資源簡介

課件44張PPT。有效改進課堂教學人民教育出版社 章建躍
[email protected]一、數(shù)學教師專業(yè)化發(fā)展的思考數(shù)學學科的專業(yè)素養(yǎng)
有較好的數(shù)學功底（教好數(shù)學的前提是自己先學好數(shù)學），對數(shù)學內(nèi)容所反映的思想、精神有深入的體會和理解；懂得哪些數(shù)學知識對學生的發(fā)展具有根本的重要性；具有揭示數(shù)學知識所蘊含的科學方法和理性思維過程的能力和“技術(shù)”；等。 教育學科的專業(yè)素養(yǎng)：
一個人的可持續(xù)發(fā)展，不僅要有扎實的雙基，而且要有積極的生活態(tài)度、主動發(fā)展的需求、終身學習的愿望、熱情、能力和堅持性、健康向上的人生觀和價值觀。教師在這些方面對學生的影響力，就是教師的教育學科專業(yè)素養(yǎng)的最重要指標。 “兩個素養(yǎng)”的結(jié)合善于抓住數(shù)學的核心概念和思想方法，懂得削枝強干；善于打開凝結(jié)在數(shù)學知識中的數(shù)學家的思維活動，并有好的載體（如教學情景、典型例子、變式訓練等）來展開這些數(shù)學思維活動；對數(shù)學知識中蘊含的價值觀資源特別敏感，有挖掘這些資源并用與學生身心發(fā)展相適應的方式表述的能力，使數(shù)學知識教學與價值觀影響有機整合。 從“理解數(shù)學”入手提高概念理解水平：從表面到本質(zhì)—把握概念的深層結(jié)構(gòu)上的進步；從抽象到具體—對抽象概念的形象描述，解讀概念關(guān)鍵詞，更多的典型、精彩的例子；從孤立到系統(tǒng)—對概念之間的關(guān)系、聯(lián)系的認識，有層次性、立體化的認識；等。
提高解讀概念所反映的數(shù)學思想方法的能力。二、抓“基礎(chǔ)”的含義不斷回到概念去，從基本概念出發(fā)思考問題、解決問題；
加強概念的聯(lián)系性，從概念的聯(lián)系中尋找解決問題的新思路。
“題型”、與“題型”對應的技巧是雕蟲小技，無法窮盡。教學應追求解決問題的“根本大法”——基本概念所蘊含的思想方法。三、關(guān)于課堂引入1.學科、章節(jié)的引入
現(xiàn)狀：很少關(guān)注這個問題。
先行組織者理論：呈現(xiàn)具體內(nèi)容前，先呈現(xiàn)相關(guān)的、包容范圍廣但又容易理解和記憶的引導性材料，給學生的后續(xù)學習提供理想的“固著點”。
作用： “導游圖”——增強學習自覺性、主動性；新舊知識的橋梁——促進有效學習。例1 向量的“先行組織者”引進一個量，必須要有運算——向量如果沒有運算就只是一個路標；
類比數(shù)及其運算，提出和研究向量運算——以加法和乘法的定義為出發(fā)點；
特例：向量與數(shù)的運算；
引進一種運算，就要研究運算律——結(jié)合律、分配律、交換律等；向量及其運算的幾何意義：
數(shù)乘向量——直線的向量表示，與數(shù)軸對應；
向量加法——平面的向量表示，平面向量基本定理；
數(shù)量積——與幾何度量、位置關(guān)系相關(guān)；向量法——中學階段學習向量的主要目的是用向量方法解決幾何問題——核心思想是“三步曲”。
向量法是坐標法的返璞歸真。例如，根據(jù)條件建立適當?shù)淖鴺讼怠‘斶x擇基向量。例2 四邊形的“先行組織者”研究的問題
一般四邊形：組成元素、度量（內(nèi)角和問題）；
特殊四邊形：從邊的特殊性和角的特殊性入手；
邊的特殊性——平行四邊形：性質(zhì)和判定；“性質(zhì)”研究的是在“平行四邊形”的條件下，它的組成元素有什么普遍規(guī)律，如邊的大小關(guān)系、內(nèi)角的關(guān)系、對角線的關(guān)系等；“判定”研究的是具備什么條件的四邊形才是平行四邊形；其他度量問題；特殊的平行四邊形：角的特殊——矩形，邊的特殊——菱形，邊角都特殊——正方形，都要研究判定和性質(zhì)。
研究的方法
化歸為三角形、平行線的性質(zhì)等已有知識；
特殊的平行四邊形的研究要注意特殊的三角形的知識：矩形——直角三角形；菱形——等腰三角形；
……例3 函數(shù)性質(zhì)的先行組織者變化之中保持的“不變性”就是性質(zhì)；變化過程中出現(xiàn)的規(guī)律性就是性質(zhì)?，F(xiàn)實世界中的某些變化會隨著時間的推移而有增有減、有快有慢，有時達到最大值有時處于最小值……這些現(xiàn)象反映到數(shù)學中，就是函數(shù)值隨自變量的增加而增加還是減少、什么時候函數(shù)值最大、什么時候函數(shù)值最小……這就是我們要研究的函數(shù)性質(zhì)——“單調(diào)性”“最大值”“最小值”……。2. 一堂課的引入“實際問題引入”的誤區(qū)
不反映當前學習內(nèi)容的本質(zhì)（例：橢圓）；
復雜化（例：圓周角）；
“兒童化”（ 例：多邊形內(nèi)角和）；
與后續(xù)教學脫節(jié)（無蓋長方體）；等。改進：這個“引入”有什么用成為后續(xù)概括活動的基礎(chǔ)；吸引學生注意力；引發(fā)學生興趣；……
數(shù)學內(nèi)在的邏輯線索是重要的引入基礎(chǔ)。
例4 “圓周角”的引入
（1）復習圓心角相關(guān)的知識：重點是“研究思路”的回顧——從圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形出發(fā)，討論圓心角、弧、弦、弦心距的度量性質(zhì)；（2）已經(jīng)研究了與圓相關(guān)的一個重要的角——圓心角，它的頂點在圓心；還有一個重要的角——頂點在圓周上。類比圓心角的研究，你認為可以研究圓周角的哪些問題？
（3）圓周角與同弧所對的圓心角的關(guān)系是一個好問題。如何研究？數(shù)學中常常找特殊情形為突破口，哪一類情形比較特殊？注意決定圓的要素（圓心和半徑）的作用。
……四、設(shè)計概念的概括過程概括的含義：同類事物的共同本質(zhì)特征；
概括的意義：形成和掌握概念的前提；遷移的實質(zhì)就是概括；概括是一切思維品質(zhì)的基礎(chǔ)；概括能力是思維能力的基礎(chǔ)。
“舉一反三”與“舉三反一”的關(guān)系：
（1）分化典型具體事例的屬性，分析、綜合、比較而概括出共同本質(zhì)屬性——舉三反一；（2）類化，把共同本質(zhì)屬性推廣到同類事物中——舉一反三；
（3）納入概念系統(tǒng)，與相關(guān)概念建立聯(lián)系。
特別注意：對具體例證進行分化、類化是概念教學的重要步驟，教會學生自己分析材料、比較屬性是教學的重要環(huán)節(jié)；發(fā)現(xiàn)關(guān)系的能力是很重要的。例5：函數(shù)的奇偶性
急功近利的做法
（1）給出函數(shù)y=x2和y=x的圖像，并提出問題：如果從圖象的對稱性觀察，兩個圖像各有什么特點？
（2）給表格并提問：數(shù)量關(guān)系上有啥特征？
（3）能否描述一下函數(shù)y=x2的特征？
學生的回答：對于y=x2，當x取任意數(shù)時y都取正數(shù)；函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱；自變量取一對相反數(shù)時，函數(shù)值相等；……
（4）對于定義域內(nèi)任意一個x，是否都有f(－)＝f(x)？
（5）能否描述一下偶函數(shù)的定義？
——“一個函數(shù)打天下”，缺乏概括的基礎(chǔ)。改進的方法典型、豐富的例證——不止一個：y=x2，y=|x|， y=x2－2……；
從觀察圖像、概括共同特征入手；
列表，從數(shù)的角度描述特征；
形、數(shù)對照——從形到數(shù)——用函數(shù)符號語言描述特征；
概念的精致：內(nèi)涵、外延的深加工，概念要素的具體界定；組織——建立相關(guān)知識的聯(lián)系。五、設(shè)計公式、定理的概括過程公式：用數(shù)學符號表示的幾個量之間關(guān)系的式子，具有普遍性，適用于同類關(guān)系的所有問題。
定律：對客觀規(guī)律的一種表達形式，通過大量具體事例歸納而成。
定理：從公理出發(fā)，演繹推導出來的真實命題。公式、定理的教學：從定律到公式、定理——觀察具體事例，歸納規(guī)律（定律），證明而得公式、定理。本質(zhì)是對原發(fā)現(xiàn)過程的還原。例4 遞推數(shù)列的通項公式題型1 an+1－ an=f(n)，累加法；變式題：裂項相加法，倒數(shù)化歸法。
題型2 an+1/an=f(n)，累乘法；變式題： an+1=an2n，……
題型3 利用a1=S1，an=Sn－Sn-1；
題型4 an+1=p an +q；
題型5 ……題型套題型，題型何其多
沒有思想方法作為主線，雜亂無章an+1=p an +q型數(shù)列通項公式今天研究求an+1=p an +q型數(shù)列通項公式問題。一般地，抽象問題具體化、一般問題特殊化是研究問題的基本策略。
問題1 已知a1=1，an+1=2an+1（n＞1），求通項公式。
問題2 已知a1=1，an+1=2an+3（n＞1），求通項公式。
問題3 已知a1=1，an+1=3an+1（n＞1），求通項公式。問題1、2可以“湊”，但問題3不能，怎么辦？注意觀察前兩個問題的解決過程，轉(zhuǎn)化得到的結(jié)構(gòu)有什么共性？對解決問題3有什么啟發(fā)？
結(jié)論：都轉(zhuǎn)化為an+1+t=k(an+t)的形式。
問題4 一般地，對于a1=a，an+1=pan+1 +q，如何求通項公式？——因為推廣到了“同類事物”，所以要注意“完備性”，細節(jié)、特例的追究。
例5 等腰三角形的性質(zhì)先行組織者：對于三角形，我們研究過它的組成要素和相關(guān)要素（內(nèi)角、邊、外角、角平分線、中線、高等）的度量關(guān)系；研究過兩個三角形的特殊關(guān)系——全等問題；等。這些研究從性質(zhì)和判定兩個角度入手。像研究直線的特殊位置關(guān)系（垂直、平行）一樣，三角形也有特殊的（是什么？）需要研究——“角”為標準的直角三角形，“邊”為標準的等腰三角形（特例是等邊）。問題1 你認為可以研究等腰三角形的哪些問題？——性質(zhì)與判定
問題2 等腰三角形的性質(zhì)可以從哪些角度入手？——角的關(guān)系（兩底角相等）、高、中線、角平分線的特性；特殊等腰三角形的特殊性；等。
問題3 前面學習過軸對稱圖形，知道角是以角平分線為對稱軸的軸對稱圖形。根據(jù)這些經(jīng)驗，請動手剪一個等腰三角形，并說明你得到的一定是等腰三角形。從“剪”的過程看到，等腰三角形的哪些元素是重合的？你可以得到哪些性質(zhì)的猜想？
“剪”的關(guān)鍵步驟是什么？數(shù)學含義是什么？
上述猜想是從一個等腰三角形得到的，是否對所有等腰三角形都有這些性質(zhì)呢？如何證明？——通過全等三角形，注意從操作中獲得證明思路的啟發(fā)。
對特殊的等腰三角形——等邊三角形，有什么相應的特殊結(jié)論？六、教師講解、指導的有效性啟發(fā)式講解
內(nèi)容的科學性和思想性、系統(tǒng)性和邏輯性——圍繞核心、貫穿始終的思想方法；
關(guān)鍵在于設(shè)疑、激疑和解疑：目的性；要針對當前內(nèi)容的本質(zhì)；明確、具體；激發(fā)學生的思考、興趣；把握好“度”。
指導：點穴——切中要害，豁然開朗。合情推理（第一課時）生：可以看成正方形個數(shù)的相加，即1個正方形和3個正方形相加得到4個正方形。
師：對，其實我們是根據(jù)圖形語言來觀察得到的，那用數(shù)學符號來表示呢？
生：1+3=4。
師：對，那么接下來的幾個拼圖呢？
師：對，你把問題的表現(xiàn)形式（圖形語言）翻譯成了另一種形式（文字語言）。能不能從數(shù)及其運算的角度表示出來？
生：1+3=4。
師：也許有的同學會認為這太“小兒科”了，但從接下來的表示中你會發(fā)現(xiàn)這種表示形式的轉(zhuǎn)化在發(fā)現(xiàn)共性上的力量。下面的幾個拼圖呢？生：4個正方形和5個正方形相加得到9個正方形。
師：你能把得到9個正方形的過程分細嗎？
生：先由1個和3個得到4個，再由4個和5個得到9個。
師：用符號語言來表述呢？
生：1+3+5=9。接下來是9個和7個相加得到16個，1+3+5+7=16。生：4個正方形和5個正方形相加得到9個正方形，即4+5=9。
師：這太沒意思了。能否從“拼圖過程”的角度再考慮一下？
生：哦，先由1個正方形和3個正方形拼成4個正方形，再由4個正方形和5個正方形拼成9個正方形，即1+3+5=9。接下來是1+3+5+7=16。（沒有概括）師：對，“從頭至尾”才反映了這個“過程”。這樣我們就得到對“幾個實事”的“一種觀察”：
1=1
1+3=4
1+3+5=9
1+3+5+7=16師：從圖形看，拼成的圖都正好是正方形，從中你怎么看上面式子右邊的數(shù)？
生：我覺得可以從正方形的面積來看，分別是2、3的平方，即 1+3=22，1+3+5=32 。
師：能否用數(shù)學的文字語言描述它們？
生：前2個正奇數(shù)的和是2的平方，前3個正奇數(shù)的和是3的平方。師：對比等式的右邊和拼成的結(jié)果，上述觀察是否充分？你有什么新的想法？
生：哦，由于每次拼圖結(jié)果都得到一個新的正方形，而等式右邊都是平方數(shù)，所以可以從面積的角度對拼圖過程和結(jié)果作出解釋：1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42。師：繼續(xù)觀察最后的拼圖，你能得到什么？
生：由于是邊長為4的正方形，所以應該是 1+3+5+7=42，即前4個正奇數(shù)的和是4的平方。師：能否從數(shù)的角度觀察算式的特點，并描述一下上述式子？
生：前2個正奇數(shù)的和是2的平方；前3個正奇數(shù)的和是3的平方；前4個正奇數(shù)的和是4的平方。
師：接下來會是什么結(jié)論？
生：前5個正奇數(shù)的和是5的平方，即1+3+5+7+9=52。師：接下來是什么式子？
生：式子該是1+3+5+7+9=52 ，即前5個正奇數(shù)的和是5的平方。
師：你能否驗證？
生：從算式兩邊的值可以驗證，也可以再通過拼圖來得到。
師：那你能不能得到一般的情況呢？
生：前n個正奇數(shù)的和是n的平方。
師：用符號語言來表示呢？
師：上述結(jié)果很容易從計算和拼圖得到驗證。請同學們猜想一下一般的情況，并用算式表達出來。
生：前n個正奇數(shù)的和是n的平方，算式是：1+3+5+…+(2n－1)=n2。
師：對，通過本題的歸納過程，你覺得歸納推理的難點在哪兒？又該如何去解決？
生：難點是規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，也就是如何去觀察，可以借助不同語言的轉(zhuǎn)換來幫助我們?nèi)ビ^察的。師：對.請大家總結(jié)一下上述結(jié)論的獲得過程，你覺得歸納推理的難點在哪兒？又該如何化解？
生：難點是規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，也就是如何去觀察，可以借助不同語言的轉(zhuǎn)換來幫助我們?nèi)ビ^察的。
師：難點的確是“如何觀察”，也就是要學會觀察的方法。從上述過程可以看到，要發(fā)現(xiàn)“前n個正奇數(shù)的和是n的平方”這一共性，首要的是認真分析題意，得出“幾個事實”的數(shù)學本質(zhì)：1=12，1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，1+3+5+7+9=52。其中有幾點值得注意：一是拼圖“過程”的數(shù)學解釋，實際上就是要“保留中間結(jié)果地寫出算式”，生2的第一次回答就沒有把“過程”表現(xiàn)出來，可以想象，如果照此繼續(xù)，共性就很難發(fā)現(xiàn)了；二是觀察要徹底，實際上，“每次拼圖的結(jié)果是一個新的正方形”是一個很重要的共性，這一點大家在開始時并沒有注意到；三是不同語言的轉(zhuǎn)換對我們發(fā)現(xiàn)共性也有重要作用，這是同學們已經(jīng)注意到的。結(jié)束語數(shù)學概念教學的注意事項
由數(shù)學概念的高度抽象性決定了認識它的過程的曲折性，不可能一步到位，需要一個在已有基礎(chǔ)上不斷概括的過程；
人類認識數(shù)學概念是“漸進”的，個體認識數(shù)學概念要“重演”人類的認識過程，因此需要區(qū)分不同年齡階段的概括層次，如函數(shù)的變量說——初中、映射說——高中、關(guān)系說（序偶）——大學；用于概括的例子至關(guān)重要，“一個好例子勝過一千條說教”；
“細節(jié)決定成敗”，必須安排概念的精致過程，要對概念進行“深加工”；
在概念的系統(tǒng)中學習概念，形成用概念作判斷的“操作步驟”的同時，建立相關(guān)概念的聯(lián)系。歡迎批評指正
謝謝！例3 三角函數(shù)的核心三角函數(shù)是勻速圓周運動的本質(zhì)表現(xiàn)。
角是“轉(zhuǎn)”出來的：單位圓上的點（x，y）在其圓周上旋轉(zhuǎn)所成的。
研究勻速旋轉(zhuǎn)最重要的是研究（x，y）的變化，即研究x和y作為 θ的函數(shù)——三角函數(shù)是圓的幾何性質(zhì)的代數(shù)表示。
可以把正弦函數(shù)、余弦函數(shù)統(tǒng)一為一個函數(shù)。技術(shù)上，充分利用單位圓研究三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，其中特別是與圓的對稱性相關(guān)的性質(zhì)。
和（差）角公式的研究也應該利用圓的對稱性——旋轉(zhuǎn)對稱性。

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