數為____.
[解析] 由（1）得， ，
所以 .故答案 .
8.如圖，直線，等邊三角形的兩個頂點， 分別落
在直線，上，若 ，則 的度數是( )
B
A. B. C. D.
易錯點 易漏掉一種情況而出錯
9.（2024·安慶期末）若等腰三角形的一個外角是 ，則這個等腰三角形的頂角的度
數是_________.
或
10.如圖，已知等邊三角形紙片，點在邊上，點在邊上，沿 折疊，使點
落在邊上的點，且，則 的度數為____.
11.（10分）如圖，在中， ， ，
，試求 的度數.
解：因為， ，
所以設 ， ，
所以 ， .
因為 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 .
因為 ，所以 .
12.（12分）如圖，在中，，是上一點，連接，交于點 ，且
，若 ， ，試求 的度數.
解：如圖，延長到點，使，連接 .
在和 中，
所以 ，
所以 ， .
又因為,所以 ，
所以 .
因為 ，
所以 .
因為 ，
所以 .
13.（14分）（推理能力）問題：如圖，在 中，
，在的延長線上取點，，作 ，使
，若 ， ，求 的度數.
答案： .
思考：
（1）如果把“問題”中的條件“ ”去掉，其余條件不變，那么 的度數會改
變嗎 說明理由.
解： 的度數不會改變.理由如下：
因為，所以 .
所以 .
因為，所以 .
因為 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
所以 .
（2）如果把“問題”中的條件“ ”去掉，再將“ ”改為“
”，其余條件不變，求 的度數.
解：設 ，
則 ， ，
所以 .
因為，所以 .
所以 .
所以 ，
所以 .(共6張PPT)
第15章 軸對稱圖形與等腰三角形
綜合與實踐 趨勢統計圖
項目 名稱 中國 趨勢分析及經濟發展洞察
背景 材料 國內生產總值，簡稱 是指一個國家和地區所
有常住單位在一定時期內生產活動的全部最終成果，是國際上通行的用于衡量
一個國家（或地區）經濟運行規模的宏觀經濟指標，其在政治、經濟、外交、
研究等領域具有廣泛應用.
小華所在的班級成立了 趨勢探究小組，通過查閱資料、數據收集與分
析等活動，對我國未來經濟趨勢進行了建模分析，并期望可以提出合理化的建
議.
數據 收集 數學探究小組查閱了《中國統計年鑒》，截取我國2019年至2023年的 相關
數據.
數據分析
（1）如圖，小華繪制了國內生產總值及人均國內生產總值的柱狀圖，描述2019年至
2023年的 的變化情況.
年我國國內生產總值及人均國內生產總值#1.1.1.1
[答案] 2019年至2023年的 呈平穩上升趨勢.
函數建模
（2）已知2024年約為1 349 084億元，根據 年的增長情況，計算我國
年平均增長率并預測2025年國內生產總值（結果保留一位小數）.
年國內生產總值及其增長率
[答案] 年的 年平均增長率
，
故預測2025年的為 （億元）.
實際應用
（3）通過分析數據，你能對未來經濟政策提出什么建議？
[答案] 繼續推動科技創新和綠色轉型；加大對新能源、半導體等關鍵領域的研發投入；
完善社會保障體系（醫療、教育），減少居民儲蓄傾向；開拓多元化國際市場；加強
中西部基礎設施投資，促進產業梯度轉移.（合理即可）(共20張PPT)
15.3 角的平分線
第2課時 角平分線的性質及判定
知識點1 角平分線的性質
第1題圖
1.如圖，平分，， ，垂足分別為
，.若，則 ( )
B
A.2 B.3 C.1.5 D.2.5
第2題圖
2.如圖，是的平分線上一點，于點， 于
點 ，下列結論中不一定正確的是( )
D
A. B.
C. D.
3.如圖，在中， ，平分，于點，， ，
則 的周長為___.
8
4.（8分）如圖，已知在四邊形中， ，平分， ，
，，求四邊形 的面積.
解：如圖，過點作，交的延長線于點 .
因為平分， ， ,
所以 ，
所以四邊形的面積
.
知識點2 角平分線的判定
5.（2024·亳州期末）兩個完全一樣的三角板按照如圖所示的方式擺放，使三角板的一
條直角邊分別與的邊，重合，它們的頂點重合于點，則點 一定在
( )
A
A.的平分線上 B. 邊的高上
C.邊的垂直平分線上 D. 邊的中線上
6.如圖， ，于點，于點，若，則 的度
數為____.
第6題圖
7.如圖，中， ， ，于點，且 ，則
____ .
27
第7題圖
8.（8分）如圖，是上一點，于點， 于
點，，分別是，上的點，且， .求
證：是 的平分線.
證明：在和 中，
所以 ，
所以 .
因為是上一點，， ，
所以是 的平分線.
知識點3 三角形的內角平分線的性質
9.如圖，三條公路將，， 三個村莊連成一個三角形區域，如
果在這個區域內修建一個集貿市場，要使集貿市場到三條公路的
距離相等，那么這個集貿市場應建的位置是( )
C
A.三條高線的交點 B.三條中線的交點
C.三條角平分線的交點 D.不確定
10.如圖，已知的周長是22，，分別平分和，于點 ，
且，則 的面積是____.
33
第11題圖
11.如圖，是的平分線，點是上一點，點 為直線
上的一個動點.若的面積為30，，則線段
的長不可能是( )
A
A.4 B.5 C.6 D.7
第12題圖
12.如圖，點是三條角平分線的交點， 的面積記
為，的面積記為，的面積記為，關于 ，
， 之間的大小關系，正確的是( )
C
A. B.
C. D.
13.（10分）如圖，在中，點，，在邊上，點在線段 上，若
，，點到和的距離相等，求證：點到和 的距離相等.
證明：如圖，作于點，交于點，作于點 ，
交于點 .
因為，， ，
所以 .
因為 ，
所以， .
因為，所以 ，
所以， ，
所以，所以 ，
即點到和 的距離相等.
14.（14分）（運算能力）如圖，中，點
在邊上， ， 的平分線交
于點，過點作，垂足為 ，且
，連接 .
（1）求 的度數.
解：因為，所以 .
因為 ，
所以 .
因為， ，
所以 .
（2）求證：平分 .
證明：如圖，過點作交于點 ，
交于點 .
因為 ， ，
所以 .
由（1）可知， ，
所以 ，
所以平分 .
因為， ，
所以 .
因為平分，， ，
所以 ，
所以 .
因為， ，
所以平分 .
（3）若，，，的面積是18，求 的面積.
解：因為 ，
所以 ，
所以 .
因為，， ，
所以 ，
所以，所以 .
因為 ，
所以 .(共8張PPT)
15.2 線段的垂直平分線
第2課時 線段垂直平分線的作法
知識點1 線段垂直平分線的畫法
1.如圖，已知線段，利用尺規作 的垂直平分線，步驟如下：
①分別以點，為圓心，以的長為半徑作弧，兩弧相交于點和 .
②作直線.直線就是線段的垂直平分線.則 的長可能是
( )
D
A.1 B.2 C.3 D.4
2.（8分）尺規作圖：如圖，已知，作出邊的垂直平分線，分別交，
于點， .（保留作圖痕跡，不寫作法）
解：如圖，直線 即為所求.
知識點2 三角形三邊的垂直平分線
3. 如圖，線段， 的垂直平分線相交于
點，則與 的關系是 ( )
B
A. B. C. D.
4.三角形草坪如圖所示，現準備在該三角形草坪內種一棵樹，使得該樹到 三
個頂點的距離相等，則該樹應種在 的( )
A
A.三條邊的垂直平分線的交點處
B.三條高的交點處
C.三條中線的交點處
D.以上均不正確
5.已知，用尺規作圖的方法在上確定一點，使 ，則
符合要求的作圖痕跡是( )
C
A. B. C. D.
6. 如圖，將放在每個小正方形邊長均為1的網格中，點 ，
，均落在格點上，若點的坐標為，點的坐標為，則到 三個
頂點距離相等的點的坐標為______.
7.（10分）如圖，已知，請用尺規過點作一條直線，使其將 分成面積相
等的兩部分.（不寫作法，保留作圖痕跡）
解：如圖，直線 即為所求.（答案不唯一）(共9張PPT)
第15章 軸對稱圖形與等腰三角形
練專題十 利用軸對稱解決最值問題
類型1 利用兩點間線段最短求最值
1.直線是一條河，，是兩個村莊，欲在上的某處修建一個水泵站，向， 兩地供
水，現有如下四種鋪設方案，圖中實線表示鋪設的管道，則所需管道最短的是( )
C
A. B. C. D.
2.如圖，在中，的垂直平分線分別交邊， 于點
，，點為上一動點，則 的最小值是線段( )
C
A.的長度 B.的長度 C.的長度 D. 的長度
3.如圖，在平面直角坐標系中，點，，在軸上取一點，使點到點 和
點的距離之和最小，則點 的坐標是______.
4.（8分）如圖，在中， ，，，， 垂直平分
，點為直線上的任一點，試求 周長的最小值.
解：如圖，連接,設交于點 .
因為垂直平分，所以 .
所以的周長 ,
當點和點重合時，的值最小，最小值等于 的
長，
所以周長的最小值是 .
類型2 利用垂線段求最值
5.如圖，點為線段上的動點，，以為邊作等邊三角形，以 為底邊
作等腰三角形，連接,則 的最小值是___.
4
6.（10分）如圖，在銳角三角形中，，的面積為18，平分 ，
若,分別是,上的動點，試求 的最小值.
解：如圖，作點關于的對稱點，連接，交于點 ，
作于點，所以 ,
所以 .
因為平分 ，
所以點在 上，
所以 ，
所以的最小值為 的長.
因為 ,
所以 ,
所以 ,
所以 的最小值為6.(共9張PPT)
15.2 線段的垂直平分線
第1課時 線段垂直平分線的性質及判定
知識點1 線段垂直平分線的性質
第1題圖
1.如圖，是線段的垂直平分線，垂足為點，，是 上
兩點.下列結論不一定正確的是( )
A
A. B. C. D.
2.（2024·黃山期末）如圖，已知，，是線段 的垂直平分線，
則 的周長為( )
B
第2題圖
A. B. C. D.
3.如圖，在中， ，所在的直線是的垂直平分線，交 于點
，交于點， ，則 的度數為____.
4.（8分）如圖，點在上，垂直平分，垂足為，垂直平分，垂足為 .
求證： .
證明：如圖，連接.因為 垂直平分
，垂直平分，所以 ，
，所以 .
知識點2 線段垂直平分線的判定
5.如圖，點是內的一點，若 ，則( )
D
A.點在的平分線上 B.點在 的平分線上
C.點在邊的垂直平分線上 D.點在邊 的垂直平分線上
6.如圖，在中，邊的垂直平分線交邊于點，交邊于點，若
的周長為24，與四邊形的周長之差為12，則線段 的長為___.
6
7.（10分）如圖，在四邊形中，，為 的中點，連
接并延長，交的延長線于點 .
（1）求證： .
證明：因為 ，
所以 .
因為為的中點，所以 .
在和 中，
所以 ，
所以 .
（2）若，，當的長為多少時，點在線段 的垂直平分線上 為什么
解：當時，點在線段 的垂直平分線上.理由如下：
因為，， ，
所以 .
又因為， ，
所以 ，
所以點在線段 的垂直平分線上.(共19張PPT)
15.1 軸對稱圖形
第3課時 平面直角坐標系中的軸對稱
知識點1 平面直角坐標系中點的軸對稱
1.點關于 軸對稱的點的坐標為( )
B
A. B. C. D.
2.在平面直角坐標系中，點關于 軸的對稱點在( )
A
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
知識點2 平面直角坐標系中的軸對稱作圖
3.（8分）如圖，在平面直角坐標系中，三個頂點的坐標分別是 ，
， .
（1）請畫出關于軸對稱的 .
解：如圖①， 即為所求.
圖①
（2）請畫出關于軸對稱的 .
解：如圖②， 即為所求.
圖②
4.如圖，在的正方形網格中有四個格點，，， ，以其中一
個點為原點，網格線所在直線為坐標軸，建立平面直角坐標系，使其
余三個點中存在兩個點關于一條坐標軸對稱，則原點可能是( )
D
A.點 B.點 C.點 D.點
5.已知點關于軸的對稱點在第四象限，則 的取值范圍是( )
D
A. B. C. D.
6.已知點關于軸的對稱點和點關于 軸的對稱點相同，則點
關于 軸對稱的點的坐標為( )
B
A. B. C. D.
7.如果點在軸上，那么點關于 軸對稱的點的坐標是________.
8.如圖，在平面直角坐標系中， ，，平分 ，點
關于 軸的對稱點的坐標是________.
9.（12分）（2025·滁州模擬）在由小正方形組成的 網格中，建立如圖所示的平
面直角坐標系，已知格點三角形 （頂點為網格線的交點）.
（1）將向右平移5個單位長度得到，畫出 ；
解：如圖， 即為所求.
（2）畫出關于軸對稱的 ；
解：如圖， 即為所求.
（3）若點的坐標為，請寫出經過上述兩種圖形變換后的對應點 的坐標.
解： .
10.（12分）（推理能力）如圖，在平面直角坐標系中，對 進行循環往復的軸對
稱變換，點坐標是 .
（1）經過第6次變換后，寫出點 的對應點的坐標.
解：因為點第1次關于 軸對稱后在第四象限，
點第2次關于 軸對稱后在第三象限，
點第3次關于 軸對稱后在第二象限，
點第4次關于軸對稱后在第一象限，即點 回到原始位置，
所以每4次軸對稱為一個循環組依次循環，
所以第6次變換后與第2次變換后的點相同，在第三象限，坐標為 .
（2）經過第2 026次變換后，寫出點 的對應點的坐標.
解：因為 ，所以經過第2 026次變換后與第2次變換后的位置相
同，在第三象限，坐標為 .
11.（14分）（創新意識）（新定義題）在平面直角坐標系中，經過點 且平行于
軸的直線記作直線.給出如下定義：將點關于軸的對稱點記作點 ，再
將點關于直線的對稱點記作點，則稱點為點關于軸和直線
的“青一對稱點”.例如：點關于軸和直線的“青一對稱點”為點 .
（1）點關于軸和直線的“青一對稱點” 的坐標是_________.
（2）點關于軸和直線的“青一對稱點”的坐標是 ，求
和 的值.
解：因為點關于軸和直線的“青一對稱點”的坐標是 ，
所以解得
（3）若點關于軸和直線的“青一對稱點” 在第二象限，且滿足
條件的的整數解有且只有一個，求 的取值范圍.注:選擇題每題4分，填空題每題5分.
解：點關于軸和直線的“青一對稱點” 為
.因為在第二象限，所以， ，所以
，.因為滿足條件的的整數解有且只有一個，所以 ，解得
.(共9張PPT)
15.3 角的平分線
第1課時 角平分線的作法
知識點1 角平分線的畫法
第1題圖
1.如圖，用尺規作已知角的平分線，其根據是構造兩個三角
形全等，它所用到的判別方法是( )
D
A. B. C. D.
第2題圖
2.閱讀以下作圖步驟：①在和上分別截取， ，使
；②分別以，為圓心，以大于 的長為半徑作弧，
兩弧在內交于點；③作射線，連接， ，如圖
所示.根據以上作圖，一定可以推得的結論是( )
A
A.且 B.且
C.且 D.且
3.（8分）如圖，已知：.求作： 的補角的平分線.
解：如圖所示，先反向延長射線至點，得到的補角 ，用尺規作已知角
的平分線的方法，作出的平分線.OD就是 的補角的平分線.
知識點2 過一點作已知直線的垂線
4.（8分）如圖，請你在各圖中，過點畫出射線或線段 的垂線.（不寫作法，保留
作圖痕跡）
圖①
圖②
圖③
解：如圖所示.
圖①
圖②
圖③
5.如圖，在中，，按如下步驟作圖：①以點 為圓心，任意長為半徑
畫弧，交于點，交于點；②分別以點，為圓心，大于 的長為半徑畫弧，
兩弧相交于點；③作射線，交于點.若 ，則 的度數為____.
6.（8分） 已知：線段，如圖.求作：，使 ，
， .（不寫作法，保留作圖痕跡）
解：如圖所示， 即為所求.
7.（10分）請用尺規作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡.
已知： .
求作：點，使，且點在邊 的高上.
解：如圖，點 為所求.(共11張PPT)
15.1 軸對稱圖形
第1課時 軸對稱圖形
知識點1 軸對稱圖形的概念
1.（2024·六安期末）下面四幅作品是某設計公司為學校文化墻設計的體育運動簡筆畫，
其中軸對稱圖形是( )
A
A. B. C. D.
2.（2024·池州期末）下列圖形中軸對稱圖形的個數為( )
B
A.2 B.3 C.4 D.5
知識點2 對稱軸的確定
3.長方形是軸對稱圖形，它的對稱軸有( )
B
A.1條 B.2條 C.3條 D.4條
4.下列圖形中只有一條對稱軸的是( )
D
A. B. C. D.
5.（8分）下列圖形是軸對稱圖形嗎？若是，請畫出對稱軸.
解：它們均為軸對稱圖形，對稱軸如圖所示.
6.（2025·亳州模擬）下列手機屏幕手勢解鎖圖案中，是軸對稱圖形的是( )
D
A. B. C. D.
7.下列圖形中，對稱軸最多的是( )
D
A. B. C. D.
8.（2024·蕪湖期中）如圖，在 的正方形網格中，有2個白色小正
方形被涂成灰色，若要從剩余的白色小正方形中選出一個涂成灰色，
使得3個灰色小正方形構成軸對稱圖形，則涂色方案共有( )
D
A.3種 B.4種 C.5種 D.6種
9.（跨學科融合）26個大寫英文字母中，共有____個可以看成軸對稱圖形.
16
10.（12分）（幾何直觀）如圖，為了美化環境，需在一塊正方形空地上分別種植四種
不同的花草，現將這塊地按下列要求分成四塊：
（1）分割后的整個圖形必須是軸對稱圖形；
（2）四塊圖形形狀相同；
（3）四塊圖形面積相等.
請按照上述要求，分別在三個正方形中給出三種不同的分割方法.（只要求正確畫圖，
不寫畫法）
解：如圖所示.（答案不唯一）(共21張PPT)
15.4 等腰三角形
第3課時 等腰（邊）三角形的判定
知識點1 等腰三角形的判定
1.在中， ， ，則這個三角形是( )
C
A.直角三角形 B.鈍角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
2.如圖， 為兩個直角三角板的公共頂點，
，則圖中等腰三角形共有( )
D
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
知識點2 等邊三角形的判定
3.已知，，為的三個內角，且，則 的形狀是
( )
B
A.等腰三角形 B.等邊三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
4.如圖，能推出 是等邊三角形的是( )
C
A.
B.，
C.，，
D.，
5.（2024·宿州月考）若等腰三角形的腰長為，頂角為 ，則這個等腰三角形的周
長為____.
7.5
6.（8分）如圖，在四邊形中，， 的平
分線與的延長線交于點， .求證： 為等
邊三角形.
證明：因為，所以 .
因為的平分線與的延長線交于點 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
所以 為等邊三角形.
知識點3 含 角的直角三角形的性質
7.在中， ， ，，則 邊上的高的長度為( )
B
A.1 B.2 C.4 D.
8.如圖，在中， ，若，，則 的長為____.
10
第9題圖
9.如圖，在中，和的平分線交于點，過點
作交于點，交于點.若， ，則
線段 的長為( )
B
A.6 B.7 C.8 D.9
第10題圖
10.（2024·安慶期末）如圖，在中，， ，
以點為圓心，長為半徑畫弧，交于點，，連接 .若
，，則 的周長是( )
B
A. B. C. D.
11.如圖，在中，平分，，，若， ，
則 的長為____.
25
12.（8分）如圖，一艘輪船位于燈塔的南偏東 方向的 處，它以每小時40海里的
速度向正北方向航行，2小時后到達位于燈塔的北偏東 方向的處，求 處與燈塔
的距離.
解：如圖，由題意，得， （海里），
所以 ， ，
所以 ，
所以，所以 海里，
所以處與燈塔 的距離為80海里.
13.（12分）如圖，在等邊三角形中，與 的平
分線相交于點，且， .
（1）試判斷 的形狀，并說明理由.
解： 是等邊三角形.
理由：因為 是等邊三角形，
所以 .
因為， ，
所以 ， .
所以 ,
所以 ,
所以 是等邊三角形.
（2）線段，， 三者有什么數量關系 寫出你的判斷過程.
解：因為平分，且 ，
所以 .
因為 ，
所以 .
所以 .
所以 .
同理， .
由（1）,知,所以 .
14.（14分）（幾何直觀）如圖，在中， ， ，
，，,是邊上的兩個動點，其中點從點 開始沿
方向運動，且速度為，點從點開始沿 方向運動，且速度為
，,兩點同時出發，當點運動到點時兩點停止運動，設運動時間為 .
（1）_________（用含 的式子表示）.
（2）當點在邊 上運動時，
①出發幾秒后， 是等腰三角形？
解：當點在邊上運動，為等腰三角形時，，解得 ，
所以出發后， 為等腰三角形.
②通過計算說明能否把 的周長平分.
解：當點在邊上時， ，如圖所示.
因為， ，
所以， .
因為把 的周長平分，
所以 ，
解得 ，不符合題意，舍去，
所以點在邊上運動時,不能把 的周長平分.
（3）當點在邊上運動時，若是以或為底邊的等腰三角形，求出此時 的值.
圖①
[答案] ①當是以為底邊的等腰三角形時, ，
如圖①所示，
則 .
因為 ，
所以 , ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
圖②
②當是以為底邊的等腰三角形時, ，如圖
②所示，
則，所以 .
綜上所述，當為11或12時，是以或 為底邊的等
腰三角形.(共19張PPT)
第15章 軸對稱圖形與等腰三角形
練專題十一 構造等腰三角形的常見方法
方法1 作平行線構造等腰三角形
方法指導#1
方式1 作底邊的平行線
_________________________________________________________________________________________
條件：， .
結論：
方式2 作腰的平行線
______________________________________________________________________________________
條件：， .
結論：
續表
1.（10分）如圖，過等邊三角形的邊上一點，作于點，為 延長
線上一點，且，連接交邊于點.求證： .
證明：如圖，過點作交于點 ，
所以，， .
因為 為等邊三角形，
所以 ，
所以 ，
所以 ,
所以 是等邊三角形.
所以 .
因為 ，
所以，所以 ，
所以 .
方法2 通過二倍角構造等腰三角形
方法指導#1
方式1 外構等腰
____________________________________________________________
條件： .
作法：延長到點,使 .
結論：
方式2 內構等腰
__________________________________________________________
條件： .
作法：作 .
結論：
續表
方式3 作角平分線
________________________________________________________________
條件： .
作法：作平分 .
結論：
續表
2.（10分）如圖，在中，是的高，，， ，求
的長.
解：如圖，在線段上截取，連接 .
因為， ,
所以是 的垂直平分線，
所以 ，
所以 .
因為，所以 .
又因為 ，
所以 ，
所以 .
因為，，所以 ，
所以 .
方法3 倍長中線法構造等腰三角形
方法指導#1
方式1 角平分線 中點
_______________________________
條件：， .
作法：延長到點,使,連接 .
結論：
方式2 等腰 中點
__________________________________________
條件：， .
作法：延長到點,使,連接 .
結論：
續表
3.（10分）如圖，，，此時 成立嗎？請說明理由.
解： 成立.
理由：延長至點，使，連接 ，如圖所示.
在和 中，
所以 ，
所以， .
因為 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
方法4 截長補短法構造等腰三角形
方法指導#1
方式1 角平分線 截長
_____________________________________________________________
條件：， .
作法：在上取點,使，連接 .
結論：
方式2 角平分線 補短
___________________________________________________________
條件：， .
作法：延長到點,使,連接 .
結論：
續表
4.（10分）如圖，在中，平分交于點，且 ，求證：
.
證明：如圖，在上截取，連接 .
因為平分 ，
所以 .
在和 中，
所以 ，
所以， .
又因為 ，
所以 .
因為 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .(共10張PPT)
15.1 軸對稱圖形
第2課時 軸對稱
知識點1 軸對稱及線段垂直平分線的概念
1.下列選項中的兩個圖案成軸對稱的是( )
D
A. B. C. D.
2.如圖，直線是線段的垂直平分線.已知，直線與線段交于點 ，則
___ .
3
知識點2 軸對稱的性質
第3題圖
3.如圖，與關于直線對稱，連接交直線于點 ，
下列結論不一定正確的是( )
C
A. B.
C. D. 直線
4.如圖，與關于直線對稱， ，則
第4題圖
（1）___ ；
（2）____， ______.
3
知識點3 軸對稱作圖
5.（8分）如圖，在方格紙中，畫出關于直線對稱的圖形 .
解：如圖所示， 即為所求.
6.（2025·合肥模擬）在中，將， 按如圖所示的方式
折疊，點，均落在邊上的點處，線段， 為折痕.若
，則 的度數為( )
D
A. B. C. D.
7.（跨學科融合）下面的圖案均可看作由一個大寫英文字母經過適當變換得到的.通過
找出這組圖形符號中所蘊含的內在規律，在空白處的橫線上畫出恰當的圖形.
____ .
8.（綜合與實踐）小強站在鏡前，從鏡子中看到鏡子對面墻上掛著的電子表，其示數如
圖所示，則電子表的實際時刻是________.
10：21
9.（12分）如圖，點是外的一點，點與點關于對稱，點
與點關于對稱，直線分別交，于點，，連接 ，
，， .
（1）若 ，則 的度數為______；
（2）若，，，求 的長.
解：因為點與點關于對稱，點與點關于對稱， ，
所以，，所以 ，
所以，解得，所以 .(共28張PPT)
第15章 軸對稱圖形與等腰三角形
第15章 章末復習
考點1 軸對稱與軸對稱圖形
1.（2024·合肥期末）數學中有許多精美的曲線，以下是“科克曲線”“黃金螺旋線”“三葉
玫瑰線”和“笛卡兒心形線”，其中不是軸對稱圖形的是( )
B
A. B. C. D.
2.如圖，和關于直線 對稱.
（1）若 ， ，則 的度數為______；
（2）若，，則 的取值范圍為_____________.
3.（8分）如圖所示，在正方形網格中，每個小正方形的邊長為1.
（1）過直線作四邊形的對稱圖形 ；
解：如圖，四邊形 即為所求.
（2）四邊形 的面積為___.
6
4.（10分）（2024·阜陽期末）如圖，，點關于的對稱點恰好落在
上， ，為的邊上的中線，試求 的度數.
解：因為點與點關于 對稱，
所以，， .
因為，所以 .
因為是 的中線，
所以， ，
所以 .
因為 ，
所以 ，
所以 .
考點2 平面直角坐標系中的軸對稱
5.在平面直角坐標系中，點關于 軸對稱的點的坐標為( )
A
A. B. C. D.
6.（2025·馬鞍山模擬）剪紙藝術是中國民間藝術之一，很多剪紙作
品體現了數學中的對稱美.如圖，蝴蝶剪紙是一幅軸對稱圖形，將其
放在平面直角坐標系中，如果圖中點的坐標為，其關于
軸對稱的點的坐標為，那么 的值為( )
D
A. B. C.0 D.1
7.（8分）（2024·亳州期末）在如圖所示的正方形網格中，每個小正方形的邊長均為
1，的頂點都在網格線的交點上，點的坐標為，點的坐標為 .
（1）請在網格中建立平面直角坐標系，并寫出點關于軸的對稱點 的坐標；
解：建立平面直角坐標系如圖所示.點關于軸的對稱點的坐標為 .
（2）畫出關于軸的對稱圖形 .
解：如圖， 即為所求.
考點3 線段垂直平分線的性質與判定
8.（2024·合肥期末）如圖，在中，， 分別垂
直平分和，垂足為，，且分別交于點， .若
，則 的度數為( )
B
A. B. C. D.
9.（8分）如圖，在四邊形中，，邊的垂直平分線經過點 .求證：
點在 的垂直平分線上.
證明：如圖，連接 .
因為垂直平分 ，
所以 .
又因為，所以 ，
所以點在 的垂直平分線上.
10.（10分）（2024·宿州期末）如圖，在 中，
， .
（1）尺規作圖：①作邊的垂直平分線交, 于點
, ；
解：如圖，直線，射線 即為所求.
②連接，作的平分線交于點 .（要求：保留
作圖痕跡，不寫作法）
（2）在（1）所作的圖中，求 的度數.
解：因為垂直平分線段 ，
所以，所以 .
因為 ，
所以 ，
所以 .
因為平分 ，
所以 .
考點4 角的平分線的性質與判定
11.如圖，兩把完全相同的長方形直尺按如圖方式擺放，
記兩把直尺的接觸點為點 .其中一把直尺邊緣恰好和射
線重合，而另一把直尺的下邊緣與射線 重合，上
邊緣與射線交于點，連接.若 ，則
的大小為( )
B
A. B. C. D.
12.如圖，在中， ，，，平分 ，則點
到的距離等于___ .
3
13.在中，是邊上的點（不與點，重合），連接 .
（1）如圖①，是的平分線.若，，則 _____；
（用含， 的式子表示）
圖①
圖②
（2）如圖②，平分，延長到點，使得 ，連
接.若，，，則 的面積為____.
16
考點5 等腰（邊）三角形的性質與判定
14.如圖，在中， ，為 的中
點，連接，則 的度數為( )
C
A. B. C. D.
15.（2024·安慶期末）如圖，在中， ， ，斜邊 的垂直平
分線交于點，交于點，，則 的長度為( )
A
A. B. C. D.
16.（2024·蕪湖月考）如圖，為等邊三角形，為延長線上一點，作
交的延長線于點.若，，則 的長為___.
3
17.（14分）（綜合與實踐）綜合與實踐：
【問題情境】
已知在中， ，，點為直線 上的動點
（不與點，重合），點在直線上，且，設 .
【初步嘗試】
（1）如圖①，若點在邊上，當 時，求和 的度數.
圖①
解： .因為在中， ，
，所以 ，所以
.因為，所以 .因為
，所以 ，所以
.
【拓廣探索】
圖②
（2）如圖②，當點運動到點 的左側時，其他條件不變，試
猜想和 的數量關系，并說明理由.
解： .理由如下：
在中， ，所以 .在
中， ，
所以.因為 ，所以
.因為
， ，所以 ，
所以 .
（3）如圖③，當點運動到點的右側時，其他條件不變，請求出和 的數
量關系.
圖③
解：在中， ，
所以 ，
所以 .
在中，， ,
所以 .
因為 ，
所以 .
因為 ， ，
所以，所以 .(共6張PPT)
第15章 軸對稱圖形與等腰三角形
綜合與實踐 天安門廣場的升旗時刻
活動 名稱 天安門廣場的升旗時刻規律探究
背景 材料 天安門廣場國旗升降時刻分別是在天安門廣場看到太陽升起和落下的時刻.
天安門廣場國旗升降時刻是按照天安門廣場所在地點的經緯度，計算出太陽每
天升起和落下時刻所確定，寓意偉大祖國與日同輝、繁榮昌盛.
淇淇所在的數學興趣小組為探究天安門廣場升旗時刻的變化規律，通過查
閱資料、數據收集與分析等活動，運用函數等數學知識進行了建模分析.
數據 收集 數學興趣小組為了研究天安門廣場的升旗時刻存在的規律，查閱了2024年
5月1日—5月14日的天安門廣場升旗時刻表.
_____________________________________________________________________________________________
數據分析
（1）根據表中的數據推測5月15H的升旗時刻為_______,5月31H的升旗時刻為_______.
4：59
4：43
函數建模
（2）淇淇通過觀察發現大多數的升旗時刻都比前一天晚 ，據此淇淇建立了每天
的日期與對應升旗時刻的函數關系，設日期為變量（規定5月1日時， 隨天數的
增加而增加，為整數），升旗時刻的分鐘數為變量（規定5：01時， 隨時間的
遞減而遞減， 為整數），則選取5月8日至5月14日的數據，請表示出它們之間的函數
關系式.
[答案] 設函數關系式為 .
將，和， 分別代入，得
解得， ，
則函數關系式為（， 均為整數）.
實際應用
（3）根據日期與對應升旗時刻的函數關系式，計算5月15日的升旗時刻為_______，5
月31日的升旗時刻為_______，與你的推測是否符合？
4：59
4：43
[答案] 符合.
（4）淇淇能根據函數關系推測出2025年5月1日的升旗時刻嗎？若不能，應該怎么預測？
[答案] 不能.可以根據同年的數據來推測2025年5月1日的升旗時刻.(共11張PPT)
第15章 軸對稱圖形與等腰三角形
練專題十二 等腰三角形中的手拉手模型
模型1 共頂點的等腰三角形
1.（10分）如圖，，都是等腰直角三角形， ，判斷
與 的關系，并說明理由.
解：， .理由如下：
因為， 都是等腰直角三角形，
所以，， ，
所以，即 .
在和中，
所以 ，
所以， .
因為 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，所以 ，
所以， .
2.（10分）如圖，和均為等腰三角形，點，，
在同一直線上，連接 ，若
.
（1）求證： .
證明：因為 ，
所以，， ，
所以 .
在和 中，
所以，所以 .
（2）求 的度數.
解：設與交于點 ，如圖.
因為，所以 .
因為 ，
所以 ，
所以 .
模型2 共頂點的等邊三角形
3.（10分）如圖，，都是等邊三角形，與相交于點.求 的度數.
解：因為與 都是等邊三角形，
所以，， ， ，
所以 ，
即 .
在和中，
所以 ，
所以 .所以
4.（12分）如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為，以線段 為邊在第四象限
內作等邊三角形，點為軸正半軸上一動點，連接，以線段 為邊在
第四象限內作等邊三角形，連接并延長，交軸于點 .
（1）與 全等嗎？判斷并證明你的結論；
解： .
證明：因為， 都是等邊三角形，
所以，， ，
所以 .
在和中，
所以 .
（2）當點運動到什么位置時，以，， 為頂點的三角形是等腰三角形？
解：由（1）可得 ，
所以 .
又因為 ，
所以 ，
所以 ， ，
所以當以，，為頂點的三角形是等腰三角形時，和 是腰.
因為在中，， ，
所以 ，
所以，所以 ，
所以當點的坐標為時，以，， 為頂點的三角形是等腰三角形.(共6張PPT)
第15章 軸對稱圖形與等腰三角形
綜合與實踐 繪制校園平面地圖
活動一： 繪制校園平面地圖
背景材料：學習了如何繪制校園平面地圖后，嘉嘉、淇淇和小華決定實地測量，繪制
一幅詳細的校園平面地圖并深入探究，給即將到來的新同學圓圓介紹美麗的校園.
準備工具：測距儀，米尺，測角儀.
活動過程：經過測量，學校的長度是，寬度是 ，嘉嘉將學校平面地圖設計
為長為，寬為 的平面地圖.
探究問題：他們繪制的校園平面地圖（縮略圖）如圖所示，根據信息完成任務.
任務一： 嘉嘉制定的比例尺是多少？若操場在平面地圖上的長度是 ，則操場的
實際長度是多少？
[答案] 嘉嘉制定的比例尺是.操場的實際長度是 .
任務二： 經測量，體育館在博學樓的西偏北 方向 處，若以博學樓為中心應當
怎樣向圓圓介紹體育館的位置？
[答案] 體育館在博學樓的西偏北 方向 處.
活動二： 會用坐標系確定位置
拓展延伸：嘉嘉發現若以博學樓為中心建立平面直角坐標系，可以將校園建筑在坐標
系中標出具體的坐標（按圖上距離），確定位置.
任務一： 經測量，至善樓的坐標為，且德馨樓與至善樓關于 軸對稱，則德馨
樓的坐標是_________，若厚德樓在博學樓的正南方向 處，則厚德樓的坐標是
________.
任務二： 若以厚德樓為中心建立平面直角坐標系，請分別寫出博學樓、德馨樓與至善
樓的坐標，在給出的坐標系中標出它們的位置.
[答案] 博學樓的坐標為，德馨樓的坐標為，至善樓的坐標為 .如圖所示.(共9張PPT)
15.4 等腰三角形
第2課時 等腰三角形的性質定理2
知識點 等腰三角形的性質定理2
1. 如圖，屋頂鋼架外框是等腰三角形，其中 ，工人師傅在
焊接立柱時，只用找到的中點，這就可以說明豎梁垂直于橫梁 了，工人師傅
這種操作方法的依據是( )
B
A.等邊對等角 B.等腰三角形“三線合一”
C.垂線段最短 D.以上均不正確
2.已知是等腰三角形，，是底邊 上的高，
下面結論不一定成立的是( )
B
A. B.
C.平分 D.
3.（2024·亳州期末）如圖，，分別是 的中線和高.若
， ，則 的度數為( )
B
A. B. C. D.
4.（8分） 如圖，已知點，在 的邊
上，，，為的中點，求證： .
證明：因為為 的中點，
所以 .
因為 ，
所以 ，
所以 .
又因為 ，
所以 .
5.已知的周長是，，，垂足為，的周長是 ，
則 的長是( )
C
A. B. C. D.
6.（12分）
圖①
（1）如圖①，若, ，是邊上的高， ，
則 的度數為____.
圖②
（2）如圖②，若, ，是 邊上的高，
，則____ .
20
（3）思考：通過以上兩題，你發現與 之間有什么關系？
請用式子表示：_ _________________________________.
或
圖③
（4）如圖③，若,不是邊上的高， ，是否
仍有上述關系？如有，請說明理由.
解：仍有上述關系.理由如下：
因為，所以 ，
又因為，所以 ，
所以 .
所以 .(共14張PPT)
第15章 軸對稱圖形與等腰三角形
練專題九 軸對稱網格作圖
類型1 平面直角坐標系中的作圖
1.（8分）（2024·安慶期末）如圖，在邊長為1個單位
長度的正方形網格中，建立平面直角坐標系，
是格點三角形（頂點都在格點上的三角形）.
（1）畫出關于軸對稱的 ；
解：如圖， 即為所求.
（2）畫出向左平移4個單位長度，再向下平移4個單位長度得到的 .
解：如圖， 即為所求.
2.（12分）（2024·滁州期末）如圖，在平面直角坐標系中， 的頂點坐標分別為
，， .
（1）將平移，平移后點的對應點為，畫出平移后的 ；
解：因為， ，
所以平移方式為向左平移3個單位長度，向上平移3個單位長度.
如圖， 即為所求.
（2）畫出關于軸對稱的 ；
解：如圖， 即為所求.
（3）求 的面積.
解：的面積為 .
類型2 正方形網格中的作圖
3.（8分）圖①、圖②均是正方形的網格，每個小正方形的頂點稱為格點，點， 均
在格點上.
（1）在圖①中，畫出線段關于對稱后的線段 .
圖①
解：如圖①，線段 即為所求.
圖①
（2）在圖②中，畫出線段關于對稱后的線段 .
圖②
解：如圖②，設點關于的對稱點為，與格線的交點為，連接 并延長交格
線于點，則線段 即為所求.
圖②
4.（8分）如圖所示，在網格中，每個小正方形的邊長均為1.
（1）作四邊形關于直線 的對稱圖形；
解：如圖所示，四邊形 即為所求.
（2）求四邊形 的面積.
解：四邊形的面積 .
5.（10分）如圖，三角形的三個頂點都在正方形網格的格點上，請在圖①②③④中分別
畫出另一個三角形，使它與已知的三角形關于某條直線成軸對稱，并畫出對稱軸.
圖①
圖②
圖③
圖④
解：如圖所示.（答案不唯一）
圖①
圖②
圖③
圖④

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