資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題01 二元一次方程組及解法
考點類型
知識一遍過
（一）二元一次方程概念
含有兩個未知數，并且未知數的項的次數都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程。
【注意】
①二元：含有兩個未知數；
②一次：所含未知數的項的次數都是1。
例如：xy=1，xy的次數是二，屬于二元二次方程。
③方程：方程的左右兩邊必須都是整式（分母不能出現未知數）。
二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數的值，叫做二元一次方程的解．
二元一次方程有無數個解。
（二）二元一次方程組概念
含有兩個未知數的兩個一次方程所組成的一組方程，叫做二元一次方程組．
【注意】
①二元一次方程組的“二元”和“一次”都是針對整個方程組而言的，組成方程組的各個方程不必同時含有兩個未知數，如也是二元一次方程組。
②方程組中的各個方程中，相同字母必須代表同一未知量。
③二元一次方程組中的各個方程應是整式方程。
二元一次方程組的解：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解。
【注意】
①二元一次方程組的解是方程中每個方程的解。
②一般情況下二元一次方程組的解是唯一的，但是有的方程組有無數個解或無解。
如：有的方程組無解，如：
（三）解二元一次方程組——代入消元
代入消元法：把二元一次方程組中一個方程的未知數用含另一個未知數的式子表示出來，再代入另一個方程，實現消元，進而求得這個二元一次方程組的解。這個方法叫做代入消元法，簡稱代入法。
代入消元法的一般步驟：
①變：將其中一個方程變形，使一個未知數用含有另一個的未知數的代數式表示。
②代：用這個代數式代替另一個方程中的相應未知數，得到一元一次方程。
③解：解一元一次方程
④求：把求得的未知數的值帶入代數式或原方程組中的任意一個方程中，求得另一個未知數的值。
⑤寫：寫出方程組的解。
⑥驗：將方程組的解帶入到原方程組中的每個方程中，若各方程均成立，則這對數值就是原方程組的解，負責解題有誤。
（四）解二元一次方程組——加減消元
加減消元法：兩個二元一次方程中同一個未知數的系數相反或相等時，把這兩個方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個未知數，得到一個一元一次方程，這種方法叫做加減消元法，簡稱加減法。
加減消元法的一般步驟：
①變：將兩個方程中其中一個未知數的系數化為相同（或互為相反數）。
②加減：通過相減（或相加）消去這個未知數，得到一個一元一次方程。
③解：解這個一元一次方程，得到一個未知數的值。
④求：將求得的未知數的值代入原方程組中的任意一個方程，求出另一個未知數的值。
⑤寫：寫出方程組的解。
⑥驗：將方程組的解帶入到原方程組中的每個方程中，若各方程均成立，則這對數值就是原方程組的解，負責解題有誤。
考點一遍過
考點1：二元一次方程（組）定義
典例1：若方程是二元一次方程，則的值為（ ）
A．2 B． C．0 D．
【答案】A
【分析】本題主要考查二元一次方程的定義，掌握二元一次方程是含有兩個未知數并且含有未知數的項的次數都是1成為解題的關鍵．
根據二元一次方程的定義得出且求得m、n的值，然后代入計算即可．
【詳解】解：∵方程是二元一次方程，
∴且，解得：，
∴．
故選：A．
【變式1】下列方程中是二元一次方程組的有（ ）
①，②，③，④，
A．個 B．個 C．個 D．個
【答案】A
【分析】本題考查了二元一次方程組的定義，根據二元一次方程組的定義：把具有相同未知數的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組，逐項進行分析即可判斷求解，掌握二元一次方程組的定義是解題的關鍵．
【詳解】解：方程組中是二元二次方程，故不是二元一次方程組，不合題意；
方程組是二元一次方程組，故符合題意；
方程組中不是整式方程，故不是二元一次方程組，不合題意；
方程組中含有個未知數，故不是二元一次方程組，不合題意；
∴是二元一次方程組的有個，
故選：．
【變式2】已知關于的方程，當 時，此方程為二元一次方程．
【答案】
【分析】本題考查了二元一次方程的定義，根據二元一次方程的定義即可求解，掌握二元一次方程的定義是解題的關鍵．
【詳解】解：∵方程為二元一次方程，
∴，且，，
∴，
故答案為：．
【變式3】下列方程組中，不是二元一次方程組的是 ．
①；②；③；④
【答案】③④
【分析】根據二元一次方程組的概念可直接進行排除選項．
【詳解】解：由二元一次方程組的概念可得：①；②是二元一次方程組，③；④不是二元一次方程組，因為不滿足方程是整式及未知數的最高次項是2次，
故答案為③④．
【點睛】本題主要考查二元一次方程組的概念，熟練掌握二元一次方程組的概念是解題的關鍵．
考點2：二元一次方程（組）的解
典例2：下列各組數中，是二元一次方程的一個解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了二元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數的值．能正確掌握方程的解的概念是解答此題的關鍵．根據二元一次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數的值，把各個選項中的未知數的值分別代入方程，通過計算，判斷方程左右兩邊是否相等，從而解答即可．
【詳解】解：A．把代入，左邊，右邊，左右，
∴不是方程的解，故此選項不符合題意；
B．把代入，左邊，右邊，左右，
∴是方程的解，故此選項符合題意；
C．把代入，左邊，右邊，左右，
∴不是方程的解，故此選項不符合題意；
D．把代入，左邊，右邊，左右，
∴不是方程的解，故此選項不符合題意；
故選：B．
【變式1】解為 的方程組可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了二元一次方程組的解，將代入各選項進行排除即可，正確理解二元一次方程組的解得定義是解題的關鍵．
【詳解】解：、將代入可知，，不符合題意；
、將代入可知，，不符合題意；
、將代入可知，，符合題意；
、將代入可知，，不符合題意；
故選：．
【變式2】已知是二元一次方程的一個解，則m的值為 ．
【答案】7
【分析】此題考查了二元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數的值．
把代入方程計算即可求出m的值．
【詳解】解：將代入方程，得： ，
解得：，
故答案為：7．
【變式3】下面三組數據：
① ② ③
滿足方程的是 ，滿足方程的是 ，同時滿足這兩個方程的是 ．故二元一次方程組的解是 ．（填序號）
【答案】 ①②/②① ②③/③② ② ②
【分析】此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未知數的值．根據解的含義逐一進行檢驗即可．
【詳解】解：將代入方程左邊得：，右邊，左邊右邊；是方程的解；
將代入方程左邊得：，右邊，左邊右邊；是方程的解；
將代入方程左邊得：，右邊，左邊右邊；不是方程的解；
故答案為：①②
將代入方程左邊得：，右邊，左邊右邊，不是方程的解；
將代入方程左邊得：，右邊，左邊右邊，是方程的解；
將代入方程左邊得：，右邊，左邊右邊；是方程的解；
故答案為：②③
同時滿足這兩個方程的為，
則方程組的解為．
故答案為：②，②
考點3：二元一次方程（組）解的應用
典例3：兩位同學在解方程組時，甲同學由正確地解出，乙同學因把c寫錯了解得，那么a、b、c的正確的值應為（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】B
【分析】本題考查了二元一次方程組的解，根據題意，將代入中，得
，計算得，將代入，得，即，進行計算可得a，b的值，即可得；掌握二元一次方程組的解是解題的關鍵．
【詳解】解：根據題意，將代入中，得
，
解②式，得，
將代入，得，
即，
解得，，
故選：B．
【變式1】為緊急安置109名地震災民，需要同時搭建可容納7人和5人的兩種帳篷（帳篷都住滿人），則搭建方案共有（ ）
A．3種 B．4 種 C．5種 D．6種
【答案】A
【分析】本題考查二元一次方程組解實際問題，根據題意，設容納7人的帳篷個，容納5人帳篷個，則，且為整數，分類討論求解即可得到答案，讀懂題意，準確得到二元一次方程組求解是解決問題的關鍵．
【詳解】解：設容納7人的帳篷個，容納5人帳篷個，則
，且為整數，
，即當是的倍數時滿足條件，
當，解得時，不符合題意；
當，解得時，不符合題意；
當，解得時，不符合題意；
當，解得時，不符合題意；
當，解得時，符合題意；①
當，解得時，不符合題意；
當，解得時，不符合題意；
當，解得時，不符合題意；
當，解得時，不符合題意；
當，解得時，符合題意；
當，解得時，不符合題意；
當，解得時，符合題意；②
當，解得時，不符合題意；
當，解得時，不符合題意；
當，解得時，不符合題意；
當，解得時，不符合題意；
當，解得時，不符合題意；
當，解得時，不符合題意；
當，解得時，不符合題意；③
當，解得時，不符合題意；
當，解得時，不符合題意；
當，則時，不符合題意；
綜上所述，搭建方案共有①②③三種，
故選：A．
【變式2】足球起源于我國古代“蹴鞠”，2024年6月，在烏蘭察布市舉行的內蒙古自治區第十六屆中學生運動會高中組足球項目比賽中，某足球隊共進行了8場比賽，得了12分，根據比賽規定：勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分，該隊獲勝的場數有 種可能．
【答案】3
【分析】考查了二元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程是解題的關鍵．設該隊獲勝x場，平y場，則負場，根據題意列出關于x，y的二元一次方程，結合x，y均為非負整數及，即可求出結論．
【詳解】解：設該隊獲勝x場，平y場，則負場，
依題意，得：，
∴，
∴，，，，，
又∵，
∴該隊可能獲勝2場、3場或4場．
故該隊獲勝的場數有3種可能，
故答案為：3．
【變式3】小亮解方程組的解為，由于不小心，滴上了兩滴墨水剛好遮住了兩個數●和★，請你幫他找回●這個數，●＝ ．
【答案】
【分析】本題考查二元一次方程組變形．先將變形得，再將代入中得，再將代入中即可計算出●的值．
【詳解】解：∵，
∴整理為：，
∴將代入中得：，
∵，
∴，
故答案為：．
考點4：解方程組——代入消元
典例4：解方程組：．
【答案】
【分析】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．
方程組利用代入消元法求出解即可．
【詳解】解：把代入得：，
去括號得：，
解得：，
把代入得：，
則方程組的解為．
【變式1】用代入消元法解下列二元一次方程組：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】此題考查了代入消元法解二元一次方程組，注意根據方程的特點靈活運用消元思想．
（1）利用代入消元法求解即可；
（2）方程組整理后，利用代入消元法求解即可．
【詳解】（1）解：
由①得，
將③代入②得：，即，
解得：，
將代入①得：，解得：，
方程組的解為；
（2）解：整理得：，
由①得，
將③代入②得：，即，
解得：，
將代入①得：，解得：，
方程組的解為．
【變式2】（1）觀察發現：
解方程組
將①整體代入②，得，解得．
將代入①，解得．
所以原方程組的解是．
這種解法稱為“整體代入法”，你若留心觀察，會發現有很多方程組可采用此方法解答．
請直接寫出方程組的解為________；
（2）實踐運用：
請用“整體代入法”解方程組：．
【答案】（1）；（2）
【分析】本題考查解二元一次方程組．理解并掌握整體代入法解方程組，是解題的關鍵．
（1）利用整體代入法解方程組即可；
（2）利用整體代入法解方程組即可．
【詳解】解：
由①得：③，
將③代入②得：，
解得：，
將代入①得：，
解得：，
∴方程組的解為；
（2）
由①得，
將③代入②得：，
解得，
將代入③，得，
解得，
則原方程組的解為．
【變式3】解方程組：．
【答案】
【分析】本題考查了解二元一次方程組，利用代入法解答即可求解，掌握解二元一次方程組的方法是解題的關鍵．
【詳解】解：，
把①代入②得，，
解得，
把代入①得，，
∴方程組的解為．
考點5：解方程組——加減消元
典例5：解方程組．
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本題主要考查了解二元一次方程組，掌握加減消元法成為解題的關鍵．
（1）直接運用加減消元法求解即可；
（2）先將原方程組整理為，然后再運用加減消元法求解即可．
【詳解】（1）解：
可得：，
將代入①可得：，
所以方程組的解為．
（2）解：可整理為：，
可得：，解得：，
將代入②可得: ,
∴該方程組的解為：．
【變式1】解方程組：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了加減消元法解二元一次方程組，熟練掌握解二元一次方程組的方法是解題的關鍵．
（1）根據加減消元法解二元一次方程組即可求；
（2）利用加減消元法解二元一次方程組，即可求解．
【詳解】（1）解：
，得，
將代入①得，，解得．
∴原方程組的解是．
（2）
，得，解得，
再代入②得，解得
∴原方程組的解是
【變式2】解方程組：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本題主要考查解二元一次方程組，解答的關鍵是熟練掌握解二元一次方程組的方法．
（1）利用加減消元法進行求解即可；
（2）利用加減消元法進行運算即可．
【詳解】（1）解：
得，，
解得：，
將代入①得，，
∴原方程組的解為：；
（2）解：原方程組可變形為，
得：，
解得：，
將代入得：．
則該方程組的解為：．
【變式3】解方程組：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了解二元一次方程組，熟練掌握加減消元法是解此題的關鍵．
（1）利用加減消元法解二元一次方程組即可；
（2）利用加減消元法解二元一次方程組即可．
【詳解】（1）解：，
由得：，
解得：，
將代入①得：，
解得：，
∴原二元一次方程組的解為；
（2）解：，
由得：，
解得：，
將代入①得：，
解得：，
∴原二元一次方程組的解為．
考點6：解方程組——特殊法
典例6：閱讀材料：小強同學在解方程組時，采用了一種“整體代換”解法：
解：將方程②變形：，即…③，把方程①代入③得：即，把代入方程①，得，所以方程組的解為．
請你解決以下問題
(1)模仿小強同學的“整體代換”法解方程組；
(2)已知，滿足方程組，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題主要考查解二元一次方程組，解答的關鍵是熟練掌握解二元一次方程組的方法．
（1）利用整體代換的方法進行求解即可；
（2）結合題目所給的解答方法進行求解即可．
【詳解】（1）解：，
將②變形為：，即，
將①代入③得：，
解得：，
把代入①得，
故原方程組的解是：；
（2）解：原方程組可化為：，
將①代入②得：，
解得：．
【變式1】閱讀探索
（1）知識累計
解方程組
解：設，，原方程組可變為
解方程組得：，即
所以
此種解方程組的方法叫換元法．
（2）拓展提高
運用上述方法解下列方程組：
（3）能力運用
已知關于x，y的方程組的解為，直接寫出關于m、n的方程組的解為 ．
【答案】（2） （3）
【分析】本題考查解二元一次方程組，掌握換元法解方程組，是解題的關鍵．
（2）利用換元法解方程組即可；
（3）設，進而得到，求解即可．
【詳解】（2）設，，
原方程可變為：，
解方程組得，即，
解得：；
（3）原方程化為，
設則方程可化為，
則方程的解為，即，
解得：．
【變式2】閱讀感悟：
有些關于方程組的問題，需要求的結果不是每一個未知數的值，而是關于未知數的代數式的值，如以下問題：已知實數，滿足①，②，求和的值．
本題常規思路是將①②兩式聯立組成方程組，解得，的值再代入欲求值的代數式得到答案，常規思路運算量比較大．其實，仔細觀察兩個方程未知數的系數之間的關系，本題還可以通過適當變形整體求得代數式的值，如由可得，由可得．這樣的解題方法就是通常所說的“整體代入法”求值．
解決問題：
(1)已知二元一次方程組，請用“整體代入法”求和的值；
(2)對于實數，，定義新運算：，其中，，是常數，等式右邊是通常的加法和乘法運算．已知，，求的值．
【答案】(1)；；
(2)
【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，三元一次方程組的應用，掌握整體思想解決問題是解題的關鍵．
（1）將兩方程相加可求的值，將兩方程相減可求的值；
（2）由題意列出方程組，再由即可求解．
【詳解】（1）解：，
由得：；
由得：，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
由得：．
【變式3】閱讀材料：善于思考的樂樂同學在解方程組時，采用了一種“整體換元”的解法．把，看成一個整體，設，，則原方程組可化為，解得，即，解得．
根據材料，回答下列問題
(1)已知關于的方程組的解為，請直接寫出關于的方程組的解是_______．
(2)學以致用，模仿樂樂同學的“整體換元”的方法，解方程組．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查利用“整體換元”法解二元一次方程組，讀懂材料是解題的關鍵．
（1）令，，根據方程組的解為，可得，進而可解；
（2）令，，仿照材料中的作法，通過“整體換元”求解．
【詳解】（1）解：令，，
關于的方程組的解為，
，
解得，
故答案為：；
（2）解：令，，
則原方程組可化為，
解得，即，
解得．
考點7：構造二元一次方程組
典例7：在等式中，當時，；當時，．
(1)求、的值；
(2)求當時的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了解二元一次方程組的解和解二元一次方程組，掌握消元的思想是解題的關鍵．
（1）將x與y的兩對值代入等式得到關于k與b的二元一次方程組，求出方程組的解，即可得k與b的值．
（2）由（1）得該等式為，再將代入，即可解答．
【詳解】（1）將時，； 時，分別代入得：
解得：，
（2）由（1）得，
將代入得：
．
【變式1】若一個四位正整數滿足：，我們就稱該數是“交替數”，如對于四位數3674，因為，所以3674是“交替數”，對于四位數2353，因為，所以2353不是“交替數”．
(1)判斷3986是否是“交替數”，并說明理由；
(2)最小的“交替數”是______，最大的“交替數”是______．
(3)若一個“交替數”滿足千位數字與百位數字的平方差是21，且十位數字與個位數的和能被5整除．請求出所有滿足條件的“交替數”．
【答案】(1)不是，理由見解析．
(2)1001，9999
(3)5214或5269
【分析】本題主要考查數的十進制，因式分解的應用，實數的運算，理解新定義，并將其轉化為實數的運算是解題的關鍵．
（1）根據“交替數”的概念進行判斷；
（2）根據最小的正整數是1，最大的一位數是9，結合“交替數”的概念求解；
（3）根據題意得到： ， ， ，先根據求出a，b的值，再根據求出k的值解答即可．
【詳解】（1）解：不是，理由如下∶
∵，
∴ 3986不是“交替數”．
（2）解：最小的“交替數”是1001，最大的“交替數”是9999．
故答案為：1001，9999；
（3）解：設這個“交替數”為， k為正整數．
由題意得 ∶ ， ， ．
∵ ， 且
∴ ， ，
解得(舍去) ， ，
∵ ( k為正整數) ，
∴ 取1或2或3 ，
又∵ ， 即 ， 則 ，
① 當取1時， 即 ，
∴ 解得 ，
∴ “交替數”是5214．
② 當取2時， 即 ，
∴ 解得 (舍去) ，
③ 當取3時， 即 ，
∴ 解得 ，
∴ “交替數”是5269．
綜上所述，滿足條件的“交替數”為5214或5269．
【變式2】在平面直角坐標系中，點，若，則稱點與點互為“對角點”，例如：點，點，因為，所以點與點互為“對角點”．
(1)若點的坐標是，則在點，，中，點的“對角點”為點______；
(2)若點的坐標是的“對角點”在坐標軸上，求點的坐標；
(3)若點的坐標是與點互為“對角點”，且，互為相反數，求點的坐標．
【答案】(1)，
(2)或
(3)
【分析】（1）本題主要考查自定義題目，利用互為對角點的概念，直接計算與點互為“對角點”的坐標．
（2）本題主要考查利用互為“對角點”定義，求點坐標，注意分類討論思想，題目中沒有說明點在那個軸上，注意討論到位即可求解．
（3）本題主要考查利用“對角點”的概念和互為相反數的定義求點坐標，利用方程思想求解是解決問題的關鍵，直接依據題意解二元一次方程組即可求解點坐標．
【詳解】（1）解：由題可知，，，，
根據互為對角點的概念得；
；
；
；
∴點的“對角點”為和，
故答案為：，
（2）解：∵點的坐標是，且點的“對角點”在坐標軸上；
①當點在軸上時，設點；
依據題意，；
∴；
②當點在軸上時，設點；
依據題意，；
∴
綜上所述，或．
（3）解：由題可知，和互為“對角點”；
∴；
∵，互為相反數；
∴；
故滿足：；
解得：，；
∴．
【變式3】對有理數x、y定義一種新運算“※”，規定：，這里等式右邊是通常的四則運算，例如：，已知：，
(1)求a、b的值；
(2)求的最小值．
【答案】(1)a、b的值分別為1，2
(2)15
【分析】（1）根據題中新運算法則列關于a、b的二元一次方程組，然后解方程組即可求解；
（2）根據（1）中結果和題中新運算法則表示出，然后根據利用完全平方公式和平方式的非負性求解即可．
【詳解】（1）解：∵，，
∴，
解得，
即a、b的值分別為1，2；
（2）解：由（1）知，，，
∴
，
∴的最小值是15．
【點睛】本題考查二元一次方程組得應用、完全平方公式的應用，解答的關鍵是掌握新運算法則，并正確求得a、b值．
考點8：解方程組——錯解復原問題
典例8：甲、乙兩名同學在解方程組時，甲解題時看錯了m，解得；，乙解題時看錯了n，解得．請你根據以上兩種結果：
(1)求m，n的值；
(2)求出原方程組的正確解．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了二元一次方程組的解，加減消元法解方程組．
（1）把甲的解代入中求出n的值，把乙的解代入中求出m的值；
（2）把與n的值代入方程組，利用加減消元法解方程組即可．
【詳解】（1）解：把代入得，解得，
把代入得，解得，
∴，；
（2）
解：①②得：，
解得，
把代入①得，
解得，
∴方程組的解為．
【變式1】甲乙兩位同學在解同一個關于，的二元一次方程組時，甲看錯了②中的解得，乙看錯了①中的解得．請回答：
(1)求，的值；
(2)求該二元一次方程組正確的解．
【答案】(1)，
(2)
【分析】此題主要是考查了二元一次方程組的解，解二元一方程組，
（1）根據題意得出是方程①的解，代入得出，同理解得
（2）由題可知，原方程組可變為，解方程組，即可求解．
【詳解】（1）解：由題意可知，
甲看錯了②中的
是方程①的解
，解得
∵乙看錯了①中的
∴是方程②的解
∴
解得
綜上：，.
（2）由題可知，原方程組可變為
，得
解得
把代入①解得
原方程組的解為.
【變式2】甲，乙兩名同學解方程組．甲看錯了方程①中的，得到方程組的解為；乙看錯了方程②中的，得到方程組的解為．
(1)求，的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題主要考查了代數式求值，二元一次方程組的錯解復原問題：
（1）根據題意可得甲求出的方程組的解滿足方程②，乙求出的方程組的解滿足方程①，據此可得，解之即可得到答案；
（2）根據（1）所求，代值計算即可．
【詳解】（1）解：∵甲看錯了方程①中的，
∴甲求出的方程組的解滿足方程②，
同理乙求出的方程組的解滿足方程①，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴
．
【變式3】在解方程組時，由于粗心，甲看錯了方程組中的a，而得解為，乙看錯了方程組中的，而得解為，根據上面的信息解答∶
(1)甲把a看成了什么數，乙把b看成了什么數？
(2)求出正確的的值；
(3)求出原方程組的正確解．
【答案】(1)甲把a看成了1，乙把b看成了3
(2)，
(3)
【分析】本題考查了解二元一次方程組、二元一次方程組的解和求代數式的值等知識點，能得出關于、的方程是解此題的關鍵．
（1）把代入①，能求出，把代入②，能求出；
（2）把代入①，能求出，把代入②，求出即可；
（3）加減消元法求解即可．
【詳解】（1）解：（1）把代入①，得，
解得：；
把代入②，得，
解得，
所以甲把看成了1，乙把看成了3；
（2）解：把代入①，得，
解得：，
把代入②，得，
解得：；
∴，；
（3）解：原方程組為，解得原方程組的正確解為：．
考點9：解方程組——同解問題
典例9：已知關于x，y的方程組和有相同的解．
(1)求這個相同的解；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查同解方程組：
（1）將兩個不含參數的方程組成新的方程組，解方程組即可；
（2）根據（1）中的解求出參數的值，再代入代數式計算即可．
【詳解】（1）解：由題意：方程組的解與兩個方程組的解也相同，
解，得：；
∴相同的解為：．
（2）解：由題意，可知：方程組的解也為，
∴，解得：，
∴．
【變式1】已知關于x，y的方程組和有相同的解．
(1)求出它們的相同解；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了二元一次方程組的解，解二元一次方程組和求代數式的值等知識，能求出兩方程組的相同的解是解此題的關鍵．
（1）求出的解，即可解答；
（2）將代入到中，求出a、b的值，再代入，求出即可．
【詳解】（1）由題意，得
，
，得
，
∴，
把代入②得
，
∴，
解得；
（2）將代入，得，
解得．
∴，
∴．
【變式2】已知關于x，y的方程組與有相同的解．
(1)求這個相同的解；
(2)已知實數的兩個平方根是的立方根是n，求的算術平方根．
【答案】(1)
(2)2
【分析】本題考查同解方程組、解二元一次方程組及平方根和立方根，熟練掌握二元一次方程組的解法是解題的關鍵．
（1）根據題意，聯立，解方程組可求得x，y的值，即為所求．
（2）將代入，可得關于m，n的二元一次方程組，解方程組求出m，n，進而可求a和b的值，然后代入求解即可．
【詳解】（1）解：根據題意，
聯立，
①②，得，
解得，
把代入①，得，
解得．
∴這個相同的解為．
（2）解：將代入，
得，
③④，得，
把代入③，得，
解得．
∴，
∴；
∴，即，
∴，
∴，
∵4的算術平方根是2．
∴的算術平方根為2．
【變式3】（1）已知關于的方程組與有相同的解，求方程組的解及的值．
（2）已知是一個被墨水污染的方程組．這個方程組的解與方程組的解相同；因為看錯了第二個方程中的的系數，求出的解是，請你根據以上信息，把方程組復原出來．
【答案】（1）；（2）
【分析】本題考查二元一次方程組綜合，涉及同解二元一次方程組求參數問題，讀懂題意，由所給方程組得到系數確定的二元一次方程組求解即可得到答案，熟練掌握同解方程問題的解法是解決問題的關鍵．
（1）由題中兩個方程組同解，得到新的二元一次方程組，解方程后，將代入含參數的方程，構成參數方程組求解即可得到答案；
（2）解，設被墨水污染的為，點為，為，將方程組的解代入同解方程組解得，再結合題意構造新的二元一次方程組求解即可得到答案．
【詳解】解：（1）方程組與有相同的解．
聯立得方程組，解得，代入得，解得；
（2），
由②－①，得．
把代入②，得，解得，
方程組的解為，
設被墨水污染的為，點為，為．
這個方程組的解是，
，
．
看錯了第二個方程中的的系數，求出的解是，
，
，解得，
原方程組為．
考點10：解方程組——由解求字母
典例11：對于未知數x，y的二元一次方程組，如果方程組的解x，y滿足，我們就說方程組的解x與y具有“鄰好關系”．
(1)方程組，的解x與y是否具有“鄰好關系”？說明你的理由；
(2)若方程組的解x與y具有“鄰好關系”，求m的值；
(3)未知數為x，y的方程組，其中a與x，y都是正整數，則該方程組的解x與y是否具有“鄰好關系”？如果具有，請求出a的值；如果不具有，請說明理由．
【答案】(1)x與y具有“鄰好關系；
(2)，
(3)x與y是否具有“鄰好關系；
【分析】本題考查了解二元一次方程，
（1）根據即可得；
（2）解方程組得，根據x與y具有“鄰好關系”可得，進行計算即可得；
（3）兩式相加得，根據a，y都是正整數得，， ，，把y的值分別代入②可得x的值，根據“鄰好關系”的定義可得當時具有“鄰好關系”，即可得a的值；
理解題意，掌握解二元一次方程的方法是解題的關鍵．
【詳解】（1）x與y具有“鄰好關系，理由如下：
解：∵，
∴
∴x與y具有“鄰好關系；
（2）解：，
①+②，得，
，
將代入①，得，
解得：，
∴方程組的解為，
∵方程組的解x與y具有“鄰好關系”，
∴，
即，
或，
解得：，；
（3）解：
①+②，得，
∵a，y都是正整數，
∴，， ，，
∵當時，代入②得，；
當時，代入②得，；
當時，代入②得，；
當時，代入②得，；
∵a與x，y都是正整數，
∴時具有“鄰好關系”，
即當時，x，y具有“鄰好關系”．
已知關于x、y的方程組
(1)請寫出方程 的一組正整數解；
(2)不管m取任何值，方程：總有一個固定解，請求出這個解；
(3)若方程組的解滿足．，直接寫出m的值．
【答案】(1)或（寫出一組即可）
(2)
(3)
【分析】本題考查解二元一次方程組求參數，解題的關鍵在于先用參數分別表示出解，再利用代數式求參數．
（1）令x取一正整數，代入求出y即可；
（2）將原式進行變換后即可求出這個固定解；
（3）先通過方程組解出x、y的值，再將x、y代入代數式求出m即可．
【詳解】（1）解：把代入得：，
解得：，
∴方程 的一組正整數解為；
把代入得：，
解得：，
∴方程 的一組正整數解為；
（2）解：方程，
整理得，
由于無論m取任何實數，該二元一次方程都有一個固定的解，
∴列出方程組，
解得：；
（3）解：解方程組，得，
將代入，
解得．
閱讀以下內容：已知x，y滿足， 且滿足，求m的值．
三位同學分別提出了自己的解題思路：
甲同學：先解關于x，y的方程組，再求m的值；
乙同學：先將方程組中的兩個方程相加，再求m的值；
丙同學：先解方程組，再求m的值．
(1)以上三位同學的解題思路中，正確的有_______個，你最欣賞_______（填寫“甲”或“乙”或“丙”）的思路；
(2)根據你所選的思路解答此題．
【答案】(1)3，乙（答案不唯一）
(2)4
【分析】本題考查解二元一次方程組，解題的關鍵是熟練掌握二元一次方程組的解法．
（1）分別根據甲、乙、丙三位同學的思路分別進行分析即可；
（2）根據甲、乙、丙三位同學的思路結合解二元一次方程組的方法計算即可．
【詳解】（1）解：甲同學：利用m可表示出關于x，y的方程組的解，再代入，即可求出m的值，故甲同學的解題思路正確；
乙同學：將方程組中的兩個方程相加，可得出，再將整體代入，即可求出m的值，故乙同學的解題思路正確；
丙同學：解方程組，再將解代入，即可求出m的值，故丙同學的解題思路正確．
綜上可知以上三位同學的解題思路中，正確的有3個，最欣賞乙同學的思路，因為利用整體代入思想，計算簡便．
故答案為：3，乙（答案不唯一）；
（2）解：甲同學：
解得：，
將代入，得：，
解得：；
乙同學：，
由并整理，得：．
將代入，得：，
解得：；
丙同學：解方程組，
解得：，
將代入，得：，
解得：．
【變式1】
【變式2】
【變式3】已知關于x，y的方程組．
(1)請直接寫出方程的所有正整數解；
(2)若方程組的解滿足，求m的值；
(3)如果方程組有整數解，求整數m的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)整數的值為或2
【分析】此題考查了二元一次方程組的解，二元一次方程的解，以及解二元一次方程，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
（1）把看作已知數表示出，進而確定出方程的正整數解即可；
（2）已知方程與方程組第一個方程聯立求出與的值，進而求出的值；
（3）根據方程組有整數解，確定出整數的值即可．
【詳解】（1）解：方程，
解得：，
當時，；
當，；
即方程的正整數的解為，；
（2）解：聯立得，
解得，
代入得：，
解得；
（3）解：，
①②得：，
解得：，
把代入①得：，
當，1，，，4，時，為整數，此時，，，，2，，
當時，，不符合題意；
當時，，不符合題意；
當時，，符合題意；
當時，，符合題意，
當時，，不符合題意；
當時，，不符合題意，
綜上所述，整數的值為或2．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)中小學教育資源及組卷應用平臺
專題01 二元一次方程組及解法
考點類型
知識一遍過
（一）二元一次方程概念
含有兩個未知數，并且未知數的項的次數都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程。
【注意】
①二元：含有兩個未知數；
②一次：所含未知數的項的次數都是1。
例如：xy=1，xy的次數是二，屬于二元二次方程。
③方程：方程的左右兩邊必須都是整式（分母不能出現未知數）。
二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數的值，叫做二元一次方程的解．
二元一次方程有無數個解。
（二）二元一次方程組概念
含有兩個未知數的兩個一次方程所組成的一組方程，叫做二元一次方程組．
【注意】
①二元一次方程組的“二元”和“一次”都是針對整個方程組而言的，組成方程組的各個方程不必同時含有兩個未知數，如也是二元一次方程組。
②方程組中的各個方程中，相同字母必須代表同一未知量。
③二元一次方程組中的各個方程應是整式方程。
二元一次方程組的解：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解。
【注意】
①二元一次方程組的解是方程中每個方程的解。
②一般情況下二元一次方程組的解是唯一的，但是有的方程組有無數個解或無解。
如：有的方程組無解，如：
（三）解二元一次方程組——代入消元
代入消元法：把二元一次方程組中一個方程的未知數用含另一個未知數的式子表示出來，再代入另一個方程，實現消元，進而求得這個二元一次方程組的解。這個方法叫做代入消元法，簡稱代入法。
代入消元法的一般步驟：
①變：將其中一個方程變形，使一個未知數用含有另一個的未知數的代數式表示。
②代：用這個代數式代替另一個方程中的相應未知數，得到一元一次方程。
③解：解一元一次方程
④求：把求得的未知數的值帶入代數式或原方程組中的任意一個方程中，求得另一個未知數的值。
⑤寫：寫出方程組的解。
⑥驗：將方程組的解帶入到原方程組中的每個方程中，若各方程均成立，則這對數值就是原方程組的解，負責解題有誤。
（四）解二元一次方程組——加減消元
加減消元法：兩個二元一次方程中同一個未知數的系數相反或相等時，把這兩個方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個未知數，得到一個一元一次方程，這種方法叫做加減消元法，簡稱加減法。
加減消元法的一般步驟：
①變：將兩個方程中其中一個未知數的系數化為相同（或互為相反數）。
②加減：通過相減（或相加）消去這個未知數，得到一個一元一次方程。
③解：解這個一元一次方程，得到一個未知數的值。
④求：將求得的未知數的值代入原方程組中的任意一個方程，求出另一個未知數的值。
⑤寫：寫出方程組的解。
⑥驗：將方程組的解帶入到原方程組中的每個方程中，若各方程均成立，則這對數值就是原方程組的解，負責解題有誤。
考點一遍過
考點1：二元一次方程（組）定義
典例1：若方程是二元一次方程，則的值為（ ）
A．2 B． C．0 D．
【變式1】下列方程中是二元一次方程組的有（ ）
①，②，③，④，
A．個 B．個 C．個 D．個
【變式2】已知關于的方程，當 時，此方程為二元一次方程．
【變式3】下列方程組中，不是二元一次方程組的是 ．
①；②；③；④
考點2：二元一次方程（組）的解
典例2：下列各組數中，是二元一次方程的一個解的是（ ）
A． B． C． D．
【變式1】解為 的方程組可以是（ ）
A． B． C． D．
【變式2】已知是二元一次方程的一個解，則m的值為 ．
【變式3】下面三組數據：
① ② ③
滿足方程的是 ，滿足方程的是 ，同時滿足這兩個方程的是 ．故二元一次方程組的解是 ．（填序號）
考點3：二元一次方程（組）解的應用
典例3：兩位同學在解方程組時，甲同學由正確地解出，乙同學因把c寫錯了解得，那么a、b、c的正確的值應為（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【變式1】為緊急安置109名地震災民，需要同時搭建可容納7人和5人的兩種帳篷（帳篷都住滿人），則搭建方案共有（ ）
A．3種 B．4 種 C．5種 D．6種
【變式2】足球起源于我國古代“蹴鞠”，2024年6月，在烏蘭察布市舉行的內蒙古自治區第十六屆中學生運動會高中組足球項目比賽中，某足球隊共進行了8場比賽，得了12分，根據比賽規定：勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分，該隊獲勝的場數有 種可能．
【變式3】小亮解方程組的解為，由于不小心，滴上了兩滴墨水剛好遮住了兩個數●和★，請你幫他找回●這個數，●＝ ．
考點4：解方程組——代入消元
典例4：解方程組：．
【變式1】用代入消元法解下列二元一次方程組：
(1)；
(2)．
【變式2】（1）觀察發現：
解方程組
將①整體代入②，得，解得．
將代入①，解得．
所以原方程組的解是．
這種解法稱為“整體代入法”，你若留心觀察，會發現有很多方程組可采用此方法解答．
請直接寫出方程組的解為________；
（2）實踐運用：
請用“整體代入法”解方程組：．
【變式3】解方程組：．
考點5：解方程組——加減消元
典例5：解方程組．
(1)；
(2)．
【變式1】解方程組：
(1)；
(2)．
【變式2】解方程組：
(1)
(2)
【變式3】解方程組：
(1)；
(2)．
考點6：解方程組——特殊法
典例6：閱讀材料：小強同學在解方程組時，采用了一種“整體代換”解法：
解：將方程②變形：，即…③，把方程①代入③得：即，把代入方程①，得，所以方程組的解為．
請你解決以下問題
(1)模仿小強同學的“整體代換”法解方程組；
(2)已知，滿足方程組，求的值．
【變式1】閱讀探索
（1）知識累計
解方程組
解：設，，原方程組可變為
解方程組得：，即
所以
此種解方程組的方法叫換元法．
（2）拓展提高
運用上述方法解下列方程組：
（3）能力運用
已知關于x，y的方程組的解為，直接寫出關于m、n的方程組的解為 ．
【變式2】閱讀感悟：
有些關于方程組的問題，需要求的結果不是每一個未知數的值，而是關于未知數的代數式的值，如以下問題：已知實數，滿足①，②，求和的值．
本題常規思路是將①②兩式聯立組成方程組，解得，的值再代入欲求值的代數式得到答案，常規思路運算量比較大．其實，仔細觀察兩個方程未知數的系數之間的關系，本題還可以通過適當變形整體求得代數式的值，如由可得，由可得．這樣的解題方法就是通常所說的“整體代入法”求值．
解決問題：
(1)已知二元一次方程組，請用“整體代入法”求和的值；
(2)對于實數，，定義新運算：，其中，，是常數，等式右邊是通常的加法和乘法運算．已知，，求的值．
【變式3】閱讀材料：善于思考的樂樂同學在解方程組時，采用了一種“整體換元”的解法．把，看成一個整體，設，，則原方程組可化為，解得，即，解得．
根據材料，回答下列問題
(1)已知關于的方程組的解為，請直接寫出關于的方程組的解是_______．
(2)學以致用，模仿樂樂同學的“整體換元”的方法，解方程組．
考點7：構造二元一次方程組
典例7：在等式中，當時，；當時，．
(1)求、的值；
(2)求當時的值．
【變式1】若一個四位正整數滿足：，我們就稱該數是“交替數”，如對于四位數3674，因為，所以3674是“交替數”，對于四位數2353，因為，所以2353不是“交替數”．
(1)判斷3986是否是“交替數”，并說明理由；
(2)最小的“交替數”是______，最大的“交替數”是______．
(3)若一個“交替數”滿足千位數字與百位數字的平方差是21，且十位數字與個位數的和能被5整除．請求出所有滿足條件的“交替數”．
【變式2】在平面直角坐標系中，點，若，則稱點與點互為“對角點”，例如：點，點，因為，所以點與點互為“對角點”．
(1)若點的坐標是，則在點，，中，點的“對角點”為點______；
(2)若點的坐標是的“對角點”在坐標軸上，求點的坐標；
(3)若點的坐標是與點互為“對角點”，且，互為相反數，求點的坐標．
【變式3】對有理數x、y定義一種新運算“※”，規定：，這里等式右邊是通常的四則運算，例如：，已知：，
(1)求a、b的值；
(2)求的最小值．
考點8：解方程組——錯解復原問題
典例8：甲、乙兩名同學在解方程組時，甲解題時看錯了m，解得；，乙解題時看錯了n，解得．請你根據以上兩種結果：
(1)求m，n的值；
(2)求出原方程組的正確解．
【變式1】甲乙兩位同學在解同一個關于，的二元一次方程組時，甲看錯了②中的解得，乙看錯了①中的解得．請回答：
(1)求，的值；
(2)求該二元一次方程組正確的解．
【變式2】甲，乙兩名同學解方程組．甲看錯了方程①中的，得到方程組的解為；乙看錯了方程②中的，得到方程組的解為．
(1)求，的值；
(2)求的值．
【變式3】在解方程組時，由于粗心，甲看錯了方程組中的a，而得解為，乙看錯了方程組中的，而得解為，根據上面的信息解答∶
(1)甲把a看成了什么數，乙把b看成了什么數？
(2)求出正確的的值；
(3)求出原方程組的正確解．
考點9：解方程組——同解問題
典例9：已知關于x，y的方程組和有相同的解．
(1)求這個相同的解；
(2)求的值．
【變式1】已知關于x，y的方程組和有相同的解．
(1)求出它們的相同解；
(2)求的值．
【變式2】已知關于x，y的方程組與有相同的解．
(1)求這個相同的解；
(2)已知實數的兩個平方根是的立方根是n，求的算術平方根．
【變式3】（1）已知關于的方程組與有相同的解，求方程組的解及的值．
（2）已知是一個被墨水污染的方程組．這個方程組的解與方程組的解相同；因為看錯了第二個方程中的的系數，求出的解是，請你根據以上信息，把方程組復原出來．
考點10：解方程組——由解求字母
典例11：對于未知數x，y的二元一次方程組，如果方程組的解x，y滿足，我們就說方程組的解x與y具有“鄰好關系”．
(1)方程組，的解x與y是否具有“鄰好關系”？說明你的理由；
(2)若方程組的解x與y具有“鄰好關系”，求m的值；
(3)未知數為x，y的方程組，其中a與x，y都是正整數，則該方程組的解x與y是否具有“鄰好關系”？如果具有，請求出a的值；如果不具有，請說明理由．
已知關于x、y的方程組
(1)請寫出方程 的一組正整數解；
(2)不管m取任何值，方程：總有一個固定解，請求出這個解；
(3)若方程組的解滿足．，直接寫出m的值．
閱讀以下內容：已知x，y滿足， 且滿足，求m的值．
三位同學分別提出了自己的解題思路：
甲同學：先解關于x，y的方程組，再求m的值；
乙同學：先將方程組中的兩個方程相加，再求m的值；
丙同學：先解方程組，再求m的值．
(1)以上三位同學的解題思路中，正確的有_______個，你最欣賞_______（填寫“甲”或“乙”或“丙”）的思路；
(2)根據你所選的思路解答此題．
【變式1】
【變式2】
【變式3】已知關于x，y的方程組．
(1)請直接寫出方程的所有正整數解；
(2)若方程組的解滿足，求m的值；
(3)如果方程組有整數解，求整數m的值．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑