資源簡介

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專題01 平行線的判定
考點類型
知識一遍過
（一）命題、定理、證明
（1）命題的概念：像這樣判斷一件事情的語句，叫做命題。
（2）命題的形式：“如果…那么…”。（如果+題設，那么+結論）
（3）真命題的概念：如果題設成立，那么結論一定成立，這樣的命題叫做真命題。
（4）假命題的概念：如果題設成立，不能保證結論一定成立，這樣的命題叫做假命題。
（5）定義、命題、公理和定理之間的關系：
這四者都是句子，都可以判斷真假，即定義、公理和定理也是命題，不同的是定義、公理和定理都是真命題，都可以作為進一步判斷其他命題真假的依據，而命題不一定是真命題，因而它不一定能作為進一步判斷其它命題真假的依據。
一個命題的正確性需經過推理，才能作出判斷，這個推理過程叫做證明。
證明的依據：可以是已知條件，也可以是學過的定義、基本事實或定理等。
（二）平行線公理及推論
（1）平行線的概念：在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線，平行用符號“∥”表示，
如：直線與直線互相平行，記作∥，讀作a平行于b。
（2）平行公理（唯一性）：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。
（3）平行公理的推論（傳遞性）：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行
幾何描述 ：∵∥，∥
　　　　 ∴∥
（三）平行線的判定
①判定方法1：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行
　　　　 簡稱：同位角相等，兩直線平行
②判定方法2：兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那么這兩條直線平行
　　　　 簡稱：內錯角相等，兩直線平行
③判定方法3：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行
　　　　 簡稱：同旁內角互補，兩直線平行
幾何符號語言：
①∵　∠3＝∠2
∴　AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）
②∵　∠1＝∠2
∴　AB∥CD（內錯角相等，兩直線平行）
③∵　∠4＋∠2＝180°
∴　AB∥CD（同旁內角互補，兩直線平行）
考點一遍過
考點1：判斷真假命題
典例1：下列命題中，真命題是（ ）
A．平行于同一條直線的兩條直線平行 B．兩直線平行，同旁內角相等
C．三角形的一個外角大于任何一個內 D．銳角三角形是等邊三角形
【答案】A
【分析】本題考查的是命題真假的判斷，同時考查平行公理的應用，平行線的性質，三角形的外角的性質，直角三角形的兩銳角互余，掌握“命題真假判斷的方法”是解本題的關鍵．
由平行公理的含義可判斷A，由平行線的性質可判斷B，由三角形的外角的性質可判斷C，由銳角三角形及等邊三角形之間的關系可判斷D，從而可得答案．
【詳解】解：A、平行于同一條直線的兩條直線平行，真命題，故符合題意；
B、兩直線平行，同旁內角互補，原說法為假命題，故不符合題意；
C、三角形的一個外角大于任何一個與之不相鄰的內角，原說法為假命題，故不符合題意；
D、銳角三角形不一定是等邊三角形，原說法為假命題，故不符合題意；
【變式1】故選：A．
下列命題中是真命題的是（ ）．
A．兩個銳角的和是鈍角 B．若，則
C．對頂角相等 D．同位角相等
【答案】C
【分析】本題考查了命題與定理；熟練掌握命題的定義是解題的關鍵；要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可．
【詳解】解：A、和均是銳角，和不是鈍角，不符合題意，選項錯誤；
B、，則或，不符合題意，選項錯誤；
C、對頂角相等，選項正確；
D、同位角不一定相等，當兩直線平行時，同位角相等，不符合題意，選項錯誤；
故選：C．
【變式2】命題“如果x，y互為相反數，那么”是 （填“真命題”或“假命題”）．
【答案】假命題
【分析】根據相反數的概念、有理數的乘法法則判斷即可．本題考查的是命題的真假判斷，任何一個命題非真即假．要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可．
【詳解】解：當，時，，
和互為相反數，
，互為相反數時，，
故命題“如果，互為相反數，那么”是假命題，
故答案為：假命題．
【變式3】命題“如果，那么”的逆命題是 命題．（選填“真”或“假”）
【答案】假
【分析】本題主要考查命題與定理，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．先根據逆命題的概念寫出原命題的逆命題，再根據有理數的平方、有理數的大小比較法則判斷即可．
【詳解】解：命題“如果，那么”的逆命題是如果，那么，是假命題，
例如：當時，，而，
故答案為：假．
考點2：寫出命題的逆命題
典例2：給出下列3個命題：①同旁內角互補，兩直線平行；②若 ，則；③對頂角相等，它們的逆命題是真命題的個數是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】此題考查了命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題，判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質定理，用到的知識點是逆命題．先寫出命題的逆命題，再對逆命題的真假進行判斷即可．
【詳解】解：①同旁內角互補，兩直線平行的逆命題是兩直線平行，同旁內角互補，是真命題；
②若，則的逆命題是若，則，是真命題；
③對頂角相等的逆命題是相等的角是對項角，是假命題；
它們的逆命題是真命題的個數是2個．
故選：C．
【變式1】下列命題的逆命題成立的是（ ）
A．如果兩個角是直角，那么它們相等 B．同旁內角互補，兩直線平行
C．如果兩個實數相等，那么它們的平方相等 D．對頂角相等
【答案】B
【分析】本題考查了命題；由逆命題的定義，可知把一個命題的條件和結論互換就得到它的逆命題；再分析逆命題是否為真命題，需要分別分析各題設是否能推出結論．
【詳解】解：A、逆命題是：如果兩個角相等，那么這兩個角是直角，是假命題，故本選項錯誤；
B、逆命題是：兩直線平行，同旁內角互補，為真命題，故本選項正確；
C、逆命題是：如果兩個實數的平方相等，那么兩個實數相等，為假命題，故本選項錯誤；
D、逆命題是：如果兩個角相等，那這兩個角是對頂角，為假命題，故本選項錯誤；
故選：B．
【變式2】“對頂角相等”的逆命題是 （填“真”或者“假”）命題．
【答案】假
【分析】本題考查了對頂角相等，逆命題的真假判斷，先寫出逆命題再判斷真假即可．
【詳解】解：“對頂角相等”的逆命題是：相等的角是對頂角，此命題為假命題．
故答案為：假．
【變式3】命題“三個角都相等的三角形是等邊三角形”的逆命題是 （“如果……那么……”的形式表示）．
【答案】如果一個三角形是等邊三角形，那么這個三角形的三個角都相等
【分析】本題考查了把命題改成“如果…，那么…”形式及逆命題的定義，關鍵是要找到什么是條件什么是結論．本命題是判斷一個三角形是等邊三角形，所以“如果”后面的是三角形具備的條件，那么后面的是“等邊三角形”這一結論
【詳解】解：把命題“三個角都相等的三角形是等邊三角形”改寫成“如果…，那么…”的形式為：如果一個三角形的三個角都相等，那么這個三角形是等邊三角形，
則逆命題是：如果一個三角形是等邊三角形，那么這個三角形的三個角都相等．
故答案為：如果一個三角形是等邊三角形，那么這個三角形的三個角都相等
考點3：邏輯推理與論證
典例3：A，B，C，D，E五名學生猜測自己能否進入市中國象棋前三強．A說：“如果我進入，那么B也進入．”B說：“如果我進入，那么C也進入．”C說：“如果我進入，那么D也進入．”D說：“如果我進入，那么E也進入，”大家都沒有說錯，則進入前三強的三個人是（　　）
A．A，B，C B．B，C，D C．C，D，E D．D，E，A
【答案】C
【分析】此題考查了推理與論證，根據每個人所說的進行推理是解題的關鍵．若A，B進入了前三強，那么B、C、D、E也均能進入，由于前三強只有三個人，顯然這是不合理的；因此只有當C進行前三強，那么D、E也進入，這樣才符合題意．
【詳解】解：若A進入前三強，那么進入前三強的有A、B、C、D、E共5人，顯然不合題意，
同理，當B進入前三強時，也不合題意，所以應從C開始進入前三強．即進入前三強的是C，D，E．
故選：C．
【變式1】在一次1500米的跑步比賽中，有如下的判斷：甲說，“丙第一，我第三”；乙說，“我第一，丁第四”；丙說，“丁第二，我第三”．結果是每人的兩句話中都只說對了一句，則可判斷第一名是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【分析】本題考查了推理與論證，此類題應從假設出發，經過推理，如果得到矛盾，則假設錯誤，再進一步推理即可．假設甲說的前半句話是正確的，可推出矛盾，然后可知甲說的后半句是正確的，從而推出第一名是誰．
【詳解】解：假設甲說的前半句話是正確的，即丙第一，則乙的后半句是正確的，即丁第四，則丙說的后半句應是正確的，出現矛盾，所以必須是甲說的后半句是正確的，即甲第三，所以丙說的前半句是正確的，即丁第二，所以乙說的前半句是正確的，即乙第一．
故選B．
【變式2】小志和小強進行了十次剪刀石頭布的對決，已知：①小志出了6次石頭，1次剪刀，3次布：②小強出了4次石頭，3次剪刀，3次布：③10次對決中沒有平局；④你不知道他們的出拳順序，則這十次對決中小志贏了 次．
【答案】6
【分析】本題考查的是推理論證，根據已知條件做出正確分析，注意每一步都有根據和理由．
因為10次對決中沒有平局，那么小志6次石頭只能對應小強的3次剪刀3次布，這6局中小志贏3局；同理，小志1次剪刀，3次布只能對應小強4次石頭，這4局中小志贏3局，由此推斷出結論．
【詳解】解：∵10次對決中沒有平局，
∴小志6次石頭只能對應小強的3次剪刀3次布，
∴這6局中小志贏3局，
同理，小志1次剪刀，3次布只能對應小強4次石頭，
∴這4局中小志贏3局，
∴小志共贏了局．
故答案為：6．
【變式3】某天下課小樸、小實、小沉、小毅四名同學在討論2024年6月19日是星期幾，
小樸說：“6月18日是星期五．”
小實說：“6月20日是星期一”
小沉說：“你們兩個說得都不對．”
小毅說：“6月19日不是星期三”
李老師走過來說，你們四個人中只有一個人說對了．那么2024年6月19日是星期 ．
【答案】三
【分析】本題考查了邏輯推理與論證，利用反證法即可求解，理清題意，熟練掌握反證法是解題的關鍵．
【詳解】解：假設小樸說是對的，則小毅說的與“四個人中只有一個人說對”相矛盾，則小樸說的不對；
假設小實說是對的，則小毅說的與“四個人中只有一個人說對”相矛盾，則小樸說的不對；
假設小沉說是對的，那么小毅說的不對，那么2024年6月19日是星期三，
故答案為：三．
考點4：平行線的判定——同位角相等
典例4：如圖，已知，交于點D，平分，，求證：．

【答案】證明見解析
【分析】本題主要考查了平行線的判定，角平分線的定義，先由角平分線的定義得到，再由平角的定義得到，則可由同位角相等，兩直線平行證明．
【詳解】證明：∵平分，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【變式1】如圖，已知，．說明的理由．
【答案】見解析
【分析】本題主要考查平行線的判定與性質，根據可得，得出，由得，從而得出．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【變式2】如圖，直線與交于M，N兩點，，且平分，平分，求證：直線．
【答案】證明見解析
【分析】本題主要考查了平行線的判定，角平分線的定義，只需要根據角平分線的定義和已知條件證明，即可證明．
【詳解】證明：∵平分，平分，求，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【變式3】已知：如圖，直線與被所截，，求證：．
【答案】見解析
【分析】本題考查的是平行線的判定，掌握平行線的判定定理是解題的關鍵．根據對頂角相等，等量代換和平行線的判定定理進行證明即可．
【詳解】證明：∵（對頂角相等），
又∵（已知），
∴，
∴（同位角相等，兩直線平行）．
考點5：平行線的判定——內錯角相等
典例5：如圖，點O在直線上，F是上一點，連接，平分，平分交于點D．
(1)試說明；
(2)若與互余，試說明．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】本題主要考查了角平分線的定義、平行線的判定等知識點．
（1）利用角平分線的定義結合平角的性質即可證明；
（2）利用結合已知求得，根據“內錯角相等，兩直線平行”即可證明結論．
【詳解】（1）解：因為平分，平分
所以，.
因為，
所以，
所以；
（2）解：由（1）知，
所以
因為與互余，
所以，
所以，
所以．
【變式1】如圖，線段，相交于點，，，求證：．
【答案】詳見解析
【分析】本題主要考查了平行線的判定，解題的關鍵是熟練掌握平行線的判定方法，內錯角相等，兩直線平行；同位角相等，兩直線平行；同旁內角互補，兩直線平行．根據對頂角性質和平行線的判定方法進行解答即可．
【詳解】解：∵，
又∵
∴
∴
【變式2】如圖，，平分，求證：．
【答案】證明見解析
【分析】本題考查了角平分線的定義，平行線的判定，由平分得，進而得，即可求證，掌握平行線的判定是解題的關鍵．
【詳解】證明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
【變式3】完成下面推理及填空：
已知：如圖，在中，于點，是上一點，且，求證：．
證明：（已知）
（已知）
（ ）
（______）
【答案】，，同角的余角相等，內錯角相等，兩直線平行
【分析】本題考查了平行線的判定，熟練掌握平行線的判定方法是解題的關鍵．根據垂直的定義和同角的余角相等，可得到，最后根據內錯角相等兩直線平行即可判定，從而得到答案．
【詳解】證明：（已知）
（已知）
（同角的余角相等）
（內錯角相等，兩直線平行）
故答案為：；；同角的余角相等；內錯角相等，兩直線平行
考點6：平行線的判定——同旁內角互補
典例6：如圖，直線被直線所截，與交于點C，平分，，，試說明：．
【答案】見解析
【分析】此題考查了平行線的判定．根據角平分線定義及對頂角性質，則，再根據“同旁內角互補，兩直線平行”即可得解．
【詳解】證明：平分，，
，
，
，
，
∴．
【變式1】如圖，，于點A，平分．
(1)證明；
(2)探究與的數量關系，并說明理由．
【答案】(1)見解析
(2)，理由見解析
【分析】此題考查了平行線的判定和性質，角平分線的定義，正確掌握平行線的判定和性質定理是解題的關鍵．
（1）利用推出；
（2）由 ，結合角平分線求出，即可得到．
【詳解】（1）解：，
∵，
∴
∴；
（2）∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
【變式2】如圖，在四邊形中，，平分，且，．與平行嗎？試寫出推理過程．
【答案】平行，見詳解
【分析】本題考查了平行線的判定，根據同旁內角互補，兩直線平行是解題的關鍵；根據角平分線的定義，可得，再由同旁內角互補，即可證明平行．
【詳解】解：與平行，理由如下：
平分，，
，
，
，
．
【變式3】完成下面的證明：
如圖，平分，平分，且．
求證：．
證明：∵平分（已知），
∴（ ）．
又∵平分（ ），
∴______（ ）．
（ ）．
又∵（已知），
（______）（ ）．
∴（ ）．
【答案】角平分線的定義；已知；；角平分線的定義；等量代換；；等量代換；同旁內角互補，兩直線平行
【分析】本題考查平行線的判定，角平分線定義，根據角平分線的定義以及同旁內角互補，兩直線平行，進行作答即可．
【詳解】證明：∵平分（已知），
∴（角平分線的定義）．
∵平分（已知），
∴（角平分線的定義）．
∴（等量代換）．
∵（已知），
∴（等量代換）．
∴（同旁內角互補，兩直線平行）．
考點7：平行線的判定——綜合應用
典例7：【問題背景】
已知直線與直線分別交于兩點，點在直線上（點在點的右側），射線平分交直線于點，．
【問題探究】
(1)如圖1，求證：；
(2)如圖2，點是線段上一點，射線交直線于點，，．
①求的度數；
②點在射線上，連接，且滿足，請補全圖形，并求出的度數．
【答案】(1)見解析
(2)①；②補圖見解析，或
【分析】此題考查了平行線的性質，三角形外角性質，平行線的判定，熟練掌握各性質是解題的關鍵：
（1）證得，即可得到；
（2）①根據角平分線定義得到，利用三角形外角性質得到；
②根據題意畫出圖形，根據平行線的性質得到，即可求出的度數．
【詳解】（1）證明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，平分，
∴，
∵，，
∴；
②如圖，當點N在的延長線上時，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
如圖，當點N在線段上時，
∵，，
∴．
∴的度數為或．
【變式1】上周末，小金研究的一道幾何題如下：
如圖，點G在上，已知，平分，平分，請說明的理由．
(1)小金的思路是：先根據“同角的補角相等”得到，再根據“角平分線的定義”，得到，然后根據“內錯角相等，兩直線平行”，得到．你認為小金的思路是 的（“正確”或“錯誤”）．
(2)請你用整合教材學到的“框圖”方式分析本題（不寫說明過程）．
已知條件 要說明的
平分 平分
【答案】(1)錯誤
(2)詳見解析
【分析】本題主要考查了平行線的判定，能正確判斷內錯角是解決本題的關鍵．
（1）根據與不是內錯角，故不能證明，即可得到答案；
（2）先根據同角的補角相等得到，由角平分線定義得到．，則，即可證明結論．
【詳解】（1）解：小金的思路不對，與不是內錯角，故不能證明；
故答案為：錯誤；
（2）∵，
∴，
∵平分，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴．
【變式2】已知直線與直線，分別交于點、兩點，和的角平分線交于點，且

(1)如圖1，求證：；
(2)如圖2，和的角平分線交于點，求的度數；
(3)如圖3，若，延長線段得射線，延長線段得，射線繞點以每秒的速度逆時針旋轉后停止，射線繞點以每秒的速度順時針旋轉后停止．設它們同時轉動秒，問？為多少時，射線
【答案】(1)見解析
(2)
(3)5或15
【分析】本題考查平行線的性質，熟練兩直線平行角之間的關系，根據射線的運動情況畫出符合題意的圖是解題的關鍵．
（1）由角平分線的定義，可知，，再由已知可求，根據同旁內角互補兩直線平行即可證明；
（2）設，由角平分線的定義可分別求，，則可求，，，再由三角形內角和可得；
（3）分兩種情況討論：時，，，則；時，，，則，分別求出即可．
【詳解】（1）證明：和的角平分線交于點，
，，
，
，
；
（2）解：設，
平分，
，
平分，
，
，
，
，
平分，
，
；
（3）解：如圖1，時，
，，
，，
，，
，
，
，
；
如圖2，時，
，，
，
，
，
；
綜上所述：當或15時，射線．
【變式3】如圖，在中，點為邊的中點．

(1)尺規作圖：在的右下方作射線，使得，且射線交于點，在邊上截取，使得，連接（只保留作圖痕跡）；
(2)在（1）問所作的圖形中，求證：．
證明：
∵點為邊的中點（已知），
∴（ ① ），
在與中
∵，
∴（ ② ），
∴ ③ ，
∴（ ④ ）．
【答案】(1)見解析
(2)線段中點的定義；；；同位角相等，兩直線平行
【分析】本題考查了作圖—作一個角等于已知角，作一條線段等于已知線段，三角形全等的判定與性質，平行線的判定，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．
（1）以為圓心，任意長度為半徑畫弧交于，交于，以為圓心，長為半徑畫弧交于，以為圓心，長為半徑畫弧交于點，作射線交于，以為圓心，長為半徑畫弧交于，連接；
（2）證明，得出，即可得證．
【詳解】（1）解：如圖，射線，點，線段即為所作，

（2）證明：∵點為邊的中點（已知），
∴（線段中點的定義），
在與中
∵，
∴，
∴，
∴（同位角相等，兩直線平行），
故答案為：線段中點的定義；；；同位角相等，兩直線平行．
考點8：平行線的判定——實際應用
典例8：（1）我們曾用移動三角尺的方法畫出了兩條平行線（如圖1），請說明依據的基本事實為：___________；

（2）基本事實可作為依據，用來證明新的結論．請根據以上基本事實證明平行線的判定方法：“同旁內角互補，兩直線平行”
已知：如圖2，∠1和∠2是直線被直線截出的同旁內角，且與互補，求證：．（推理過程請注明理由）
（3）平行線的判定在實際生活中有許多應用：如圖3，在鋪設鐵軌時，兩條鐵軌必須是互相平行的．將鐵軌和枕木看成直線（如圖4 所示，直線a、b為直軌，m、n為枕木），是直角，可以通過度量圖中已標出的哪個角的度數，來判斷兩條鐵軌是否平行？為什么？

【答案】（1）同位角相等，兩直線平行；（2）見解析；（3）可以通過度量圖中已標出或或的的度數，看它們是否等于，來判斷兩條鐵軌平行；見解析
【分析】
（1）依據同位角相等，兩直線平行作答；
（2）根據同角的補角相等可得，再根據同位角相等，兩直線平行作答即可；
（3）可以通過度量圖中已標出或或的的度數，看它們是否等于，來判斷兩條鐵軌平行；然后利用（1）的基本事實和（2）的結論證明即可．
【詳解】（1）用移動三角尺的方法畫出了兩條平行線，依據的基本事實為：同位角相等，兩直線平行；
故答案為：同位角相等，兩直線平行；
（2）證明：如圖2，∵與互補，即（補角的定義），
又∵（鄰補角的定義），
∴（同角的補角相等），
∴（同位角相等，兩直線平行）；
（3）可以通過度量圖中已標出或或的的度數，看它們是否等于，來判斷兩條鐵軌平行；
理由：∵是直角，
∴，
若，則，由（2）同旁內角互補，兩直線平行可知；
若，則，根據同位角相等，兩直線平行可知；
若，由于，則，根據同位角相等，兩直線平行可知．
【點睛】本題考查了平行線的判定和演繹推理，正確理解題意、熟知同位角相等、兩直線平行是解題的關鍵．
【變式1】生活現象
如圖1，桿秤是中國最古老也是現今人們仍然在使用的衡量工具，是利用杠桿原理來稱質量的簡易衡器，由木制的帶有秤星的秤桿、金屬秤砣、提繩等組成．

數學模型
如圖2，是桿秤的示意圖，，經測量發現，，請判斷OE與BD的位置關系，并說明理由．

【答案】，理由見解析
【分析】先根據平行線的性質求得，即,再根據內錯角相等、兩直線平行即可解答．
【詳解】解：，理由如下：
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
【點睛】本題主要考查了平行線的性質、平行線的判定等知識點，掌握兩直線平行、同旁內角互補；內錯角相等、兩直線平行是解答本題的關鍵．
【變式2】“光線”，即光，光直行，就一點視之，則放射如線，故云．
(1)光線從空氣射入水中會產生折射現象，同時光線從水中射入空氣中也會產生折射現象如圖1，光線AB從空氣射入水中，再從水中射入空氣中，形成光線CD，根據光學知識有，，請判斷直線AB與直線CD是否平行，并說明理由．

(2)結合光線、舞美等效果可以打造不一樣的視覺體驗，如圖2，直線E上有兩點A、C，分別引兩條射線、，，，射線、分別繞點A．點C以/秒和/秒的速度同時順時針轉動．設時間為t，在射線轉動一周的時間內，是否存在某時刻，使得與平行？若存在，求出所有滿足條件的時間t，若不存在，請說明理由．

【答案】(1)，理由見詳解
(2)存在，為秒或秒時與平行，理由見詳解
【分析】（1）如圖可得，，可證，即可得證；
（2）①、在的兩側時，可求，，由，即可求解；②、都在的右側時，可求， 由，即可求解；③、都在的左側時，可求，，由，即可求解．
【詳解】（1）解：，理由如下：
如圖，

由圖的：，
，
，
，
，
，
，
．
（2）解：存在，
①如圖，、在的兩側時，
，，
，
，
要使，則需滿足：
，
，
解得：，
，
，
故符合題意；
②如圖，、都在的右側時，
，，
，
，
要使，則需滿足：
，
，
解得：，
，
，
故符合題意；
③如圖，、都在的左側時，
，，
，
，
要使，則需滿足：
，
，
解得：，
而此時，
故此情況不存在；
綜上所述：為秒或秒時與平行．
【點睛】本題主要考查了平行線的判定與性質，一元一次方程的應用，掌握判定方法及性質是解題的關鍵．
【變式3】概率與統計在我們日常生活中應用非常廣泛，請同學們直接填出下列事件中所要求的結果：
(1)在一次抽獎活動中，中獎概率是，則不中獎的概率是__________；
(2)四張質地、大小相同的卡片上，分別畫上如圖1所示的四個圖形．在看不到圖形的情況下從中任意抽取一張，則抽取的卡片上的圖形具有穩定性的概率為__________；

(3)如圖2所示，點在的延長線上，給出五個條件：①；②；③；④；⑤．任意選一個條件，恰能判斷的概率是__________．

【答案】(1)0.88
(2)
(3)
【分析】（1）用1減去中獎概率即可得；
（2）四張圖中，只有三角形具有穩定性，即可得；
（3）①∵，∴；②∵，∴；③∵，∴；④∵，∴；⑤∵，∴；綜上，①③能判斷，即可得．
【詳解】（1）解：在一次抽獎活動中，中獎概率是，則不中獎的概率是：，
故答案為：；
（2）解：四張圖中，只有三角形具有穩定性，
則抽取的卡片上的圖形具有穩定性的概率為：，
故答案為：；
（3）解：①∵，∴；
②∵，∴；
③∵，∴；
④∵，∴；
⑤∵，∴；
綜上，①③能判斷，
∴任意選一個條件，恰能判斷的概率是：，
故答案為：．
【點睛】本題考查了概率，三角形的穩定性，平行線的判定，解題的關鍵是掌握這些知識點．
考點9：平行公理及推論
典例9：在同一平面內，若a，b，c，d為直線，則下列說法正確的是（ ）
A． ，， B． ，，
C． ，， D． ，，
【答案】D
【分析】本題考查平行線的判定，根據垂直于同一條直線的兩直線平行，平行于同一條直線的兩直線平行，進行判斷即可．
【詳解】解：A、 ，， ，不能得到，原選項錯誤；
B、 ，， ，原選項錯誤；
C、，，無法得到，原選項錯誤；
D、 ，， ，正確；
故選：D．
【變式1】直線a，b，c在同一平面內，下列說法：①若，，則；②若，，，則；③若，，則；④若a與b相交，b與c相交，則a與c相交其中正確的有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】本題考查兩直線的位置關系．根據平行線的定義：在同一平面內，不相交的兩條直線叫平行線，以及平行公理及推論進行判斷即可．
【詳解】解：①如果，，則，故①說法正確；
②如果，，，則，故②說法正確；
③如果，，則，故③說法正確；
④如果a與b相交，b與c相交，那么a與c不一定相交，故④說法錯誤，
∴正確的有3個，
故選：C．
【變式2】下列四種說法：①過一點有且只有一條直線與已知直線平行；②三條直線兩兩相交，總有三個交點；③若，，則；④在同一平面內，若直線，直線與相交，則與相交．其中，錯誤的是 ．(填序號)
【答案】①②③
【分析】本題考查了平行線的性質，平面內兩直線的位置關系；根據平行線的性質與判定，以及平面內兩直線的位置關系逐項分析判斷，即可求解．
【詳解】①在“一點”前缺少“直線外”的限制；故①錯誤
②三條直線也可以交于一點；故②錯誤
③若在同一平面內，，，則；若不在同一平面內，和有多種位置關系；故③錯誤
④在同一平面內，若直線，直線與相交，則與相交．正確．
故答案為：①②③．
【變式3】在同一平面內，若直線，，，，則直線，的位置關系是 ．
【答案】
【分析】根據垂直于同一直線的兩條直線互相平行，得到直線、與直線、的位置關系，即可得到結論．
【詳解】解：∵，，
∴；
∵，，
∴；
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查了平行線的判定方法，平行公理的應用．掌握垂直于同一條直線的兩條直線互相平行，平行于同一條直線的兩條直線互相平行是解決本題的關鍵．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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專題01 平行線的判定
考點類型
知識一遍過
（一）命題、定理、證明
（1）命題的概念：像這樣判斷一件事情的語句，叫做命題。
（2）命題的形式：“如果…那么…”。（如果+題設，那么+結論）
（3）真命題的概念：如果題設成立，那么結論一定成立，這樣的命題叫做真命題。
（4）假命題的概念：如果題設成立，不能保證結論一定成立，這樣的命題叫做假命題。
（5）定義、命題、公理和定理之間的關系：
這四者都是句子，都可以判斷真假，即定義、公理和定理也是命題，不同的是定義、公理和定理都是真命題，都可以作為進一步判斷其他命題真假的依據，而命題不一定是真命題，因而它不一定能作為進一步判斷其它命題真假的依據。
一個命題的正確性需經過推理，才能作出判斷，這個推理過程叫做證明。
證明的依據：可以是已知條件，也可以是學過的定義、基本事實或定理等。
（二）平行線公理及推論
（1）平行線的概念：在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線，平行用符號“∥”表示，
如：直線與直線互相平行，記作∥，讀作a平行于b。
（2）平行公理（唯一性）：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。
（3）平行公理的推論（傳遞性）：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行
幾何描述 ：∵∥，∥
　　　　 ∴∥
（三）平行線的判定
①判定方法1：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行
　　　　 簡稱：同位角相等，兩直線平行
②判定方法2：兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那么這兩條直線平行
　　　　 簡稱：內錯角相等，兩直線平行
③判定方法3：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行
　　　　 簡稱：同旁內角互補，兩直線平行
幾何符號語言：
①∵　∠3＝∠2
∴　AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）
②∵　∠1＝∠2
∴　AB∥CD（內錯角相等，兩直線平行）
③∵　∠4＋∠2＝180°
∴　AB∥CD（同旁內角互補，兩直線平行）
考點一遍過
考點1：判斷真假命題
典例1：下列命題中，真命題是（ ）
A．平行于同一條直線的兩條直線平行 B．兩直線平行，同旁內角相等
C．三角形的一個外角大于任何一個內 D．銳角三角形是等邊三角形
下列命題中是真命題的是（ ）．
A．兩個銳角的和是鈍角 B．若，則
C．對頂角相等 D．同位角相等
【變式2】命題“如果x，y互為相反數，那么”是 （填“真命題”或“假命題”）．
【變式3】命題“如果，那么”的逆命題是 命題．（選填“真”或“假”）
考點2：寫出命題的逆命題
典例2：給出下列3個命題：①同旁內角互補，兩直線平行；②若 ，則；③對頂角相等，它們的逆命題是真命題的個數是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【變式1】下列命題的逆命題成立的是（ ）
A．如果兩個角是直角，那么它們相等 B．同旁內角互補，兩直線平行
C．如果兩個實數相等，那么它們的平方相等 D．對頂角相等
【變式2】“對頂角相等”的逆命題是 （填“真”或者“假”）命題．
【變式3】命題“三個角都相等的三角形是等邊三角形”的逆命題是 （“如果……那么……”的形式表示）．
考點3：邏輯推理與論證
典例3：A，B，C，D，E五名學生猜測自己能否進入市中國象棋前三強．A說：“如果我進入，那么B也進入．”B說：“如果我進入，那么C也進入．”C說：“如果我進入，那么D也進入．”D說：“如果我進入，那么E也進入，”大家都沒有說錯，則進入前三強的三個人是（　　）
A．A，B，C B．B，C，D C．C，D，E D．D，E，A
【變式1】在一次1500米的跑步比賽中，有如下的判斷：甲說，“丙第一，我第三”；乙說，“我第一，丁第四”；丙說，“丁第二，我第三”．結果是每人的兩句話中都只說對了一句，則可判斷第一名是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【變式2】小志和小強進行了十次剪刀石頭布的對決，已知：①小志出了6次石頭，1次剪刀，3次布：②小強出了4次石頭，3次剪刀，3次布：③10次對決中沒有平局；④你不知道他們的出拳順序，則這十次對決中小志贏了 次．
【變式3】某天下課小樸、小實、小沉、小毅四名同學在討論2024年6月19日是星期幾，
小樸說：“6月18日是星期五．”
小實說：“6月20日是星期一”
小沉說：“你們兩個說得都不對．”
小毅說：“6月19日不是星期三”
李老師走過來說，你們四個人中只有一個人說對了．那么2024年6月19日是星期 ．
考點4：平行線的判定——同位角相等
典例4：如圖，已知，交于點D，平分，，求證：．

【變式1】如圖，已知，．說明的理由．
【變式2】如圖，直線與交于M，N兩點，，且平分，平分，求證：直線．
【變式3】已知：如圖，直線與被所截，，求證：．
考點5：平行線的判定——內錯角相等
典例5：如圖，點O在直線上，F是上一點，連接，平分，平分交于點D．
(1)試說明；
(2)若與互余，試說明．
【變式1】如圖，線段，相交于點，，，求證：．
【變式2】如圖，，平分，求證：．
【變式3】完成下面推理及填空：
已知：如圖，在中，于點，是上一點，且，求證：．
證明：（已知）
（已知）
（ ）
（______）
考點6：平行線的判定——同旁內角互補
典例6：如圖，直線被直線所截，與交于點C，平分，，，試說明：．
【變式1】如圖，，于點A，平分．
(1)證明；
(2)探究與的數量關系，并說明理由．
【變式2】如圖，在四邊形中，，平分，且，．與平行嗎？試寫出推理過程．
【變式3】完成下面的證明：
如圖，平分，平分，且．
求證：．
證明：∵平分（已知），
∴（ ）．
又∵平分（ ），
∴______（ ）．
（ ）．
又∵（已知），
（______）（ ）．
∴（ ）．
考點7：平行線的判定——綜合應用
典例7：【問題背景】
已知直線與直線分別交于兩點，點在直線上（點在點的右側），射線平分交直線于點，．
【問題探究】
(1)如圖1，求證：；
(2)如圖2，點是線段上一點，射線交直線于點，，．
①求的度數；
②點在射線上，連接，且滿足，請補全圖形，并求出的度數．
【變式1】上周末，小金研究的一道幾何題如下：
如圖，點G在上，已知，平分，平分，請說明的理由．
(1)小金的思路是：先根據“同角的補角相等”得到，再根據“角平分線的定義”，得到，然后根據“內錯角相等，兩直線平行”，得到．你認為小金的思路是 的（“正確”或“錯誤”）．
(2)請你用整合教材學到的“框圖”方式分析本題（不寫說明過程）．
已知條件 要說明的
平分 平分
【變式2】已知直線與直線，分別交于點、兩點，和的角平分線交于點，且

(1)如圖1，求證：；
(2)如圖2，和的角平分線交于點，求的度數；
(3)如圖3，若，延長線段得射線，延長線段得，射線繞點以每秒的速度逆時針旋轉后停止，射線繞點以每秒的速度順時針旋轉后停止．設它們同時轉動秒，問？為多少時，射線
【變式3】如圖，在中，點為邊的中點．

(1)尺規作圖：在的右下方作射線，使得，且射線交于點，在邊上截取，使得，連接（只保留作圖痕跡）；
(2)在（1）問所作的圖形中，求證：．
證明：
∵點為邊的中點（已知），
∴（ ① ），
在與中
∵，
∴（ ② ），
∴ ③ ，
∴（ ④ ）．
考點8：平行線的判定——實際應用
典例8：（1）我們曾用移動三角尺的方法畫出了兩條平行線（如圖1），請說明依據的基本事實為：___________；

（2）基本事實可作為依據，用來證明新的結論．請根據以上基本事實證明平行線的判定方法：“同旁內角互補，兩直線平行”
已知：如圖2，∠1和∠2是直線被直線截出的同旁內角，且與互補，求證：．（推理過程請注明理由）
（3）平行線的判定在實際生活中有許多應用：如圖3，在鋪設鐵軌時，兩條鐵軌必須是互相平行的．將鐵軌和枕木看成直線（如圖4 所示，直線a、b為直軌，m、n為枕木），是直角，可以通過度量圖中已標出的哪個角的度數，來判斷兩條鐵軌是否平行？為什么？

【變式1】生活現象
如圖1，桿秤是中國最古老也是現今人們仍然在使用的衡量工具，是利用杠桿原理來稱質量的簡易衡器，由木制的帶有秤星的秤桿、金屬秤砣、提繩等組成．

數學模型
如圖2，是桿秤的示意圖，，經測量發現，，請判斷OE與BD的位置關系，并說明理由．

【變式2】“光線”，即光，光直行，就一點視之，則放射如線，故云．
(1)光線從空氣射入水中會產生折射現象，同時光線從水中射入空氣中也會產生折射現象如圖1，光線AB從空氣射入水中，再從水中射入空氣中，形成光線CD，根據光學知識有，，請判斷直線AB與直線CD是否平行，并說明理由．

(2)結合光線、舞美等效果可以打造不一樣的視覺體驗，如圖2，直線E上有兩點A、C，分別引兩條射線、，，，射線、分別繞點A．點C以/秒和/秒的速度同時順時針轉動．設時間為t，在射線轉動一周的時間內，是否存在某時刻，使得與平行？若存在，求出所有滿足條件的時間t，若不存在，請說明理由．

【變式3】概率與統計在我們日常生活中應用非常廣泛，請同學們直接填出下列事件中所要求的結果：
(1)在一次抽獎活動中，中獎概率是，則不中獎的概率是__________；
(2)四張質地、大小相同的卡片上，分別畫上如圖1所示的四個圖形．在看不到圖形的情況下從中任意抽取一張，則抽取的卡片上的圖形具有穩定性的概率為__________；

(3)如圖2所示，點在的延長線上，給出五個條件：①；②；③；④；⑤．任意選一個條件，恰能判斷的概率是__________．

考點9：平行公理及推論
典例9：在同一平面內，若a，b，c，d為直線，則下列說法正確的是（ ）
A． ，， B． ，，
C． ，， D． ，，
【變式1】直線a，b，c在同一平面內，下列說法：①若，，則；②若，，，則；③若，，則；④若a與b相交，b與c相交，則a與c相交其中正確的有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【變式2】下列四種說法：①過一點有且只有一條直線與已知直線平行；②三條直線兩兩相交，總有三個交點；③若，，則；④在同一平面內，若直線，直線與相交，則與相交．其中，錯誤的是 ．(填序號)
【變式3】在同一平面內，若直線，，，，則直線，的位置關系是 ．
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