資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題01 數據的分析
考點類型
知識一遍過
（一）平均數
（1）算術平均數：簡稱平均數，記作“”，讀作“x拔”。
公式：平均數==
【注意】分析平均數時，容易被數據的極值影響，導致錯誤的判斷。
（2）加權平均數概念：若個數，，…，的權分別是，，…，，則，叫做這個數的加權平均數.
（二）中位數
（1）中位數的概念：將一組數據由小到大（或由大到?。┑捻樞蚺帕校绻麛祿膫€數是奇數，則處于中間位置的數就是這個數據的中位數，如果數據的個數是偶數，則中間兩個數的平均數就是這組數據的中位數。
（2）確定中位數的一般步驟：
第1步：排序，由大到小或由小到大。
第2步：確定是奇數個數據（位的數為中位數）或偶數個數據（位的數和位的數的平均數為中位數）。
第3步：如果是奇數個數據，中間的數據就是中位數。如果是偶數個數據，中位數是中間兩個數據的平均數。
（三）眾數
（1）眾數的概念：一組數據中出現次數最多的數據就是這組數據的眾數。
【注意】如果一組數據中有兩個數據的頻數一樣且都是最大，那么這兩個數據都是這組數據的眾數，所以一組數據中眾數的個數可能不唯一。
（2）眾數的意義：當一組數據有較多的重復數據時，眾數往往能更好地反映其集中的趨勢。
（四）方差
（1）方差的概念：在一組數據，，…，中，各個數據與平均數的差的平方的平均數叫做這組數據的方差，記作.計算公式是：
（2）方差的意義：方差是用來衡量數據在平均數附近波動大小的量，方差（）越大，數據的波動性越大，方差越小，數據的波動性越小.
【擴展】
①當一組數據同時加上一個數時，其平均數、中位數、眾數也增加,而其方差不變；
②當一組數據擴大倍時，其平均數、中位數和眾數也擴大倍，其方差擴大倍.
考點一遍過
考點1：求數據的平均數
典例1：第七屆全國人民代表大會常務委員會第十七次會議審議通過的《中華人民共和國殘疾人保障法》第14條規定：“每年五月第三個星期日，為全國助殘日．”在第33個“全國助殘日”到來之際，某校舉行了捐款活動，并調查了某班30名同學的捐款情況如下表：
捐款 5元 10元 15元 20元 25元 30元
人數 11 9 6 2 1 1
則該班同學捐款的平均數為（ ）
A．11元 B．13元 C．15元 D．20元
【變式1】若一組數據中有個，個，個，則這組數據的平均數是（ ）
A．20 B． C． D．
【變式2】學校利用勞動課帶領學生拔蘿卜，從中抽取了6個白蘿卜，測得白蘿卜長度（單位：cm）分別為16，20，15，18，17，16，則這組數據的平均數是 cm．
【變式3】爸爸種植了一畝優種西瓜，為幫助爸爸預估西瓜的產量，小明隨機摘下6個成熟的西瓜，稱重如下（單位：）：，，，，，，若該畝地可產西瓜500個，西瓜售價2元，則該畝地的西瓜可以收獲 元．
考點2：由平均數求未知數的值
典例2：某校舉辦小合唱比賽，六個參賽小組人數如下：5，6，5，7，，8．已知這組數據的平均數為6，則數為（ ）
A．5 B． C．6 D．7
【變式1】已知小華上學期語文、數學、英語三科平均分為92分，他記得語文得了88分，英語得了95分，但他把數學成績忘記了，你能告訴他應該是以下哪個分數嗎？（ ）
A．93 B．95 C．94 D．96
【變式2】有一組數據如下：，，，，，它們的平均數是，則的值為 ．
【變式3】（1）一位同學進行五次投實心球的練習，每次投出的成績如下表：
投實心球次序 1 2 3 4 5
成績/m
則該同學這五次投實心球的平均成績是 m；
（2）已知一組數據3，5，4，5，6，x，5的平均數是5，則 ．
考點3：數據變化與平均數的關系
典例3：已知一組數據，，，，的平均數是4，那么另一組數據，，，，的平均數是（ ）
A．4 B．8 C．5 D．3
【變式1】已知5個數、、、、的平均數是，則數據，，，，的平均數為（　?。?br/>A． B． C． D．
【變式2】已知，，…，的平均數是10；，，…，的平均數是13，則，，…，的平均數是 ．
【變式3】杭州亞運會射箭比賽中，某運動員箭的成績（單位：環）依次是，，，，，若前箭的平均成績為環，則這箭的平均成績為 環．
考點4：求數據的加權平均數
典例4：小明測得一周的體溫并登記如下（單位：℃），其中星期四的體溫不小心被墨跡污染，根據表中數據，可得出此日的體溫是（ ）
星期 日 一 二 三 四 五 六 周平均體溫
體溫（℃） 37.2 36.7 37.0 36.6 36.9 37.1 36.9
A．36.7 ℃ B．36.8 ℃ C．36.9 ℃ D．37.0 ℃
【變式1】某班期末進行評選“五育好少年”活動，從“胸懷祖國”“天天向上”“強健體魄”“博采眾長”“社會實踐”五個方面進行量化綜合評選，各項滿分均為100分，所占比例如下：
項目 胸懷祖國 天天向上 強健體魄 博采眾長 社會實踐
所占比例
李軍同學的各項分數如下：92，96，84，86，100，則李軍同學的最后綜合得分為（ ）
A．89分 B．90分 C．91.7分 D．92分
【變式2】新學期，新團隊，八年級五班進行班長競選，對甲、乙、丙三名學生進行了組織能力、溝通能力和團隊合作能力三方面的測試，他們的各項成績如下表所示：
競選者 組織能力 溝通能力 團隊合作能力
甲 80 70 60
乙 60 80 70
丙 70 60 80
如果將每位競選者的組織能力、溝通能力和團隊合作能力的成績按6：1：3的比計算其總成績，并且總成績最高者競選成功，則本次競選班長成功的是 同學（填“甲”或“乙”或“丙”）．
【變式3】如表是某學習小組一次數學測驗的成績統計表：已知該小組本次數學測驗的平均分是85分，則 ．
分數 70 80 90 100
人數 1 3 x 1
考點5：求數據的眾數、中位數
典例5：有一組數據2，4，8，5，3，5，5，4，則這組數據的中位數、眾數分別為（ ）
A．、5 B．5、 C．5、4 D．5、5
【變式1】在一次中學生田徑運動會上，參加男子跳高的10名運動員的成績如表所示．則這10名運動員成績的中位數是（　?。?br/>成績/m
人數/名 1 4 1 3 1
A． B． C． D．
【變式2】如圖是某市2024年5月上旬的每天氣溫繪成的折線統計圖，根據統計圖提供的信息，該市5月上旬最高氣溫的眾數是 ．
【變式3】2023年8月6日，隨著裁判的一聲哨響，章丘區首屆農民籃球賽（簡稱“村”）在官莊街道石匣村正式啟動；火爆出圈“村”，讓老百姓享受到了運動帶來的快樂，真正提高了群眾的體育意識和生活質量．在觀看過某場比賽后，有9名學生去參加定點投籃比賽，每人投籃10次，投中的次數統計如下：3，6，4，6，4，3，6，5，7．這組數據的中位數和眾數分別是 ， ．
考點6：由眾數、中位數求未知數的值
典例6：已知一組數據3，5，7，8，9，10，x的眾數是9，則這組數據的中位數是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．9.5
解：數據3，5，7，8，9，10，x的眾數是9，
，
則這組數據按照從小到大的順序排列為：3，5，7，8，9，9，10，
則中位數為8；
故選：B．
【變式1】已知一組數據3，2，2，2，6，3，，若這組數據的眾數只有一個，則的值不可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【變式2】某校首屆校園模擬電子射擊比賽中，小宇和小軒兩人在相同條件下各射擊6次，命中的環數如下(單位：環)：
小宇：7，9，8，6，9，8；
小軒：10，5，6，9，，9，
如果兩人的比賽成績的中位數相同，那么小軒的第五次成績是 環．
【變式3】若數據25，23，x，24，22的眾數是25，則 ，平均數是 ，中位數是 ．
考點7：求數據的方差、極差
典例7：若一組數據，，……的方差是2，則，，……的方差（ ）
A．4 B．9 C．6 D．18
【變式1】一組數據的極差是3，則另一組數據的極差是（　?。?br/>A．3 B．4 C．6 D．9
【變式2】我市一月份某天的最高氣溫為，最低氣溫為，則當天氣溫的極差為 ．
【變式3】有甲、乙兩組數據， 如下表所示：
甲 11 12 13 14 15
乙 12 12 13 14 15
甲、乙兩組數據的方差分別為，，則 （填“>”，“<”或“=”）．
考點8：由方差、極差求未知數的值
典例8：若一組數據，0，2，5，x的極差為8，則x的值是（ ）．
A． B．8或 C．8 D．7或
【變式1】如果樣本方差，那么這個樣本的平均數和樣本容量分別是（　?。?br/>A．25，25 B．25，19 C．19，19 D．19，25
【變式2】如果一組數據的方差，那么的值為 ．
【變式3】若五個數據2，，3，x，5的極差為8，則x的值為 ．
考點9：方差的意義
典例9：甲、乙、丙、丁四個旅行團的游客人數都相等，每個團游客的平均年齡都是32歲，年齡的方差分別是，，，，導游小明喜歡帶游客間年齡相近的團隊，在這四個團中，則他應選（ ）

A．甲團 B．乙團 C．丙團 D．丁團
【變式1】甲、乙、丙、丁四名同學參加立定跳遠訓練，他們成績的平均數相同，方差分別為：、、、，則成績最穩定的是（　?。?br/>A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【變式2】甲，乙兩人在相同條件下各射擊10次，兩人的成績（單位：環）如圖所示，現有以下三個推斷：
①甲的成績更穩定；
②乙的平均成績更高；
③每人再射擊一次，乙的成績一定比甲高．其中正確的是 ．（填序號）
【變式3】下表記錄了甲、乙、丙、丁四位選手各10次射擊成績的數據信息．
選手 甲 乙 丙 丁
平均數(環) 9.6 9.8 9.8 9.7
方差(環 ) 0.46 0.38 0.15 0.27
若要從上述四人中推薦一位選手參加比賽，則最合適的人選是 ．
考點10：統計量的選擇
典例10：有21名同學參加學校組織的幾何畫板比賽，已知他們所得的分數互不相同，共設10個獲獎名額．某同學知道自己的比賽成績后，要判斷自己能否獲獎，在下列關于這21名同學成績的統計量中只需知道一個量，它是（ ）
A．方差 B．平均數 C．眾數 D．中位數
【變式1】一家服裝專賣店銷售某品牌棒球服，店長統計了一周內不同尺碼的棒球服銷售量如下表，如果每件棒球服的利潤相同，你認為該店主最應該關注的銷售數據是下列統計量中的（　?。?br/>尺碼 S M X
銷售量/件 28 30 45 27
A．眾數 B．中位數
C．平均數 D．以上都不對
【變式2】某中學舉辦了一次“唱K”比賽，最后確定5名同學參加決賽，他們的決賽成績各不相同，小明同學參加了決賽，評委沒有當場亮分，每位決賽選手只能知道自己的分數，小明想知道自己能否進前3名，但他只能問評委一個問題，他應該問的問題是①平均分②中位分③方差（從選項中選擇一個正確的序號填入） ．
【變式3】對于一組數據：x1，x2，x3，…，x10，若去掉一個最大值和一個最小值，則下列統計量一定不會發生變化的是 ．①平均數；②中位數；③眾數；④方差．
考點11：利用合適的統計量做決策
典例11：對于數據：2、2、2、4、5、6、8、8、9、100，能較好反映這組數據平均水平的是（ ）
A．這組數據的平均數 B．這組數據的中位數
C．這組數據的眾數 D．這組數據的標準差
【變式1】廈門胡里山炮臺歷史上被稱為“八閩門戶、天南鎖鑰”，是全國重點文物保護單位，也是4A景區．近期，隨著旅游業的復蘇，該景區計劃招聘一名工作人員，評委從筆試，面試兩個方面為甲、乙、丙、丁四位應聘者打分（具體分數如表），按筆試占，面試占計算應聘者綜合分，并錄用綜合分最高者，則最終錄用的應聘者是（ ）
應聘者 筆試 面試
甲 90 90
乙 90 95
丙 95 90
丁 85 90
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【變式2】在某次賽制為“12進4”且當場公布分數的舞蹈比賽中，小華所在的隊伍當第10支隊伍分數公布后仍排名第二而歡呼，請問她們判定自己已進入下一輪比賽的依據與 （從平均數、眾數、中位數、方差中選擇）有關．
【變式3】某校擬派一名跳高運動員參加一項校際比賽，對4名跳高運動員進行了多次選拔比賽，他們比賽成績的平均數和方差如下表：
甲 乙 丙 丁
平均數 169 168 169 168
方差 6.0 17.3 5.0 19.5
根據表中數據，要從中選擇一名平均成績好，且發揮穩定的運動員參加比賽，最合適的人選是 ．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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專題01 數據的分析
考點類型
知識一遍過
（一）平均數
（1）算術平均數：簡稱平均數，記作“”，讀作“x拔”。
公式：平均數==
【注意】分析平均數時，容易被數據的極值影響，導致錯誤的判斷。
（2）加權平均數概念：若個數，，…，的權分別是，，…，，則，叫做這個數的加權平均數.
（二）中位數
（1）中位數的概念：將一組數據由小到大（或由大到?。┑捻樞蚺帕?，如果數據的個數是奇數，則處于中間位置的數就是這個數據的中位數，如果數據的個數是偶數，則中間兩個數的平均數就是這組數據的中位數。
（2）確定中位數的一般步驟：
第1步：排序，由大到小或由小到大。
第2步：確定是奇數個數據（位的數為中位數）或偶數個數據（位的數和位的數的平均數為中位數）。
第3步：如果是奇數個數據，中間的數據就是中位數。如果是偶數個數據，中位數是中間兩個數據的平均數。
（三）眾數
（1）眾數的概念：一組數據中出現次數最多的數據就是這組數據的眾數。
【注意】如果一組數據中有兩個數據的頻數一樣且都是最大，那么這兩個數據都是這組數據的眾數，所以一組數據中眾數的個數可能不唯一。
（2）眾數的意義：當一組數據有較多的重復數據時，眾數往往能更好地反映其集中的趨勢。
（四）方差
（1）方差的概念：在一組數據，，…，中，各個數據與平均數的差的平方的平均數叫做這組數據的方差，記作.計算公式是：
（2）方差的意義：方差是用來衡量數據在平均數附近波動大小的量，方差（）越大，數據的波動性越大，方差越小，數據的波動性越小.
【擴展】
①當一組數據同時加上一個數時，其平均數、中位數、眾數也增加,而其方差不變；
②當一組數據擴大倍時，其平均數、中位數和眾數也擴大倍，其方差擴大倍.
考點一遍過
考點1：求數據的平均數
典例1：第七屆全國人民代表大會常務委員會第十七次會議審議通過的《中華人民共和國殘疾人保障法》第14條規定：“每年五月第三個星期日，為全國助殘日．”在第33個“全國助殘日”到來之際，某校舉行了捐款活動，并調查了某班30名同學的捐款情況如下表：
捐款 5元 10元 15元 20元 25元 30元
人數 11 9 6 2 1 1
則該班同學捐款的平均數為（ ）
A．11元 B．13元 C．15元 D．20元
【答案】A
【分析】本題考查了平均數的求解，用總錢數除以30即可．
【詳解】解：（元），
故選：A．
【變式1】若一組數據中有個，個，個，則這組數據的平均數是（ ）
A．20 B． C． D．
【答案】D
【分析】考查了平均數的計算，解題關鍵是計算出這組數據的和及個數．先求得這組數據的和及個數，再根據平均數的定義求解．
【詳解】∵一組數據中有有個，個，個，
∴這組數據的和，數據的個數，
∴這組數據的平均數為：．
故選：D．
【變式2】學校利用勞動課帶領學生拔蘿卜，從中抽取了6個白蘿卜，測得白蘿卜長度（單位：cm）分別為16，20，15，18，17，16，則這組數據的平均數是 cm．
【答案】17
【分析】本題考查了算術平均數，根據平均數是指在一組數據中所有數據之和再除以數據的個數計算即可．
【詳解】解：
故答案為：17．
【變式3】爸爸種植了一畝優種西瓜，為幫助爸爸預估西瓜的產量，小明隨機摘下6個成熟的西瓜，稱重如下（單位：）：，，，，，，若該畝地可產西瓜500個，西瓜售價2元，則該畝地的西瓜可以收獲 元．
【答案】5200
【分析】本題主要考查了平均數的應用，先求出一個西瓜的平均質量，然后求出500個西瓜的總質量，再根據西瓜售價2元，求出結果即可．
【詳解】解：根據題意得：
（元），
即該畝地的西瓜可以收獲5200元．
故答案為：5200．
考點2：由平均數求未知數的值
典例2：某校舉辦小合唱比賽，六個參賽小組人數如下：5，6，5，7，，8．已知這組數據的平均數為6，則數為（ ）
A．5 B． C．6 D．7
【答案】A
【分析】本題考查算術平均數，根據平均數及已知數據可得未知數據的值．
【詳解】解：由題意知，
解得，
故選A．
【變式1】已知小華上學期語文、數學、英語三科平均分為92分，他記得語文得了88分，英語得了95分，但他把數學成績忘記了，你能告訴他應該是以下哪個分數嗎？（ ）
A．93 B．95 C．94 D．96
【答案】A
【分析】本題主要考查了根據平均數求未知數據的值，根據平均數計算公式進行求解即可．
【詳解】解：分，
∴小華的數學成績為93分，
故選；A．
【變式2】有一組數據如下：，，，，，它們的平均數是，則的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查算術平均數，根據平均數的計算公式求解即可．
【詳解】解：由題意得，，
∴．
故答案為：5．
【變式3】（1）一位同學進行五次投實心球的練習，每次投出的成績如下表：
投實心球次序 1 2 3 4 5
成績/m
則該同學這五次投實心球的平均成績是 m；
（2）已知一組數據3，5，4，5，6，x，5的平均數是5，則 ．
【答案】 7
【分析】本題考查求平均數，根據平均數公式利用所有數之和除以個數即可得到答案；
【詳解】解：（1）由題意可得，
這五次投實心球的平均成績是：
，
故答案為：；
（2）由題意可得，
，
解得：，
故答案為：7．
考點3：數據變化與平均數的關系
典例3：已知一組數據，，，，的平均數是4，那么另一組數據，，，，的平均數是（ ）
A．4 B．8 C．5 D．3
【答案】C
【分析】本題主要考查了平均數的計算．根據平均數的計算公式即可求解．
【詳解】解：∵，，，，的平均數是4，
∴，
∴，
∴，，，，的平均數是，
故選：C．
【變式1】已知5個數、、、、的平均數是，則數據，，，，的平均數為（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查平均數的概念，根據平均數的算法計算即可．
【詳解】解：由題意得，，
則，，，，的平均數為：，
故選：A．
【變式2】已知，，…，的平均數是10；，，…，的平均數是13，則，，…，的平均數是 ．
【答案】12
【分析】本題主要考查了求一組數據的平均數，根據平均數的定義求解即可．
【詳解】解：根據題意有：，，…，的平均數為：，
故答案為：12．
【變式3】杭州亞運會射箭比賽中，某運動員箭的成績（單位：環）依次是，，，，，若前箭的平均成績為環，則這箭的平均成績為 環．
【答案】
【分析】本題考查了平均數的計算，掌握平均數的計算方法是解題的關鍵．根據前箭的平均成績為環，可得，再計算箭的平均成績，化簡為含有的算式，即可求出結果．
【詳解】解：前箭的平均成績為環，
，
，
這箭的平均成績為，
故答案為：．
考點4：求數據的加權平均數
典例4：小明測得一周的體溫并登記如下（單位：℃），其中星期四的體溫不小心被墨跡污染，根據表中數據，可得出此日的體溫是（ ）
星期 日 一 二 三 四 五 六 周平均體溫
體溫（℃） 37.2 36.7 37.0 36.6 36.9 37.1 36.9
A．36.7 ℃ B．36.8 ℃ C．36.9 ℃ D．37.0 ℃
【答案】B
【分析】可直接用算術平均數的公式列出方程計算即可；
【詳解】若設星期四的體溫為，則，
，
解得．
故答案選B．
【點睛】本題主要考查算術平均數的計算，準確分析是解題的關鍵．
【變式1】某班期末進行評選“五育好少年”活動，從“胸懷祖國”“天天向上”“強健體魄”“博采眾長”“社會實踐”五個方面進行量化綜合評選，各項滿分均為100分，所占比例如下：
項目 胸懷祖國 天天向上 強健體魄 博采眾長 社會實踐
所占比例
李軍同學的各項分數如下：92，96，84，86，100，則李軍同學的最后綜合得分為（ ）
A．89分 B．90分 C．91.7分 D．92分
【答案】C
【分析】本題考查了加權平均數，解題的關鍵是掌握加權平均數的定義．根據加權平均數的定義列式計算即可．
【詳解】(分) ．
故選：C．
【變式2】新學期，新團隊，八年級五班進行班長競選，對甲、乙、丙三名學生進行了組織能力、溝通能力和團隊合作能力三方面的測試，他們的各項成績如下表所示：
競選者 組織能力 溝通能力 團隊合作能力
甲 80 70 60
乙 60 80 70
丙 70 60 80
如果將每位競選者的組織能力、溝通能力和團隊合作能力的成績按6：1：3的比計算其總成績，并且總成績最高者競選成功，則本次競選班長成功的是 同學（填“甲”或“乙”或“丙”）．
【答案】甲
【分析】本題考查了加權平均數，熟練掌握加權平均數的計算方法是解題的關鍵．分別計算甲、乙、丙三名應聘者的成績的加權平均數，比較大小即可求解．
【詳解】解：，
，
，
∵，
∴被錄用的是甲，
故答案為：甲．
【變式3】如表是某學習小組一次數學測驗的成績統計表：已知該小組本次數學測驗的平均分是85分，則 ．
分數 70 80 90 100
人數 1 3 x 1
【答案】
【分析】本題考查了加權平均數的計算和列方程解決問題的能力．
根據加權平均數的定義列出方程求解即可．
【詳解】解：根據題意和圖表可得，
解得：
故答案為：．
考點5：求數據的眾數、中位數
典例5：有一組數據2，4，8，5，3，5，5，4，則這組數據的中位數、眾數分別為（ ）
A．、5 B．5、 C．5、4 D．5、5
【答案】A
【分析】本題主要考查了求中位數和眾數，直接根據中位數和眾數的定義求解即可．
【詳解】解：把這組數據按照從小到大的順序排列為：2，3，4，4，5，5，5，8，
∴這組數據的中位數為，
∵5出現了3次，出現的次數最多，
∴這組數據的眾數為5，
故選：A．
【變式1】在一次中學生田徑運動會上，參加男子跳高的10名運動員的成績如表所示．則這10名運動員成績的中位數是（　　）
成績/m
人數/名 1 4 1 3 1
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查中位數，解題的關鍵是掌握中位數的定義：將一組數據按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?，如果數據的個數是奇數，則處于中間位置的數就是這組數據的中位數．如果這組數據的個數是偶數，則中間兩個數據的平均數就是這組數據的中位數．
根據中位數的定義，結合圖表信息解答．
【詳解】解：中位數是按從小到大排列后第5，第6兩個數的平均數，
故這組數據的中位數．
故選：B．
【變式2】如圖是某市2024年5月上旬的每天氣溫繪成的折線統計圖，根據統計圖提供的信息，該市5月上旬最高氣溫的眾數是 ．
【答案】、
【分析】本題考查了眾數，以及折線統計圖，一組數據中出現次數最多數據就是眾數，且眾數可以為多個，根據折線統計圖中數據結合眾數定義求解即可．
【詳解】解：由圖可知，該市5月上旬最高氣溫數據為、、、、、、、、、，其中和出現的次數最多，都為次，故該市5月上旬最高氣溫數據的眾數為和，
故答案為：、．
【變式3】2023年8月6日，隨著裁判的一聲哨響，章丘區首屆農民籃球賽（簡稱“村”）在官莊街道石匣村正式啟動；火爆出圈“村”，讓老百姓享受到了運動帶來的快樂，真正提高了群眾的體育意識和生活質量．在觀看過某場比賽后，有9名學生去參加定點投籃比賽，每人投籃10次，投中的次數統計如下：3，6，4，6，4，3，6，5，7．這組數據的中位數和眾數分別是 ， ．
【答案】 5 6
【分析】本題考查了中位數和眾數，根據中位數和眾數的定義求解即可．
【詳解】解：將數據從小到大排序為：3，3，4，4，5，6，6，6，7，
本次數據的中位數為排序后的第5個數據，即5，
本次數據中投中的次數為6次出現的最多，出現了3次，
本次數據的眾數為6，
故答案為：5，6．
考點6：由眾數、中位數求未知數的值
典例6：已知一組數據3，5，7，8，9，10，x的眾數是9，則這組數據的中位數是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．9.5
【答案】B
【分析】本題考查了眾數和中位數的概念：一組數據中出現次數最多的數據叫做眾數；將一組數據按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕校绻麛祿膫€數是奇數，則處于中間位置的數就是這組數據的中位數；如果這組數據的個數是偶數，則中間兩個數據的平均數就是這組數據的中位數．根據眾數為9，可得，然后根據中位數的概念求解即可．
【詳解】
解：數據3，5，7，8，9，10，x的眾數是9，
，
則這組數據按照從小到大的順序排列為：3，5，7，8，9，9，10，
則中位數為8；
故選：B．
【變式1】已知一組數據3，2，2，2，6，3，，若這組數據的眾數只有一個，則的值不可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【分析】本題主要考查了眾數的知識，理解并掌握眾數的定義是解題關鍵．眾數是指一組數據中出現次數或出現頻率最多的數值．根據眾數的定義分析判斷即可．
【詳解】解：當的值為2，4，6時，這組數據的眾數只有1個，為2；
當的值為3時，這組數據的眾數有2個，為2和3；
所以，若這組數據的眾數只有一個，則的值不可能是3．
故選：B．
【變式2】某校首屆校園模擬電子射擊比賽中，小宇和小軒兩人在相同條件下各射擊6次，命中的環數如下(單位：環)：
小宇：7，9，8，6，9，8；
小軒：10，5，6，9，，9，
如果兩人的比賽成績的中位數相同，那么小軒的第五次成績是 環．
【答案】7
【分析】本題考查統計，涉及中位數的求法，根據題意，分別求出兩人中位數，列方程求解即可得到答案，熟記中位數的求法是解決問題的關鍵．
【詳解】解：將命中的環數從小到大重新排序，
小宇：6，7，8，8，9，9；
小宇比賽成績的中位數是8；
小軒：5，6，，9，9，10，
小宇比賽成績的中位數是；
兩人的比賽成績的中位數相同，
，解得，
故答案為：7．
【變式3】若數據25，23，x，24，22的眾數是25，則 ，平均數是 ，中位數是 ．
【答案】 25 23.8 24
【分析】本題考查了中位數、眾數和平均數的概念．平均數是指在一組數據中所有數據之和再除以數據的個數；一組數據中出現次數最多的數據叫做眾數；中位數是將一組數據從小到大（或從大到小）重新排列后，最中間的那個數（最中間兩個數的平均數），叫做這組數據的中位數．
根據眾數的定義求出x的值，再根據平均數與中位數的定義求解即可．
【詳解】解：∵數據25，23，x，24，22的眾數是25，
∴，
∴平均數是，
將這組數據按從小到大的順序排列為：22，23，24，25，25，
位于中間位置的數是24，
∴中位數是24．
故答案為：25，23.8，24．
考點7：求數據的方差、極差
典例7：若一組數據，，……的方差是2，則，，……的方差（ ）
A．4 B．9 C．6 D．18
【答案】D
【分析】本題考查求方差，根據在原來數據前乘以同一個數，方差要乘以這個數的平方，在數據上同加或減同一個數，方差不變，進行求解即可．
【詳解】解：∵一組數據，，……的方差是2，
∴，，……的方差為；
故選D．
【變式1】一組數據的極差是3，則另一組數據的極差是（　?。?br/>A．3 B．4 C．6 D．9
【答案】A
【分析】本題考查極差的定義，不妨設一組數據中第p個數據最大，第q個數據最小，則，在另一組數據中最大值一定是第p個數據，最小值一定是第q個數據，根據極差定義即可求解．
【詳解】解：一組數據的極差是3，不妨設第p個數據最大，第q個數據最小，則，
則在另一組數據中最大值一定是第p個數據，最小值一定是第q個數據，
則極差為．
故選：A．
【變式2】我市一月份某天的最高氣溫為，最低氣溫為，則當天氣溫的極差為 ．
【答案】12
【分析】根據極差的定義即可求得．極差反映了一組數據變化范圍的大小，求極差的方法是用一組數據中的最大值減去最小值．
先用最高氣溫減去最低氣溫，再根據有理數的減法運算法則“減去一個數等于加上它的相反數”計算．
【詳解】∵，
∴當天氣溫的極差為．
故答案為：12．
【變式3】有甲、乙兩組數據， 如下表所示：
甲 11 12 13 14 15
乙 12 12 13 14 15
甲、乙兩組數據的方差分別為，，則 （填“>”，“<”或“=”）．
【答案】
【分析】本題主要考查平均數及方差，熟練掌握平均數及方差的計算是解題的關鍵．根據甲、乙兩組數據分別求出甲、乙的平均數，然后再利用方差公式進行求解比較即可．
【詳解】解：由題意得：
，，
∴，
，
∴，
∴；
故答案為>．
考點8：由方差、極差求未知數的值
典例8：若一組數據，0，2，5，x的極差為8，則x的值是（ ）．
A． B．8或 C．8 D．7或
【答案】D
【分析】當x為最大值和最小值時分別根據極差列方程即可．
【詳解】解：當x為最大值時，
，
解得；
當x為最小值時，
，
解得，
故選D．
【點睛】本題考查了極差的定義，極差反映了一組數據變化范圍的大小，求極差的方法是用一組數據中的最大值減去最小值．
【變式1】如果樣本方差，那么這個樣本的平均數和樣本容量分別是（　　）
A．25，25 B．25，19 C．19，19 D．19，25
【答案】D
【分析】本題主要考查了方差，樣本容量．根據方差公式，即可求解．
【詳解】解：∵樣本方差，
∴這個樣本的平均數為19，，樣本容量為25．
故選：D
【變式2】如果一組數據的方差，那么的值為 ．
【答案】15
【分析】本題考查對方差計算公式的理解．根據方差的公式可以得到這組數據及平均數，從而算出的值．
【詳解】解：∵一組數據的方差，
∴這組數據共5個，為7，9，9，m，n，平均數為8，
∴，
∴．
故答案為：15
【變式3】若五個數據2，，3，x，5的極差為8，則x的值為 ．
【答案】7或
【分析】根據題目給的數據和極差的定義，可分兩種情況討論：x是最大值和x是最小值，分別列式計算，可求解．
【詳解】解：由題意可得：極差是8，故x不可能是中間值，
若x是最大值，則，∴，
若x是最小值，則，∴，
則x的值為7或，
故答案為：7或．
【點睛】本題考查了極差的定義，熟記概念是解題的關鍵．
考點9：方差的意義
典例9：甲、乙、丙、丁四個旅行團的游客人數都相等，每個團游客的平均年齡都是32歲，年齡的方差分別是，，，，導游小明喜歡帶游客間年齡相近的團隊，在這四個團中，則他應選（ ）

A．甲團 B．乙團 C．丙團 D．丁團
【答案】C
【分析】本題考查的統計相關知識．方差越大則數據的離中程度就越大，方差越小離中程度就越小，數據越穩定，據此直接比較方差的大小即可
【詳解】解：方差越大則數據的離中程度就越大，故方差越小離中程度就越小，數據越穩定，
∵，
∴他應選丙團，
故選：C.
【變式1】甲、乙、丙、丁四名同學參加立定跳遠訓練，他們成績的平均數相同，方差分別為：、、、，則成績最穩定的是（　?。?br/>A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【分析】本題考查了方差，根據方差越小，成績越穩定，即可判定求解，掌握方差的意義是解題的關鍵．
【詳解】解：∵、、、，
∴乙的方差最小，
∴乙的成績最穩定，
故選：．
【變式2】甲，乙兩人在相同條件下各射擊10次，兩人的成績（單位：環）如圖所示，現有以下三個推斷：
①甲的成績更穩定；
②乙的平均成績更高；
③每人再射擊一次，乙的成績一定比甲高．其中正確的是 ．（填序號）
【答案】①②/②①
【分析】本題考查了平均數、方差的意義．解答本題的關鍵是掌握它們的定義：方差是用來衡量一組數據波動大小的量，方差越大，表明這組數據偏離平均數越大，即波動越大，數據越不穩定；反之，方差越小，表明這組數據分布比較集中，各數據偏離平均數越小，即波動越小，數據越穩定．根據方差、平均數的意義進行判斷即可求出答案．
【詳解】解：根據圖象可知甲的波動比乙小，則甲的成績更加穩定，故①正確；根據圖象可知甲的平均成績穩定在5以下，而乙的平均成績穩定在7.5左右，則乙的平均成績更高，故②正確；如果每人再射擊一次，但乙的成績不一定比甲高，只能是可能性較大，因為乙的平均成績更高，但是波動較大，故③錯誤．
故答案為：①②．
【變式3】下表記錄了甲、乙、丙、丁四位選手各10次射擊成績的數據信息．
選手 甲 乙 丙 丁
平均數(環) 9.6 9.8 9.8 9.7
方差(環 ) 0.46 0.38 0.15 0.27
若要從上述四人中推薦一位選手參加比賽，則最合適的人選是 ．
【答案】丙
【分析】本題考查了運用平均數和方差來進行決策，理解方差和平均數的意義是解題的關鍵．平均數，是表示一組數據集中趨勢的量數，可以用它來反映一組數據的一般情況和平均水平．方差是用來衡量一組數據波動大小的量，方差越大，表明這組數據偏離平均數越大，即波動越大，數據越不穩定；反之，方差越小，表明這組數據分布比較集中，各數據偏離平均數越小，即波動越小，數據越穩定．根據甲，乙，丙，丁四個人挑選平均數最大、方差最小為最合適的人選．
【詳解】解：∵甲，乙，丙，丁四個人中乙和丙的平均數都是9.8，最大且相等，而丙的方差最小，
∴丙的成績最穩定，
∴綜合平均數和方差兩個方面說明丙成績既高又穩定，
∴最合適的人選是丙．
故答案為：丙．
考點10：統計量的選擇
典例10：有21名同學參加學校組織的幾何畫板比賽，已知他們所得的分數互不相同，共設10個獲獎名額．某同學知道自己的比賽成績后，要判斷自己能否獲獎，在下列關于這21名同學成績的統計量中只需知道一個量，它是（ ）
A．方差 B．平均數 C．眾數 D．中位數
【答案】D
【分析】本題主要考查統計的有關知識，主要包括平均數、中位數、眾數、方差的意義．反映數據集中程度的統計量有平均數、中位數、眾數、方差等，各有局限性，因此要對統計量進行合理的選擇和恰當的運用．由于比賽設置了10個獲獎名額，共有21名選手參加，故應根據中位數的意義分析．
【詳解】解：10位獲獎者的分數肯定是21名參賽選手中最高的，而21個不同的分數按從小到大排序后，中位數及中位數之后的共有11個數，
∴只要知道自己的分數和中位數就可以知道是否獲獎了，
故選：D．
【變式1】一家服裝專賣店銷售某品牌棒球服，店長統計了一周內不同尺碼的棒球服銷售量如下表，如果每件棒球服的利潤相同，你認為該店主最應該關注的銷售數據是下列統計量中的（　?。?br/>尺碼 S M X
銷售量/件 28 30 45 27
A．眾數 B．中位數
C．平均數 D．以上都不對
【答案】A
【分析】此題主要考查平均數、中位數、眾數的意義，熟練掌握各自的定義是解本題的關鍵．
平均數，眾數和中位數都是描述一組數據的集中趨勢的特征數，平均數主要反映一組數據的平均水平，中位數則更好地反映了一組數據的中等水平，眾數反映這組數據的集中趨勢，店主關心的肯定是哪一種尺碼銷量最大，即這組數據的眾數，據此解答即可．
【詳解】由于眾數是數據中出現次數最多的數，故影響該店主決策、引起店主最關注的統計量是眾數．
故選：A．
【變式2】某中學舉辦了一次“唱K”比賽，最后確定5名同學參加決賽，他們的決賽成績各不相同，小明同學參加了決賽，評委沒有當場亮分，每位決賽選手只能知道自己的分數，小明想知道自己能否進前3名，但他只能問評委一個問題，他應該問的問題是①平均分②中位分③方差（從選項中選擇一個正確的序號填入） ．
【答案】②
【分析】根據中位數的意義求解可得．
【詳解】解：小明想知道自己能否進前3名，但他只能問評委一個問題，他應該問的問題是這5名同學成績的中位數，
故答案為：②．
【點睛】本題主要考查統計量的選擇，解題的關鍵是掌握中位數的意義．
【變式3】對于一組數據：x1，x2，x3，…，x10，若去掉一個最大值和一個最小值，則下列統計量一定不會發生變化的是 ．①平均數；②中位數；③眾數；④方差．
【答案】②
【分析】根據中位數的定義，位于中間位置或中間兩數的平均數可以得到去掉一個最高分和一個最低分不影響中位數．
【詳解】解：先去掉一個最大值，去掉一個最小值，再進行統計，則上述四個統計量中，一定不會發生變化的是中位數；
故答案為：②
【點睛】此題主要考查統計的有關知識，主要包括平均數，中位數，眾數，方差的意義，此題主要是了解中位數的定義．
考點11：利用合適的統計量做決策
典例11：對于數據：2、2、2、4、5、6、8、8、9、100，能較好反映這組數據平均水平的是（ ）
A．這組數據的平均數 B．這組數據的中位數
C．這組數據的眾數 D．這組數據的標準差
【答案】B
【分析】本題主要考查了平均數，根據平均數是反映一組數據的平均水平的量即可解答．
【詳解】解：對于數據：2、2、2、4、5、6、8、8、9、100，由于數據中有極端值100，平均數易受極端值的影響；眾數為2，數值過小，不能很好的反映這組數據平均水平；方差表示波動情況，它和平均數一樣，受極端值的影響大，不能很好的表示平均水平；故用這組數據的中位數能較好反映這組數據平均水平；
故選：B．
【變式1】廈門胡里山炮臺歷史上被稱為“八閩門戶、天南鎖鑰”，是全國重點文物保護單位，也是4A景區．近期，隨著旅游業的復蘇，該景區計劃招聘一名工作人員，評委從筆試，面試兩個方面為甲、乙、丙、丁四位應聘者打分（具體分數如表），按筆試占，面試占計算應聘者綜合分，并錄用綜合分最高者，則最終錄用的應聘者是（ ）
應聘者 筆試 面試
甲 90 90
乙 90 95
丙 95 90
丁 85 90
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【分析】利用加權平均數的計算公式求解即可得．
【詳解】解：甲的綜合分：（分），
乙的綜合分：（分），
丙的綜合分：（分），
丁的綜合分：（分），
則最終錄用的應聘者是是乙，
故選：B．
【點睛】本題考查了加權平均數，熟練掌握計算公式是解題關鍵．
【變式2】在某次賽制為“12進4”且當場公布分數的舞蹈比賽中，小華所在的隊伍當第10支隊伍分數公布后仍排名第二而歡呼，請問她們判定自己已進入下一輪比賽的依據與 （從平均數、眾數、中位數、方差中選擇）有關．
【答案】中位數
【分析】此題考查統計量的選擇，要熟練掌握解答此題的關鍵是要明確：數據的平均數，眾數，中位數是描述一組數據集中趨勢的特征量，屬于基礎題，難度不大，根據中位數的意義分析解答即可．
【詳解】在某次賽制為“12進4”且當場公布分數的舞蹈比賽中，小華所在的隊伍當第10支隊伍分數公布后仍排名第二而歡呼，請問她們判定自己已進入下一輪比賽的依據與中位數有關,
故答案為：中位數．
【變式3】某校擬派一名跳高運動員參加一項校際比賽，對4名跳高運動員進行了多次選拔比賽，他們比賽成績的平均數和方差如下表：
甲 乙 丙 丁
平均數 169 168 169 168
方差 6.0 17.3 5.0 19.5
根據表中數據，要從中選擇一名平均成績好，且發揮穩定的運動員參加比賽，最合適的人選是 ．
【答案】丙
【分析】本題考查數據的平均數與方差的意義，解題的關鍵是理解兩者所代表的的意義，熟練掌握方差是用來衡量一組數據波動大小的量，方差越大，表明這組數據偏離平均數越大，即波動越大，數據越不穩定；反之，方差越小，表明這組數據分布比較集中，各數據偏離平均數越小，即波動越小，數據越穩定．根據平均數與方差的意義解答即可．
【詳解】解：甲、丙的平均數比乙、丁大，
應從甲和丙中選，
甲的方差比丙的大，
丙的成績較好且狀態穩定，應選的是丙．
故答案為：丙．
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