資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
專題01 冪的運(yùn)算
考點(diǎn)類型
知識串講
（一）冪的運(yùn)算性質(zhì)
①同底數(shù)冪的乘法：am·an=am+n。同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。
②冪的乘方：(am)n=amn。冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。
③積的乘方：(ab)n=anbn。積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘。
④同底數(shù)冪的除法：am÷an=am-n。同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。
任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1。
考點(diǎn)訓(xùn)練
考點(diǎn)1：同底數(shù)冪的乘法
典例1：我們知道，同底數(shù)冪的乘法法則為（其中，為正整數(shù)），類似地我們規(guī)定關(guān)于任意正整數(shù)、的一種新運(yùn)算：；比如，則，若，那么的結(jié)果是（ ）
A．2024 B． C． D．
【變式1】對于任意正整數(shù)a，b定義一種新運(yùn)算：．比如，則，，那么的結(jié)果是（ ）
A．2024 B． C． D．1012
【變式2】已知，，，現(xiàn)給出3個數(shù)，，之間的三個關(guān)系式：
①；
②；
③．
其中正確的關(guān)系式是 （填序號）．
【變式3】計(jì)算： .（結(jié)果用冪的形式表示）
考點(diǎn)2：同底數(shù)冪的乘法的逆用
典例2：計(jì)算后的結(jié)果是（　?。?br/>A． B． C． D．
【變式1】若，其中為整數(shù)，則與的數(shù)量關(guān)系為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】規(guī)定．
（1）求 ；
（2）若，求 ．
【變式3】如圖，在甲、乙、丙三只袋中分別裝有球29個、29個、5個．先從甲袋中取出個球放入乙袋，再從乙袋中取出個球放入丙袋，最后從丙袋中取出個球放入甲袋，此時三只袋中球的個數(shù)相同，則的值等于 ．
考點(diǎn)3：冪的乘方
典例3：下列各式，計(jì)算結(jié)果等于的是( )
A． B． C． D．
【變式1】在比較和的大小時，老師給出了如下的方法：
，
，
因?yàn)椋?，所以?br/>請你仿照上面的方法比較和的大小關(guān)系為( )
A． B． C． D．無法比較
【變式2】如果，那么我們規(guī)定．例如：因?yàn)椋裕鶕?jù)上述規(guī)定，若記，，．則a、b、c的數(shù)量關(guān)系為 ．
【變式3】若，則 ．
考點(diǎn)4：冪的乘方逆用
典例4：新定義：（均為正整數(shù)），例如：．若，，則的值為（　?。?br/>A．18 B．24 C．36 D．63
【變式1】已知，則的值是（ ）
A．1 B．7 C．11 D．6
【變式2】若，則m的值為 ．
【變式3】若、均為實(shí)數(shù)，，，則( )．
考點(diǎn)5：積的乘方
典例5：下列計(jì)算中，運(yùn)算正確的個數(shù)是（　?。?br/>（1）
（2
（3）
（4）
A．個 B．個 C．個 D．個
【變式1】已知，則m、n的值分別為（ ）
A．3、4 B．4、3 C．3、5 D．9、6
【變式2】如圖，王老師把家里的WIFI密碼設(shè)置成了數(shù)學(xué)問題．吳同學(xué)來王老師家做客，看到WIFI圖片，思索了一會兒，輸入密碼，順利地連接到了王老師家里的網(wǎng)絡(luò)，那么她輸入的密碼是 ．
【變式3】觀察等式：；；，……，若，則用含a的式子表示的和是 ．
考點(diǎn)6：積的乘方的逆用
典例6：如果是方程組的解，則的值為（ ）
A．1 B． C．2 D．
【變式1】已知實(shí)數(shù)滿足，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】計(jì)算的結(jié)果等于 ．
【變式3】計(jì)算： ．
考點(diǎn)7：同底數(shù)冪的除法
典例7：計(jì)算的結(jié)果是（ ）
A． B． C． D．
【變式1】．
A． B． C． D．
【變式2】若、滿足，則 ．
【變式3】計(jì)算： ．
考點(diǎn)8：同底數(shù)冪的除法的逆用
典例8：若，，則的值是（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
【變式1】若，，則的結(jié)果是（ ）
A．10 B．11 C．20 D．25
【變式2】若，，，則的值為 ．
【變式3】①若，，則 ， ．
考點(diǎn)9：冪的混合運(yùn)算
典例9：計(jì)算：
(1)
(2)
(3)
【變式1】計(jì)算：
（1）；
（2）．
【變式2】探究應(yīng)用：用“”“”定義兩種新運(yùn)算：對于兩個數(shù)、，規(guī)定，，例如：；．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)當(dāng)為何值時，的值與的值相等．
【變式3】計(jì)算：
(1)；
(2)．
(3)；
(4)．
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專題01 冪的運(yùn)算
考點(diǎn)類型
知識串講
（一）冪的運(yùn)算性質(zhì)
①同底數(shù)冪的乘法：am·an=am+n。同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。
②冪的乘方：(am)n=amn。冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。
③積的乘方：(ab)n=anbn。積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘。
④同底數(shù)冪的除法：am÷an=am-n。同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。
任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1。
考點(diǎn)訓(xùn)練
考點(diǎn)1：同底數(shù)冪的乘法
典例1：我們知道，同底數(shù)冪的乘法法則為（其中，為正整數(shù)），類似地我們規(guī)定關(guān)于任意正整數(shù)、的一種新運(yùn)算：；比如，則，若，那么的結(jié)果是（ ）
A．2024 B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，正確理解新運(yùn)算的定義是解題關(guān)鍵．根據(jù)新運(yùn)算的定義將化成1012個的積，再代入計(jì)算即可得．
【詳解】解：∵，
∴
，
故選：B．
【變式1】對于任意正整數(shù)a，b定義一種新運(yùn)算：．比如，則，，那么的結(jié)果是（ ）
A．2024 B． C． D．1012
【答案】C
【分析】本題主要考查新定義運(yùn)算和同底數(shù)冪的乘法，根據(jù)新定義運(yùn)算法則和同底數(shù)冪運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可
【詳解】解：∵，且，，，

，
∵，
∴，
故選：C
【變式2】已知，，，現(xiàn)給出3個數(shù)，，之間的三個關(guān)系式：
①；
②；
③．
其中正確的關(guān)系式是 （填序號）．
【答案】①③
【分析】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則計(jì)算即可得出答案，熟練掌握運(yùn)算法則是解此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：，，
，，
，，，
故其中正確的關(guān)系式是①③，
故答案為：①③．
【變式3】計(jì)算： .（結(jié)果用冪的形式表示）
【答案】
【分析】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則計(jì)算即可得．
【詳解】解：原式
．
故答案為：．
考點(diǎn)2：同底數(shù)冪的乘法的逆用
典例2：計(jì)算后的結(jié)果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則和有理數(shù)的乘方法則計(jì)算即可．
【詳解】解：
，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法法則和有理數(shù)的乘方法則，解答本題的關(guān)鍵是掌握運(yùn)算法則．
【變式1】若，其中為整數(shù)，則與的數(shù)量關(guān)系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先將y變形為，進(jìn)而可得答案．
【詳解】解：因?yàn)椋?br/>所以．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了冪的運(yùn)算性質(zhì)，正確變形、熟練掌握同底數(shù)冪的逆運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
【變式2】規(guī)定．
（1）求 ；
（2）若，求 ．
【答案】 125 1
【分析】本題主要考查同底數(shù)冪的乘法及運(yùn)用：
（1）根據(jù)新定義列式計(jì)算即可；
（2）根據(jù)新定義列方程求解即可．
【詳解】解：（1）∵
∴,
故答案為：125；
（2）∵，
∴
∴
∴
解得，，
故答案為：1
【變式3】如圖，在甲、乙、丙三只袋中分別裝有球29個、29個、5個．先從甲袋中取出個球放入乙袋，再從乙袋中取出個球放入丙袋，最后從丙袋中取出個球放入甲袋，此時三只袋中球的個數(shù)相同，則的值等于 ．
【答案】128
【分析】本題考查了同底數(shù)冪的乘法的逆用，先表示每個袋子中球的個數(shù)，再根據(jù)總數(shù)可知每個袋子中球的個數(shù)，進(jìn)而求出，，最后逆用同底數(shù)冪相乘法則求出答案．
【詳解】解：由題意可知，調(diào)整后三只袋中的球數(shù)：
甲袋：個，乙袋：（個），丙袋：（個），
一共有（個）球，且調(diào)整后三只袋中球的個數(shù)相同，
調(diào)整后每只袋中球數(shù)為：（個），
，，
，，
，
故答案為：128．
考點(diǎn)3：冪的乘方
典例3：下列各式，計(jì)算結(jié)果等于的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查整式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)合并同類項(xiàng)，同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方依次對各選項(xiàng)中的代數(shù)式計(jì)算，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：A．，故此選項(xiàng)不符合題意；
B．，故此選項(xiàng)不符合題意；
C．，故此選項(xiàng)不符合題意；
D．，故此選項(xiàng)符合題意．
故選：D．
【變式1】在比較和的大小時，老師給出了如下的方法：
，
，
因?yàn)?，，所以?br/>請你仿照上面的方法比較和的大小關(guān)系為( )
A． B． C． D．無法比較
【答案】B
【分析】本題主要考查了冪的乘方運(yùn)算和同底數(shù)冪乘法運(yùn)算，有理數(shù)大小的比較，解題的關(guān)鍵是熟練掌握乘方運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算．
【詳解】解：，
∵
∴，
故選：B．
【變式2】如果，那么我們規(guī)定．例如：因?yàn)椋裕鶕?jù)上述規(guī)定，若記，，．則a、b、c的數(shù)量關(guān)系為 ．
【答案】
【分析】本題考查新定義運(yùn)算，同底數(shù)冪的乘法和冪的乘方，根據(jù)新定義可知，，，根據(jù)同底數(shù)冪的乘法公式和冪的乘方公式，可知，即可知道、、的數(shù)量關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握同底數(shù)冪公式和冪的乘方公式．
【詳解】解：如果，那么，
∵，，，
∴，，，
則，
即，
故答案為：．
【變式3】若，則 ．
【答案】
【分析】本題考查了冪的乘方，同底數(shù)冪的乘法和解一元一次方程，根據(jù)冪的乘方，同底數(shù)冪的乘法法則和解一元一次方程步驟，熟練掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由，
∴，
解得，
故答案為：．
考點(diǎn)4：冪的乘方逆用
典例4：新定義：（均為正整數(shù)），例如：．若，，則的值為（　?。?br/>A．18 B．24 C．36 D．63
【答案】D
【分析】本題主要考查新定義運(yùn)算，冪的乘方和積的乘方逆運(yùn)算，根據(jù)新運(yùn)算法則求出，再把變形為，再代入計(jì)算即可
【詳解】解：∵（均為正整數(shù)），
∴
∴
∴，
故選：D
【變式1】已知，則的值是（ ）
A．1 B．7 C．11 D．6
【答案】D
【分析】本題主要考查了冪的乘方的逆運(yùn)算，同底數(shù)冪乘除法的逆運(yùn)算，熟知， 是解題的關(guān)鍵；先根據(jù)冪的乘方的逆運(yùn)算求出，再根據(jù)同底數(shù)冪的乘除法逆運(yùn)算求出，即可得到答案．
【詳解】解：∵
∴，
∴
∴
∴
故選：D．
【變式2】若，則m的值為 ．
【答案】2
【分析】本題考查了冪的乘方和同底數(shù)冪的乘法法則，利用冪的乘方法則和同底數(shù)冪的乘法法則進(jìn)行計(jì)算，即可得出答案．掌握冪的乘方法則和同底數(shù)冪的乘法法則是解決問題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵，
即：
∴，
∴
解得．
故答案為：2．
【變式3】若、均為實(shí)數(shù)，，，則( )．
【答案】2024
【分析】本題主要考查了冪的乘方逆運(yùn)算，同底數(shù)冪的乘法，解題的關(guān)鍵是掌握同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加；冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘．根據(jù)冪的乘方逆運(yùn)算得出，即可解答．
【詳解】解：，
故答案為：2024．
考點(diǎn)5：積的乘方
典例5：下列計(jì)算中，運(yùn)算正確的個數(shù)是（　　）
（1）
（2
（3）
（4）
A．個 B．個 C．個 D．個
【答案】A
【分析】本題考查整式的運(yùn)算，熟練掌握整式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵；
（1）不存在同類項(xiàng)，無法加和
（2）運(yùn)用同底數(shù)冪相乘法則計(jì)算即可；
（3）運(yùn)用乘方法則計(jì)算；
（4）運(yùn)用積的乘方法則計(jì)算即可
【詳解】解：（1）無法計(jì)算，故題目計(jì)算錯誤；
（2），故題目計(jì)算錯誤；
（3），故題目計(jì)算錯誤；
（4），故題目計(jì)算錯誤．
故正確個數(shù)為個，
故選：A．
【變式1】已知，則m、n的值分別為（ ）
A．3、4 B．4、3 C．3、5 D．9、6
【答案】A
【分析】根據(jù)得，得到，計(jì)算即可，本題考查了積的乘方，冪的乘方，同底數(shù)冪的乘法，熟練掌握公式是解題的關(guān)鍵．
【詳解】根據(jù)得，
故，
解得，
故選A．
【變式2】如圖，王老師把家里的WIFI密碼設(shè)置成了數(shù)學(xué)問題．吳同學(xué)來王老師家做客，看到WIFI圖片，思索了一會兒，輸入密碼，順利地連接到了王老師家里的網(wǎng)絡(luò)，那么她輸入的密碼是 ．
【答案】
【分析】本題考查了冪的混合運(yùn)算，以及規(guī)律型：數(shù)字的變化類，由前面兩個等式發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)前面兩個等式，得出密碼規(guī)律：由漢字的拼音與字母x、y、z的指數(shù)組成．依此即可求解．
【詳解】解：根據(jù)前面兩個等式，
王 =，
浩 ，
得出密碼規(guī)律：由漢字的拼音與字母x、y、z的指數(shù)組成．
∴陽 ．
故答案為：．
【變式3】觀察等式：；；，……，若，則用含a的式子表示的和是 ．
【答案】
【分析】本題考查規(guī)律型問題：數(shù)字變化，列代數(shù)式，積的乘方等知識，由等式：；；，……，得出規(guī)律：，那么 ，將規(guī)律代入計(jì)算即可．
【詳解】∵；
；
，
……，
∴，
∴
，
∵，
∴ ，
∴原式=．
故答案為：．
考點(diǎn)6：積的乘方的逆用
典例6：如果是方程組的解，則的值為（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】此題考查了二元一次方程組的解和解方程組，冪的乘方及積的乘方逆運(yùn)算法則，根據(jù)方程組的解得到關(guān)于a、b的方程組，解方程組得到a、b的值，代入代數(shù)式利用冪的乘方及積的乘方逆運(yùn)算法則計(jì)算即可得到答案．
【詳解】解：∵是方程組的解，
∴
①②得，解得，
把代入①得，解得，
∴，
故選：D．
【變式1】已知實(shí)數(shù)滿足，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查整式冪的混合運(yùn)算及代數(shù)式求值，根據(jù)題意得，，進(jìn)而得到，由同底數(shù)冪的運(yùn)算法則及積的乘方逆運(yùn)算法則推出，即可得出結(jié)果．
【詳解】解： ，
，
，
，
，
，
，
，
故選：A．
【變式2】計(jì)算的結(jié)果等于 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了積的乘方逆用、同底數(shù)冪相乘的逆用等知識，解答的關(guān)鍵是積的乘方和同底數(shù)冪相乘法則的逆用．先將轉(zhuǎn)化為，再逆用積的乘方運(yùn)算法則可得，然后求解即可．
【詳解】解：原式
．
故答案為：．
【變式3】計(jì)算： ．
【答案】
【分析】本題主要考查積的乘方和冪的乘方，逆用積的乘方和冪的乘方運(yùn)算法則進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：
．
考點(diǎn)7：同底數(shù)冪的除法
典例7：計(jì)算的結(jié)果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此題考查了同底數(shù)冪的除法，同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，據(jù)此進(jìn)行計(jì)算即可.
【詳解】解：，
故選：B
【變式1】．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了同底數(shù)冪的除法法則，同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變指數(shù)相減，據(jù)此進(jìn)行作答即可．
【詳解】解：∵
∴
故選：B
【變式2】若、滿足，則 ．
【答案】
【分析】本題考查了整體帶入的數(shù)學(xué)思想，還考查了同底數(shù)冪的除法，熟練掌握公式是解題的關(guān)鍵．已知，因?yàn)?，整體代入求值即可．
【詳解】解： ，
，
故答案為：9．
【變式3】計(jì)算： ．
【答案】
【分析】本題考查的是冪的乘方，同底數(shù)冪的乘法與除法運(yùn)算，先計(jì)算冪的乘方，再按照從左至右的順序計(jì)算即可．
【詳解】解：
；
故答案為：
考點(diǎn)8：同底數(shù)冪的除法的逆用
典例8：若，，則的值是（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
【答案】B
【分析】先根據(jù)冪的乘方和冪的乘方的逆運(yùn)算求出，再根據(jù)同底數(shù)冪的乘除法逆運(yùn)算求出即可得到答案．
【詳解】解：∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪乘除法的逆運(yùn)算，代數(shù)式求值，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．
【變式1】若，，則的結(jié)果是（ ）
A．10 B．11 C．20 D．25
【答案】C
【分析】根據(jù)冪的乘方的逆用以及同底數(shù)冪相除的逆用進(jìn)行作答即可．
【詳解】解：因?yàn)?，?br/>所以，
故答案為：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方的逆用以及同底數(shù)冪相除的逆用，難度較小．
【變式2】若，，，則的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查同底數(shù)冪的乘除法法則，冪的乘方，掌握同底數(shù)冪的乘除法法則，冪的乘方的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：．
故答案為：．
【變式3】①若，，則 ， ．
【答案】
【分析】本題考查積的乘方的逆用、同底數(shù)冪的乘除法法則的逆用，根據(jù)積的乘方和同底數(shù)冪的乘除法運(yùn)算法則的逆用計(jì)算即可．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴，
故答案為：28；．
考點(diǎn)9：冪的混合運(yùn)算
典例9：計(jì)算：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)1
(2)
(3)
【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，冪的混合運(yùn)算：
（1）先根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)，立方根的性質(zhì)化簡，再計(jì)算，即可求解；
（2）先計(jì)算乘方，再計(jì)算同底數(shù)冪，然后合并同類項(xiàng)，即可求解．
（3）根據(jù)同底數(shù)冪乘法法則計(jì)算，即可求解．
【詳解】（1）解：
（2）解：
（3）解：
【變式1】計(jì)算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）先計(jì)算冪的乘方，再計(jì)算同底數(shù)冪，最后合并同類項(xiàng)即可；
（3）先計(jì)算冪的乘方，再計(jì)算同底數(shù)冪，最后合并同類項(xiàng)即可．
【詳解】解：（1），
=，
=，
=；
（2），
=，
=，
=，
=．
【點(diǎn)睛】本題考查整式的冪指數(shù)運(yùn)算，掌握冪的乘方，同底數(shù)冪的乘法，合并同類項(xiàng)是解題關(guān)鍵．
【變式2】探究應(yīng)用：用“”“”定義兩種新運(yùn)算：對于兩個數(shù)、，規(guī)定，，例如：；．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)當(dāng)為何值時，的值與的值相等．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)，代入，即可求解，
（2）根據(jù)，代入，即可求解，
（3）根據(jù)兩種新定義運(yùn)算規(guī)則，代入后得到：，根據(jù)冪的運(yùn)算法則，整理后，得到，即可求解，
本題考查了，實(shí)數(shù)的新定義運(yùn)算，冪的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是：熟練應(yīng)用新定義運(yùn)算法則．
【詳解】（1）解：，
故答案為：，
（2）解：，
（3）解：由題意，得：，則：，
∴，
∴，解得：，
故答案為：．
【變式3】計(jì)算：
(1)；
(2)．
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本題考查了冪的運(yùn)算，掌握冪的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵
（1）先算冪的乘方，再算同底數(shù)冪的乘法；
（2）先算冪的乘方，再合并同類項(xiàng)；
（3）先算積的乘方和同底數(shù)冪的乘法，再合并同類項(xiàng)；
（4）先算冪的乘方，再乘同底數(shù)冪的乘法，最后合并同類項(xiàng)．
【詳解】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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