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遼寧省名校聯盟2024-2025學年高二上學期11月期中考試數學試題
考試時間：120分鐘 滿分：150分
第Ⅰ卷（選擇題，共58分）
一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題只有一個選項符合要求）
1.已知直線的方向向量為，則的傾斜角為（ ）
A. B. C. D.
2.已知向量，則下列向量中與成角的是（ ）
A. B. C. D.
3.已知直線與，若，則的值是（ ）
A.3 B.5 C.3或5 D.1或2
4.直三棱柱中，若，則異面直線與所成的角等于（ ）
A. B. C. D.
5.過點的直線與曲線相交于A，B兩點，為坐標原點，當的面積取最大值時，直線的方程為（ ）
A. B. C. D.
6.若與相交于A，B兩點，且兩圓在點處的切線互相垂直，則實數的值是（ ）
A. B. C.5 D.
7.已知雙曲線的兩個焦點分別為，點到其中一條漸近線的距離為3，點是雙曲線上一點，且，則（ ）
A.12 B.18 C.24 D.36
8.在三棱錐中，底面是等邊三角形，側面是等腰直角三角形，，，分別取BC，AD，AB的中點E，F，G，連接EF，CG，則直線EF與CG所成的角的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分.）
9.已知點，過點的直線交圓于A，B兩點，則下列說法正確的是（ ）
A.的最小值為1 B.滿足的弦有且只有2條
C.當最小時，圓上的點到直線AB的距離最小值為0
D.當最小時，圓上的點到直線AB的距離最大值為
10.如圖，在棱長為2的正方體中，為BC的中點，點在線段上，則下列說法正確的是（ ）
A.與CD的距離為 B.當點在的中點時，
C.當點在的中點時，點到平面的距離為
D.點到直線的距離的最小值為
11.已知橢圓的上頂點為，左、右焦點分別為，離心率為.過且垂直于的直線與交于D，E兩點，為DE的中點，則下列說法正確的是（ ）
A. B.DE的直線方程是
C.直線OP的斜率為 D.的周長是8
第II卷（非選擇題，共92分）
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）
12.已知平行直線，則與的距離是______________.
13.如圖，二面角的大小是，線段，AB與所成的角為，則AB與平面所成角的正弦值是_____________.
13.已知雙曲線的左、右焦點分別為，過點的直線與雙曲線的右支相交于A、B兩點（點A在第一象限），M為AB的中點，雙曲線的離心率為，若點到四邊形的四個頂點的距離之和最小，則點的坐標為_____________.
四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）
15.（13分）
已知三點.
（1）求過A，B，C三點的圓的一般方程;
（2）過點C的直線與圓交于點，且，求直線CD的方程.
16.（15分）
在四棱錐中，側面PAD是正三角形且垂直于底面ABCD，底面ABCD是菱形，為PC上一點，且平面BDM.
（1）求證：M為PC中點;
（2）求直線AM與平面BDM成角的正弦值.
17.（15分）
已知雙曲線的左、右焦點分別為，過的直線與左支相交于A，B兩點.
（1）若，求雙曲線的方程；
（2）若直線AB的斜率為，且，求雙曲線的離心率.
18.（17分）
在如圖所示的幾何體中，平面平面，是棱AB上一點.
（1）求證;
（2）是否存在點，使得二面角的平面角的正弦值為？如果存在，求出點的位置，如果不存在，說明理由；
（3）在（2）的條件下，當二面角的平面角為銳角時，求點到直線DC的距離.
19.（17分）
設A，B分別是直線和上的動點，且，設為坐標原點，動點滿足.
（1）求動點的軌跡方程;
（2）設E，F分別為軌跡上的兩個動點，且.
（i）求證：為定值；（ii）求面積的取值范圍.
1.A 2.B 3.A 4.C 5.A 6.B 7.D 8.B 9.BCD 10.BC 11.ACD
12. 13. 14.
8.提示：方法一：選擇為基向量，將，用基向量表示.
方法二：將其放在正方體中，然后建系做.
11.提示:D選項，的周長等于的周長，都為4a.
14.提示：點即為直線AB與的交點，若不然，根據三角形兩邊之和大于第三邊，能證明其它點都不符合題意.
15.（1）設所求圓的一般方程為，將A，B，C三點代入，
得解得，（3分）
所以過A，B，C三點的圓的一般方程是.（5分）
（2）由，得，
所以圓心為，半徑為，（6分）
由垂徑定理得到圓心到直線CD的距離為1.（7分）
當直線CD的斜率不存在時，，符合題意；（9分）
當直線CD的斜率存在時，設為，則，即，由，解得，所以，（12分）
綜上所述:直線CD的方程是或.（13分）
16.（1）連接AC交BD于點，連接MN，
因為平面平面PAC，平面平面，所以，（3分）
又因為底面ABCD是菱形，所以為AC的中點，所以為PC中點.（4分）
（2）取AD的中點，因為側面PAD是正三角形，所以，又因為側面PAD垂直于底面ABCD，且側面底面平面PAD，所以底面ABCD，（7分）
以為坐標原點，的正方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系如圖:
設，則分）
則（9分）
設平面BDM的法向量為，
由取，（12分）
設直線AM與平面BDM成角為，
則.（15分）
17.（1）由雙曲線的定義，得
，所以，因為，所以.（4分）
由知，，所以，（5分）
所以雙曲線的方程是.（6分）
（2）方法一:因為直線AB的斜率為，所以，設，由，得，（7分）
在中，應用余弦定定理，得，①
在中，應用余弦定定理，得，②
由①②兩式互為相反數，整理，得（11分）
代入①式，得出，所以，即雙曲線的離心率為.（15分）
方法二:由題故直線AB的方程為，設聯立消得（8分）
故，，又
則（11分）
易得，整理得即.（15分）
18.（1）因為平面平面ABC，所以，（1分）
又因為平面AEC，所以平面AEC，（4分）
又因為平面AEC，所以.（5分）
（2）過點作，則平面ABC，以點為原點，的正方向分別為x，y，z軸的正方向建立平面直角坐標系如圖:由，得，設則，解得（6分）
設平面CED的法向量為，且，
由，取分）
設平面CME的法向量為，且，
由取（10分）
設二面角的平面角為，則，解得或（12分）
（3）由題意，得，此時，連接，
所以（15分）
設點到直線DC的距離為，則.（17分）
19.（1）設，由，得，由，得，所以，即.（4分）
（2）當直線OE與OF斜率都存在時，設直線OE的斜率為，
則，解得，（6分）
同理：，用換上式中的，得，（7分）
所以（9分）
當直線OE與OF斜率有一個不存在時，另一個斜率為0，此時
，綜上（10分）
（3）方法一:由（2）知，，設，
因為，所以，同理，
于是.（12分）
所以，（5分）
當且僅當或時，取得最大值;
當且僅當時，取得最小值.（17分）
（3）方法二：因為，所以，，令，則，因為，所以，（13分）
所以，（16分）
所以.（17分）
（3）方法三：由（2）知，當直線OE與OF斜率都存在時，設直線OE的斜率為，因為
，令，（13分）
則原式，令，得
原式（16分）
當直線OE與OF斜率有一個不存在時，另一個斜率為0，此時，
綜上，.（17分）

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