資源簡介

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專題03 三角形的內角和定理
考點類型
知識一遍過
（一）三角形的內角和
①三角形的內角和等180°；
②推論：直角三角形的兩銳角互余．
（二）三角形內外角角平分線模型
如圖①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，則∠α=∠BAC-∠CAE=（180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=（∠C-∠B）；
如圖②，BO、CO分別是∠ABC、∠ACB的平分線，則有∠O=∠A+90°；
如圖③，BO、CO分別為∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分線，則∠O=∠A，∠O’=∠O；
如圖④，BO、CO分別為∠CBD、∠BCE的平分線，則∠O=90°-∠A．
考點一遍過
考點1：三角形的內角和——證明
典例1：如圖，直線DE經過點A，．
填空：
∵，
∴______（______），______（______），
∵直線過點A
∴，∴____________．
于是，我們證明了結論：______．
【變式1】在學習完七年級下冊第五章《相交線與平行線》后，同學們對平行線產生了濃厚的興趣，張老師圍繞平行線這一節在班級內開展了一個課題學習活動：探究平行線的“等角轉化”功能．
(1)觀察發現：在小學我們曾剪下三角形的兩個內角，將它們與第三個內角拼在一起，發現三個內角恰好拼成了一個平角．
問題1：請同學們嘗試用說理的方式證明該結論正確．
聰明的小明同學給出如下解答，請補全證明過程．
證明： 如圖1所示，，，是的三個內角， 過點A作
∵（已知）
∴（理由： ① ）
∵（理由： ② ），
∴（理由： ③ ）
(2)拓展探究：聽完小明的說理過程后，善于思考的小亮同學提出：小明作輔助線的方法，就是借助平行線把三角形的三個內角轉化成一個平角，這就啟發我們構造平行線能起到轉移角的作用．
對于問題1，小亮還有其他證明方法：如圖2所示，已知 是的三個內角， 延長到E， 過點B作．請你按照小亮同學的解答思路證明 ．
(3)由（1）和（2），你能得出什么結論？
【變式2】在證明“三角形的內角和是180°”的結論時，有如下兩種實驗方法．
小明受實驗方法1的啟發，形成了證明該結論的思路，寫出了已知、求證，并進行了證明，如下：
請你參考小明的思路，寫出實驗方法2的證明過程．
【變式3】在小學，我們曾經通過動手操作，利用拼圖的方法研究了三角形三個內角的數量關系．如圖，把三角形分成三部分，然后以某一頂點（如點B）為集中點，把三個角拼在一起，觀察發現恰好構成了平角，從而得到了“三角形三個內角的和是”的結論．但是，通過本學期的學習我們知道：由觀察、實驗、歸納、類比、猜想得到的結論還需要通過證明來確認它的正確性．

考點2：三角形的內角和——平行線
典例2：如圖，，分別是，上的點，，是上的點，連接，，，如果，．
(1)判斷與的位置關系，并說明理由；
(2)若是的平分線，，求的度數．
【變式1】已知：如圖所示， ， 交于點C， 垂足為E， 求 的大?。?br/>【變式2】【問題背景】觀察小豬的主題，從中可以抽象出如圖1所示的圖形，

【問題探究】（1）如圖1，，為、之間一點，連接、．可以得到與、之間有怎樣的數量關系，并說明理由．
【靈活應用】（2）如圖2，直線，若，，求的度數．
【變式3】我們發現平行線具有“等角轉化”的功能，通過添加平行線可將不同位置的角“湊”在一起，得出角之間的關系．根據平行線的“等角轉化”功能，解答下列問題：
(1)閱讀理解：如圖1，，，相交于點，請說明．閱讀并補充下面推理過程．

解：過點作
∴______
∵
∴____________
∴______
∴
即．
(2)方法掌握：如圖2，已知，，交于點．請寫出，，之間的數量關系，并證明你的結論；
(3)拓展運用：如圖3，已知，點在直線上，平分，平分．若，求度數．（用含的式子表示）

考點3：三角形的內角和——角平分線
典例3：在中，，D，E分別是邊和延長線上的點，連接，，．
(1)如圖①，若，，求的度數；
(2)如圖②，已知，判斷是否平分，并說明理由．
【變式1】如圖，在中，，，的平分線交于點 F，過點D作于點E．
(1)求的度數
(2)求的度數．
【變式2】如圖，在中，，平分，E為邊（不與點A，D重合）上一動點，于點F．
(1)若，，求的度數．
(2)求證：．
【變式3】【概念認識】
如圖①，在中，若，則，叫做的“三分線”其中，是“鄰三分線”，“鄰三分線”．
【問題解決】
(1)如圖①，，，是的“三分線”，則_____°；
(2)如圖②，在中，，，若的“鄰三分線”交于點，則_____°；
(3)如圖③，在中，、分別是鄰“三分線”和鄰“三分線”，且，求的度數．
考點4：三角形內角和——折疊問題
典例4：如圖，在中，將沿直線折疊，使點C與點B重合，連接．
(1)若的周長為26，，求的長．
(2)若，，求的度數．
【變式1】如圖，等邊三角形紙片中，點在邊（不包含端點，）上運動，連接，將對折，點落在直線上的點處，得到折痕；將對折，點落在直線上的點處，得到折痕．

(1)若，求的度數；
(2)試問：的大小是否會隨著點的運動而變化？若不變，求出的度數；若變化，請說明理由．
【變式2】如圖，把沿EF折疊，使點A落在點D處．

(1)若，則的度數為______°；
(2)若，試判斷與的數量關系，并說明理由．
【變式3】如圖①，把紙片沿折疊，使點A落在四邊形內部點的位置，通過計算我們知道：．請你繼續探索：

(1)如果把紙片沿折疊，使點A落在四邊形的外部點的位置，如圖②，此時與之間存在什么樣的關系？為什么？請說明理由．
(2)如果把四邊形沿時折疊，使點A、D落在四邊形BCFE的內部、的位置，如圖③，你能求出、、與之間的關系嗎？（直接寫出關系式即可）
考點5：三角形內角和——實際應用
典例5：如圖，處在處的南偏西方向，處在處的南偏東方向，在處的北偏東方向，求的度數．
【變式1】奇思利用一根長的竿子來測量電線桿的高度．他的方法如下：如圖，在電線桿前選一點，使，并測得，然后把豎直的竿子在的延長線上左右移動，使，此時測得．已知，，請計算出電線桿的高度．
【變式2】如圖所示是地球截面圖，其中，分別表示南回歸線和北回歸線，表示赤道，點P表示某市的位置．現已知地球南回歸線的緯度是南緯，某市的緯度是北緯，而冬至正午時，太陽光直射南回歸線(光線的延長線經過地心O)，求某市冬至正午時，太陽光線與地面水平線的夾角α的度數
【變式3】在如圖所示的螳螂示意圖中，，，，求的度數．
考點6：三角形內角和——判定直角
典例6：命題：直角三角形的兩銳角互余．

(1)將此命題寫成“如果…，那么…”：______；
(2)請判斷此命題的真假．若為假命題，請說明理由；若為真命題，請根據所給圖形寫出已知、求證和證明過程．
【變式1】如圖，已知是線段的延長線上一點，，．
求證：是直角三角形．

【變式2】定義：如果三角形的兩個內角α與β滿足α＋2β＝100°，那么我們稱這樣的三角形為“奇妙三角形”．
(1)如圖1，中，∠ACB＝80°，BD平分∠ABC．求證：為“奇妙三角形”；
(2)若為“奇妙三角形”，且∠C＝80°．求證：是直角三角形；
(3)如圖2，中，BD平分∠ABC，若為“奇妙三角形”，且∠A＝40°，直接寫出∠C的度數．
【變式3】如圖，點E在的中線的延長線上，且．
(1)求證：；
(2)若，，求的取值范圍；
(3)若，求證：是直角三角形．
考點7：三角形內角和——互余倒角
典例7：已知：如圖，在四邊形中，點在上，與互余，且，試猜想與的位置關系，并說明理由．
【變式1】如圖，垂足為M， ，垂足為N， ．
(1)求證：；
(2)直接寫出圖中和互余的角．
【變式2】如圖，是的角平分線，，垂足為F，與交于點D．

(1)如圖1，若，，求的度數；
(2)如圖2，點G在線段上，滿足，求證：與互余．
【變式3】已知：如圖，直線直線GH，在中，，頂點A在上，頂點B在上，且平分，若，求的度數．
∵，（已知）
∴（直角三角形兩銳角互余）
∵直線直線GH（已知）
∴____________．（______）
∵BA平分（已知）
∴______．（______）
又∵直線直線GH（已知）
∴______．（______）
考點8：三角形內角和——角的關系
典例8：在中，已知，，現把沿進行不同的折疊得，對折疊后產生的夾角進行探究：
(1)如圖（1）把沿折疊在四邊形內，則求的和；
(2)如圖（2）把沿折疊覆蓋，則求的和；
(3)如圖（3）把沿斜向上折疊，探求、、的關系．
【變式1】如圖1，中，，D是延長線上一動點，連接，平分交于點 E，過點E作，垂足為點H．直線與直線相交于點F．設
(1)求證：；
(2)①若，則______，______；
②試探究α與β的關系，并說明理由；
(3)若將“D是延長線上一動點”改為“D是延長線上一動點”，其它條件不變，如圖2，請直接寫出α與β的關系．
【變式2】如圖，在四邊形中，分別平分和，與相交于點，且，延長交于點．

(1)求的度數；
(2)若，，試探究，之間的等量關系，直接寫出結果．
【變式3】如圖（1），由三角形的內角和或外角和可知：在圖（2）中，直接利用上述的結論探究：
(1)若、分別平分，，且，求的度數
(2)、分別平分，，猜想，，之間的等量關系，并說明理由．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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專題03 三角形的內角和定理
考點類型
知識一遍過
（一）三角形的內角和
①三角形的內角和等180°；
②推論：直角三角形的兩銳角互余．
（二）三角形內外角角平分線模型
如圖①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，則∠α=∠BAC-∠CAE=（180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=（∠C-∠B）；
如圖②，BO、CO分別是∠ABC、∠ACB的平分線，則有∠O=∠A+90°；
如圖③，BO、CO分別為∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分線，則∠O=∠A，∠O’=∠O；
如圖④，BO、CO分別為∠CBD、∠BCE的平分線，則∠O=90°-∠A．
考點一遍過
考點1：三角形的內角和——證明
典例1：如圖，直線DE經過點A，．
填空：
∵，
∴______（______），______（______），
∵直線過點A
∴，∴____________．
于是，我們證明了結論：______．
【答案】，兩直線平行，內錯角相等，，兩直線平行，內錯角相等，，，三角形的內角和等于；
【分析】本題考查的是三角形的內角和定理的證明，平行線的性質，根據題干信息逐步完善推理過程與推理依據即可；
【詳解】解：，
∴（兩直線平行，內錯角相等），（兩直線平行，內錯角相等），
∵直線過點A
∴，
∴ ．
于是，我們證明了結論：三角形的內角和等于．
【變式1】在學習完七年級下冊第五章《相交線與平行線》后，同學們對平行線產生了濃厚的興趣，張老師圍繞平行線這一節在班級內開展了一個課題學習活動：探究平行線的“等角轉化”功能．
(1)觀察發現：在小學我們曾剪下三角形的兩個內角，將它們與第三個內角拼在一起，發現三個內角恰好拼成了一個平角．
問題1：請同學們嘗試用說理的方式證明該結論正確．
聰明的小明同學給出如下解答，請補全證明過程．
證明： 如圖1所示，，，是的三個內角， 過點A作
∵（已知）
∴（理由： ① ）
∵（理由： ② ），
∴（理由： ③ ）
(2)拓展探究：聽完小明的說理過程后，善于思考的小亮同學提出：小明作輔助線的方法，就是借助平行線把三角形的三個內角轉化成一個平角，這就啟發我們構造平行線能起到轉移角的作用．
對于問題1，小亮還有其他證明方法：如圖2所示，已知 是的三個內角， 延長到E， 過點B作．請你按照小亮同學的解答思路證明 ．
(3)由（1）和（2），你能得出什么結論？
【答案】(1)①兩直線平行，內錯角相等；②平角的定義；③等量代換
(2)見解析
(3)三角形內角和為
【分析】本題主要考查了平行線的性質，解題的關鍵是熟練掌握平行線的性質，兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補．
（1）根據平行線的性質進行解答即可；
（2）根據平行線的性質，進行證明即可；
（3）由（1）（2）中的結論，即可得出結論．
【詳解】（1）證明：如圖1所示，，，是的三個內角，過點A作．
∵（已知）
，（理由：兩直線平行，內錯角相等）
（平角的定義），
（理由：等量代換）．
（2）證明：∵，
∴，，
∵，
∴．
（3）解：由（1）（2）中的結論可知，三角形內角和為．
【變式2】在證明“三角形的內角和是180°”的結論時，有如下兩種實驗方法．
小明受實驗方法1的啟發，形成了證明該結論的思路，寫出了已知、求證，并進行了證明，如下：
請你參考小明的思路，寫出實驗方法2的證明過程．
【答案】見解析
【分析】本題考查了平行線的性質，三角形內角和定理， 過點A作，則，根據，等量代換即可得．解題的關鍵是掌握這些知識點．
【詳解】解：如圖所示，過點A作，

∴，
∵，
∴．
【變式3】在小學，我們曾經通過動手操作，利用拼圖的方法研究了三角形三個內角的數量關系．如圖，把三角形分成三部分，然后以某一頂點（如點B）為集中點，把三個角拼在一起，觀察發現恰好構成了平角，從而得到了“三角形三個內角的和是”的結論．但是，通過本學期的學習我們知道：由觀察、實驗、歸納、類比、猜想得到的結論還需要通過證明來確認它的正確性．

【答案】證明見解析
【分析】根據要求畫出，寫出已知，求證．構造平行線，利用平行線的性質解決問題即可．
【詳解】解：已知：．
求證：．
證明：如圖，延長到F，過點B作．

∵，
∴，，
∵，
∴，
即．
【點睛】本題考查三角形內角和定理的證明，平行線的性質，平角的定義等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造平行線解決問題．
考點2：三角形的內角和——平行線
典例2：如圖，，分別是，上的點，，是上的點，連接，，，如果，．
(1)判斷與的位置關系，并說明理由；
(2)若是的平分線，，求的度數．
【答案】(1)，理由見解析
(2)
【分析】本題考查了平行線的判定與性質，角平分線的相關計算，三角形內角和問題，解決本題的關鍵是掌握平行線的判定與性質．
（1）根據同旁內角互補兩直線平行，即可判斷與的位置關系；
（2）結合（1）根據角平分線定義可得，再根據平行線的性質和三角形內角和定理即可求出的度數．
【詳解】（1）解：，理由如下：
，
，
，
，
；
（2），，
，
是的平分線，
，
，
，
，
，
．
【變式1】已知：如圖所示， ， 交于點C， 垂足為E， 求 的大?。?br/>【答案】
【分析】本題考查了平行線的性質、對頂角、垂直定義、三角形內角和定理等知識點，根據平行線的性質得出，求出，即可求出，根據垂直求出，即可求出答案．
【詳解】∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【變式2】【問題背景】觀察小豬的主題，從中可以抽象出如圖1所示的圖形，

【問題探究】（1）如圖1，，為、之間一點，連接、．可以得到與、之間有怎樣的數量關系，并說明理由．
【靈活應用】（2）如圖2，直線，若，，求的度數．
【答案】（1），見解析；（2）
【分析】本題主要考查平行線的性質，解答的關鍵是熟記平行線的性質并靈活運用．
（1）過點E作，從而可得，結合平行線的性質即可求解；
（2）由三角形的內角和可求得，由對頂角相等得 ，再結合（1）的結論進行求解即可．
【詳解】解：（1），
理由如下：點作，如圖1，
，
，
，，
，
；
（2），，
，
，
由（1）可得．
【變式3】我們發現平行線具有“等角轉化”的功能，通過添加平行線可將不同位置的角“湊”在一起，得出角之間的關系．根據平行線的“等角轉化”功能，解答下列問題：
(1)閱讀理解：如圖1，，，相交于點，請說明．閱讀并補充下面推理過程．

解：過點作
∴______
∵
∴____________
∴______
∴
即．
(2)方法掌握：如圖2，已知，，交于點．請寫出，，之間的數量關系，并證明你的結論；
(3)拓展運用：如圖3，已知，點在直線上，平分，平分．若，求度數．（用含的式子表示）

【答案】(1)，，
(2)
(3)
【分析】（1）如圖所述，過點作，根據兩直線平行，內錯角相等即可求解；
（2）如圖所示，過點作，根據兩直線平行，同旁內角互補；兩直線平行，內錯角相等的知識即可求解；
（3）根據三角形的內角和定理，角平分線的性質即可求解．
【詳解】（1）解：如圖所述，過點作，

∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
故答案為：，，．
（2）解：如圖所示，過點作，

∴，則，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即．
（3）解：在中，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
在中，，
∴，即．
【點睛】本題主要考查平行線的判定和性質，及角的和差關系，三角形的內角和定理的綜合，掌握平行性的判定方法，平行性的性質，三角形內角和定理的運用是解題的關鍵．
考點3：三角形的內角和——角平分線
典例3：在中，，D，E分別是邊和延長線上的點，連接，，．
(1)如圖①，若，，求的度數；
(2)如圖②，已知，判斷是否平分，并說明理由．
【答案】(1)
(2)平分，理由見解析
【分析】本題考查了三角形內角和的應用以及外角的性質，解題關鍵：能利用這些知識點和性質推出角與角之間的等量關系．
（1）根據題意可知，由外角性質可推出：，將兩角的度數代入即可求出；
（2）利用可推出，因為，所以，即可證出平分；
【詳解】（1）解：，，
，
，
；
（2）解：是平分的，
理由如下：
，且，，
，
，
，
平分．
【變式1】如圖，在中，，，的平分線交于點 F，過點D作于點E．
(1)求的度數
(2)求的度數．
【答案】(1)
(2)
【分析】此題考查了與角平分線有關的三角形內角和問題，
（1）首先根據三角形內角和定理求出，然后利用角平分線的概念求解即可；
（2）首先根據三角形內角和定理得到，然后利用對頂角相等得到，最后利用三角形內角和定理求解即可．
【詳解】（1）解：∵，，
∴
∵平分
∴；
（2）解：∵，
∴
∴
∵
∴
∴．
【變式2】如圖，在中，，平分，E為邊（不與點A，D重合）上一動點，于點F．
(1)若，，求的度數．
(2)求證：．
【答案】(1)
(2)見解析
【分析】（1）先求出的度數和的度數，進而求出的度數，再根據三角形的內角和定理求出的度數；
（2）由（1）知，從而，再利用等量代換可證明出結論．
本題考查三角形內角和定理及其推論，熟練運用三角形內角和定理及其推論是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：，
．
，
．
，
．
平分，
．
；
（2）證明：由（1），可知，
．
．
【變式3】【概念認識】
如圖①，在中，若，則，叫做的“三分線”其中，是“鄰三分線”，“鄰三分線”．
【問題解決】
(1)如圖①，，，是的“三分線”，則_____°；
(2)如圖②，在中，，，若的“鄰三分線”交于點，則_____°；
(3)如圖③，在中，、分別是鄰“三分線”和鄰“三分線”，且，求的度數．
【答案】(1)40
(2)90
(3)
【分析】本題考查的是三角形內角和定理，角的相關計算，正確理解“鄰三分線”、“鄰三分線”的定義是解題的關鍵．
（1）根據三等分線的定義即可得到答案；
（2）根據三等分線的定義求出，在利用三角形內角和定理求出，進一步即可求出．
（3）根據三角形內角和定理得到，根據“鄰三分線”的定義計算出，再根據三角形內角和定理即可求出．
【詳解】（1）解：∵，是的“三分線”且，
∴，
∴，
故答案為：40．
（2）根據題意如圖，
∵是的“鄰三分線”，
∴，
在中，，，
∴，
在中，
，
故答案為：90．
（3）∵，
∴
在中，，
則，
∵分別是鄰三分線和鄰三分線，
∴，
∴．
考點4：三角形內角和——折疊問題
典例4：如圖，在中，將沿直線折疊，使點C與點B重合，連接．
(1)若的周長為26，，求的長．
(2)若，，求的度數．
【答案】(1)16
(2)
【分析】本題主要考查折疊的性質和三角形內角和定理，
根據折疊的性質得，結合線段之間得關系即可求得；
根據三角形內角和定理求得，由折疊的性質得，利用角度和差關系即可求得答案．
【詳解】（1）解：由折疊可知，．
∵的周長為26，
∴．
∵，
∴，
即的長為16．
（2）∵，，，
∴．
由折疊可知，．
∵，
∴．
【變式1】如圖，等邊三角形紙片中，點在邊（不包含端點，）上運動，連接，將對折，點落在直線上的點處，得到折痕；將對折，點落在直線上的點處，得到折痕．

(1)若，求的度數；
(2)試問：的大小是否會隨著點的運動而變化？若不變，求出的度數；若變化，請說明理由．
【答案】(1)
(2)不變，
【分析】本題主要考查了三角形的折疊問題，解題的關鍵是熟練掌握折疊的性質，數形結合．
（1）根據折疊得出，，根據，求出，即可求出結果；
（2）根據，，得出，即可得出結論．
【詳解】（1）解：∵將對折，得到折痕，
∴，
∵將對折，得到折痕，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：不變．理由如下：
∵，，，
∴，
即．
∴的大小不隨點的運動而變化．
【變式2】如圖，把沿EF折疊，使點A落在點D處．

(1)若，則的度數為______°；
(2)若，試判斷與的數量關系，并說明理由．
【答案】(1)100
(2).理由見解析
【分析】（1）運用折疊的性質及四邊形的內角和定理即可解決問題；
（2）由折疊得，再根據平行線的性質得到，等量代換即可得到結論．
【詳解】（1）∵,
∴.
∵是由翻折得到,
∴.
∴.
∵,
∴，
故答案為：.
（2）.理由如下:
∵是由翻折得到，
∴.
∵,
∴.
∴.
【點睛】本題考查折疊的性質，三角形的內角和定理，平行線的性質，掌握三角形的內角和定理是解題的關鍵．
【變式3】如圖①，把紙片沿折疊，使點A落在四邊形內部點的位置，通過計算我們知道：．請你繼續探索：

(1)如果把紙片沿折疊，使點A落在四邊形的外部點的位置，如圖②，此時與之間存在什么樣的關系？為什么？請說明理由．
(2)如果把四邊形沿時折疊，使點A、D落在四邊形BCFE的內部、的位置，如圖③，你能求出、、與之間的關系嗎？（直接寫出關系式即可）
【答案】(1)，理由見解析
(2)
【分析】（1）連接，由外角的性質得到，作差即可得到答案；
（2）由圖形折疊的性質可知 ，兩式相加變形后即可得到答案．
【詳解】（1）解：連接，

∵，，
∴；
（2）解：由圖形折疊的性質可知 ，

兩式相加得，，
即，
∴，
即：．
【點睛】此題考查了三角形外角的性質、折疊的性質等知識，熟練掌握角之間的關系是解題的關鍵．
考點5：三角形內角和——實際應用
典例5：如圖，處在處的南偏西方向，處在處的南偏東方向，在處的北偏東方向，求的度數．
【答案】
【分析】本題主要考查了方向角的定義，平行線的性質以及三角形的內角和定理，正確理解定義是解題的關鍵．
根據方向角的定義，可得，然后根據平行線的性質與三角形內角和定理即可求解．
【詳解】解：如圖，根據方向角的定義，可得，
∴．
∵是正南正北方向，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴．
【變式1】奇思利用一根長的竿子來測量電線桿的高度．他的方法如下：如圖，在電線桿前選一點，使，并測得，然后把豎直的竿子在的延長線上左右移動，使，此時測得．已知，，請計算出電線桿的高度．
【答案】
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形內角和定理，根據題意得，根據，得，利用可證明，得，根據，得，即可得；掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．
【詳解】解：∵，，
∴．
∵，，
∴．
在和中，
∴．
∴．
∵，，
∴，
即．
答：電線桿的高度是．
【變式2】如圖所示是地球截面圖，其中，分別表示南回歸線和北回歸線，表示赤道，點P表示某市的位置．現已知地球南回歸線的緯度是南緯，某市的緯度是北緯，而冬至正午時，太陽光直射南回歸線(光線的延長線經過地心O)，求某市冬至正午時，太陽光線與地面水平線的夾角α的度數
【答案】
【分析】本題考查了三角形內角和定理，平行線的性質，讀懂題意并熟練掌握知識點是解題的關鍵．
設與交于點K，先由三角形內角和定理求出，再根據平行線的性質求解即可．
【詳解】如圖，設與交于點K，

∵，，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴．
【變式3】在如圖所示的螳螂示意圖中，，，，求的度數．
【答案】
【分析】本題主要考查了平行線的性質、三角形內角和定理，熟練掌握相關性質是解題的關鍵．延長交于，交于點，根據平行線的性質得，利用鄰補角的定義求出，然后根據三角形內角和定理求解即可．
【詳解】解：延長交于點，交于點，
，
，
，
，
，
，
．
考點6：三角形內角和——判定直角
典例6：命題：直角三角形的兩銳角互余．

(1)將此命題寫成“如果…，那么…”：______；
(2)請判斷此命題的真假．若為假命題，請說明理由；若為真命題，請根據所給圖形寫出已知、求證和證明過程．
【答案】(1)如果一個三角形是直角三角形，那么它的兩個銳角互余
(2)該命題是真命題，詳見解析
【分析】本題考查的是直角三角形的性質，逆命題的概念：
（1）根據逆命題的概念寫出原命題的逆命題；
（2）根據三角形內角和定理計算，即可證明．
【詳解】（1）解：如果一個三角形是直角三角形，那么它的兩個銳角互余；
故答案為：如果一個三角形是直角三角形，那么它的兩個銳角互余
（2）解：該命題是真命題
已知：如圖，在中，
求證：
證明：
．
【變式1】如圖，已知是線段的延長線上一點，，．
求證：是直角三角形．

【答案】見解析
【分析】利用對頂角相等，得出，由已知條件得出，再利用三角形內角和求出，進而得到，即可在證明是直角三角形．
【詳解】證明：，，
，
，，
，
，
，
，
，
是直角三角形．
【點睛】本題主要考查了對頂角，三角形內角和定理，直角三角形的判定，解題關鍵是掌握三角形內角和等于．
【變式2】定義：如果三角形的兩個內角α與β滿足α＋2β＝100°，那么我們稱這樣的三角形為“奇妙三角形”．
(1)如圖1，中，∠ACB＝80°，BD平分∠ABC．求證：為“奇妙三角形”；
(2)若為“奇妙三角形”，且∠C＝80°．求證：是直角三角形；
(3)如圖2，中，BD平分∠ABC，若為“奇妙三角形”，且∠A＝40°，直接寫出∠C的度數．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)80°或100°
【分析】（1）根據角平分線的定義，可得∠ABC＝2∠ABD，由∠ACB＝80°，根據三角形內角和定理可得∠A＋∠ABC＝100°．進而可得∠A＋2∠ABD＝100°，結合新定義即可得證；
（2）根據新定義可得只能∠C＋2∠B＝100°（∠C＋2∠A＝100°），則得出∠B＝10°（∠A＝10°），進而得出∠C＋∠B＝90°（∠C＋∠A＝90°），從而得證；
（3）方法同（2）分2種情形條件即可求解．
【詳解】（1）（1）證明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABD．
∵∠ACB＝80°，
∴∠A＋∠ABC＝100°．
∴∠A＋2∠ABD＝100°．
∴為“奇妙三角形”．
（2）證明：∵∠C＝80°，
∴∠A＋∠B＝100°，
∵為“奇妙三角形”，
∴只能∠C＋2∠B＝100°（∠C＋2∠A＝100°）．
∴∠B＝10°（∠A＝10°）．
∴∠C＋∠B＝90°（∠C＋∠A＝90°），
∴是直角三角形．
（3）∵∠A＝40°，
∴∠C＋∠ABC＝140°，
BD平分∠ABC，
為“奇妙三角形”，則只有以下兩種情形，
①若
②若
綜上所述，∠C的度數為：80°或100°．
【點睛】本題考查了新定義三角形，三角形內角和定理的應用，三角形角平分線的意義，掌握三角形內角和定理是解題的關鍵．
【變式3】如圖，點E在的中線的延長線上，且．
(1)求證：；
(2)若，，求的取值范圍；
(3)若，求證：是直角三角形．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)見解析
【分析】（1）根據全等三角形的判定與性質即可證明；
（2）結合（1）根據三角形三邊關系即可得的取值范圍；
（3）根據已知線段關系得到，利用等邊對等角推出，，再利用三角形內角和求出即可．
【詳解】（1）解：證明：是的中線，
，
在和中，
，
，
；
（2），，
，
即．
，
的取值范圍是．
（3）∵，，，
∴，
∴，，
又，
∴，
即是直角三角形．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質、三角形三邊關系，解決本題的關鍵是掌握全等三角形的判定與性質、三角形三邊關系．
考點7：三角形內角和——互余倒角
典例7：已知：如圖，在四邊形中，點在上，與互余，且，試猜想與的位置關系，并說明理由．
【答案】，理由見解析
【分析】本題考查了垂線的定義，余角的定義，三角形內角和定理，根據，推出，進而得到，由，得到，從而得到，推出．
【詳解】解：，理由見如下：
，
，
，
，
，
，
．
【變式1】如圖，垂足為M， ，垂足為N， ．
(1)求證：；
(2)直接寫出圖中和互余的角．
【答案】(1)見解析
(2)、
【分析】本題考查了平行線判定與性質，垂直的定義，余角的定義等，解題的關鍵是：
（1）先證明，得出，等量代換得出，然后利用平行線的判定即可得證；
（2）根據垂直定義、三角形內角和定理可得出，根據平行線的性質、等量代換可得出，然后根據余角定義即可求解．
【詳解】（1）證明∶∵， ，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴和互余的角有、．
【變式2】如圖，是的角平分線，，垂足為F，與交于點D．

(1)如圖1，若，，求的度數；
(2)如圖2，點G在線段上，滿足，求證：與互余．
【答案】(1)
(2)見解析
【分析】（1）由三角形的內角和可得，再由角平分線的定義可得，由垂直可得，從而可求，即可求的度數；
（2）由同位角相等，兩直線平行得，則有，由垂直可得，從而可求得，即可求解．
【詳解】（1）解：，，
，
平分，
，
，
，
，
；
（2）證明：，
，
，
，
，
，
，
即：與互余．
【點睛】本題主要考查三角形的內角和定理，平行線的性質，余角的概念，解答的關鍵是結合圖形分析清楚各角之間的關系．
【變式3】已知：如圖，直線直線GH，在中，，頂點A在上，頂點B在上，且平分，若，求的度數．
∵，（已知）
∴（直角三角形兩銳角互余）
∵直線直線GH（已知）
∴____________．（______）
∵BA平分（已知）
∴______．（______）
又∵直線直線GH（已知）
∴______．（______）
【答案】；兩直線平行，同位角相等；；角平分線的定義；；兩直線平行，內錯角相等
【分析】根據三角形內角和定理得出，根據兩直線平行，內錯角相等，兩直線平行，同位角相等以及角平分線的定義進行求解即可．
【詳解】解：∵，（已知）
∴（直角三角形兩銳角互余）
∵直線直線GH（已知）
∴．（兩直線平行，同位角相等）
∵BA平分（已知）
∴．（角平分線的定義）
又∵直線直線GH（已知）
∴．（兩直線平行，內錯角相等），
故答案為：；兩直線平行，同位角相等；；角平分線的定義；；兩直線平行，內錯角相等．
【點睛】本題考查了三角形內角和定義、角平分線的定義以及平行線的性質，熟知兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補；兩直線平行，同位角相等是解本題的關鍵．
考點8：三角形內角和——角的關系
典例8：在中，已知，，現把沿進行不同的折疊得，對折疊后產生的夾角進行探究：
(1)如圖（1）把沿折疊在四邊形內，則求的和；
(2)如圖（2）把沿折疊覆蓋，則求的和；
(3)如圖（3）把沿斜向上折疊，探求、、的關系．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題考查折疊性質，三角形內角和定理，解答此題時要充分利用折疊部分折疊前后形成的圖形為全等形的性質，并且解答該題時要充分利用三角形的性質．
（1）根據折疊前后的圖象全等可知，，，再根據三角形內角和定理比可求出答案；
（2）連接，將作為一個整體，根據三角形內角和定理來求；
（3）將看作，看作，再根據三角形內角和定理求解，即可解題．
【詳解】（1）解：由折疊性質可知：，，
，
；
（2）解：連接，
由折疊性質可知：，
，
；
（3）解：
，
所以：．
【變式1】如圖1，中，，D是延長線上一動點，連接，平分交于點 E，過點E作，垂足為點H．直線與直線相交于點F．設
(1)求證：；
(2)①若，則______，______；
②試探究α與β的關系，并說明理由；
(3)若將“D是延長線上一動點”改為“D是延長線上一動點”，其它條件不變，如圖2，請直接寫出α與β的關系．
【答案】(1)見解析
(2)①；；②，理由見解析
(3)
【分析】（1）根據等角得余角相等得出答案；
（2）①先根據三角形內角和定理求出，再求出，根據三角形內角和定理得出答案；②先求出 ，同理得，且，即可得出答案；
（3）先根據題意作出圖形，結合三角形外角的性質和直角三角形的性質可得，進而得出，然后代入整理得出答案．
【詳解】（1）解：，
∴，
∴；
（2）①∵，平分，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案為：，；
②．
理由如下：由（1）得．
同理，且，
∴，
∴；
（3）∵，
∴．
∵，
∴，
即，
∴．
∵，
∴，
∴，
即，
∴．
【點睛】本題主要考查了角平分線的定義，三角形內角和定理，直角三角形的兩個銳角互余，三角形外角的性質等，作出圖形是解題的關鍵．
【變式2】如圖，在四邊形中，分別平分和，與相交于點，且，延長交于點．

(1)求的度數；
(2)若，，試探究，之間的等量關系，直接寫出結果．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由對頂角定義、三角形內角和定理得到，再由角平分線定義及三角形內角和定理，數形結合求解即可得到答案；
（2）由外角性質得到，，再由角平分線定義及三角形內角和定理，數形結合求解即可得到答案．
【詳解】（1）解： ，
，
分別平分和，
，，
，則，
在中，；
（2）解：，
是的外角；是的外角；
，，
分別平分和，
，，
，即．
【點睛】本題考查求角度，涉及對頂角定義、三角形內角和定理、角平分線定義、外角性質等知識，數形結合，準確表述出相關角度的和差倍分關系是解決問題的關鍵．
【變式3】如圖（1），由三角形的內角和或外角和可知：在圖（2）中，直接利用上述的結論探究：
(1)若、分別平分，，且，求的度數
(2)、分別平分，，猜想，，之間的等量關系，并說明理由．
【答案】(1)
(2)，見解析
【分析】此題主要考查了三角形外角定理以及角平分線的定義，由于圖中涉及的角較多，理清角之間的關系是解決問題的關鍵．
（1）根據題意可得到，由角平分線的定義得到，利用即可得到答案；
（2）由題意得到，，則，由角平分線定義得到，，則，再代入，即可得到答案．
【詳解】（1）根據題意得：，
、分別平分，，
，
；
（2）由題意得：，
，
∴
、是、的平分線，
∴，，
∴
∴
∴
即．
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