資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
微專題01 平行線的拐點模型通關專練
一、單選題
1．如圖，已知，，則與之間的數量關系可表示為（ ）
A． B． C． D．無法表示
2．如圖，交于點O，且分別平分，圖中與互余的角有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
3．如圖，，，則、、的關系是（ ）
A． B．
C． D．
4．如圖，已知，交于點G，且，平分，點H是上的一個定點，點P是所在直線上的一個動點，則點P在運動過程中，與的關系不可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．如圖，，，平分，設，，，則的數量關系是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，點E在連線的右側，與的角平分線相交于點F，則下列說法正確的是（ ）
①；②若，則；
③如圖（2）中，若，，，則．
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
7．下列結論：①如圖1，，則；②如圖2，，則；③如圖3，，則；④如圖4，直線，點在直線上，則．正確的個數有（ ）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
8．如圖，，為上一點，且垂足為，，平分，且，則下列結論：①；②平分；③；④；其中正確的有（ ）
A．①② B．②③④ C．①②③④ D．①③④
9．如圖，，，設，，則與之間的數量關系正確的是（ ）
A． B．
C． D．與沒有數量關系
10．如圖，，平分，的反向延長線交的平分線于點M，則與的數量關系是（ ）

A． B．
C． D．
二、填空題
11．如圖，，思考解決下列問題：試探究 ．
12．如圖，，直線平分，直線平分，直線，相交于點F，則與的數量關系 ．
13．如圖，由線段組成的圖形像∑，稱為“形”．
（1）如圖1，形中，若，，則 ；
（2）如圖2，連接形中B，D兩點，若，，試猜想與的數量關系 ．
14．如圖，，，則、、之間滿足的數量關系為 ．

15．如圖，已知，連接．分別是的角平分線（點在平行線之間），已知，

（1）當時， 度．
（2）與之間的關系式為 ．
16．如圖，直線，、、、之間的數量關系是 ．

17．如圖，直線，分別交、于E、F兩點，作、的平分線相交于點K；作、的平分線交于點；依此類推，作、的平分線相交于點，…，作、的平分線相交于點，則 ， ．

18．如圖已知：，，平分，，有下列結論：①；②③；④，其中，正確的結論有 ．（填序號）

19．如圖，，平分，，下列結論：①；②；③；④若，則，其中結論正確的是 （填序號）
20．如圖，已知，點是直線，內部一點，連接，
（1）若，，則 ；
（2）若，，則 ．（用含，的式子表示）
三、解答題
21．如圖，，點P為平面內一點．
(1)如圖①，當點P在與之間時，若，，則 ；
(2)如圖②，當點P在點B右上方時，、、之間存在怎樣的數量關系？請證明；
(3)如圖③，平分，平分，若，則 ．
22．（1）問題情境：如圖1，，，，求的度數．小明的思路是：過P作，通過平行線性質來求．按小明的思路，易求得的度數為______度；（直接寫出答案）
（2）問題遷移：如圖2，，點P在射線上運動，記，，當點P在B、D兩點之間運動時，問與a、β之間有何數量關系？請說明理由；
（3）問題拓展：如圖3，已知，，，則的大小是______．
23．（1）【問題解決】如圖1，已知，點P在之間，，求的度數．
（2）【問題遷移】如圖2，若，點P 在的上方，則之間有何數量關系？請說明理由．
（3）【聯想拓展】如圖3，在（2）的條件下，已知的平分線和 的平分線交于點G，求∠G的度數（結果用含α的式子表示）.
24．【閱讀理解】
我們經常過某個點作已知直線的平行線，以便利用平行線的性質來解決問題．
例如：如圖1，，點，分別在直線，上，點在直線，之間．設，，求證：．
證明：如圖2，過點作，∴．
∵，，∴，
∴，
∴．
【類比應用】
（1）如圖3，，，，求的度數．
（2）如圖4，，點在直線上，點在直線的上方，連接，．設，，則，與之間有何數量關系？請說明理由．
【拓展應用】
（3）如圖5，，點在直線上，點在直線的上方，連接，．的平分線與的平分線所在的直線交于點，請直接寫出的度數．（不要求寫過程）
25．推理及探索．
（1）補全下面的證明過程和理由：
如圖1，，，求的度數．
解： ，
（____________________）．
（已知），
（____________________），
（____________________），
．
根據以上解答進行探索：
（2）如圖2，，與和有何數量有關系？請直接寫出來．
（3）若，你能探索出圖3和圖4中與，的數量關系嗎？請直接寫出．
26．如圖1，小明和小亮在研究一個數學問題：
(1)已知：，和都不經過點P，直接寫出與的關系 ；
(2)在圖2中，，若，則的度數為 ；
(3)在圖3中，，若，則的度數為 ；
(4)在圖4中，，探索與的數量關系，并說明理由．
27．已知，點在上，點在上，點在直線之間， 分別連接．
(1)如圖1， 求的度數；
(2)如圖2， 若的角平分線與的角平分線交于點， 求的度數；
(3)如圖3， 延長至點， 點為內一點， 連接交于點， 求的度數．
28．已知直線，和，分別交于C，D點，點A，分別在直線，上，且位于的左側，點P在直線上，且不和點C，D重合．
(1)如圖1，點P在線段上，，求的度數．
(2)如圖2，當點P在直線上運動時，試判斷，，的數量關系，直接寫出結果，不需要說明理由．
29．【問題初探】
（1）數學活動課上，李老師和同學們共同探究平行線的作用．李老師給出如下問題：
，點為下方一點，連接，得到，試探究與的數量關系．
（1）小紅的做法是：如圖2，過點作．
（2）小明的做法是：如圖3，設交于點，過點作．
請你選擇一名同學的做法，寫出證明過程．
【歸納總結】
（2）李老師和同學們發現，在解決題目的過程中，都運用了作平行線的方法，平行線起到了構造等角的作用．為了幫助學生更好的體會平行線的作用，李老師提出了下面問題，請你解答．
如圖4，直線，點在之間，點在下方，連．延長至和的角平分線相交于點．探究與的數量關系；
【學以致用】
（3）如圖5，和的角平分線相交于點．作平分交的延長線于點，若，求的度數．
30．已知直線，點是直線上的一個動點（不與點重合），平分，交直線于點．
(1)如圖1，當點在點左側時，若，求的度數；
(2)若，平分，交直線于點．
①如圖2，若點在點左側運動時，的度數是否會發生變化？若不變，求出該度數；若變化，請說明理由；
②與之間存在怎樣的數量關系？請直接寫出結論，不必說明理由．
31．綜合與實踐
問題背景：如圖，這是我省北部部分地區使用的太陽能燒水器，其原理是凹面鏡的聚光技術，如圖1，這是燒水器的截面示意圖，平行的太陽光線和經過凹面鏡的反射后，反射光線，交于一點P．
探索發現：
（1）如圖1，太陽光線平行，利用平行線的性質，把分成兩部分進行研究，則，和之間存在的數量關系是_____；
（2）如圖2，，點M，N分別在，上，點P是，之間，且位于右側的任意一點，連接，，試探究，，之間的數量關系，并寫出解答過程．
拓展延伸：
（3）如圖3，在（2）的條件下，在，之之間，MN左側再取一點Q，連接，，，若使求與之間的數量關系．
32．【問題背景】
在數學綜合與實踐活動中，數學興趣小組的活動主題是《關于三角板的數學思考》，
【實踐操作】
(1)小明將一副三角板按如圖1所示的方式放置，使點E落在上，且，求的度數；
(2)如圖2，小紅將一個三角板放在一組直線與之間，并使頂點A在直線上，頂點C在直線上，現測得，，請判斷直線，是否平行，并說明理由；
(3)現將三角板按圖3方式擺放，使頂點C在直線上，頂點A在直線上，若，請求出與之間的關系式．
33．綜合與實踐：
問題情境：如圖1，是一副三角尺，三角尺中，，，三角尺中，，，，數學活動課上，同學們用一副三角尺展開了探究活動，同學們發現可以用平行線的知識計算三角尺擺放過程中出現的一些角度，和探究一些角之間的數量關系．
將兩個三角尺如圖擺放，使點與點重合，點在上，與交于點，求的度數．
智慧小組的解法如下：
解：過點作
∵
∴
∵
∴
又∵
∴（依據1）
∴
∴
反思交流：
(1)上述證明過程中的“依據1”是指：____________
(2)如圖3，將兩個三角尺如圖擺放，使點于點重合，點在上，點在上，與相交于點，請用平行線的知識求的度數．
(3)如圖4，將三角尺的直角頂點放在直線上，使，三角尺的頂點也在直線上，與相交于，則與有怎樣的數量關系？說明理由．
34．如圖，已知直線，且分別交，于A，B兩點，點P在上，分別交，于C，D兩點，連接，．
(1)試寫出，，之間的關系，并說明理由；
(2)如果當點P在A，B兩點之間運動時，問：，，之間的關系是否發生變化？
(3)如果點P在A，B兩點的外側運動時，試探究，，之間的關系（點P和A，B不重合）．
35．已知：在圖圖中，，點，點，點與，在同一平面內．
(1)探究與表達請直接寫出：
圖中，，的數量關系；
圖中，，的數量關系；
圖中，，的數量關系：
圖中，，的數量關系；
圖中，，的數量關系；
圖中，，，，的數量關系；
(2)推導與應用如圖，將長方形紙片沿折疊，已知，求的度數．
36．如圖，由線段，，，組成的圖形像，稱為“形”．
(1)如圖，形中，若，，則 ；
(2)如圖，形中，若，，則 ；
(3)如圖，連接形中，兩點，若，，試猜想與的數量關系，并說明理由；
(4)在（）的條件下，當點在射線上從上向下移動的過程中，請直接寫出與所有可能的數量關系．
37．【問題情境】

（1）如圖1，∥是上一點，B是上一點，點C在直線之間．
①若，，則的度數為____________．
【問題探究】
②試探究的數量關系，并說明理由．
【問題應用】
（2）如圖2，是三面鏡子，將一束光線沿方向射入鏡子，通過鏡子的反射，最后從鏡子上的點C處射出，此時入射光線與反射光線平行．若，試用含的式子表示出的度數．
38．綜合與探究
【問題情境】“兩條平行線被第三條直線所截”是平行線中的一個重要的“基本圖形”，與平行線有關的角都存在著這個“基本圖形”，當發現題目的圖形“不完整”時，要適當添加平行線將其補充完整．把“非基本圖形”轉化為“基本圖形”，這體現了數學中的轉化思想．有這樣一個問題：
如圖①，，，，求的度數．小明的解題思路：過點作，通過平行線的性質來求的度數．
【問題解決】（1）按小明的思路，______
【問題遷移】（2）如圖②，，點在直線上運動，記，，當點在線段上（不與、重合）時，與，之間有何數量關系？請說明理由．
【問題應用】（3）在（2）的條件下，，點在直線上運動，如果點不在線段上，請直接寫出與，之間的數量關系．
39．如圖1，四邊形為一張長方形紙片．

(1)如圖2，將長方形紙片剪兩刀，剪出三個角（、、），則__________°．
(2)如圖3，將長方形紙片剪三刀，剪出四個角（、、、），則__________°．
(3)如圖4，將長方形紙片剪四刀，剪出五個角（、、、、），則___________°．
(4)根據前面探索出的規律，將本題按照上述剪法剪刀，剪出個角，那么這個角的和是____________°．
40．閱讀下列材料：
如圖，點P是線段所在直線之間的一點，且，連接．小馬同學通過觀察，度量，提出猜想：．
接著他時猜想進行了證明，證明思路是：如圖1，過點P作，由．可得．
根據平行線的性質，可得，從而得證．
請你參考小馬同學的證明思路，完成下列問題：
(1)如圖2，點P是線段AB，CD所在直線上方的一點，且，連接．用等式表示，，之間的數量關系，并說明理由；
(2)在（1）的條件下，和的角平分線所在直線交于點M．在圖3中補全圖形，用等式表示與之間的數量關系．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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微專題01 平行線的拐點模型通關專練
一、單選題
1．如圖，已知，，則與之間的數量關系可表示為（ ）
A． B． C． D．無法表示
【答案】B
【分析】本題考查了平行線的性質，解題的關鍵是根據平行線的性質判斷出圖中角度之間的關系．根據平行線的性質即可求解．
【詳解】解：過作直線，如圖所示，
，
（兩直線平行，內錯角相等），
，，
，
，
，
，
，
故選：B
2．如圖，交于點O，且分別平分，圖中與互余的角有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】此題考查了平行線的性質，余角的性質，根據兩直線平行得到，，，結合角平分線得到，即，由此得到與互余的角，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵．
【詳解】解：∵，
∴，，，
∵分別平分，
∴，，
∴，即，
∴，，
∴圖中與互余的角有，
故選C．
3．如圖，，，則、、的關系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】過點、分別作的平行線，根據兩直線平行，內錯角相等可得，，，然后根據整理即可得解．
本題考查了平行線的性質，熟記性質是解題的關鍵，此類題目，難點在于過拐點作平行線．
【詳解】解：如圖，過點、分別作的平行線、，
，
，
，，，
，
，
，
．
故選C．
4．如圖，已知，交于點G，且，平分，點H是上的一個定點，點P是所在直線上的一個動點，則點P在運動過程中，與的關系不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此題考查了平行線的性質和判定，角平分線的概念，
根據題意分3種情況討論，分別根據平行線的性質和判定，結合角平分線的概念求解即可．
【詳解】∵
∴
∵平分，
∴
如圖所示，過點P作
∴
∵
∴
∴，
∴，故A不符合題意；
如圖所示，過點P作
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴，故C不符合題意；D選項符合題意．
如圖所示，過點P作
∴
∵
∴
∴
∴
∴，故B選項不符合題意；
故選：D．
5．如圖，，，平分，設，，，則的數量關系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了平行線的性質，角平分線，解題的關鍵是理解題意并掌握這些知識點．
過點E作，過點F作，根據題意得，，根據平行線的性質得，，可得，，，，即可得，，則，，得，即可得，進行計算即可得．
【詳解】解：如圖所示，過點E作，過點F作，
∵，平分，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
，，
∴，
，
即，，
∴，
∴
∴
∴
故選A．
6．已知，點E在連線的右側，與的角平分線相交于點F，則下列說法正確的是（ ）
①；②若，則；
③如圖（2）中，若，，，則．
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】D
【分析】本題考查角平分線的性質、平行線的應用，分別過、作，，利用平行線的性質可以得，，即可判定①正確；結合①可得，根據角平分的性質得和，即可得到，判定②正確；根據前面得，可得判定③正確．
【詳解】解：分別過、作，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
即，①正確；
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，②正確，
由，，，
同理得，，
∴
，
∴，③正確，
故選：D．
7．下列結論：①如圖1，，則；②如圖2，，則；③如圖3，，則；④如圖4，直線，點在直線上，則．正確的個數有（ ）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【分析】本題考查的是平行線的性質及三角形外角的性質；①過點作直線 ，由平行線的性質：兩直線平行，同旁內角互補，即可得出結論；②如圖，先根據三角形外角的性質得出，再根據兩直線平行，內錯角相等即可作出判斷；③如圖，過點作直線 ，由平行線的性質可得出，即得；④如圖，根據平行線的性質得出，，再利用角的關系解答即可．
【詳解】解：

①如圖，過點作直線，
，
，
，，
，
，
故①錯誤；
②如圖，
是的外角，
，
，
，
即，
故②正確；
③如圖，過點作直線，
，
，
，，
，
即，
故③錯誤；
④如圖，
，
，
，
，
，
，
，
故④正確；
綜上結論正確的個數為，
故選：B．
8．如圖，，為上一點，且垂足為，，平分，且，則下列結論：①；②平分；③；④；其中正確的有（ ）
A．①② B．②③④ C．①②③④ D．①③④
【答案】C
【分析】本題考查了平行線的性質，角平分線的定義，垂線的定義，熟記“一般地，從一個角的頂點出發，在角的內部把這個角分成兩個相等的角的射線，叫做這個角的平分線”，“當兩直線所組成的角為直角時，稱它們互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線”的相關概念，利用表示各個角度．根據角平分線的性質，角平分線和垂線的定義逐個分析計算即可．
【詳解】解：，，
，
，
平分，
，
故①正確；
，
，
，
即平分，
故②正確；
，，
，
，
，
，
，
故③正確；
，，
故④正確；
綜上所述，正確的有①②③④，
故選：C．
9．如圖，，，設，，則與之間的數量關系正確的是（ ）
A． B．
C． D．與沒有數量關系
【答案】A
【分析】過C作∥，得到∥，因此，，由垂直的定義得到，由鄰補角的性質即可得到答案．
【詳解】解：過C作∥，
∥，
，
，，
，
，
，
，
，

故選：A．
【點睛】本題考查平行線的性質，關鍵是過C作，得到，由平行線的性質來解決問題．
10．如圖，，平分，的反向延長線交的平分線于點M，則與的數量關系是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先利用角平分線的定義得到，，過M作，過N作，再利用平行線的判定與性質得到，，，，經過角度之間的運算得到，，即可求解．
【詳解】解：∵平分，平分，
∴，，
過M作，過N作，則，，

∵，
∴，，
∴，，
∴，
即，
又∵ ，
∴，即，
故選：D．
【點睛】本題考查角平分線的定義、平行線的判定與性質、角的運算，添加平行線，利用平行線的性質探究角之間的關系是解答的關鍵．
二、填空題
11．如圖，，思考解決下列問題：試探究 ．
【答案】
【分析】本題主要考查學生歸納總結找規律的能力，利用平行線的性質的解答本題的關鍵.分別過、…作直線平行于，利用平行線的性質即可求出各組的值；再根據規律，歸納總結得到．
【詳解】當有個角時，根據兩直線平行同旁內角互補， 得出，
當有個角時，過點作直線平行于，同理可得，
當有個角時，分別過點、作直線平行于，同理可得，
根據規律，可得當有個角時， ，
故答案為：．
12．如圖，，直線平分，直線平分，直線，相交于點F，則與的數量關系 ．
【答案】
【分析】本題考查了平行線的性質．過點F作，過點E作，易證，推出，，根據題意得，再利用角度之間的和差即可解答．
【詳解】解：過點F作，過點E作，
，
，
，，
直線平分，直線平分，
，
，
，，
，即，
故答案為：．
13．如圖，由線段組成的圖形像∑，稱為“形”．
（1）如圖1，形中，若，，則 ；
（2）如圖2，連接形中B，D兩點，若，，試猜想與的數量關系 ．
【答案】
【分析】本題考查利用平行線的性質探究角的關系：
（1）作，則，根據兩直線平行、內錯角相等，可得，，由此可解；
（2）作交于點K，根據兩直線平行、同位角相等，可得，進而可得，同（1）可證，再利用角的和差關系即可得出答案．
【詳解】解：（1）如圖，作，
，，
，
，，
，
故答案為：60；
（2）如圖，作交于點K，
，
，
，
，
，
同（1）可得，
，
即，
故答案為：．
14．如圖，，，則、、之間滿足的數量關系為 ．

【答案】
【分析】如圖，過E作，過F作，過G作，再證明，再結合平行線的性質可得結論．
【詳解】解：如圖，過E作，過F作，過G作，
∵，
∴，

∵，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴；
故答案為：
【點睛】本題考查的是平行公理的應用，平行線的性質，作出合適的輔助線是解本題的關鍵．
15．如圖，已知，連接．分別是的角平分線（點在平行線之間），已知，

（1）當時， 度．
（2）與之間的關系式為 ．
【答案】 117
【分析】（1）根據可得，從而得，進而即可求解；
（2）過點作，根據題意得出，結合平行線的性質即可得到答案．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∵是的角平分線，
∴，
∵，
∴，
故答案為：117；
（2）由（1）可知：，過點作

∵，
∴，
∵是的角平分線，
∴，，
∵
∴
即
∴
故答案為：．
【點睛】本題主要考查平行線的性質，角平分線的定義，掌握平行線的性質是關鍵．
16．如圖，直線，、、、之間的數量關系是 ．

【答案】
【分析】過點作，，根據平行線的性質，可得，，，繼而可得．
【詳解】解：如圖，過點作，過作

，
，
，
即
故答案為：．
【點睛】本題考查了平行線的性質與判定，掌握平行線的性質是解題的關鍵．
17．如圖，直線，分別交、于E、F兩點，作、的平分線相交于點K；作、的平分線交于點；依此類推，作、的平分線相交于點，…，作、的平分線相交于點，則 ， ．

【答案】
【分析】過作，可得，可得出兩對內錯角相等，由與分別為角平平分線，利用角平分線定義得到兩對角相等，再由與平行，利用兩直線平行同旁內角互補得到兩對角互補，利用等式的性質求出的度數，即可求出的度數；此類推即可確定出的度數．
【詳解】解：如圖，過作，可得，

，，
、分別為與的平分線，
，，
，
，即，
，
則；
、的平分線相交于點，
，，
，即，
，即，
，
歸納總結得：．
故答案為：，．
【點睛】此題考查了平行線的性質，角平分線定義，屬于探究型試題，熟練掌握平行線的性質是解本題的關鍵．
18．如圖已知：，，平分，，有下列結論：①；②③；④，其中，正確的結論有 ．（填序號）

【答案】①③④
【分析】根據平行公理判斷①；延長、交于點G，根據，，得出，根據，，得出，即可得出，判斷②；根據平行線的性質得出，根據平行線的性質得出，從而得出，根據，得出，判斷③；
根據平行線的性質得出，根據角平分線的性質得出，即可得出，根據，得出，即可判斷④．
【詳解】解：，，
，故①正確；
延長、交于點G，如圖所示：

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
即，故②錯誤；
平分，
，
，
，
∴，
∵，
∴，故③正確；
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，故④正確；
綜上分析可知，正確的有①③④．
故答案為：①③④．
【點睛】本題考查了平行線的判定和性質，熟練應用判定定理和性質定理是解題的關鍵，平行線的性質：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內角互補；兩直線平行，內錯角相等．平行線的判定是由角的數量關系判斷兩直線的位置關系．平行線的性質是由平行關系來尋找角的數量關系．應用平行線的判定和性質定理時，一定要弄清題設和結論，切莫混淆．
19．如圖，，平分，，下列結論：①；②；③；④若，則，其中結論正確的是 （填序號）
【答案】①②④
【分析】由，可得，根據，可得，再根據平行線的性質以及角的和差關系進行計算，即可得出正確結論．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，故①正確；
∴，
∴，，
∴，
又∵平分，
∴，即，故②正確；
∵與不一定相等，
∴不一定成立，故③錯誤；
∵
，
∴為定值，故④正確．
綜上所述，正確的選項①②④，
故答案為：①②④．
【點睛】本題主要考查了平行線的性質以及角平分線的定義的運用，解題的關鍵是注意：兩直線平行，內錯角相等．
20．如圖，已知，點是直線，內部一點，連接，
（1）若，，則 ；
（2）若，，則 ．（用含，的式子表示）
【答案】 /
【分析】（1）根據平行線的判定及性質求解即可；
（2）過點M作，利用平行線的性質即可證明．
【詳解】（1）如圖，過點作，
∵，∴．
∴，，
∴．
故答案為：；
（2），，同理可得；
故答案為：．
【點睛】本題考查平行線的判定及性質，根據平行線的判定及性質探索角之間的關系，解題的關鍵是正確的作出輔助線．
三、解答題
21．如圖，，點P為平面內一點．
(1)如圖①，當點P在與之間時，若，，則 ；
(2)如圖②，當點P在點B右上方時，、、之間存在怎樣的數量關系？請證明；
(3)如圖③，平分，平分，若，則 ．
【答案】(1)
(2)；理由見解析
(3)
【分析】本題主要考查了平行線的判定及性質等；
（1）過點P作，由平行線的判定方法得，由平行線的性質得，，由角的和差得，即可求解；
（2）過點P作，同理可得，由平行線的性質得，，由角的和差得，即可求解；
（3）延長交于點H，過點G，作，同理可得：，由平行線的性質得，，，由角的和差得 ，由三角形內角和及鄰補角的定義得，即可求解；
掌握平行線的判定及性質，解決這類問題的典型做法：作出輔助線是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：過點P作，
，
，
又，，
，
，
；
故答案：；
（2）解：；
理由如下：
過點P作，
同理可得：，
，
，
，
；
（3）解：延長交于點H，過點G，作，
同理可得：，
，
，
，
平分，平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案為：．
22．（1）問題情境：如圖1，，，，求的度數．小明的思路是：過P作，通過平行線性質來求．按小明的思路，易求得的度數為______度；（直接寫出答案）
（2）問題遷移：如圖2，，點P在射線上運動，記，，當點P在B、D兩點之間運動時，問與a、β之間有何數量關系？請說明理由；
（3）問題拓展：如圖3，已知，，，則的大小是______．
【答案】（1）110；（2）；（3）
【分析】本題主要考查平行線的性質，解答的關鍵是熟記平行線的性質并靈活運用.
（1）由題意可得，結合平行線的性質進行求解即可；
（2）過點作,從而可得到, 利用平行線的性質進行求解即可；
（3）過點作,過點作，則可得，利用平行線的性質進行求解即可.
【詳解】（1）∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴，
故答案為: ；
（2）, 理由如下:
過點作, 如圖,
∵,
∴,
∴,
∴；
（3）過點作,過點作, 如圖，
∵,
∴,
∴,
∴,
∴
.
故答案為: ．
23．（1）【問題解決】如圖1，已知，點P在之間，，求的度數．
（2）【問題遷移】如圖2，若，點P 在的上方，則之間有何數量關系？請說明理由．
（3）【聯想拓展】如圖3，在（2）的條件下，已知的平分線和 的平分線交于點G，求∠G的度數（結果用含α的式子表示）.
【答案】（1）；（2），理由見解析；（3）
【分析】本題考查了平行線的性質，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．
（1）過點P作，利用平行線的性質即可解答；
（2）過點P作，從而可得，，然后利用平行線的性質可得，從而利用角的和差關系以及等量代換即可解答；
（3）根據角平分線的定義可得，，然后利用（2）的結論進行計算即可解答．
【詳解】解：（1）如圖，過點P作．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴．
（2）．
理由：如圖，過點P作．
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
（3）如圖，過點G作．
∵，，
∴，
∴，．
又∵的平分線和的平分線交于點G，
∴，，
由（2）得，．
∵，
∴，
∴，即．
24．【閱讀理解】
我們經常過某個點作已知直線的平行線，以便利用平行線的性質來解決問題．
例如：如圖1，，點，分別在直線，上，點在直線，之間．設，，求證：．
證明：如圖2，過點作，∴．
∵，，∴，
∴，
∴．
【類比應用】
（1）如圖3，，，，求的度數．
（2）如圖4，，點在直線上，點在直線的上方，連接，．設，，則，與之間有何數量關系？請說明理由．
【拓展應用】
（3）如圖5，，點在直線上，點在直線的上方，連接，．的平分線與的平分線所在的直線交于點，請直接寫出的度數．（不要求寫過程）
【答案】（1）；（2），見解析；（3）．
【分析】本題考查了平行線的性質、平行公理推論、角平分線的定義等知識點，添加輔助線，熟練掌握平行線的性質是解題關鍵．
（1）過點作，先根據平行線的性質可得，再根據平行公理推論可得，根據平行線的性質可得，然后根據角的和差即可得；
（2）過點作，先根據平行線的性質可得，再根據平行公理推論可得，根據平行線的性質可得，然后根據角的和差即可得；
（3）設，，先根據角平分線的定義可得，，再根據（2）的結論可得，根據材料的結論可得，然后代入計算即可得．
【詳解】解：（1）如圖3，過點作，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴．
（2）．
理由：如圖4，過點作，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
即．
（3）．
設，．
∵平分，平分，
∴，，
∴．
由（2）可知，．
由材料的結論可知，，
∴．
25．推理及探索．
（1）補全下面的證明過程和理由：
如圖1，，，求的度數．
解： ，
（____________________）．
（已知），
（____________________），
（____________________），
．
根據以上解答進行探索：
（2）如圖2，，與和有何數量有關系？請直接寫出來．
（3）若，你能探索出圖3和圖4中與，的數量關系嗎？請直接寫出．
【答案】（1）同旁內角互補，兩直線平行；平行于同一直線的兩條直線平行；兩直線平行，同旁內角互補；（2）；（3）
【分析】本題考查的是平行線的性質和判定，正確作出輔助線是解題的關鍵．解答本題時，注意類比思想的運用．
（1）根據平行線的性質和判定填空即可；
（2）過點作，根據兩直線平行，內錯角相等證明即可；
（3）與（2）的證明方法類似，可以求出與、的數量關系．
【詳解】解：（1） ，
（同旁內角互補，兩直線平行），
（已知），
（平行于同一直線的兩條直線平行），
（兩直線平行，同旁內角互補），
，
故答案為：同旁內角互補，兩直線平行；平行于同一直線的兩條直線平行；兩直線平行，同旁內角互補；
（2）如圖，過點作，
，
，
，
，
，
即；
（3）如下圖，過點作，
如圖③， ，
，即，
，，
，
，
，
如圖④， ，
，
，，
，
，即，
，
綜上所述，．
26．如圖1，小明和小亮在研究一個數學問題：
(1)已知：，和都不經過點P，直接寫出與的關系 ；
(2)在圖2中，，若，則的度數為 ；
(3)在圖3中，，若，則的度數為 ；
(4)在圖4中，，探索與的數量關系，并說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)，見解析
【分析】（1）過作，因為，所以，可得，，所以；
（2）過點作，因為，所以，可得，，已知，，可得的度數，即得的度數；
（3）過點作，因為，所以，可得，，已知，，因為，可得的度數；
（4）過點作，因為，所以，可得，，因為，可得．
本題考查了平行線的性質，平行公理，關鍵是掌握平行線的性質．
【詳解】（1）解：過作，
，
，
，
，
，
故答案為：；
（2）解：過點作，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案為：；
（3）解：過點作，
，
，
，
，
，
，
故答案為：；
（4）解：過點作，
，即，
，
，
，即，
，
．
27．已知，點在上，點在上，點在直線之間， 分別連接．
(1)如圖1， 求的度數；
(2)如圖2， 若的角平分線與的角平分線交于點， 求的度數；
(3)如圖3， 延長至點， 點為內一點， 連接交于點， 求的度數．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題考查利用平行線的判定與性質求角度，涉及角平分線定義等知識，數形結合，表示出各個角度之間的關系是解決問題的關鍵．
（1）過點作，如圖所示，由平行線的判定與性質，數形結合表示出各個角度之間的關系求解即可得到答案；
（2）由平行線的判定與性質，結合角平分線定義，數形結合表示出各個角度之間的關系求解即可得到答案；
（3）過點作交于點，如圖所示，由平行線的判定與性質，數形結合表示出各個角度之間的關系求解即可得到答案．
【詳解】（1）解：過點作，如圖所示：
∴，
∵，
∴，
，
，
，
，
；
（2）解：∵，
∴，
∵平分平分，
，
，
過點作，如圖所示：
，
∵，
，
；
（3）解：過點作交于點，如圖所示：
，
，
設，則，
∵，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
28．已知直線，和，分別交于C，D點，點A，分別在直線，上，且位于的左側，點P在直線上，且不和點C，D重合．
(1)如圖1，點P在線段上，，求的度數．
(2)如圖2，當點P在直線上運動時，試判斷，，的數量關系，直接寫出結果，不需要說明理由．
【答案】(1)的度數為；
(2)或或．
【分析】本題考查平行線的性質的靈活運用，兩直線平行內錯角相等，有關平行線中相關角的等量關系．解題的關鍵是逢拐點作平行線．
（1）作輔助線使，平行線的性質的靈活運用，兩直線平行內錯角相等，進而得到，，即可求出的度數；
（2）作輔助線使，分情況討論得到，，的數量關系，①當點P在直線，上方，利用平行線的性質得到；②當點P在直線，中間時，利用平行線的性質得到，③當點P在直線，下方，利用平行線的性質得到．
【詳解】（1）解：過點P作如圖1，
又直線，
，
，
，
，
，
．
故的度數為．
（2）過點P作，①當點P在直線，上方時如圖2，
又直線，
，
，
，
，
，
，
即：；
②當點P在直線，中間時如圖3，又直線，
，
，
，
，
，
，即；
③當點P在直線，下方時如圖4，又直線，
，
，
，
，
，
．
29．【問題初探】
（1）數學活動課上，李老師和同學們共同探究平行線的作用．李老師給出如下問題：
，點為下方一點，連接，得到，試探究與的數量關系．
（1）小紅的做法是：如圖2，過點作．
（2）小明的做法是：如圖3，設交于點，過點作．
請你選擇一名同學的做法，寫出證明過程．
【歸納總結】
（2）李老師和同學們發現，在解決題目的過程中，都運用了作平行線的方法，平行線起到了構造等角的作用．為了幫助學生更好的體會平行線的作用，李老師提出了下面問題，請你解答．
如圖4，直線，點在之間，點在下方，連．延長至和的角平分線相交于點．探究與的數量關系；
【學以致用】
（3）如圖5，和的角平分線相交于點．作平分交的延長線于點，若，求的度數．
【答案】（1）①；②；（2）；（3）
【分析】本題考查了平行線的性質與判定，熟練掌握平行線的性質與判定是解答本題的關鍵．；
（1）①過點作，根據平行線的性質得出；
②設交于點，過點作．根據平行線的性質可得，，進而可得；
（2）根據角平分線的定義可得，根據平行線的性質可得由（1）可得，即可求解．
（3）過點H作，利用（1）中結論，利用平行線的性質、角平分線定義、鄰補角和為，角與角之間的基本運算、等量代換等得出，進而用等量代換得出．過點H作，由①的結論得．利用平行線性質得，由角平分線定義及鄰補角可得．繼續使用等量代換可得度數．
【詳解】解：（1）①小紅的做法是：如圖2，過點作．
∵
∴
∴
∵；
②小明的做法是：如圖3，設交于點，過點作．
∴，
∵
∴
∴
（2）如圖所示，過點作
∵和的角平分線相交于點．
∴
∵
∴
∴
由（1）可得
∴
（3）過點H作，如圖，
由（1）可得，
由圖可知，
∵，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴．
即．
∵，
∴．
∴．
過點H作．
∵，
∴．
∴，
∵平分，
∴．
∵．
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
30．已知直線，點是直線上的一個動點（不與點重合），平分，交直線于點．
(1)如圖1，當點在點左側時，若，求的度數；
(2)若，平分，交直線于點．
①如圖2，若點在點左側運動時，的度數是否會發生變化？若不變，求出該度數；若變化，請說明理由；
②與之間存在怎樣的數量關系？請直接寫出結論，不必說明理由．
【答案】(1)
(2)①點在點左側運動時，的度數不會發生變化，，理由見解析；②與之間的關系為或
【分析】本題考查了平行線的性質，角平分線的定義，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．
（1）延長到，由平行線的性質可得，求出，由角平分線的定義得出，最后再由平行線的性質可得答案；
（2）①延長到，設，由角平分線的定義得出，，由平行線的性質得出，從而得出，求出，由角平分線的定義得出，再由計算即可得出答案；②分兩種情況：當點在點的左側時，延長至；當點在點的右側時，延長至，分別利用平行線的性質并結合角平分線的定義計算即可得出答案．
【詳解】（1）解：如圖，延長到，
∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
（2）解：①點在點左側運動時，的度數不會發生變化，，理由如下：
如圖，延長到，
設，
∵平分，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
②與之間的關系為或，
當點在點的左側時，延長至，如圖，
設，
∵平分，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
當點在點的右側時，延長至，如圖，
設，
∵平分，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
綜上所述，與之間的關系為或．
31．綜合與實踐
問題背景：如圖，這是我省北部部分地區使用的太陽能燒水器，其原理是凹面鏡的聚光技術，如圖1，這是燒水器的截面示意圖，平行的太陽光線和經過凹面鏡的反射后，反射光線，交于一點P．
探索發現：
（1）如圖1，太陽光線平行，利用平行線的性質，把分成兩部分進行研究，則，和之間存在的數量關系是_____；
（2）如圖2，，點M，N分別在，上，點P是，之間，且位于右側的任意一點，連接，，試探究，，之間的數量關系，并寫出解答過程．
拓展延伸：
（3）如圖3，在（2）的條件下，在，之之間，MN左側再取一點Q，連接，，，若使求與之間的數量關系．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】本題考查了平行線性質的應用－拐點問題，常用的解答方法是過過拐點作其中一條線的平行線，利用平行線的傳遞性說明與另一條線也平行，然后利用平行線的性質解答即可．
（1）過點作，由平行線的傳遞性得，由平行線的性質得，，進而可得；
（2）由（1）得，然后結合鄰補角的定義可得；
（3）由（1）（2）知，，結合，可證結論成立；
【詳解】解：如圖，過點作，
，
，
，，
，
．
（2）
理由：
由（1）得，
，
；
（3）由（1）（2）知，，
∴，
，
．
32．【問題背景】
在數學綜合與實踐活動中，數學興趣小組的活動主題是《關于三角板的數學思考》，
【實踐操作】
(1)小明將一副三角板按如圖1所示的方式放置，使點E落在上，且，求的度數；
(2)如圖2，小紅將一個三角板放在一組直線與之間，并使頂點A在直線上，頂點C在直線上，現測得，，請判斷直線，是否平行，并說明理由；
(3)現將三角板按圖3方式擺放，使頂點C在直線上，頂點A在直線上，若，請求出與之間的關系式．
【答案】(1)
(2)，理由見解析
(3)，理由見解析
【分析】此題考查了平行線的判定與性質，熟記平行線的判定定理與性質定理是解題的關鍵．
（1）根據平行線的性質及角的和差求解即可；
（2）過點B作，根據平行線的性質及角的和差求出，即可判定，根據平行公理推論即可推出；
（3）根據平行線的性質及角的和差求解即可．
【詳解】（1）解∶ ，
，
，
，
，
；
（2）解∶ ，理由如下：
如圖2，過點B作，
則，
，
，
，
，
又，
；
（3）解∶ ，理由如下：
，
，
，，
，
．
33．綜合與實踐：
問題情境：如圖1，是一副三角尺，三角尺中，，，三角尺中，，，，數學活動課上，同學們用一副三角尺展開了探究活動，同學們發現可以用平行線的知識計算三角尺擺放過程中出現的一些角度，和探究一些角之間的數量關系．
將兩個三角尺如圖擺放，使點與點重合，點在上，與交于點，求的度數．
智慧小組的解法如下：
解：過點作
∵
∴
∵
∴
又∵
∴（依據1）
∴
∴
反思交流：
(1)上述證明過程中的“依據1”是指：____________
(2)如圖3，將兩個三角尺如圖擺放，使點于點重合，點在上，點在上，與相交于點，請用平行線的知識求的度數．
(3)如圖4，將三角尺的直角頂點放在直線上，使，三角尺的頂點也在直線上，與相交于，則與有怎樣的數量關系？說明理由．
【答案】(1)平行于同一直線的兩直線平行
(2)
(3)，理由見解析
【分析】本題考查了平行線的性質與判定；
（1）根據平行線的性質與判定定理解答即可；
（2）過點作，根據兩直線平行，內錯角相等求解即可；
（3）過點作，根據兩直線平行，內錯角相等求解即可．
【詳解】（1）依據1：平行于同一直線的兩直線平行
（2）解：過點作，
∴，
∴；
（3）解：．
理由如下：
過點作，則．
，
，
．
，且，
．
34．如圖，已知直線，且分別交，于A，B兩點，點P在上，分別交，于C，D兩點，連接，．
(1)試寫出，，之間的關系，并說明理由；
(2)如果當點P在A，B兩點之間運動時，問：，，之間的關系是否發生變化？
(3)如果點P在A，B兩點的外側運動時，試探究，，之間的關系（點P和A，B不重合）．
【答案】(1)；見解析
(2)，，之間的關系不發生變化，證明見解析
(3)如果點P在A，B（點P和A，B不重合）兩點的外側運動時，，，之間的關系是或
【分析】本題考查平行線定理、平行線的性質，（1）過P作，由，則，根據平行線的性質可得，，即可求解；
（2）作，由，則，根據平行線的性質可得，，即可求解；
（3）分當P點在A的外側與當P點在B的外側兩種情況進行分類討論即可．
【詳解】（1）解：如圖1，過P作，
∵，
∴，
∴，，
∴，即；
（2）解：，，之間的關系不發生變化，
仍是；
作，如圖1，
∵，
∴，
∴，，
∴，即；
（3）解：當P點在A的外側時，如圖2，過P作，交于F，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
當P點在B的外側時，如圖3，過P作，交于G，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴如果點P在A，B（點P和A，B不重合）兩點的外側運動時，，，之間的關系是或．
35．已知：在圖圖中，，點，點，點與，在同一平面內．
(1)探究與表達請直接寫出：
圖中，，的數量關系；
圖中，，的數量關系；
圖中，，的數量關系：
圖中，，的數量關系；
圖中，，的數量關系；
圖中，，，，的數量關系；
(2)推導與應用如圖，將長方形紙片沿折疊，已知，求的度數．
【答案】(1) ； ； ； ； ； ；
(2)．
【分析】（）根據平行線的判定與性質即可求解；
（）利用（）中的結論即可求解；
本題考查了平行線的性質和平行定理推論，熟練掌握知識點的應用及正確添加輔助線是解題的關鍵．
【詳解】（1）如圖，過作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
如圖，過作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
如圖，過作，
∵，
∴，
∴，，
∴；
如圖，過作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
如圖，過作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
如圖，同理，
同理：；
（2）由上可知：，
∵，，
∴．
36．如圖，由線段，，，組成的圖形像，稱為“形”．
(1)如圖，形中，若，，則 ；
(2)如圖，形中，若，，則 ；
(3)如圖，連接形中，兩點，若，，試猜想與的數量關系，并說明理由；
(4)在（）的條件下，當點在射線上從上向下移動的過程中，請直接寫出與所有可能的數量關系．
【答案】(1)；
(2)；
(3)，理由見解析；
(4)或．
【分析】（）過作，利用平行線的性質計算即可求解；
（）設與交于點，利用平行線的性質和外角性質即可求解；
（）過點作交于點，利用平行線的性質及三角形的內角和定理可求得，結合（）的結論可求解；
（）可分兩種情況：當當，位于兩側時，當，位于同側時，利用平行線的性質及三角形外角的性質可分別計算求解；
本題主要考查了平行線的性質，三角形外角的性質，三角形的內角和定理，掌握平行線的性質是解題的關鍵．
【詳解】（1）過作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案為：；
（2）如圖，設與交于點，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：；
（3），
理由：過點作交于點，
∴，
∵，，
∴，
由（）可得，
∵，
∴，
∴；
（4）如圖，當，位于兩側時，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
即；
當，，三點共線時，，
∴；
當，位于同側時，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
即，
綜上，或．
37．【問題情境】

（1）如圖1，∥是上一點，B是上一點，點C在直線之間．
①若，，則的度數為____________．
【問題探究】
②試探究的數量關系，并說明理由．
【問題應用】
（2）如圖2，是三面鏡子，將一束光線沿方向射入鏡子，通過鏡子的反射，最后從鏡子上的點C處射出，此時入射光線與反射光線平行．若，試用含的式子表示出的度數．
【答案】（1）① ② （2）
【分析】本題主要考查了平行線的判定和性質，平行公理的應用，三角形內角和定理的應用，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握平行線的性質．
（1）①過點作則，則可求出和的度數，然后利用計算即可；
②過點作則，然后得到，，進而得到結論；
（2）過點作過點作，則有，即可得到，，，然后代入即可解題．
【詳解】解：（1）①過點作
∵，
∴，
∴，，
∴；

②①過點作
∵，
∴，
∴，，
∴；
（2）過點作過點作，
又∵入射光線與反射光線平行，
∴，
∴，，，
∴

38．綜合與探究
【問題情境】“兩條平行線被第三條直線所截”是平行線中的一個重要的“基本圖形”，與平行線有關的角都存在著這個“基本圖形”，當發現題目的圖形“不完整”時，要適當添加平行線將其補充完整．把“非基本圖形”轉化為“基本圖形”，這體現了數學中的轉化思想．有這樣一個問題：
如圖①，，，，求的度數．小明的解題思路：過點作，通過平行線的性質來求的度數．
【問題解決】（1）按小明的思路，______
【問題遷移】（2）如圖②，，點在直線上運動，記，，當點在線段上（不與、重合）時，與，之間有何數量關系？請說明理由．
【問題應用】（3）在（2）的條件下，，點在直線上運動，如果點不在線段上，請直接寫出與，之間的數量關系．
【答案】（1）；（2）；（3）或
【分析】本題考查的重點是平行線的性質和角度的計算，可以利用豬蹄模型和鉛筆模型的解題思路，很容易得出計算結果．
（1）因為，所以當，時，可求；
（2）如圖所示過點P作，利用平行線的定理和推論可知，即可得結論；
（3）分兩種情況：點P在射線上，點P在射線上，方法同（2）可分別得結論．
【詳解】解：（1）過點作，
，
,
,
,
，，
,
，
故答案為：；
（2）解：，
理由：過點P作，如圖：
，，
，
，
；
（3）①點P在射線上時，如圖，
作，
，
，
，
，
，，，
；
②點P在射線上，如圖，
作，
，
，
，
，
，，，
．
39．如圖1，四邊形為一張長方形紙片．

(1)如圖2，將長方形紙片剪兩刀，剪出三個角（、、），則__________°．
(2)如圖3，將長方形紙片剪三刀，剪出四個角（、、、），則__________°．
(3)如圖4，將長方形紙片剪四刀，剪出五個角（、、、、），則___________°．
(4)根據前面探索出的規律，將本題按照上述剪法剪刀，剪出個角，那么這個角的和是____________°．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本題主要考查了多邊形的內角和，作平行線并利用兩直線平行，同旁內角互補是解本題的關鍵，總結規律求解是本題的難點．
（1）過點過作，再根據兩直線平行，同旁內角互補即可得到三個角的和等于的倍；
（2）分別過、分別作的平行線，根據兩直線平行，同旁內角互補即可得到四個角的和等于的三倍；
（3）分別過、、分別作的平行線，根據兩直線平行，同旁內角互補即可得到四個角的和等于的四倍；
（4）根據前三問個的剪法，剪刀，剪出個角，那么這個角的和是度．
【詳解】（1）解：過作（如圖②）．
原四邊形是長方形，
，
又 ，
（平行于同一條直線的兩條直線互相平行）．
，
（兩直線平行，同旁內角互補）．
，
（兩直線平行，同旁內角互補）．
，
又 ，
，
故答案為：；

（2）分別過、分別作、，如圖③所示，
原四邊形是長方形，
，
又 ，
．
，，，
，
，，
，
故答案為：；
（3）分別過、、分別作、、，如圖④所示，
原四邊形是長方形，
，
又 ，，，
．
，，，，
，
，，，
，
故答案為：；
（4）由此可得一般規律：剪刀，剪出個角，那么這個角的和是度，
故答案為：．
40．閱讀下列材料：
如圖，點P是線段所在直線之間的一點，且，連接．小馬同學通過觀察，度量，提出猜想：．
接著他時猜想進行了證明，證明思路是：如圖1，過點P作，由．可得．
根據平行線的性質，可得，從而得證．
請你參考小馬同學的證明思路，完成下列問題：
(1)如圖2，點P是線段AB，CD所在直線上方的一點，且，連接．用等式表示，，之間的數量關系，并說明理由；
(2)在（1）的條件下，和的角平分線所在直線交于點M．在圖3中補全圖形，用等式表示與之間的數量關系．
【答案】(1)，理由見解析
(2)（或）
【分析】本題考查平行線性質，角平分線定義，三角形內角和定理，外角和定理等．
（1）根據題意過點P作，利用平行線性質即可得到本題答案；
（2）根據題意過點作，利用角平分線定義得，，再利用內角和定理和外角和定理即可得到本題答案．
【詳解】（1）解：數量關系：．
證明：過點P作，
∴（兩直線平行，內錯角相等）．
∵（已知），
∴（如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）．
∴（兩直線平行，內錯角相等）．
∵ （如圖），
∴ （等量代換）．
即；
（2）解：補全圖形：
∵和的角平分線所在直線交于點M，
∴將圖按如下命名：
∴，，
又∵，
過點作，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
數量關系：（或）．
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