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專題05 平行線的證明單元過關(guān)（培優(yōu)版）
考試范圍：第七章；考試時間：120分鐘；總分：150分
注意事項(xiàng)：
1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息
2．請將答案正確填寫在答題卡上
第I卷（選擇題）
評卷人得分
一、單選題
1．如圖，下列四個選項(xiàng)中不能判斷AD∥BC的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】直接利用平行線的判定定理分析得出答案．
【詳解】解：A、已知，那么AD∥BC，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、已知，那么AD∥BC，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、已知，那么AD∥BC，故此選項(xiàng)不符合題意；
D、已知，那么AB∥CD，不能推出AD∥BC，故此選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定，正確掌握平行線的判定方法是解題關(guān)鍵．平行線的判定定理：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．
2．用反證法證明“在中，若，則”時，應(yīng)假設(shè)（　 　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)反證法的步驟中，第一步是假設(shè)結(jié)論不成立即結(jié)論的反面成立進(jìn)行解答即可．
【詳解】解：用反證法證明，“在中，、對邊是a、b，若，則”，
第一步要假設(shè)，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查反證法的應(yīng)用，熟練掌握反證法的一般步驟，理解假設(shè)結(jié)論不成立即結(jié)論的反面成立是解題的關(guān)鍵．
3．下列各命題的逆命題成立的是（ ）．
A．正方形是軸對稱圖形 B．如果兩個角是直角，那么它們相等
C．如果兩個實(shí)數(shù)相等，那么它們的平方相等 D．同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行
【答案】D
【分析】分別寫出各個命題的逆命題，然后判斷真假即可．
【詳解】解：A、命題正方形是軸對稱圖形的逆命題為：軸對稱圖形是正方形，該逆命題是假命題，不符合題意；
B、命題如果兩個角是直角，那么它們相等的逆命題為：如果兩個角相等，那么這兩個角是直角，該逆命題為假命題，不符合題意；
C、命題如果兩個實(shí)數(shù)相等，那么它們的平方相等的逆命題為，如果兩個實(shí)數(shù)的平方相等，那么這兩個實(shí)數(shù)相等，該逆命題是假命題，不符合題意；
D、命題同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行的逆命題為：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，該逆命題是真命題，符合題意；
故選D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了寫出一個命題的逆命題，判斷命題真假，軸對稱圖形的定義，實(shí)數(shù)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)與判定，直角的定義等等，正確寫出每個命題的逆命題是解題的關(guān)鍵．
4．下列命題的逆命題是真命題的是（ ）
A．對頂角相等 B．全等三角形的面積相等
C．同角的余角相等 D．兩直線平行，內(nèi)錯角相等
【答案】D
【分析】先寫出各個命題的逆命題，再判斷其真假即可．
【詳解】解：A. 對頂角相等的逆命題為相等的角為對頂角，是假命題；
B. 全等三角形的面積相等的逆命題為面積相等的三角形是全等三角形，是假命題；
C. 同角的余角相等的逆命題是余角相等的兩個角是同角，是假命題；
D.兩直線平行，內(nèi)錯角相等的逆命題是內(nèi)錯角相等，兩直線平行，是真命題．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查命題與定理，解題的關(guān)鍵是掌握教材上相關(guān)的概念和定理．
5．已知△ABC的兩個內(nèi)角∠A=30°，∠B=70°，則△ABC是( )
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形
【答案】A
【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得∠C的度數(shù),結(jié)合∠A、∠B的度數(shù)即可解答.
【詳解】∵∠A=30°，∠B=70°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-30°-70°=80°.
∴△ABC是銳角三角形.
故選A.
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理及三角形的分類，利用三角形的內(nèi)角和定理求得∠C的度數(shù)是解決問題的關(guān)鍵.
6．如圖AB∥CD，∠E=40°，∠A=110°，則∠C的度數(shù)為（ ）
A．60° B．80° C．75° D．70°
【答案】D
【詳解】試題分析:根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠A+∠AFD=180°，求出∠CFE=∠AFD=70°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可．
解：
∵AB∥CD，
∴∠A+∠AFD=180°，
∵∠A=110°，
∴∠AFD=70°，
∴∠CFE=∠AFD=70°，
∵∠E=40°，
∴∠C=180°﹣∠E﹣∠CFE=180°﹣40°﹣70°=70°，
故選D．
考點(diǎn)：平行線的性質(zhì)．
7．如圖，已知C，A，G三點(diǎn)共線，C，B，H三點(diǎn)共線，2∠CAD＝∠BAD，2∠CBD＝∠ABD，∠GAE＝2∠BAE，∠EBH＝2∠EBA，則∠D和∠E的關(guān)系滿足（ ）
A．2∠E＋∠D＝320° B．2∠E＋∠D＝340°
C．2∠E＋∠D＝300° D．2∠E＋∠D＝360°
【答案】C
【分析】設(shè)，，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理分別表示出∠D、∠E，計(jì)算即可．
【詳解】解：設(shè)，，則，，
，，
，，
，，
，，
，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形內(nèi)角和等于180°是解題的關(guān)鍵．
8．如圖，直線a，b被直線c所截，現(xiàn)給出下列四個條件：①∠1=∠5；②∠4=∠7；③∠2+∠3=180°；④∠3=∠5；其中能判定a∥b的條件的序號是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
【答案】C
【詳解】①∠1=∠5，能判定a∥b，
②∠4=∠7，不能判定a∥b，
③∠2+∠3=180°，不能判定a∥b，
④∠3=∠5，能判定a∥b.
綜上所述，能判定a∥b的是①④．
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定，熟記平行線的判定方法并準(zhǔn)確識圖，理清圖中各角度的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
9．如圖，，，垂足分別為B和D，和分別平分和．下列結(jié)論：①；②；③；④．其中結(jié)論正確的序號是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．③④
【答案】C
【分析】由，可證；由角平分線的性質(zhì)可知；題中沒有條件可以證明；由可知，根據(jù)平行線性質(zhì)可得.由此可知①②③④的正誤.
【詳解】解：∵，，
∴．
∴，
∵，分別平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵不一定平行于，
∴不一定垂直于．
故①②④正確，③錯誤，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，靈活應(yīng)用平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
10．如圖，將沿翻折，使其頂點(diǎn)均落在點(diǎn)處，若，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由折疊的性質(zhì)可得，，可得，由三角形內(nèi)角和定理可得，利用三角形外角定理得出，建立方程，即可求的度數(shù)．
【詳解】解：延長交于點(diǎn)，
∵將沿，翻折，頂點(diǎn)，均落在點(diǎn)處，
∴，，
∴，
∵，
∴ ，
由三角形外角定理可知：，，
∴
即：，
∴ ，
∴，
故選：．
【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，外角定理，熟練運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理是本題的關(guān)鍵．
第II卷（非選擇題）
評卷人得分
二、填空題
11．如圖，要使只需添加一個條件，這個條件是 ．（填一個正確的即可，不添加其它字母與輔助線）

【答案】或
【分析】根據(jù)平行線的判定即可求解．
【詳解】解：添加，利用同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行得出，
或添加，利用同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行得出．
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，熟練掌握平行線的判定是解題關(guān)鍵．
12．“鄰補(bǔ)角的角的平分線互相垂直”的逆命題是： ，它是 命題．
【答案】 如果兩個角的角平分線互相垂直，那么這兩個角是鄰補(bǔ)角． 假
【分析】將原命題的條件與結(jié)論互換就得到其逆命題，然后判斷其真假即可．
【詳解】解：其逆命題為：如果兩個角的角平分線互相垂直，那么這兩個角是鄰補(bǔ)角．
角平分線是射線，那么另一個角的頂點(diǎn)很有可能在射線上，則此時兩個角根本不是相鄰的，故是假命題．
【點(diǎn)睛】此題考查學(xué)生對逆命題的掌握及對命題真假的判斷能力．
13．如圖，，與相交于點(diǎn)，是射線上的一點(diǎn)．若，，則 ．

【答案】/72度
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，再由三角形的內(nèi)角和定理可得出．
【詳解】解：，
，
，
在中，．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是掌握：兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)，及三角形的內(nèi)角和定理．
14．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝52°，將其折疊，使點(diǎn)A落在邊CB上A′處，折痕為CD，則∠A′DB為 ．
【答案】14°
【分析】根據(jù)∠A＝52°，可求∠B，由折疊可知∠D A′C=52°，利用外角性質(zhì)可求．
【詳解】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝52°，
∴∠B=90°-52°=38°，
由折疊可知∠D A′C=∠A＝52°，
∠A′DB=∠D A′C-∠B=52°-38°=14°，
故答案為：14°．
【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是靈活運(yùn)用三角形的性質(zhì)和軸對稱性質(zhì)建立角之間的聯(lián)系．
15．如圖，△ABC的兩個內(nèi)角平分線相交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P向AB，AC兩邊作垂直線l1、l2，若∠1=40°，則∠BPC= ．
【答案】110°
【分析】先求出∠A的度數(shù)，再利用PC、PB分別是∠ACB和∠ABC的平分線求出∠PCB+∠PBC=70°，最后在△PBC中使用內(nèi)角和定理求出∠BPC的度數(shù)．
【詳解】解：如下圖所示：
∠MPN=180°-∠1=140°，
四邊形AMPN中，∠A=360°-90°-90°-140°=40°，
又PC、PB分別是∠ACB和∠ABC的角平分線，
∴∠2+∠3=∠ACB+∠ABC=(∠ACB+∠ABC)=(180°-∠A)=×140°=70°，
∴在△PBC中，∠CPB=180°-(∠2+∠3)=110°，
故答案為：110°．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理等，牢記三角形內(nèi)角和為180°并學(xué)會靈活使用時解決本題的關(guān)鍵．
16．如圖，在中，和的平分線交于點(diǎn)，得；和的平分線交于點(diǎn)，得；…；和的平分線交于點(diǎn)，得，則與的關(guān)系是 .
【答案】或
【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)和外角的性質(zhì)，得到，同理可得，則，由此規(guī)律可得，然后得到答案.
【詳解】解：∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即，
同理可得：，……
∴，……
∴；
當(dāng)時，有
或；
故答案為：或.
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的角平分線性質(zhì)和外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)和外角的性質(zhì)得到，從而找到規(guī)律進(jìn)行求解.
評卷人得分
三、解答題
17．如圖，已知∠BAM＝75°，∠BGE＝75°，∠CHG＝105°，試說明AM∥EF，AB∥CD．
【答案】證明見解析.
【分析】結(jié)合圖形，根據(jù)同位角相等兩直線平行可得AM∥EF，利用同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行可證AB∥CD．
【詳解】解：∵∠BAM＝75°，∠BGE＝75°(已知)，
∴∠BAM＝∠BGE(等量代換)，
∴AM∥EF(同位角相等，兩直線平行)；
又∵∠AGH＝∠BGE(對頂角相等)，
∴∠AGH＝75°(等量代換)，
∴∠AGH+∠CHG＝75°+105°＝180°(等式性質(zhì))，
∴AB∥CD(同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行)．
【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查平行線的判定，要準(zhǔn)確掌握平行線的判定定理．
18．如圖，已知AF分別與BD、CE交于點(diǎn)G、H，∠1＝52°，∠2＝128°．
（1）求證：BD∥CE；
（2）若∠C＝∠D，探索∠A與∠F的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
【答案】（1）證明見解析；(2) ∠A＝∠F．證明見解析
【分析】（1）根據(jù)對頂角相等得出∠DGH的度數(shù)，再由平行線的判定定理即可得出結(jié)論；
（2）先根據(jù)BD∥CE得出∠D＝∠CEF，再由∠C＝∠D得出AC∥DF，據(jù)此可得出結(jié)論．
【詳解】（1）證明：∵∠1＝∠DGH＝52°，∠2＝128°，
∴∠DGH+∠2＝180°，
∴BD∥CE；
（2）解：∠A＝∠F．
理由：∵BD∥CE，
∴∠D＝∠CEF．
∵∠C＝∠D，
∴∠C＝∠CEF
∴AC∥DF，
∴∠A＝∠F．
【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，熟知平行線的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．
19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，，且軸于點(diǎn)B，a，b滿足．

(1)寫出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)：A________，B________，C________．
(2)若和的平分線交于點(diǎn)，求的度數(shù)；
(3)若點(diǎn)在坐標(biāo)軸的正半軸上運(yùn)動，當(dāng)?shù)拿娣e等于三角形的面積時，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)，，
(2)
(3)或
【分析】（1）根據(jù)，且，，得出，求出，即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）先證明，得出，再根據(jù)角平分線的定義得出，，最后利用三角形的內(nèi)角和即可求出的度數(shù)；
（3）分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)在軸的正半軸上時，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，則；②當(dāng)點(diǎn)在軸的正半軸上時，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，則，然后根據(jù)的面積等于三角形的面積，列出方程求解即可．
【詳解】（1）∵，，，
∴．
∴．
∴，，．
故答案是，，；
（2）軸，
由題意知，
，
，
，
和的平分線交于點(diǎn)，
，，
，
．
（3），，，，
，，，，
三角形的面積為．
①當(dāng)點(diǎn)在軸的正半軸上時，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，則．
三角形的面積為，
．
解得．
點(diǎn)的坐標(biāo)是．
②當(dāng)點(diǎn)在軸的正半軸上時，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，則．
三角形的面積為．
．
解得．
點(diǎn)的坐標(biāo)是．
綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)是或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面直角坐標(biāo)系，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，三角形的面積等知識，熟練掌握兩個非負(fù)數(shù)的和等于零，則這兩個非負(fù)數(shù)都等于零是解題的關(guān)鍵．
20．如圖， ，，．
證明：（1） ；（2） ．
請根據(jù)解答過程，在橫線上填出數(shù)學(xué)式，在括號內(nèi)填寫相應(yīng)理由．
證明：（1）∵ ，（ 已知 ）
∴=_______．（__________）
又∵，（ 已知 ）
∴=_________，（___________）
∴ ．（_______）
（2）∵ ，（ 已知 ）
∴=_______．（_____________）
又∵，（ 已知 ）
∴=∠_________．（___________）
∴ ．（___________）
【答案】（1）；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；；等量代換；同位角相等，兩直線平行；（2）；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；；等量代換；內(nèi)錯角相等，兩直線平行．
【分析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)；
（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，等量代換求出，再根據(jù)平行線的判定得出結(jié)論；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，等量代換求出，再根據(jù)平行線的判定得出結(jié)論．
【詳解】證明：（1）∵ ，（ 已知 ）
∴．（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）
又∵，（ 已知 ）
∴，（等量代換）
∴ ．（同位角相等，兩直線平行）
（2）∵ ，（ 已知 ）
∴．（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）
又∵，（ 已知 ）
∴．（等量代換）
∴ ．（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）
故答案為：（1）；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；；等量代換；同位角相等，兩直線平行；（2）；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；；等量代換；內(nèi)錯角相等，兩直線平行．
21．如圖，將一張長方形紙片沿折疊后，點(diǎn)D、C分別落在點(diǎn)、的位置，的延長線與相交于點(diǎn)G．

(1)如圖（1），，求的度數(shù)；
(2)如圖（2），延長、交于點(diǎn)M，若，求的度數(shù)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用折疊的性質(zhì)得，，再利用平行線的性質(zhì)求出，進(jìn)而求出，再利用平行線的性質(zhì)可得答案；
（2）利用三角形內(nèi)角和定理求出，再結(jié)合折疊的性質(zhì)得出 ，再利用平行線的性質(zhì)求出，進(jìn)而得出答案．
【詳解】（1）解：由折疊得：，，
∵四邊形是長方形，
∴．
∴，而，
∴，，
∵，
∴；
（2）由折疊的性質(zhì)可得，，
∵四邊形是長方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，掌握折疊的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)定理、三角形內(nèi)角和定理，并熟練進(jìn)行等量代換是解題的關(guān)鍵．
22．如圖，中，平分，點(diǎn)D為射線上一動點(diǎn)．
（1）連接，若，求的度數(shù)；
（2）連接，若所在的直線垂直于的一邊，則所有滿足條件的的度數(shù)為__________．
【答案】（1）35°；（2）125°或25°或55°
【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和得到∠ABC，根據(jù)角平分線的定義得到∠ABP，再利用平行線的性質(zhì)得到∠ADB；
（2）分，，三種情況分別求解．
【詳解】解：（1）∵，，
∴，
∵BP平分，
∴，
∵，
∴．
（2）①當(dāng)時，延長至，
，，
∴，
②當(dāng)時，，
∴，
③當(dāng)時，，，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和，垂直的定義，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識，同時分類討論解決問題．
23．【問題情境】蘇科版義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)七下第42頁有這樣的一個問題：如圖1，在中，，設(shè)的外角、的平分線交于點(diǎn)O，求的度數(shù)．
(1)請你先完成這個問題的解答．
(2)【變式探究】小明在完成以上問題解答后，作如下變式探究：
如圖2，在中，，若，且射線與射線相交于點(diǎn)O，則 ；
(3)如圖3，在中，．若，且與相交于點(diǎn)O，若要使射線、能相交，則n的取值范圍是什么？請說明理由；
【答案】(1)見解析；
(2)76；
(3)．
【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及角平分線進(jìn)行計(jì)算即可得；
（2）由三角形內(nèi)角和定理及外角的性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可得；
（3）由（1）知，，結(jié)合題意得出，利用三角形內(nèi)角和定理求解即可得出結(jié)果
在中，．
【詳解】（1）（1）在中，，
∴，
∴，
∵、分別是、的平分線，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，
∴與的外角和為，
∵，
∴，
根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得，
，
故答案為：；
（3）解：由（1）知，，
∵，
∴，
若射線、能相交，設(shè)交點(diǎn)為點(diǎn)O，
在中，，
∴．
解得，
∴n的取值范圍是．
【點(diǎn)睛】題目主要考查三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，利用角平分線計(jì)算等，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
24．在一次數(shù)學(xué)課上，李老師讓同學(xué)們獨(dú)立完成課本第23頁第七題選擇題（2）如圖 1，如果 AB∥CD∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF＝（ ）
A．180° B．270° C．360° D．540°
（1）請寫出這道題的正確選項(xiàng)；
（2）在同學(xué)們都正確解答這道題后，李老師對這道題進(jìn)行了改編：如圖2，AB∥EF，請直接寫出∠BAD，∠ADE，∠DEF之間的數(shù)量關(guān)系．
（3）善于思考的龍洋同學(xué)想：將圖1平移至與圖2重合（如圖3所示），當(dāng)AD，ED分別平分∠BAC，∠CEF時，∠ACE與∠ADE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請你直接寫出結(jié)果，不需要證明．
（4）彭敏同學(xué)又提出來了，如果像圖4這樣，AB∥EF，當(dāng)∠ACD=90°時，∠BAC、∠CDE和∠DEF之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請你直接寫出結(jié)果，不需要證明．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)，即可得到，，進(jìn)而得出；
（2）過作，利用平行線的性質(zhì)，即可得到，，進(jìn)而得出；
（3）利用（1）可得，利用（2）可得，根據(jù)，分別平分，，即可得到,化簡即可得到與之間的數(shù)量關(guān)系；
（4）過作，過作，則有，可得， ，，，則有，可求出，利用，，得到．
【詳解】解：（1），
，，
，
即，
故選：．
（2），
如圖，過作，
，
，
，，
；
（3），
理由：由（1）可得，，
由（2）可得，，
又，分別平分，，
，，
，
即，
．
（4），
理由：如圖，過作，過作，
，
，
∴， ，，
∴
∵，
∴，
∴，
即有：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題時注意：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．
25．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O（0，0），A（0，a），C（b，0）滿足+|b﹣2|＝0．
(1)直接寫出A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)．
(2)如圖1，已知坐標(biāo)軸上有兩動點(diǎn)P、Q同時從O點(diǎn)出發(fā)，P點(diǎn)沿x軸正方向以2個單位長度每秒的速度勻速移動，Q點(diǎn)以1個單位長度每秒的速度沿y軸正方向移動，點(diǎn)D（1，2）為線段AC上一點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動時間為t（t＞0）秒．問：是否存在這樣的t，使S三角形DPC＝S三角形DQO，若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．
(3)如圖2，點(diǎn)G是第二象限上的點(diǎn)，連OG，且OGAC，點(diǎn)F是線段AC上一點(diǎn)，滿足∠AOG＝∠AOF．點(diǎn)E是射線OA上一動點(diǎn)，連CE交直線OF于點(diǎn)H，當(dāng)點(diǎn)E在射線OA上運(yùn)動的過程中，請確定∠OHC，∠ACE和∠OEC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【答案】(1)A（0，4），C（2，0）；
(2)或；
(3)2∠OEC=∠OHC+∠ACE，或2∠OEC+∠ACE=∠OHC ，理由見解析．
【分析】（1）根據(jù)絕對值與算術(shù)平方根的非負(fù)性，由+|b﹣2|＝0得a-2b=0，b-2=0，解出a，b即可得到A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）由S△DPC＝S△DQO，D（1，2）,得 ，求解絕對值里的t即可以得解；
( 3)分兩種情況討論求解，當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上時或在線段OA的延長線上時，利用三角形的內(nèi)角和定理及推論即可求得結(jié)論．
【詳解】（1）解：∵+|b﹣2|＝0，
∴a-2b=0，b-2=0，
∴b=2，a=4，
∴A（0，4），C（2，0）；
（2）解：如圖1，存在t，使存在這樣的t，使S△DPC＝S△DQO，
∵C（2，0）,O（0，0），P點(diǎn)沿x軸正方向以2個單位長度每秒的速度勻速移動，Q點(diǎn)以1個單位長度每秒的速度沿y軸正方向移動，
∴OQ=t，PC=，
∵S△DPC＝S△DQO，D（1，2）,
∴ ，
∴，
∴，
解得或；
（3）解：如圖3，,當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上時，
∵∠AOC=90°，
∴∠ECO=90°-∠OEC，
∴∠ACO=90°-∠OEC+∠ACE，
∵ ，
∴∠COG= 180°-∠ACO=90°+∠OEC-∠ACE，
∴∠AOG=∠AOF=∠OEC-∠ACE，
∵∠OHC=∠EOH+∠OEC，
∴2∠OEC=∠OHC+∠ACE ；
如圖4，當(dāng)點(diǎn)E在線段OA的延長線上時，
∵OG// AC，
∴∠GOA=∠OAF，
∵∠AOG=∠AOF
∴∠AOF=∠OAF，
∵∠AFO=∠CHF，∠AOF+∠OAF+∠AFO =∠CHF+∠FCH+∠CHF=180°，
∴∠AOF+∠OAF=∠CHF+∠FCH，
∵∠OAF=∠OEC+∠ACE，
∴2∠OEC+2∠ACE=∠OHC+ACE，
即2∠OEC+∠ACE=∠OHC ．
因此，2∠OEC=∠OHC+∠ACE，或2∠OEC+∠ACE=∠OHC ．
【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、算術(shù)平方根與絕對值的非負(fù)性，三角形的內(nèi)角和定理及推論，能靈活運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理及推論是解題的關(guān)鍵．
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專題05 平行線的證明單元過關(guān)（培優(yōu)版）
考試范圍：第七章；考試時間：120分鐘；總分：150分
注意事項(xiàng)：
1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息
2．請將答案正確填寫在答題卡上
第I卷（選擇題）
評卷人得分
一、單選題
1．如圖，下列四個選項(xiàng)中不能判斷AD∥BC的是（ ）
A． B．
C． D．
2．用反證法證明“在中，若，則”時，應(yīng)假設(shè)（　 　）
A． B． C． D．
3．下列各命題的逆命題成立的是（ ）．
A．正方形是軸對稱圖形 B．如果兩個角是直角，那么它們相等
C．如果兩個實(shí)數(shù)相等，那么它們的平方相等 D．同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行
4．下列命題的逆命題是真命題的是（ ）
A．對頂角相等 B．全等三角形的面積相等
C．同角的余角相等 D．兩直線平行，內(nèi)錯角相等
5．已知△ABC的兩個內(nèi)角∠A=30°，∠B=70°，則△ABC是( )
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形
6．如圖AB∥CD，∠E=40°，∠A=110°，則∠C的度數(shù)為（ ）
A．60° B．80° C．75° D．70°
7．如圖，已知C，A，G三點(diǎn)共線，C，B，H三點(diǎn)共線，2∠CAD＝∠BAD，2∠CBD＝∠ABD，∠GAE＝2∠BAE，∠EBH＝2∠EBA，則∠D和∠E的關(guān)系滿足（ ）
A．2∠E＋∠D＝320° B．2∠E＋∠D＝340°
C．2∠E＋∠D＝300° D．2∠E＋∠D＝360°
8．如圖，直線a，b被直線c所截，現(xiàn)給出下列四個條件：①∠1=∠5；②∠4=∠7；③∠2+∠3=180°；④∠3=∠5；其中能判定a∥b的條件的序號是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
9．如圖，，，垂足分別為B和D，和分別平分和．下列結(jié)論：①；②；③；④．其中結(jié)論正確的序號是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．③④
10．如圖，將沿翻折，使其頂點(diǎn)均落在點(diǎn)處，若，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非選擇題）
評卷人得分
二、填空題
11．如圖，要使只需添加一個條件，這個條件是 ．（填一個正確的即可，不添加其它字母與輔助線）

12．“鄰補(bǔ)角的角的平分線互相垂直”的逆命題是： ，它是 命題．
13．如圖，，與相交于點(diǎn)，是射線上的一點(diǎn)．若，，則 ．

14．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝52°，將其折疊，使點(diǎn)A落在邊CB上A′處，折痕為CD，則∠A′DB為 ．
15．如圖，△ABC的兩個內(nèi)角平分線相交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P向AB，AC兩邊作垂直線l1、l2，若∠1=40°，則∠BPC= ．
16．如圖，在中，和的平分線交于點(diǎn)，得；和的平分線交于點(diǎn)，得；…；和的平分線交于點(diǎn)，得，則與的關(guān)系是 .
評卷人得分
三、解答題
17．如圖，已知∠BAM＝75°，∠BGE＝75°，∠CHG＝105°，試說明AM∥EF，AB∥CD．
18．如圖，已知AF分別與BD、CE交于點(diǎn)G、H，∠1＝52°，∠2＝128°．
（1）求證：BD∥CE；
（2）若∠C＝∠D，探索∠A與∠F的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，，且軸于點(diǎn)B，a，b滿足．

(1)寫出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)：A________，B________，C________．
(2)若和的平分線交于點(diǎn)，求的度數(shù)；
(3)若點(diǎn)在坐標(biāo)軸的正半軸上運(yùn)動，當(dāng)?shù)拿娣e等于三角形的面積時，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
20．如圖， ，，．
證明：（1） ；（2） ．
請根據(jù)解答過程，在橫線上填出數(shù)學(xué)式，在括號內(nèi)填寫相應(yīng)理由．
證明：（1）∵ ，（ 已知 ）
∴=_______．（__________）
又∵，（ 已知 ）
∴=_________，（___________）
∴ ．（_______）
（2）∵ ，（ 已知 ）
∴=_______．（_____________）
又∵，（ 已知 ）
∴=∠_________．（___________）
∴ ．（___________）
21．如圖，將一張長方形紙片沿折疊后，點(diǎn)D、C分別落在點(diǎn)、的位置，的延長線與相交于點(diǎn)G．

(1)如圖（1），，求的度數(shù)；
(2)如圖（2），延長、交于點(diǎn)M，若，求的度數(shù)．
22．如圖，中，平分，點(diǎn)D為射線上一動點(diǎn)．
（1）連接，若，求的度數(shù)；
（2）連接，若所在的直線垂直于的一邊，則所有滿足條件的的度數(shù)為__________．
23．【問題情境】蘇科版義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)七下第42頁有這樣的一個問題：如圖1，在中，，設(shè)的外角、的平分線交于點(diǎn)O，求的度數(shù)．
(1)請你先完成這個問題的解答．
(2)【變式探究】小明在完成以上問題解答后，作如下變式探究：
如圖2，在中，，若，且射線與射線相交于點(diǎn)O，則 ；
(3)如圖3，在中，．若，且與相交于點(diǎn)O，若要使射線、能相交，則n的取值范圍是什么？請說明理由；
24．在一次數(shù)學(xué)課上，李老師讓同學(xué)們獨(dú)立完成課本第23頁第七題選擇題（2）如圖 1，如果 AB∥CD∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF＝（ ）
A．180° B．270° C．360° D．540°
（1）請寫出這道題的正確選項(xiàng)；
（2）在同學(xué)們都正確解答這道題后，李老師對這道題進(jìn)行了改編：如圖2，AB∥EF，請直接寫出∠BAD，∠ADE，∠DEF之間的數(shù)量關(guān)系．
（3）善于思考的龍洋同學(xué)想：將圖1平移至與圖2重合（如圖3所示），當(dāng)AD，ED分別平分∠BAC，∠CEF時，∠ACE與∠ADE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請你直接寫出結(jié)果，不需要證明．
（4）彭敏同學(xué)又提出來了，如果像圖4這樣，AB∥EF，當(dāng)∠ACD=90°時，∠BAC、∠CDE和∠DEF之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請你直接寫出結(jié)果，不需要證明．
25．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O（0，0），A（0，a），C（b，0）滿足+|b﹣2|＝0．
(1)直接寫出A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)．
(2)如圖1，已知坐標(biāo)軸上有兩動點(diǎn)P、Q同時從O點(diǎn)出發(fā)，P點(diǎn)沿x軸正方向以2個單位長度每秒的速度勻速移動，Q點(diǎn)以1個單位長度每秒的速度沿y軸正方向移動，點(diǎn)D（1，2）為線段AC上一點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動時間為t（t＞0）秒．問：是否存在這樣的t，使S三角形DPC＝S三角形DQO，若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．
(3)如圖2，點(diǎn)G是第二象限上的點(diǎn)，連OG，且OGAC，點(diǎn)F是線段AC上一點(diǎn)，滿足∠AOG＝∠AOF．點(diǎn)E是射線OA上一動點(diǎn)，連CE交直線OF于點(diǎn)H，當(dāng)點(diǎn)E在射線OA上運(yùn)動的過程中，請確定∠OHC，∠ACE和∠OEC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
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