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專題03 二元一次方程組與一次函數(shù)
考點(diǎn)類型
知識(shí)一遍過(guò)
（一）二元一次方程組與一次函數(shù)
一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系： 一般因?yàn)槊總€(gè)含有未知數(shù)x和y的二元一次方程，都可以寫成y=kx+b（k≠0，k，b為常數(shù)）的形式。所以每個(gè)這樣的方程都對(duì)應(yīng)一個(gè)一次函數(shù)，即對(duì)應(yīng)一條直線。直線上每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y），都是這個(gè)二元一次方程的解。
由上可知，含有未知數(shù)x和y的兩個(gè)二元一次方程組成的二元一次方程組，都對(duì)應(yīng)兩個(gè)一次函數(shù)，于是也對(duì)應(yīng)兩條直線。從“數(shù)”的角度看，解這樣的方程組，相當(dāng)于求自變量為何值時(shí)相應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)值相等，以及這個(gè)函數(shù)值是多少。從“形”的角度看，解這樣的方程組，相當(dāng)于確定兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)。因此可以通過(guò)畫一次函數(shù)圖像的方法得到方程組的解
考點(diǎn)一遍過(guò)
考點(diǎn)1：由兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)解二元一次方程組
典例1：如圖，已知函數(shù)和圖象交于點(diǎn)P，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，則關(guān)于x，y的方程組的解是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了一次函數(shù)圖像與二元一次方程（組），掌握方程組的解就是兩個(gè)相應(yīng)的一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)成為解題的關(guān)鍵．
先利用確定交點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)方程組的解就是兩個(gè)相應(yīng)的一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)即可解答．
【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，解得：，即兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以關(guān)于x,y的方程組的解為．
故選：A．
【變式1】如圖，是在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出的一次函數(shù)、的圖象、，設(shè)，，則方程組的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查一次函數(shù)與二元一次方程（組），分別求得兩個(gè)函數(shù)解析式，聯(lián)立可得兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)為，即可求解．
【詳解】解：由圖得，函數(shù)、的圖分別過(guò)兩點(diǎn)和兩點(diǎn)，
∴，
解得：
∴
解得：，
故選：B．
【變式2】已知直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則關(guān)于x、y的方程組的解是 ．
【答案】
【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征、根據(jù)兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)求方程組的解，先求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，從而即可得出答案．
【詳解】解：∵直線經(jīng)過(guò)，
∴，
解得：，
∴交點(diǎn)坐標(biāo)為，
∵方程組的解就是兩個(gè)一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，
∴關(guān)于x、y的方程組的解是，
故答案為：．
【變式3】如圖，直線與直線相交于點(diǎn)，則二元一次方程組的解為 ．
【答案】
【分析】本題考查一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系，先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)一次函數(shù)與二元一次方程的關(guān)系求解即可．熟練掌握兩者之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：根據(jù)圖像可知：直線過(guò)點(diǎn)，
∴，
∴，
∵直線與直線相交于點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，
∴直線與直線相交于點(diǎn)，
∴二元一次方程組的解為．
故答案為：．
考點(diǎn)2：由二元一次方程組的解求交點(diǎn)坐標(biāo)
典例2：已知關(guān)于x，y的方程組的解是，則直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把帶入中，求出的值，根據(jù)兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)即為由兩條直線的解析式組成的二元一次方程組的解，即可得出結(jié)果．
【詳解】解：∵關(guān)于x，y的方程組的解是，
∴，
∴，
∵方程組是由與組成的，
∴直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)是；
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組與一次函數(shù)的關(guān)系．熟練掌握兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)即為由兩條直線的解析式組成的二元一次方程組的解，是解題的關(guān)鍵．
【變式1】已知關(guān)于、的方程組 的解為 則直線 與直線 、 為常數(shù)，且的交點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系，將函數(shù)和的圖象交點(diǎn)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)解析式所組成方程組解得問(wèn)題即可．
【詳解】解：直線與直線的交點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)解析式所組成方程組的解，
關(guān)于、的方程組 的解為
則直線 與直線、 為常數(shù)，且的交點(diǎn)坐標(biāo)是
故選：C．
【變式2】已知、為常數(shù)，且，若關(guān)于、的二元一次方程組的解為，則關(guān)于的一次函數(shù)、的交點(diǎn)坐標(biāo)為 ．
【答案】
【分析】本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程組，根據(jù)二元一次方程組與兩直線交點(diǎn)的關(guān)系進(jìn)行解答即可，熟練掌握一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)與二元一次方程組的解的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵關(guān)于、的二元一次方程組的解為，
∴關(guān)于的一次函數(shù)，的交點(diǎn)坐標(biāo)為，
故答案為：．
【變式3】已知關(guān)于、的二元一次方程組的解是，則一次函數(shù)和的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)方程組是由兩個(gè)函數(shù)的解析式所構(gòu)成，因此方程組的解即為兩函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)．
【詳解】解：把代入，則
，
∴方程組的解為，
∴次函數(shù)和的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為；
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系，方程組的解就是使方程組中兩個(gè)方程同時(shí)成立的一對(duì)未知數(shù)的值，而這一對(duì)未知數(shù)的值也同時(shí)滿足兩個(gè)相應(yīng)的一次函數(shù)式，因此方程組的解就是兩個(gè)相應(yīng)的一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)．
考點(diǎn)3：由圖像解二元一次方程組
典例3：已知函數(shù)y=ax+b和y=kx的圖象交于點(diǎn)P，則根據(jù)圖象可得，關(guān)于x、y的二元一次方程組的解是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象可知，函數(shù)y=ax+b和y=kx的圖象交于點(diǎn)P的坐標(biāo)是（-3，1），故可得方程組的解集即為點(diǎn)P的橫縱坐標(biāo)．
【詳解】根據(jù)函數(shù)圖象可知，函數(shù)y=ax+b和y=kx的圖象交于點(diǎn)P的坐標(biāo)是（-3，1），
∴二元一次方程組的解是，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系，熟練掌握一次函數(shù)與方程和不等式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【變式1】小亮在用作函數(shù)圖象的方法解二元一次方程組時(shí)，在同一坐標(biāo)系中作出如圖所示的圖象，他解的這個(gè)方程組可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)圖象的位置，得出k、b的符號(hào)，從而排除A、C，把代入B、C即可得到結(jié)論．
【詳解】根據(jù)函數(shù)圖象可知：兩個(gè)函數(shù)的k都小于0，一個(gè)b大于0，另一個(gè)b小于0，由此可排除A、C．
當(dāng)x=2時(shí)，-2-1=-3≠-2，
∴（2，-2）不在直線y=-x-1上，
∴B錯(cuò)誤，
當(dāng)x=2時(shí)，－2×2+2=－2，=－2，滿足方程組．
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的解與一次函數(shù)交點(diǎn)的關(guān)系．熟練掌握兩者的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．
【變式2】如圖，一次函數(shù)和的圖象相交于點(diǎn)，則關(guān)于、的方程組：的解是 ．
【答案】
【分析】本題考查一次函數(shù)圖象交點(diǎn)與方程的解的關(guān)系，熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，利用圖象法解一元一次方程是解題的關(guān)鍵．一次函數(shù)圖象交點(diǎn)即為方程組的解，即可求解．
【詳解】解：一次函數(shù)和的圖象相交于點(diǎn)，
的解為，
故答案為：．
【變式3】如圖，一次函數(shù)與的圖象相交于點(diǎn)，則方程組的解是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系，即可進(jìn)行解答．
【詳解】解：把代入得：，
∴，
∵點(diǎn)P為一次函數(shù)與的圖象交點(diǎn)，
∴方程組的解是；
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握兩個(gè)一次函數(shù)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的值等于對(duì)應(yīng)二元一次方程組的解．
考點(diǎn)4：求直線圍成圖形的面積
典例4：如圖，直線：與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B，直線：分別與x軸y軸交于、，直線與相交于點(diǎn)P．
(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(2)求的面積．
【答案】(1)
(2)6
【分析】本題主要考查了求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，直線圍成的圖形面積：
（1）將直線與直線的解析式組成方程組，求出，，即得點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）首先求出點(diǎn)B、A、D的坐標(biāo)，可得的長(zhǎng)，然后求出與的面積，即可得的面積．
【詳解】（1）解：聯(lián)立，
解得：，
點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（2）解：把，代入得，，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為
在中，令，
解得：，
點(diǎn)坐標(biāo)為；
把，代入得，，
點(diǎn)的坐標(biāo)為；
，
，，
的面積為：．
【變式1】如圖，過(guò)點(diǎn)的一次函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)．
(1)求這個(gè)一次函數(shù)的解析式．
(2)求三角形的面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先求得的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；
（2）首先求得的坐標(biāo)，然后利用三角形的面積公式求解．
【詳解】（1）在中，令，解得，則的坐標(biāo)是，
設(shè)一次函數(shù)的解析式是，
則，
解得：．
則一次函數(shù)的解析式是；
（2）由題意得：的坐標(biāo)是．
則．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式．先根據(jù)條件列出關(guān)于字母系數(shù)的方程，解方程求解即可得到函數(shù)解析式．當(dāng)已知函數(shù)解析式時(shí)，求函數(shù)中字母的值就是求關(guān)于字母系數(shù)的方程的解．
【變式2】在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，點(diǎn)B．直線與直線交于點(diǎn)E，與x軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)E坐標(biāo)為．
(1)求E的坐標(biāo)和m的值；
(2)點(diǎn)P在直線上，若的面積為3，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【答案】(1)點(diǎn)E坐標(biāo)為，；
(2)或．
【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；
（2）先求得點(diǎn)C坐標(biāo)為，點(diǎn)A坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)，根據(jù)三角形的面積公式可列出關(guān)于t的方程，求出t，即可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)，
【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)E坐標(biāo)為，
將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入得：，
解得：；
（2）解：由（1）知，直線：，
令，則，
∴，
令，則，
∴，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為，點(diǎn)A坐標(biāo)為，
設(shè)點(diǎn)，
由題意得，
∴，
即或，
解得或，
∴或．
【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)應(yīng)用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)，面積的計(jì)算等，求得點(diǎn)的坐
標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
【變式3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B，C，與直線相交于點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)．
(2)求的面積．
(3)在直線上是否存在一點(diǎn)M，使的面積是面積的？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)點(diǎn)M的坐標(biāo)為或
【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，根據(jù)一次函數(shù)解析式，求三角形的面積，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合．
（1）把代入，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)即可；
（2）先求出點(diǎn)，然后求出的面積即可；
（3）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，根據(jù)，得出，求出a的值，即可得出答案．
【詳解】（1）解：在中，令，得：，
解得：，
點(diǎn)B的坐標(biāo)為．
（2）解：在中，令，則，
點(diǎn)，
．
（3）解：存在．設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為．
，
，
．
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是；
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是．
綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或．
考點(diǎn)5：利用二元一次方程組求一次函數(shù)解析式
典例5：甲車從地去地，同時(shí)乙車從地去地，兩車都勻速行駛，甲車到達(dá)地后停留1小時(shí)，然后按原路原速返回地，乙車經(jīng)過(guò)10小時(shí)到達(dá)地，兩車距地的路程與甲車所用的時(shí)間的關(guān)系如下圖所示．

(1)A、B兩地的路程為________，甲車返回地時(shí)的值是________；
(2)求直線、的解析式；
(3)甲車到達(dá)地之前，直接寫出乙車出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間兩車相距？
【答案】(1)600；11
(2)所在直線的解析式為，所在直線的解析式為
(3)乙車出發(fā)或小時(shí)，兩車相距
【分析】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求解析式，理解題意，從函數(shù)圖像中獲取信息是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)圖像可知，兩地的路程，根據(jù)速度路程時(shí)間可得乙車的速度；
（2）根據(jù)圖像信息，待定系數(shù)法求得,的直線解析式即可；
（3）分兩種情況進(jìn)行討論：①甲車與乙車相遇前，②甲車與乙車相遇后；根據(jù)函數(shù)解析式的函數(shù)值之差為150，即可求得時(shí)間．
【詳解】（1）解：由圖像可知，兩地相距，
∵甲車從地去地，甲車到達(dá)地后停留1小時(shí)，
∴甲車從地去地的時(shí)間為：，
∵甲車按原路原速返回地，
∴甲車返回A地所用時(shí)間為，
∴甲車返回地時(shí)的值是：
．
（2）解：設(shè)所在直線的解析式為：，
由題意可知，點(diǎn) ，
∴
∴，
∴所在直線的解析式為：，
∵乙車經(jīng)過(guò)10小時(shí)到達(dá)地，
∴，
設(shè)所在直線的解析式為： ，把點(diǎn) ，代入得：
∴，
解得 ，
∴所在直線的解析式為：；
（3）①甲車與乙車相遇之前時(shí)，
有，
解得；
②甲車與乙車相遇之后時(shí)，
，
解得： ，
答：乙車出發(fā)或小時(shí)，兩車相距．
【變式1】如圖，過(guò)A點(diǎn)的一次函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)B．
(1)求該一次函數(shù)的解析式：
(2)判定點(diǎn)是否在該函數(shù)圖象上？說(shuō)明理由；
(3)若該一次函數(shù)的圖象與x軸交于D點(diǎn)，求的面積．
【答案】(1)
(2)點(diǎn)在該函數(shù)圖象上
(3)
【分析】本題主要考查一次函數(shù)，掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．
（1）首先求得B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；
（2）把C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)的解析式進(jìn)行檢驗(yàn)即可；
（3）首先求得D的坐標(biāo)，然后利用三角形的面積公式求解．
【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，
設(shè)一次函數(shù)的解析式為：，把和代入得
，解得
∴一次函數(shù)的解析式為；
（2）當(dāng)時(shí)，，
∴點(diǎn)在該函數(shù)圖象上；
（3）解：令，則，解得，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為，
∴．
【變式2】市政府決定實(shí)施“煤改氣”供暖改造工程，現(xiàn)甲、乙兩工程隊(duì)分別同時(shí)開挖兩條600米長(zhǎng)的管道，所挖管道長(zhǎng)度y（米）與挖掘時(shí)間x（天）之間的關(guān)系如圖所示．
(1)前2天乙隊(duì)平均每天挖管道________米；
(2)求段及段所在直線的函數(shù)解析式（不寫自變量的取值范圍）；
(3)開始挖掘后，幾天時(shí)甲、乙兩隊(duì)所挖管道長(zhǎng)度相同？
【答案】(1)150
(2)；；
(3)4天
【分析】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用．理解函數(shù)圖象代表的意義是解決本題的關(guān)鍵，應(yīng)注意：函數(shù)問(wèn)題也可以用一元一次方程解決．
（1）由函數(shù)圖像可知，乙隊(duì)2天挖了300米，用即可得出答案．
（2）用待定系數(shù)法分別求出段及段的解析式即可．
（3）當(dāng)甲、乙兩隊(duì)所挖管道長(zhǎng)度相同時(shí)，得，解一元一次方程即可得出答案．
【詳解】（1）解：米，
故答案為：150．
（2）設(shè)段的函數(shù)解析式為，
把點(diǎn)代入得，
解得：，
段的函數(shù)解析式為；
設(shè)段的函數(shù)解析式為（，b為常數(shù)，且）．
將和分別代入，
得
解得
段的函數(shù)解析式為；
（3）當(dāng)甲、乙兩隊(duì)所挖管道長(zhǎng)度相同時(shí)，
得，
解得．
∴開始挖掘后，4天時(shí)甲、乙兩隊(duì)所挖管道長(zhǎng)度相同．
【變式3】一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)．
(1)求此一次函數(shù)的解析式；
(2)若一次函數(shù)與x軸交于C點(diǎn)，求的面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求直線的解析式；
（2）先求出直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后通過(guò)計(jì)算兩個(gè)三角形的面積和得到的面積．
本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式：先設(shè)出函數(shù)的一般形式，如求一次函數(shù)的解析式時(shí)，先設(shè)；將自變量的值及與它對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的值代入所設(shè)的解析式，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程或方程組；解方程或方程組，求出待定系數(shù)的值，進(jìn)而寫出函數(shù)解析式．
【詳解】（1）解：依題意，
把，代入得到，
解得，
所以直線的解析式為；
（2）解：把代入得，
解得，
直線與軸的交點(diǎn)為，，
∴的面積．
考點(diǎn)6：解三元一次方程組
典例6：解方程組：
【答案】
【分析】本題考查了解三元一次方程組，根據(jù)加減消元法解方程組即可求解．
【詳解】解：
①③得，④
①②得，⑤
④⑤得，
解得：，
將代入④得
解得：
將代入②得，
解得：
∴方程組的解為：
【變式1】解方程組：．
【答案】
【分析】此題考查了解三元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．
方程組前兩個(gè)方程相加消去得到與的方程，與第三個(gè)方程聯(lián)立求出與的值，進(jìn)而求出的值即可．
【詳解】解：
①②得：④，
④③得：，
解得：，
把代入③得：，
解得：，
把，代入②得：，
解得：，
則方程組的解為．
【變式2】解方程組：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題主要考查了解二元一次方程組和三元一次方程組，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解方程組的方法，準(zhǔn)確計(jì)算．
（1）方程組化簡(jiǎn)后，利用加減消元法求解即可；
（2）分別用，得到兩個(gè)關(guān)于x、y的二元一次方程，聯(lián)立為二元一次方程組求出x、y的值，再代入①求出z的值即可．
【詳解】（1）解：方程組整理，得，
，得，
解得，
把代入②，得，
解得，
故原方程組的解為；
（2）解：，
，得，
，得，即，
，得，
把代入⑤，得，
把，代入①，得，
故原方程組的解為．
【變式3】解方程組：．
【答案】．
【分析】本題考查了解三元一次方程組，熟練掌握解三元一次方程組的方法，即消元法，是解答本題的關(guān)鍵．
①②得④，②③得⑤，④⑤得，把代入④得，把、代入③得，由此得到答案．
【詳解】解：根據(jù)題意：
由①②得④，
由②③得⑤，
④⑤得，
得，
把代入④得，
得，
把、代入③得，
得，
原方程組的解為．
考點(diǎn)7：三元一次方程組的應(yīng)用
典例7：一方有難八方支援，某市政府籌集了抗旱必需物資120噸打算運(yùn)往災(zāi)區(qū)，現(xiàn)有甲、乙、丙三種車型供選擇，每輛車的運(yùn)載能力和運(yùn)費(fèi)如下表所示：（假設(shè)每輛車均滿載）
車型 甲 乙 丙
汽車運(yùn)載量（噸/輛） 5 8 10
汽車運(yùn)費(fèi)（元/輛） 300 400 500
(1)若全部物資都用甲、乙兩種車型來(lái)運(yùn)送，需運(yùn)費(fèi)6400元，問(wèn)分別需甲、乙兩種車型各幾輛？
(2)該市政府決定甲、乙、丙三種車型至少兩種車型參與運(yùn)送，己知它們的總輛數(shù)為18輛，請(qǐng)通過(guò)列方程組的方法分別求出三種車型的數(shù)量．
【答案】(1)需甲車型8輛，需車型10輛；
(2)方案一：甲車型12輛，乙車型0輛，丙車型6輛；方案二：甲車型10輛，乙車型5輛，丙車型3輛；方案三：甲車型8輛，乙車型10輛，丙車型0輛．
【分析】本題考查了二元一次方程組和三元一次方程的應(yīng)用，將現(xiàn)實(shí)生活中的事件與數(shù)學(xué)思想聯(lián)系起來(lái)，讀懂題列出方程即可求解．
（1）設(shè)需甲車x輛，乙車y輛，根據(jù)運(yùn)費(fèi)600元，總噸數(shù)是120，列出方程組，再進(jìn)行求解即可；
（2）設(shè)甲車有x輛，乙車有y輛，則丙車有z輛，列出等式，再根據(jù)x、y、z均為非負(fù)整數(shù)，求出x，y，z的值，從而得出答案．
【詳解】（1）解：設(shè)需甲車型x輛，乙車型y輛，根據(jù)題意，得：
，
解得：，
答：需甲車型8輛，需車型10輛；
（2）解：甲車型x輛，乙車型y輛，丙車型z輛，根據(jù)題意，得：
，
消去z得，
∴，
因x，y是非負(fù)整數(shù)，且不大于18，得，5，10，15，
則，10，8，6；
又z是非負(fù)整數(shù)，解得z=6，3，0，
∴或或，
∴共有三種運(yùn)送方案：
方案一：甲車型12輛，乙車型0輛，丙車型6輛；
方案二：甲車型10輛，乙車型5輛，丙車型3輛；
方案三：甲車型8輛，乙車型10輛，丙車型0輛．
【變式1】（1）已知二元一次方程組則______，______．
（2）某班級(jí)組織活動(dòng)購(gòu)買小獎(jiǎng)品，買13支鉛筆、5塊橡皮、2本日記本共需31元，買25支鉛筆、9塊橡皮、3本日記本共需55元，則購(gòu)買3支鉛筆、3塊橡皮、3本日記本共需多少元？
（3）對(duì)于實(shí)數(shù)、，定義新運(yùn)算∶，其中、、是常數(shù)，等式右邊是通常的加法和乘法運(yùn)算．已知，，那么______．
【答案】（1）4，2；（2）21元；（3）24．
【分析】本題主要考查解方程組及整體代入法，掌握解方程組的方法是關(guān)鍵．
（1）讓兩個(gè)式子相加即可求出，然后讓兩個(gè)式子相減即可求出；
（2）設(shè)購(gòu)買1支鉛筆元、1塊橡皮元、1本日記本元，根據(jù)題意列出方程組求解即可；
（3）首先根據(jù)已知建立一個(gè)關(guān)于的方程組，通過(guò)對(duì)方程變形即可得出答案．
【詳解】（1）
得，
得，
；
（2）設(shè)購(gòu)買1支鉛筆元、1塊橡皮元、1本日記本元，
根據(jù)題意得
得：，
，
答：購(gòu)買3支鉛筆、3塊橡皮、3本日記本共需21元．
（3），，，
，
得，
代入得：，
．
【變式2】感悟思想：有些關(guān)于方程組的問(wèn)題，欲求的結(jié)果不是每一個(gè)未知數(shù)的值，而是關(guān)于未知數(shù)的代數(shù)式的值，如以下問(wèn)題：
已知實(shí)數(shù)x，y滿足①，②，求和的值．
思考：本題常規(guī)思路是將①②聯(lián)立成方程組，解得x，y的值再代入欲求值的代數(shù)式得到答案，有的問(wèn)題用常規(guī)思路運(yùn)算量比較大．其實(shí)，仔細(xì)觀察兩個(gè)方程未知數(shù)的系數(shù)之間的關(guān)系，本題還可以通過(guò)適當(dāng)變形整體求得代數(shù)式的值．
如①－②可得；可得．
這樣的解題思想就是通常所說(shuō)的“整體思想”．
體會(huì)思想：
(1)已知二元一次方程組，則______，______；
(2)已知方程組：，則______；
(3)某班級(jí)組織活動(dòng)購(gòu)買小獎(jiǎng)品，買20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需32元，買39支鉛筆、5塊橡皮、3本日記本共需58元，則購(gòu)買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需______元．
【答案】(1)，5
(2)6
(3)30
【分析】（1）把兩個(gè)方程相加可求，相減可求；
（2）把3個(gè)方程相加得；
（3）設(shè)未知數(shù)列出方程組，用整體思想求解即可．
【詳解】（1）解：，
①+②得，解得，
①-②得，
故答案為：，5；
（2）解：，
①+②+③得，，即；
故答案為：6；
（3）解：設(shè)購(gòu)買1支鉛筆a元，1塊橡皮b元，1本日記本c元,
根據(jù)題意列方程組得，．
①②得，，則；
答：購(gòu)買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需30元．
故答案為：30．
【點(diǎn)睛】本題考查了利用整體思想解方程組，解題關(guān)鍵是熟練利用整體思想，通過(guò)整體運(yùn)算求解．
【變式3】合肥市某中學(xué)學(xué)生張強(qiáng)到某服裝商場(chǎng)進(jìn)行社會(huì)調(diào)查，了解到該商場(chǎng)為了激勵(lì)營(yíng)業(yè)員的工作積極性，實(shí)行月總收入＝基本工資計(jì)件獎(jiǎng)金的方法（即營(yíng)業(yè)員月總收入由基本工資和計(jì)件金兩部分構(gòu)成），并獲得如下信息：
營(yíng)業(yè)員：月銷售件數(shù)件，月總收入元；
營(yíng)業(yè)員：月銷售件數(shù)件，月總收入元．
假設(shè)營(yíng)業(yè)員的月基本工資為元，銷售每件服裝獎(jiǎng)勵(lì)元．
(1)求、的值；
(2)商場(chǎng)為了多銷售服裝，對(duì)顧客推薦一種購(gòu)買方式：如果購(gòu)買甲服裝件，乙服裝件，丙服裝件共需元；如果購(gòu)買甲服裝件，乙服裝件，丙服裝件共需元．某顧客想購(gòu)買甲、乙、丙服裝各一件，共需多少元？
【答案】(1)
(2)元
【分析】（1）設(shè)營(yíng)業(yè)員的月基本工資為元，銷售每件服裝獎(jiǎng)勵(lì)元，根據(jù)題意列出二元一次方程組，解方程組即可求解；
（2）設(shè)購(gòu)買一件甲服裝需要元，購(gòu)買一件乙服裝需要元，購(gòu)買一件丙服裝需要元，根據(jù)題意列出三元一次方程組，得出，即可求解．
【詳解】（1）解：設(shè)營(yíng)業(yè)員的月基本工資為元，銷售每件服裝獎(jiǎng)勵(lì)元，
根據(jù)題意得：，
，
（2）解：設(shè)購(gòu)買一件甲服裝需要元，購(gòu)買一件乙服裝需要元，購(gòu)買一件丙服裝需要元，
根據(jù)題意得：，
，得：．
答：購(gòu)買甲、乙、丙服裝各一件共需元．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，三元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程組是解題的關(guān)鍵．
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專題03 二元一次方程組與一次函數(shù)
考點(diǎn)類型
知識(shí)一遍過(guò)
（一）二元一次方程組與一次函數(shù)
一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系： 一般因?yàn)槊總€(gè)含有未知數(shù)x和y的二元一次方程，都可以寫成y=kx+b（k≠0，k，b為常數(shù)）的形式。所以每個(gè)這樣的方程都對(duì)應(yīng)一個(gè)一次函數(shù)，即對(duì)應(yīng)一條直線。直線上每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y），都是這個(gè)二元一次方程的解。
由上可知，含有未知數(shù)x和y的兩個(gè)二元一次方程組成的二元一次方程組，都對(duì)應(yīng)兩個(gè)一次函數(shù)，于是也對(duì)應(yīng)兩條直線。從“數(shù)”的角度看，解這樣的方程組，相當(dāng)于求自變量為何值時(shí)相應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)值相等，以及這個(gè)函數(shù)值是多少。從“形”的角度看，解這樣的方程組，相當(dāng)于確定兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)。因此可以通過(guò)畫一次函數(shù)圖像的方法得到方程組的解
考點(diǎn)一遍過(guò)
考點(diǎn)1：由兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)解二元一次方程組
典例1：如圖，已知函數(shù)和圖象交于點(diǎn)P，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，則關(guān)于x，y的方程組的解是（ ）.
A． B． C． D．
【變式1】如圖，是在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出的一次函數(shù)、的圖象、，設(shè)，，則方程組的解是（ ）
A． B． C． D．
【變式2】已知直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則關(guān)于x、y的方程組的解是 ．
【變式3】如圖，直線與直線相交于點(diǎn)，則二元一次方程組的解為 ．
考點(diǎn)2：由二元一次方程組的解求交點(diǎn)坐標(biāo)
典例2：已知關(guān)于x，y的方程組的解是，則直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)是（　?。?br/>A． B． C． D．
【變式1】已知關(guān)于、的方程組 的解為 則直線 與直線 、 為常數(shù)，且的交點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
A． B． C． D．
【變式2】已知、為常數(shù)，且，若關(guān)于、的二元一次方程組的解為，則關(guān)于的一次函數(shù)、的交點(diǎn)坐標(biāo)為 ．
【變式3】已知關(guān)于、的二元一次方程組的解是，則一次函數(shù)和的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為 ．
考點(diǎn)3：由圖像解二元一次方程組
典例3：已知函數(shù)y=ax+b和y=kx的圖象交于點(diǎn)P，則根據(jù)圖象可得，關(guān)于x、y的二元一次方程組的解是（ ）

A． B． C． D．
【變式1】小亮在用作函數(shù)圖象的方法解二元一次方程組時(shí)，在同一坐標(biāo)系中作出如圖所示的圖象，他解的這個(gè)方程組可能是（ ）
A． B． C． D．
【變式2】如圖，一次函數(shù)和的圖象相交于點(diǎn)，則關(guān)于、的方程組：的解是 ．
【變式3】如圖，一次函數(shù)與的圖象相交于點(diǎn)，則方程組的解是 ．
考點(diǎn)4：求直線圍成圖形的面積
典例4：如圖，直線：與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B，直線：分別與x軸y軸交于、，直線與相交于點(diǎn)P．
(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(2)求的面積．
【變式1】如圖，過(guò)點(diǎn)的一次函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)．
(1)求這個(gè)一次函數(shù)的解析式．
(2)求三角形的面積．
【變式2】在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，點(diǎn)B．直線與直線交于點(diǎn)E，與x軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)E坐標(biāo)為．
(1)求E的坐標(biāo)和m的值；
(2)點(diǎn)P在直線上，若的面積為3，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【變式3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B，C，與直線相交于點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)．
(2)求的面積．
(3)在直線上是否存在一點(diǎn)M，使的面積是面積的？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
考點(diǎn)5：利用二元一次方程組求一次函數(shù)解析式
典例5：甲車從地去地，同時(shí)乙車從地去地，兩車都勻速行駛，甲車到達(dá)地后停留1小時(shí)，然后按原路原速返回地，乙車經(jīng)過(guò)10小時(shí)到達(dá)地，兩車距地的路程與甲車所用的時(shí)間的關(guān)系如下圖所示．

(1)A、B兩地的路程為________，甲車返回地時(shí)的值是________；
(2)求直線、的解析式；
(3)甲車到達(dá)地之前，直接寫出乙車出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間兩車相距？
【變式1】如圖，過(guò)A點(diǎn)的一次函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)B．
(1)求該一次函數(shù)的解析式：
(2)判定點(diǎn)是否在該函數(shù)圖象上？說(shuō)明理由；
(3)若該一次函數(shù)的圖象與x軸交于D點(diǎn)，求的面積．
【變式2】市政府決定實(shí)施“煤改氣”供暖改造工程，現(xiàn)甲、乙兩工程隊(duì)分別同時(shí)開挖兩條600米長(zhǎng)的管道，所挖管道長(zhǎng)度y（米）與挖掘時(shí)間x（天）之間的關(guān)系如圖所示．
(1)前2天乙隊(duì)平均每天挖管道________米；
(2)求段及段所在直線的函數(shù)解析式（不寫自變量的取值范圍）；
(3)開始挖掘后，幾天時(shí)甲、乙兩隊(duì)所挖管道長(zhǎng)度相同？
【變式3】一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)．
(1)求此一次函數(shù)的解析式；
(2)若一次函數(shù)與x軸交于C點(diǎn)，求的面積．
考點(diǎn)6：解三元一次方程組
典例6：解方程組：
【變式1】解方程組：．
【變式2】解方程組：
(1)；
(2)．
【變式3】解方程組：．
考點(diǎn)7：三元一次方程組的應(yīng)用
典例7：一方有難八方支援，某市政府籌集了抗旱必需物資120噸打算運(yùn)往災(zāi)區(qū)，現(xiàn)有甲、乙、丙三種車型供選擇，每輛車的運(yùn)載能力和運(yùn)費(fèi)如下表所示：（假設(shè)每輛車均滿載）
車型 甲 乙 丙
汽車運(yùn)載量（噸/輛） 5 8 10
汽車運(yùn)費(fèi)（元/輛） 300 400 500
(1)若全部物資都用甲、乙兩種車型來(lái)運(yùn)送，需運(yùn)費(fèi)6400元，問(wèn)分別需甲、乙兩種車型各幾輛？
(2)該市政府決定甲、乙、丙三種車型至少兩種車型參與運(yùn)送，己知它們的總輛數(shù)為18輛，請(qǐng)通過(guò)列方程組的方法分別求出三種車型的數(shù)量．
【變式1】（1）已知二元一次方程組則______，______．
（2）某班級(jí)組織活動(dòng)購(gòu)買小獎(jiǎng)品，買13支鉛筆、5塊橡皮、2本日記本共需31元，買25支鉛筆、9塊橡皮、3本日記本共需55元，則購(gòu)買3支鉛筆、3塊橡皮、3本日記本共需多少元？
（3）對(duì)于實(shí)數(shù)、，定義新運(yùn)算∶，其中、、是常數(shù)，等式右邊是通常的加法和乘法運(yùn)算．已知，，那么______．
【變式2】感悟思想：有些關(guān)于方程組的問(wèn)題，欲求的結(jié)果不是每一個(gè)未知數(shù)的值，而是關(guān)于未知數(shù)的代數(shù)式的值，如以下問(wèn)題：
已知實(shí)數(shù)x，y滿足①，②，求和的值．
思考：本題常規(guī)思路是將①②聯(lián)立成方程組，解得x，y的值再代入欲求值的代數(shù)式得到答案，有的問(wèn)題用常規(guī)思路運(yùn)算量比較大．其實(shí)，仔細(xì)觀察兩個(gè)方程未知數(shù)的系數(shù)之間的關(guān)系，本題還可以通過(guò)適當(dāng)變形整體求得代數(shù)式的值．
如①－②可得；可得．
這樣的解題思想就是通常所說(shuō)的“整體思想”．
體會(huì)思想：
(1)已知二元一次方程組，則______，______；
(2)已知方程組：，則______；
(3)某班級(jí)組織活動(dòng)購(gòu)買小獎(jiǎng)品，買20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需32元，買39支鉛筆、5塊橡皮、3本日記本共需58元，則購(gòu)買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需______元．
【變式3】合肥市某中學(xué)學(xué)生張強(qiáng)到某服裝商場(chǎng)進(jìn)行社會(huì)調(diào)查，了解到該商場(chǎng)為了激勵(lì)營(yíng)業(yè)員的工作積極性，實(shí)行月總收入＝基本工資計(jì)件獎(jiǎng)金的方法（即營(yíng)業(yè)員月總收入由基本工資和計(jì)件金兩部分構(gòu)成），并獲得如下信息：
營(yíng)業(yè)員：月銷售件數(shù)件，月總收入元；
營(yíng)業(yè)員：月銷售件數(shù)件，月總收入元．
假設(shè)營(yíng)業(yè)員的月基本工資為元，銷售每件服裝獎(jiǎng)勵(lì)元．
(1)求、的值；
(2)商場(chǎng)為了多銷售服裝，對(duì)顧客推薦一種購(gòu)買方式：如果購(gòu)買甲服裝件，乙服裝件，丙服裝件共需元；如果購(gòu)買甲服裝件，乙服裝件，丙服裝件共需元．某顧客想購(gòu)買甲、乙、丙服裝各一件，共需多少元？
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