資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
專題02 平行線的性質(zhì)
考點(diǎn)類型
知識一遍過
（一）平行線的性質(zhì)
性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等；
性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；
性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).。
幾何符號語言：
∵AB∥CD
∴∠1＝∠2（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）
∵AB∥CD
∴∠3＝∠2（兩直線平行，同位角相等）
∵AB∥CD
∴∠4＋∠2＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）
考點(diǎn)一遍過
考點(diǎn)1：平行線的性質(zhì)——角的關(guān)系
典例1：下列各圖中，當(dāng)a∥b時(shí)，符合∠1＝∠2+∠3關(guān)系的是（　　）
A．
B． C． D。
【變式1】如圖,AB∥CD,BF平分∠ABE,且BF∥DE,則∠ABE與∠D的關(guān)系是（　　）

A．∠ABE=3∠D B．∠ABE+∠D=90°
C．∠ABE+3∠D=180° D．∠ABE=2∠D
【變式2】如圖，AB∥CD，EF⊥DB，垂足為點(diǎn)E，則∠1與∠2的關(guān)系是 ．
【變式3】如圖，ABEF，∠C=60°，∠A=α,∠E=β,∠D=γ,則α、β、γ的關(guān)系是 ．
考點(diǎn)2：平行線的性質(zhì)——求角
典例2：將一塊等腰直角三角板按如圖所示的方式放置在一塊矩形硬紙板上，若，則的度數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【變式1】如圖，，．若平分，，則的度數(shù)為（　　）
A． B． C． D．
【變式2】如圖，已知，點(diǎn)E是上方一點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別在直線上，連結(jié)平分交的反向延長線于點(diǎn)G，若，且，則度數(shù)為 ．
【變式3】如圖，平分，，則 時(shí)
考點(diǎn)3：平行線的性質(zhì)——實(shí)際應(yīng)用
典例3：根據(jù)物理學(xué)知識可知：平面鏡反射光線的規(guī)律是射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等．如圖，一束光線射到平面鏡a上，被a反射后的光線為，則入射光線，反射光線與平面鏡a所夾的角相等，即，若按如圖建立平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)入射光線和反射光線所在直線的解析式分別為，，則下列關(guān)于、的關(guān)系說法正確的是（ ）
A． B． C． D．
【變式1】光線在不同介質(zhì)中傳播時(shí)會發(fā)生折射，如圖，在水中發(fā)射的兩條平行光線，在空氣中發(fā)生折射．若水面和杯底是互相平行的，且，，則根據(jù)以下理由：
①兩直線平行，同位角相等；
②同位角相等，兩直線平行；
③兩直線平行，同旁內(nèi)角相等；
④同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．
能得到結(jié)論：
（Ⅰ）在空氣中兩條光線也是平行的；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）．
其中結(jié)論與理由都正確并且配對相符的是（　　）
A．Ⅰ-② B．Ⅱ-① C．Ⅲ-③ D．Ⅲ-④
【變式2】圖1是一盞可調(diào)節(jié)臺燈，圖2為示意圖．固定底座于點(diǎn)O，BA與CB是分別可繞點(diǎn)A和B旋轉(zhuǎn)的調(diào)節(jié)桿．在調(diào)節(jié)過程中，燈體CD始終保持平行于OE，臺燈最外側(cè)光線DM，DN組成的始終保持不變．如圖2，調(diào)節(jié)臺燈使光線，此時(shí)，且CD的延長線恰好是的角平分線，則 ．
【變式3】如圖，線段AB和CD表示兩面鏡子，且直線AB∥直線CD，光線EF經(jīng)過鏡子AB反射到鏡子CD，最后反射到光線GH．光線反射時(shí)，∠1=∠2，∠3=∠4，下列結(jié)論：
①直線EF平行于直線GH；
②∠FGH的角平分線所在的直線垂直于直線AB；
③∠BFE的角平分線所在的直線垂直于∠4的角平分線所在的直線；
④當(dāng)CD繞點(diǎn)G順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°時(shí)，直線EF與直線GH不一定平行．其中正確的是 ．
考點(diǎn)4：平行線的判定與性質(zhì)——證明
典例4：如圖，已知平分，點(diǎn)在線段上，于點(diǎn)，．
(1)求證：；
(2)求的度數(shù)．
【變式1】已知：如圖，四邊形中，為對角線，點(diǎn)E在邊上，點(diǎn)F在邊上，且．
(1)求證：；
(2)若平分，，求的度數(shù)．
【變式2】如圖，點(diǎn)在直線上，，． 求證：．
【變式3】完成下面推理過程，填寫下列空格．
已知：如圖，，，．求證：．
證明：∵，（已知），
∴，（垂直的定義），
∴（等量代換），
∴（ ），
∴ （兩直線平行，同位角相等）．
∵（已知），
∴（ ），
∴（ ），
∴（ ）．
考點(diǎn)5：平行線的判定與性質(zhì)——求角
典例5：如圖，直線∥直線，．
(1)補(bǔ)全對的說理過程；
∵（已知），
∴ （ ）．
∵（ ），
∴ （等量代換），
∴（ ）；
(2)若平分，且，求的度數(shù)．
【變式1】如圖1，點(diǎn)是的邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線平分，以點(diǎn)為端點(diǎn)作線段，連接．
(1)如圖1，平分，證明：：
(2)如圖2，平分，則與又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請做出判斷，并說明理由：
(3)如圖3，平分，請求出的度數(shù)．
【變式2】如圖1，點(diǎn)，在直線上，，．
(1)求證：；
(2)如圖2，的平分線交于點(diǎn)．若，求的度數(shù)．
【變式3】如圖，點(diǎn)B，C在線段的異側(cè)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段上的點(diǎn)，已知，．
(1)求證：；
(2)若，且，求的度數(shù)．
考點(diǎn)6：平行線的判定與性質(zhì)——規(guī)律
典例6：實(shí)驗(yàn)證明，平面鏡反射光線的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等．如圖1，一束光線m射到平面鏡a上，被a反射后的光線為n，則入射光線 m、反射光線n與平面鏡a所夾的銳角．
(1)利用這個規(guī)律人們制作了潛望鏡，圖2是潛望鏡工作原理示意圖，、是平行放置的兩面平面鏡．已知光線沿直線m進(jìn)入潛望鏡，最后沿直線n射出，求證：．
(2)顯然，改變兩面平面鏡、之間的位置關(guān)系，經(jīng)過兩次反射后，入射光線m與反射光線n之間的位置關(guān)系會隨之改變，如圖3，一束光線m射到平面鏡上，被反射到平面鏡上，又被反射．若被反射出的光線n和光線m平行， 且 則
(3)請你猜想：圖3中， 當(dāng)兩平面鏡 、的夾角 時(shí)，可以使任何入射光線m經(jīng)過平面鏡、的兩次反射后，與反射光線n平行，請說明理由．
【變式1】如圖1，是兩個互相平行的鏡面，根據(jù)鏡面反射規(guī)律：若一束光線照射到鏡面上，反射光線為， 則一定有．光線是由鏡反射得到．

(1)判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；
(2)如圖2， 鏡上有一光源 P， 發(fā)射的光線交反射光線于點(diǎn)Q， 若，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【變式2】(1)閱讀并回答：科學(xué)實(shí)驗(yàn)證明，平面鏡反射的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的角相等.如圖,一束平行光線AB與DE射向一個水平鏡面后被反射，此時(shí)∠1=∠2, ∠3=∠4.
①由條件可知：∠1與∠3的大小關(guān)系是_____,∠2與∠4的大小關(guān)系是________;
②反射光線BC與EF的位置關(guān)系是___________,理由是___________;
(2)解決問題：①如圖,一束光線m射到平面鏡a上，被a反射到平面鏡b上，又被b鏡反射，若b反射出的光線n平行于m,且∠1=35°,則∠2=_______,∠3=_______;
②在①中，若∠1=40°,則∠3=_______,
③由①②請你猜想：當(dāng)∠3=_______時(shí)，任何射到平面鏡a上的光線m經(jīng)過平面鏡a和b的兩次反射后，入射光線m與反射光線n總是平行的 請說明理由.
【變式3】科學(xué)實(shí)驗(yàn)證明，平面鏡反射光線的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線和反射出的光線與平面鏡所夾的角相等．
（1）如圖，一束光線m射到平面鏡a上，被a反射到平面鏡b上，又被b鏡反射出去，若b鏡反射出的光線n平行于m，且∠1＝30°，則∠2＝　 　，∠3＝　 　；
（2）在（1）中，若∠1＝70°，則∠3＝　 　；若∠1＝a，則∠3＝　 　；
（3）由（1）（2）請你猜想：當(dāng)∠3＝　 　時(shí)，任何射到平面鏡a上的光線m經(jīng)過平面鏡a和b的兩次反射后，入射光線m與反射光線n總是平行的？請說明理由．（提示：三角形的內(nèi)角和等于180°）
考點(diǎn)7：平行線的判定與性質(zhì)——轉(zhuǎn)角
典例7：在綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“一個含的直角三角尺和兩條平行線”為背景開展數(shù)學(xué)活動．已知兩直線，，且，直角三角尺中，，．
（1）【操作發(fā)現(xiàn)】
如圖（1），當(dāng)三角尺的頂點(diǎn)B在直線b上時(shí)，若，則____；
（2）【探索證明】
如圖（2），當(dāng)三角尺的頂點(diǎn)在直線上時(shí)，請寫出與間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）【拓展應(yīng)用】
如圖（3），把三角尺的頂點(diǎn)B放在直線b上且保持不動，旋轉(zhuǎn)三角尺，點(diǎn)A始終在直線（D為直線b上一點(diǎn)）的上方，若存在（），請直接寫出射線與直線a所夾銳角的度數(shù)．
【變式1】已知，點(diǎn)M，N分別為和上兩點(diǎn)，點(diǎn)E在直線和之間．
(1)點(diǎn)G為延長線上一點(diǎn)，平分平分．
①如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，試判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；
②當(dāng)點(diǎn)E不在線段上時(shí)，直線，交于點(diǎn)P．直接寫出與的數(shù)量關(guān)系為 ；
(2)如圖2，以每秒30°的速度繞E點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到，同時(shí)以每秒20°的速度繞N點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到，經(jīng)過多少秒，？（旋轉(zhuǎn)360°時(shí)，和同時(shí)停止）
【變式2】已知，，是，間的一點(diǎn)，
(1)如圖①，求證：；
(2)如圖②，請直接寫出，，之間的關(guān)系；
(3)如圖③，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)，點(diǎn)均在在直線上方，射線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，交直線于，試猜想，，，之間的關(guān)系，并利用（1），（2）的結(jié)論證明其中一種情形的結(jié)論．
【變式3】將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)C按如圖方式疊放在一起（其中，∠A＝60°，∠D＝30°；∠E＝∠B＝45°）：
(1)若∠DCE＝35°，求∠ACB的度數(shù)；
(2)猜想∠ACB與∠DCE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
(3)請你動手操作，現(xiàn)將三角尺ACD固定，三角尺BCE的CE邊與CA邊重合，繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)0°＜∠ACE＜180°且點(diǎn)E在直線AC的上方時(shí)，這兩塊三角尺是否存在一組邊互相平行？請直接寫出∠ACE角度所有可能的值（不必說明理由）．
考點(diǎn)8：平行線與三角板
典例8：將一副三角板拼成如圖所示的圖形，即，，，，與相交于點(diǎn)F．
(1)如圖1，如果，那么與平行嗎？試說明理由：
(2)如圖2，將繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)D落在邊上，連接并延長交于點(diǎn)M，連接，若，，，求的面積．
【變式1】【問題背景】
在數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動中，數(shù)學(xué)興趣小組的活動主題是《關(guān)于三角板的數(shù)學(xué)思考》，
【實(shí)踐操作】
(1)小明將一副三角板按如圖1所示的方式放置，使點(diǎn)E落在上，且，求的度數(shù)；
(2)如圖2，小紅將一個三角板放在一組直線與之間，并使頂點(diǎn)A在直線上，頂點(diǎn)C在直線上，現(xiàn)測得，，請判斷直線，是否平行，并說明理由；
(3)現(xiàn)將三角板按圖3方式擺放，使頂點(diǎn)C在直線上，頂點(diǎn)A在直線上，若，請求出與之間的關(guān)系式．
【變式2】一副直角三角板按如圖所示的方式擺放，其中，，，分別與交于點(diǎn)，且．
(1)求證：．
(2)求的度數(shù)．
【變式3】如圖，是學(xué)生用兩塊三角板拼成的圖形，其中，，三點(diǎn)在同一條直線上，，，三點(diǎn)在同一條直線上，，，，過點(diǎn)作平分交于點(diǎn)．
(1)求證：；
(2)求的度數(shù)．
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專題02 平行線的性質(zhì)
考點(diǎn)類型
知識一遍過
（一）平行線的性質(zhì)
性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等；
性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；
性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).。
幾何符號語言：
∵AB∥CD
∴∠1＝∠2（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）
∵AB∥CD
∴∠3＝∠2（兩直線平行，同位角相等）
∵AB∥CD
∴∠4＋∠2＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）
考點(diǎn)一遍過
考點(diǎn)1：平行線的性質(zhì)——角的關(guān)系
典例1：下列各圖中，當(dāng)a∥b時(shí)，符合∠1＝∠2+∠3關(guān)系的是（　　）
A．
B． C． D。
【答案】B
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，以及三角形的外角性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【詳解】解：A.如圖：

∵∠ACD是△ABC的一個外角，
∴∠ACD=∠1+∠3，
∵ab，
∴∠ACD=∠2，
∴∠2=∠1+∠3，故A不符合題意；
B.如圖：延長AD交BF于點(diǎn)C，

∵ab，
∴∠1=∠ACF，
∵∠ACF=∠3+∠2，
∴∠1=∠3+∠2，故B符合題意；
C.如圖：過點(diǎn)A作ABa，

∴∠2+∠CAB=180°，
∵ab，
∴ABb，
∴∠1+∠BAD=180°，
∴∠2+∠CAB+∠1+∠BAD=360°，
∴∠1+∠2+∠3=360°，故C不符合題意；
D.如圖：延長DA交直線b于點(diǎn)C，

∵ab，
∴∠2=∠DCB，
∵∠3=∠1+∠DCB，
∴∠3=∠1+∠2，故D不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
【變式1】如圖,AB∥CD,BF平分∠ABE,且BF∥DE,則∠ABE與∠D的關(guān)系是（　　）

A．∠ABE=3∠D B．∠ABE+∠D=90°
C．∠ABE+3∠D=180° D．∠ABE=2∠D
【答案】D
【分析】延長CD和BF交于點(diǎn)G，由AB∥CD可得∠CGB=∠ABG，再根據(jù)BF∥DE可得∠CGB=∠CDE，則∠CDE=∠ABG，再根據(jù)平分，得=2∠ABG，故可得到與∠CDE的關(guān)系.
【詳解】延長CD和BF交于點(diǎn)G，
∵AB∥CD
∴∠CGB=∠ABG，
∵BF∥DE
∴∠CGB=∠CDE，
∴∠CDE=∠ABG，
又∵平分，
∴=2∠ABG，
∴=2∠CDE，
故選D.

【點(diǎn)睛】此題主要考查平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線進(jìn)行解答.
【變式2】如圖，AB∥CD，EF⊥DB，垂足為點(diǎn)E，則∠1與∠2的關(guān)系是 ．
【答案】∠1+∠2＝90°或互余
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠2＝∠CDE，根據(jù)垂直的定義可得∠1+∠FDE＝90°，即可求解．
【詳解】解：∵AB∥CD，
∴∠2＝∠CDE．
∵EF⊥BD，
∴∠FED＝90°．
∴∠1+∠FDE＝90°．
∴∠1+∠2＝90°．
故答案為：∠1+∠2＝90°或互余．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式3】如圖，ABEF，∠C=60°，∠A=α,∠E=β,∠D=γ,則α、β、γ的關(guān)系是 ．
【答案】β+γ﹣α=60°
【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出∠ACG＝180°﹣α，∠EDH＝180°﹣β，再根據(jù)∠C＝60°，∠D＝γ，即可得出∠DCG＝60°﹣（180°﹣α），∠CDH＝γ﹣（180°﹣β），最后根據(jù)∠GCD＝∠CDH，即可得到60°﹣（180°﹣α）＝γ﹣（180°﹣β），化簡后即可得出β+γ﹣α＝60°．
【詳解】解：如圖所示，過C作CGAB，過D作DHEF，
則∠ACG＝180°﹣α，∠EDH＝180°﹣β，
∵∠C＝60°，∠D＝γ，
∴∠DCG＝60°﹣（180°﹣α），∠CDH＝γ﹣（180°﹣β），
∵ABEF，
∴CGDH，
∴∠GCD＝∠CDH，
∴60°﹣（180°﹣α）＝γ﹣（180°﹣β），
即β+γ﹣α＝60°，
故答案為：β+γ﹣α＝60°．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)2：平行線的性質(zhì)——求角
典例2：將一塊等腰直角三角板按如圖所示的方式放置在一塊矩形硬紙板上，若，則的度數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解問題的關(guān)鍵，正確地作出輔助線是解決問題的難點(diǎn)．
過點(diǎn)作，先證，進(jìn)而根據(jù)平行線的性質(zhì)得，進(jìn)而得，，由此可得的度數(shù)．
【詳解】解：過點(diǎn)作，如圖所示：
，
，
，
，
，
，
故選：B．
【變式1】如圖，，．若平分，，則的度數(shù)為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可知，再利用平行線的判定及性質(zhì)可知，最后利用角平分線的性質(zhì)即可解答．本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
故選．
【變式2】如圖，已知，點(diǎn)E是上方一點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別在直線上，連結(jié)平分交的反向延長線于點(diǎn)G，若，且，則度數(shù)為 ．
【答案】/度
【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造內(nèi)錯角，利用平行線的性質(zhì)以及角的和差關(guān)系進(jìn)行推算．設(shè)，，利用平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義即可得出結(jié)論．
【詳解】解：過點(diǎn)G作，設(shè)，，
，交于，平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，平分，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
故答案為：．
【變式3】如圖，平分，，則 時(shí)
【答案】
【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線．熟練掌握平行線的性質(zhì)，角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．由平行線的性質(zhì)，角平分線的定義可得，，，計(jì)算求解即可．
【詳解】解：∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故答案為：．
考點(diǎn)3：平行線的性質(zhì)——實(shí)際應(yīng)用
典例3：根據(jù)物理學(xué)知識可知：平面鏡反射光線的規(guī)律是射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等．如圖，一束光線射到平面鏡a上，被a反射后的光線為，則入射光線，反射光線與平面鏡a所夾的角相等，即，若按如圖建立平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)入射光線和反射光線所在直線的解析式分別為，，則下列關(guān)于、的關(guān)系說法正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與幾何綜合，全等三角形的性質(zhì)與判定，能綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵；
取直線在第二象限內(nèi)的一點(diǎn)，過點(diǎn)A作軸，交直線于C，分別過點(diǎn)A和點(diǎn)C作x軸的垂線，垂足分別為B、D，可證明，進(jìn)而推出，把代入中得，則，由，可得．
【詳解】解：如圖所示，取直線在第二象限內(nèi)的一點(diǎn)，過點(diǎn)A作軸交直線于C，分別過點(diǎn)A和點(diǎn)C作x軸的垂線，垂足分別為B、D，則，，
， ，
，
，
，
，，
，
把代入中得，
，
，
故選：D．
【變式1】光線在不同介質(zhì)中傳播時(shí)會發(fā)生折射，如圖，在水中發(fā)射的兩條平行光線，在空氣中發(fā)生折射．若水面和杯底是互相平行的，且，，則根據(jù)以下理由：
①兩直線平行，同位角相等；
②同位角相等，兩直線平行；
③兩直線平行，同旁內(nèi)角相等；
④同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．
能得到結(jié)論：
（Ⅰ）在空氣中兩條光線也是平行的；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）．
其中結(jié)論與理由都正確并且配對相符的是（　　）
A．Ⅰ-② B．Ⅱ-① C．Ⅲ-③ D．Ⅲ-④
【答案】A
【分析】本題主要考查平行線的判定與性質(zhì)，掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：，
空氣中的兩條直線平行，故選項(xiàng)A正確；
水平面與底面平行，，
（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）
故選項(xiàng)C、D錯誤；
根據(jù)光線在不同介質(zhì)中傳播時(shí)會發(fā)生折射，故，
故選項(xiàng)B錯誤．
故選：A．
【變式2】圖1是一盞可調(diào)節(jié)臺燈，圖2為示意圖．固定底座于點(diǎn)O，BA與CB是分別可繞點(diǎn)A和B旋轉(zhuǎn)的調(diào)節(jié)桿．在調(diào)節(jié)過程中，燈體CD始終保持平行于OE，臺燈最外側(cè)光線DM，DN組成的始終保持不變．如圖2，調(diào)節(jié)臺燈使光線，此時(shí)，且CD的延長線恰好是的角平分線，則 ．
【答案】80°/80度
【分析】此題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，過點(diǎn)A作，過點(diǎn)B作交于點(diǎn)H，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)，求出的度數(shù)，利用角平分線的性質(zhì)，即可得解.
【詳解】解：
過點(diǎn)A作，過點(diǎn)B作交于點(diǎn)H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵的延長線恰好是的角平分線，
∴；
故答案為：.
【變式3】如圖，線段AB和CD表示兩面鏡子，且直線AB∥直線CD，光線EF經(jīng)過鏡子AB反射到鏡子CD，最后反射到光線GH．光線反射時(shí)，∠1=∠2，∠3=∠4，下列結(jié)論：
①直線EF平行于直線GH；
②∠FGH的角平分線所在的直線垂直于直線AB；
③∠BFE的角平分線所在的直線垂直于∠4的角平分線所在的直線；
④當(dāng)CD繞點(diǎn)G順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°時(shí)，直線EF與直線GH不一定平行．其中正確的是 ．
【答案】①②③
【分析】由平行線的性質(zhì)和判定結(jié)合角平分線的定義推理計(jì)算角的和差關(guān)系，從而作出判斷．
【詳解】解：①如圖所示：
∵AB∥CD，
∴∠3=∠2，
又∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1=∠2=∠3=∠4，
又∵∠1+∠2+∠EFG=180°，
∠3+∠4+∠HGF=180°，
∴∠EFG=∠HGF，
∴EF∥HG，∴結(jié)論①正確；
②過點(diǎn)G作GK平分∠HGF，則∠5=∠6，
∵∠3+∠4+∠5+∠6=180°，∠3=∠4，
∴∠3+∠5=90°，
∴KG⊥CD，
又∵AB∥CD，
∴KG⊥AB，∴結(jié)論②正確；
③作FM、GN分別平分∠BFE和∠4，
則有，
∴
又∵∠1=∠2=∠3=∠4，
∴
即∠BFE的角平分線所在的直線垂直于∠4的角平分線所在的直線，故③正確；
④由圖可知，當(dāng)CD繞點(diǎn)G旋轉(zhuǎn)90°到KN位置時(shí)，
同理①，EF與GH平行，∴結(jié)論④錯誤；
故答案為：①②③．
【點(diǎn)睛】本題綜合考查了平行線的判定與性質(zhì)，平角的定義，角平分線的定義，垂直的定義等相關(guān)知識，重點(diǎn)掌握平行線的判定與性質(zhì)．
考點(diǎn)4：平行線的判定與性質(zhì)——證明
典例4：如圖，已知平分，點(diǎn)在線段上，于點(diǎn)，．
(1)求證：；
(2)求的度數(shù)．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，垂直定義，角的運(yùn)算，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）先證明，則，進(jìn)而得出，推出，即可求證；
（2）易得，則，利用平角的定義即可求解．
【詳解】（1）證明：∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，，，
∴，
∵，
∴．
【變式1】已知：如圖，四邊形中，為對角線，點(diǎn)E在邊上，點(diǎn)F在邊上，且．
(1)求證：；
(2)若平分，，求的度數(shù)．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)及判定定理，綜合運(yùn)用平行線的性質(zhì)和判定定理是解答此題的關(guān)鍵．
（1）由平行線的性質(zhì)易得，等量代換得，利用平行線的判定得出結(jié)論；
（2）由平行線的性質(zhì)易得，由角平分線的性質(zhì)可得，易得，利用三角形的內(nèi)角和定理得結(jié)論．
【詳解】（1）證明：
又
（2）解：，
，
平分
又
．
【變式2】如圖，點(diǎn)在直線上，，． 求證：．
【答案】見解析
【分析】此題考查了平行線的判定和性質(zhì)，利用同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行得到，則，利用角的關(guān)系和等式的性質(zhì)得到，則，即可證明結(jié)論成立．
【詳解】證明：已知，
（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行），
（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），
又已知，，，
（等式的性質(zhì)），
（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），
（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．
【變式3】完成下面推理過程，填寫下列空格．
已知：如圖，，，．求證：．
證明：∵，（已知），
∴，（垂直的定義），
∴（等量代換），
∴（ ），
∴ （兩直線平行，同位角相等）．
∵（已知），
∴（ ），
∴（ ），
∴（ ）．
【答案】同位角相等，兩直線平行；3；等量代換；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等
【分析】本題考查了平行線的判定及性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)平行線的判定及性質(zhì)即可求證結(jié)論．
【詳解】證明：∵(已知)，
∴，（垂直的定義），
∴（等量代換），
∴(同位角相等，兩直線平行)，
∴(兩直線平行，同位角相等)，
又∵(已知)，
∴(等量代換)
∴(內(nèi)錯角相等，兩直線平行)，
∴(兩直線平行，同位角相等)，
故答案為：同位角相等，兩直線平行；3；等量代換；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等．
考點(diǎn)5：平行線的判定與性質(zhì)——求角
典例5：如圖，直線∥直線，．
(1)補(bǔ)全對的說理過程；
∵（已知），
∴ （ ）．
∵（ ），
∴ （等量代換），
∴（ ）；
(2)若平分，且，求的度數(shù)．
【答案】(1)；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；已知；；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；
(2)
【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、角平分線的定義、對頂角相等，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．
（1）由平行線的性質(zhì)得出，結(jié)合題意得出，即可得證；
（2）由平行線的性質(zhì)結(jié)合題意得出，再由角平分線的定義得出，即可得出答案．
【詳解】（1）解： ∵（已知），
∴（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．
∵（已知），
∴（等量代換），
∴（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
【變式1】如圖1，點(diǎn)是的邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線平分，以點(diǎn)為端點(diǎn)作線段，連接．
(1)如圖1，平分，證明：：
(2)如圖2，平分，則與又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請做出判斷，并說明理由：
(3)如圖3，平分，請求出的度數(shù)．
【答案】(1)
(2)，證明見解析
(3)
【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)同位角相等，兩直線平行證明，即可求出與的數(shù)量關(guān)系；
（2）根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行證明，即可求出與的數(shù)量關(guān)系；
（3）先證明，結(jié)合是的平分線，求出，然后利用三角形外角的性質(zhì)可求出的度數(shù)．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∵是的平分線，是的平分線，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2），理由：
∵，
∴，
∵是的平分線，是的平分線，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）延長交于點(diǎn)G，
∵是的平分線，
∴，
∵，
∴，
∵是的平分線，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【變式2】如圖1，點(diǎn)，在直線上，，．
(1)求證：；
(2)如圖2，的平分線交于點(diǎn)．若，求的度數(shù)．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）由，，可知，得證；
（2）由，可求得，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知，最后由，即可得到．
【詳解】（1）證明：，
（2）解：，
平分
【變式3】如圖，點(diǎn)B，C在線段的異側(cè)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段上的點(diǎn)，已知，．
(1)求證：；
(2)若，且，求的度數(shù)．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題主要考查了平行線的判定、平行線的性質(zhì)，靈活運(yùn)用平行線的判定定理和性質(zhì)定理是解答本題的關(guān)鍵．
（1）由已知條件結(jié)合對頂角相等可得，然后根據(jù)內(nèi)錯角相等、兩直線平行即可證明結(jié)論；
（2）先證明，再結(jié)合可得，進(jìn)而證得，由平行線的性質(zhì)可得，即，再結(jié)合求解即可解答．
【詳解】（1）證明：∵，，，
∴，
∴．
（2）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴①，
又∵②，
∴①②聯(lián)立可得，
∴．
考點(diǎn)6：平行線的判定與性質(zhì)——規(guī)律
典例6：實(shí)驗(yàn)證明，平面鏡反射光線的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等．如圖1，一束光線m射到平面鏡a上，被a反射后的光線為n，則入射光線 m、反射光線n與平面鏡a所夾的銳角．
(1)利用這個規(guī)律人們制作了潛望鏡，圖2是潛望鏡工作原理示意圖，、是平行放置的兩面平面鏡．已知光線沿直線m進(jìn)入潛望鏡，最后沿直線n射出，求證：．
(2)顯然，改變兩面平面鏡、之間的位置關(guān)系，經(jīng)過兩次反射后，入射光線m與反射光線n之間的位置關(guān)系會隨之改變，如圖3，一束光線m射到平面鏡上，被反射到平面鏡上，又被反射．若被反射出的光線n和光線m平行， 且 則
(3)請你猜想：圖3中， 當(dāng)兩平面鏡 、的夾角 時(shí)，可以使任何入射光線m經(jīng)過平面鏡、的兩次反射后，與反射光線n平行，請說明理由．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)，理由見解析
【分析】本題考查平行線的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是對性質(zhì)定理和判定定理的熟練掌握和靈活運(yùn)用．
（1）先由得出，再根據(jù)已知得出，從而得出；
（2）先由，求出，再根據(jù)，得出；
（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，根據(jù)平角定義求出，由，，得出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出結(jié)論．
【詳解】（1）證明：∵（已知），
（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），
，（已知），
（等量代換），
，
即：，
∴（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．
（2）解：，
，
，
，
，
故答案為：96；
（3）解：
理由：∵，
，
，
，，
，
．
【變式1】如圖1，是兩個互相平行的鏡面，根據(jù)鏡面反射規(guī)律：若一束光線照射到鏡面上，反射光線為， 則一定有．光線是由鏡反射得到．

(1)判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；
(2)如圖2， 鏡上有一光源 P， 發(fā)射的光線交反射光線于點(diǎn)Q， 若，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【答案】(1)， 證明見解析
(2)， 證明見解析
【分析】本題考查了平行線性質(zhì)與判定的實(shí)際應(yīng)用，讀懂題意找出圖中的相等的角是解決此題的關(guān)鍵．
（1）求出，根據(jù)，推出，根據(jù)平行線的判定推出即可．
（2）由平行線的性質(zhì)得，結(jié)合可求出．
【詳解】（1），
證明∶ ∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2），
證明∶ ∵，
∴，
∵，
∴．
【變式2】(1)閱讀并回答：科學(xué)實(shí)驗(yàn)證明，平面鏡反射的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的角相等.如圖,一束平行光線AB與DE射向一個水平鏡面后被反射，此時(shí)∠1=∠2, ∠3=∠4.
①由條件可知：∠1與∠3的大小關(guān)系是_____,∠2與∠4的大小關(guān)系是________;
②反射光線BC與EF的位置關(guān)系是___________,理由是___________;
(2)解決問題：①如圖,一束光線m射到平面鏡a上，被a反射到平面鏡b上，又被b鏡反射，若b反射出的光線n平行于m,且∠1=35°,則∠2=_______,∠3=_______;
②在①中，若∠1=40°,則∠3=_______,
③由①②請你猜想：當(dāng)∠3=_______時(shí)，任何射到平面鏡a上的光線m經(jīng)過平面鏡a和b的兩次反射后，入射光線m與反射光線n總是平行的 請說明理由.
【答案】(1)①相等；相等②平行，理由是同位角相等，兩直線平行；（2）①∠2=70°70°，∠3=90°；②∠3=90°；③猜想：當(dāng)∠3=90°時(shí)，m總平行于n，理由見解析.
【分析】（1）根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)逐一求解可得；
（2）①根據(jù)入射角等于反射角得出∠1=∠4，∠5=∠7，求出∠6，根據(jù)平行線性質(zhì)即可求出∠2，求出∠5，根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠3即可；
②與①同理；
③求出∠4+∠5，求出∠1+∠4+∠5+∠7，即可求出∠2+∠6，根據(jù)平行線的判定推出即可．
【詳解】解：（1）①由條件可知：∠1與∠3的大小關(guān)系是相等，理由是兩直線平行，同位角相等；∠2與∠4的大小關(guān)系是相等；
②反射光線BC與EF的位置關(guān)系是平行，理由是同位角相等，兩直線平行；
故答案為①相等、兩直線平行，同位角相等、相等；②平行、同位角相等，兩直線平行．
（2）①如圖，
∵∠1=35°，
∴∠4=∠1=35°，
∴∠6=180°-35°-35°=110°，
∵m∥n，
∴∠2+∠6=180°，
∴∠2=70°，
∴∠5=∠7=55°，
∴∠3=180°-55°-35°=90°；
②在①中，若∠1=40°，則∠4=∠1=40°，
∴∠6=180°-40°-40°=100°，
∵m∥n，
∴∠2+∠6=180°，
∴∠2=80°，
∴∠5=∠7=50°，
∴∠3=180°-50°-40°=90°
③猜想：當(dāng)∠3=90°時(shí)，m總平行于n，
理由：∵三角形的內(nèi)角和為180°，又∠3=90°，
∴∠4+∠5=90°
∵∠4=∠1、∠5=∠7，
∴∠1+∠7=90°，
∴∠1+∠4+∠5+∠7=90°+90°=180°，
∵∠1+∠4+∠6+∠5+∠2+∠7=180°+180°=360°，
∴∠6+∠2=180°
∴m∥n（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，而直線平行）
故答案為①70°、90°；②90°；③90°．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，注意：入射角等于反射角．
【變式3】科學(xué)實(shí)驗(yàn)證明，平面鏡反射光線的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線和反射出的光線與平面鏡所夾的角相等．
（1）如圖，一束光線m射到平面鏡a上，被a反射到平面鏡b上，又被b鏡反射出去，若b鏡反射出的光線n平行于m，且∠1＝30°，則∠2＝　 　，∠3＝　 　；
（2）在（1）中，若∠1＝70°，則∠3＝　 　；若∠1＝a，則∠3＝　 　；
（3）由（1）（2）請你猜想：當(dāng)∠3＝　 　時(shí)，任何射到平面鏡a上的光線m經(jīng)過平面鏡a和b的兩次反射后，入射光線m與反射光線n總是平行的？請說明理由．（提示：三角形的內(nèi)角和等于180°）
【答案】(1)60°；90°；（2）90°；90°；（3）90°.
【詳解】試題分析：根據(jù)入射角與反射角相等，可得
（1）根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義可得，根據(jù)m∥n，所以 根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°，即可求出答案；
（2）結(jié)合題（1）可得∠3的度數(shù)都是90°；
（3）證明m∥n，由∠3=90°，證得∠6與∠7互補(bǔ)即可．
試題解析：
(1)
∵入射角與反射角相等，即∠1=∠4，∠5=∠2，
根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義可得
根據(jù)m∥n,所以
所以
根據(jù)三角形內(nèi)角和為 所以
故答案為
(2)
由(1)可得∠3的度數(shù)都是
(3)
理由：因?yàn)?br/>所以
又由題意知∠1=∠4，∠5=∠2，
所以
由同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行,可知：m∥n.
考點(diǎn)7：平行線的判定與性質(zhì)——轉(zhuǎn)角
典例7：在綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“一個含的直角三角尺和兩條平行線”為背景開展數(shù)學(xué)活動．已知兩直線，，且，直角三角尺中，，．
（1）【操作發(fā)現(xiàn)】
如圖（1），當(dāng)三角尺的頂點(diǎn)B在直線b上時(shí)，若，則____；
（2）【探索證明】
如圖（2），當(dāng)三角尺的頂點(diǎn)在直線上時(shí)，請寫出與間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）【拓展應(yīng)用】
如圖（3），把三角尺的頂點(diǎn)B放在直線b上且保持不動，旋轉(zhuǎn)三角尺，點(diǎn)A始終在直線（D為直線b上一點(diǎn)）的上方，若存在（），請直接寫出射線與直線a所夾銳角的度數(shù)．
【答案】（1）34；（2），理由見解析；（3）或．
【分析】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，準(zhǔn)確識圖，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
（1）過點(diǎn)作，先證，從而得，，則，再根據(jù)，可求出的度數(shù)；
（2）先求出，由（1）可知，再由平角的定義得，據(jù)此可得與間的數(shù)量關(guān)系；
（3）依題意可分為以下兩種情況：①當(dāng)在直線的上方時(shí)，先求出，設(shè)，則，由平角的定義得，即由此求出，進(jìn)而得，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可求出的度數(shù)；②當(dāng)在直線的下方時(shí)，同理得，設(shè)，則，進(jìn)而得，由平角的定義得，即，由此解出，進(jìn)而得，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可求出的度數(shù)；綜上所述可得射線與直線所夾銳角的度數(shù)．
【詳解】（1）解：過點(diǎn)作，如圖1所示：
直線，
∴，
，，
，
，
，，
，
故答案為：34．
（2）解：與間的數(shù)量關(guān)系是：，理由如下：
如圖2所示：
，，
，
由（1）可知：，
，
，
，
，
即，
（3）解：依題意有以下兩種情況：
①當(dāng)在直線的上方時(shí)，如圖3所示：
，，
，
設(shè)，
則，
點(diǎn)在直線上且保持不動，
，
，
解得：，
，
直線，
，
，
②當(dāng)在直線的下方時(shí)，如圖4所示：
同理得：，
設(shè)，
則，
，
點(diǎn)在直線上且保持不動，
，
，
解得：，
，
直線，
，
，
綜上所述：射線與直線所夾銳角的度數(shù)為或．
【變式1】已知，點(diǎn)M，N分別為和上兩點(diǎn)，點(diǎn)E在直線和之間．
(1)點(diǎn)G為延長線上一點(diǎn)，平分平分．
①如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，試判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；
②當(dāng)點(diǎn)E不在線段上時(shí)，直線，交于點(diǎn)P．直接寫出與的數(shù)量關(guān)系為 ；
(2)如圖2，以每秒30°的速度繞E點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到，同時(shí)以每秒20°的速度繞N點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到，經(jīng)過多少秒，？（旋轉(zhuǎn)360°時(shí)，和同時(shí)停止）
【答案】(1)①，理由見詳解；②
(2)；；
【分析】
本題考查了角平分線的定義、平行線的性質(zhì)與判定，平行線探究角的關(guān)系，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義、即可作答．
（2）先由角平分線的定義得，結(jié)合平行線的性質(zhì)，得，結(jié)合三角形的外角性質(zhì)，得，再進(jìn)行角的等量代換，即可作答．
（3）先表示，，再分別作圖，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合平行線的性質(zhì)，列式計(jì)算，即可作答．
【詳解】（1）解：①，理由如下：
如圖：
∵
∴
∵平分平分
∴
∴
∴；
②如圖：過點(diǎn)作直線
∵平分平分
∴
∵，
∴
∴
即
∵
∴
則
∴
則
（2）解：過點(diǎn)E作
∵
∴
∵
∴
如圖：設(shè)時(shí)間為，則，
當(dāng)時(shí)，如圖
∴
即
解得；
如圖：∵，
∴
解得
如圖：∵，
∴
解得
如圖：∵，
∴
解得，故舍去
綜上：；；
【變式2】已知，，是，間的一點(diǎn)，
(1)如圖①，求證：；
(2)如圖②，請直接寫出，，之間的關(guān)系；
(3)如圖③，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)，點(diǎn)均在在直線上方，射線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，交直線于，試猜想，，，之間的關(guān)系，并利用（1），（2）的結(jié)論證明其中一種情形的結(jié)論．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)或或，證明見解析
【分析】（1）過點(diǎn)E作．易證，即得出，，從而即可證明；
（2）過點(diǎn)E作．易證，即得出，，從而可求出，進(jìn)而即可證明；
（3）分類討論：①如圖a，當(dāng)點(diǎn)R位于點(diǎn)O左側(cè)時(shí)，；②如圖b，當(dāng)點(diǎn)R位于點(diǎn)O和點(diǎn)Q中間時(shí)，；③如圖c，當(dāng)點(diǎn)R位于點(diǎn)Q右側(cè)時(shí)，．過點(diǎn)E分別作出的平行線，根據(jù)（1）和（2）的結(jié)論結(jié)合平行線的性質(zhì)證明即可．
【詳解】（1）證明：如圖，過點(diǎn)E作．
∵，
∴，
∴，．
∵，
∴；
（2）解：如圖，過點(diǎn)E作．
∵，
∴，
∴，，
∴．
∵，
∴；
（3）解：分類討論：①如圖a，當(dāng)點(diǎn)R位于點(diǎn)O左側(cè)時(shí)，．
證明：如圖a，過點(diǎn)作，則，
由（1）知；
②如圖b，當(dāng)點(diǎn)R位于點(diǎn)O和點(diǎn)Q中間時(shí)，．
證明：如圖b，過點(diǎn)作，則，
由（1）知．
∵，
∴，
∴，
∴；
③如圖c，當(dāng)點(diǎn)R位于點(diǎn)Q右側(cè)時(shí)，．
證明：如圖c，過點(diǎn)作，則，
由（2）知．
∵，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)．正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．
【變式3】將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)C按如圖方式疊放在一起（其中，∠A＝60°，∠D＝30°；∠E＝∠B＝45°）：
(1)若∠DCE＝35°，求∠ACB的度數(shù)；
(2)猜想∠ACB與∠DCE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
(3)請你動手操作，現(xiàn)將三角尺ACD固定，三角尺BCE的CE邊與CA邊重合，繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)0°＜∠ACE＜180°且點(diǎn)E在直線AC的上方時(shí)，這兩塊三角尺是否存在一組邊互相平行？請直接寫出∠ACE角度所有可能的值（不必說明理由）．
【答案】(1)∠ACB＝145°
(2)∠ACB＋∠DCE＝180°；理由見解析
(3)存在；∠ACE＝30°，45°，120°，135°，165°
【分析】（1）先根據(jù)直角三角板的性質(zhì)求出∠DCB的度數(shù)，進(jìn)而可得出∠ACB的度數(shù)；
（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論可提出猜想，再由∠ACB＝∠ACD＋∠DCB，∠ACB＋∠DCE＝90°＋∠DCB＋∠DCE可得出結(jié)論；
（3）分∠ACE＝30°，45°，120°，135°及165°，畫出圖形進(jìn)行解答即可．
【詳解】（1）解：∵∠ECB＝90°，∠DCE＝35°，
∴∠DCB＝90° 35°＝55°，
∴∠ACB＝∠ACD＋∠DCB＝90°＋55°＝145°．
（2）解：∠ACB＋∠DCE＝180°；理由如下：
∵∠ACB＝∠ACD＋∠DCB＝90°＋∠DCB，
∴∠ACB＋∠DCE＝90°＋∠DCB＋∠DCE＝90°＋90°＝180°．
（3）存在；
①當(dāng)∠ACE＝30°時(shí)，，理由如下，如圖1所示：
∵∠ACE＝∠DCB＝30°，∠D＝30°，
∴∠DCB＝∠D，
∴；
②當(dāng)∠ACE＝45°時(shí)，，理由如下，如圖2所示：
∵∠ACE＝∠DCB＝45°，∠E＝45°，
∴∠ACE＝∠E，
∴；
③當(dāng)∠ACE＝120°時(shí)，，理由如下，如圖3所示：
∵∠ACE＝120°，∠A＝60°，
∴∠ACE+∠A=120°+60°=180°，
∴；
④當(dāng)∠ACE＝135°時(shí)，，理由如下，如圖4所示：
∵∠ACE＝135°，
∴∠DCE＝135° 90°＝45°，
∵∠E＝45°，
∴∠DCE＝∠E，
∴；
⑤當(dāng)∠ACE＝165°時(shí)，，理由如下：
延長AC交BE于F，如圖5所示：
∵∠ACE＝165°，
∴∠ECF＝15°，
∵∠E＝45°，
∴∠CFB＝∠ECF＋∠E＝60°，
∵∠A＝60°，
∴∠A＝∠CFB，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角板中的角度計(jì)算、三角形外角的性質(zhì)、平行線的判定等知識，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)8：平行線與三角板
典例8：將一副三角板拼成如圖所示的圖形，即，，，，與相交于點(diǎn)F．
(1)如圖1，如果，那么與平行嗎？試說明理由：
(2)如圖2，將繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)D落在邊上，連接并延長交于點(diǎn)M，連接，若，，，求的面積．
【答案】(1)，理由見解析.
(2)
【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、對頂角相等、角的和差等知識點(diǎn)，較難的是題（2），利用到平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
（1）先根據(jù)角的和差求出，再根據(jù)角的和差求出，然后根據(jù)平行線的判定即可得證；
（2）過點(diǎn)M作于點(diǎn)N，先根據(jù)平行線的判定得出，從而可得，再根據(jù)的面積等于的面積減去的面積即可．
【詳解】（1）解：，理由如下：
，（已知）
（等式性質(zhì)）
（已知）
（等式性質(zhì)）
（已知）
（等量代換）
（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）
（2）如圖，過點(diǎn)M作于點(diǎn)N
（已知）
（對頂角相等）
（已知）
（等量代換）
（同位角相等，兩直線平行）
（已知）
（平行線之間的距離定義）
則
即的面積為0.9．
【變式1】【問題背景】
在數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動中，數(shù)學(xué)興趣小組的活動主題是《關(guān)于三角板的數(shù)學(xué)思考》，
【實(shí)踐操作】
(1)小明將一副三角板按如圖1所示的方式放置，使點(diǎn)E落在上，且，求的度數(shù)；
(2)如圖2，小紅將一個三角板放在一組直線與之間，并使頂點(diǎn)A在直線上，頂點(diǎn)C在直線上，現(xiàn)測得，，請判斷直線，是否平行，并說明理由；
(3)現(xiàn)將三角板按圖3方式擺放，使頂點(diǎn)C在直線上，頂點(diǎn)A在直線上，若，請求出與之間的關(guān)系式．
【答案】(1)
(2)，理由見解析
(3)，理由見解析
【分析】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟記平行線的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)及角的和差求解即可；
（2）過點(diǎn)B作，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角的和差求出，即可判定，根據(jù)平行公理推論即可推出；
（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)及角的和差求解即可．
【詳解】（1）解∶ ，
，
，
，
，
；
（2）解∶ ，理由如下：
如圖2，過點(diǎn)B作，
則，
，
，
，
，
又，
；
（3）解∶ ，理由如下：
，
，
，，
，
．
【變式2】一副直角三角板按如圖所示的方式擺放，其中，，，分別與交于點(diǎn)，且．
(1)求證：．
(2)求的度數(shù)．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、對頂角相等，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．
（1）由對頂角相等得出，結(jié)合即可得證；
（2）過點(diǎn)作，且點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)．由平行線的性質(zhì)得出，再結(jié)合計(jì)算即可得出答案．
【詳解】（1）證明：，
，
，
；
（2）解：如圖，過點(diǎn)作，且點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)．
，，
，
，
，
，
．
【變式3】如圖，是學(xué)生用兩塊三角板拼成的圖形，其中，，三點(diǎn)在同一條直線上，，，三點(diǎn)在同一條直線上，，，，過點(diǎn)作平分交于點(diǎn)．
(1)求證：；
(2)求的度數(shù)．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題主要考查了角平分線的定義，平行線的判定，外角與內(nèi)角的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識．
（1）由和角平分線的定義可得，根據(jù)同位角相等，兩直線平行即可求解；
（2）先求出，再根據(jù)外角與內(nèi)角的關(guān)系即可求解．
【詳解】（1）證明： ，是的平分線，
，
，
；
（2） ，，
，
由（1）知，
．
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