資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題02 整式乘法
考點類型
知識串講
（一）整式乘法
（1）單項式×單項式
單項式的乘法法則：單項式相乘，把系數、同底數冪分別相乘，作為積的因式；對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式．
單項式乘法易錯點：
（2）單項式×多項式
單項式與多項式相乘，用單項式和多項式的每一項分別相乘，再把所得的積相加
【單項式乘以多項式注意事項】
①單項式乘多項式的結果是多項式，積的項數與原多項式的項數相同。
②單項式分別與多項式的每一項相乘時，要注意積的各項符號。（同號相乘得正，異號相乘得負）
③不要出現漏乘現象，運算要有順序。
（3）多項式×多項式
多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項與另一個多項式的每一項相乘，再把所得的積相加．
【多項式乘以多項式注意事項】
多項式與多項式相乘時，多項式的每一項都應該帶上它前面的正負號。多項式是單項式的和，每一項都包括前面的符號，在計算時一定要注意確定各項的符號。
考點訓練
考點1：計算單項式×單項式
典例1：下列某同學在一次作業中的計算摘錄： ①，②，③，④，其中正確的個數有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式1】計算：如圖，“三角”表示，方框表示，求的值是（ ）
A． B． C． D．
【變式2】計算：＝ ．
【變式3】（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ；
（5） ；（6） ．
考點2：用科學計數法表示乘法
典例2：廣闊無垠的太空中有無數顆恒星，其中離太陽系最近的一顆恒星稱為“比鄰星”，它距離太陽系約4.2光年.光年是天文學中一種計量天體時空距離的長度單位，1光年約為9500000000000千米.則“比鄰星”距離太陽系約為（ ）
A．千米 B．千米 C．千米 D．千米
【變式1】一種計算機每秒可做次運算,它工作秒運算的次數為 （ ）
A． B． C． D．
【變式2】一種計算機每秒可做次運算，它工作秒運算的次數為 （結果用科學記數法表示）．
【變式3】用四舍五入法把精確到千萬位的近似數為 用科學記數法表示．
計算： 結果用科學記數法表示
考點3：計算單項式×多項式
典例3：已知，則的值為（ ）
A．4 B．2 C． D．
【變式1】已知，，，若的值與x的取值無關，則a的值為（ ）
A． B．3 C．5 D．4
【變式2】為求的值，小明發現從第二個加數起每個加數都是前一個加數的3倍，于是設，則，因此，所以，得出答案后，小明想：若把3換成則 ．
【變式3】定義三角 表示，方框 表示，則 的結果是 ．
考點4：計算多項式×多項式
典例4：化簡：．
【變式1】計算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【變式2】計算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【變式3】計算：
(1)；
(2)；
(3)．
考點5：整式乘法——求字母、代數式的值
典例5：（1）已知，則 ．
（2）已知，互質，且，則 ．
（3）已知，則 ．
（4）已知的展開式中不含項和項，則 ．
【變式1】數學課上，老師講了單項式與多項式相乘：先用單項式乘多項式中的每一項，再把所得的積相加，小麗在練習時，發現了這樣一道題：“（3x﹣■+1）＝”那么“■”中的一項是 ．
【變式2】已知，則代數式的值為（ ）
A．2 B．1 C．0 D．-1
【變式3】已知邊長分別為a、b的長方形的周長為10，面積4，則ab2+a2b的值為（　　）
A．10 B．20 C．40 D．80
考點6：整式乘法——化簡求值
典例6：先化簡再求值： ，其中 ．
【變式1】先化簡，再求值．
(1)，其中；
(2)，其中．
【變式2】先化簡，再求值
(1), 其中，
(2)，其中
【變式3】計算：
(1)計算：；
(2)計算：；
(3)先化簡，再求值：；其中，．
考點7：整式乘法——錯看問題
典例7：在計算時，甲錯把看成了4，得到結果是：，乙錯把看成，得到結果：．
(1)求出，的值；
(2)在（1）的條件下，計算的結果．
【變式1】在計算時，甲把b錯看成了6，得到結果是：；乙把a錯看成，得到結果是：．
(1)求出a，b的值；
(2)在（1）的條件下，計算的結果．
【變式2】小馬虎做一道數學題“兩個多項式A，B，已知，試求的值”．小馬虎將看成，結果答案（計算正確）為．
(1)當時，求多項式A的值；
(2)若多項式，且滿足的結果不含項和x項，求m，n的值．
【變式3】已知，為多項式，，計算時，某學生把看成，結果得，
(1)求出多項式；
(2)求出的正確答案．
考點8：整式乘法——不含某項問題
典例8：關于x的代數式化簡后不含有項和常數項．
(1)求a，b的值．
(2)求的值．
【變式1】已知展開式中不含和項．
(1)求m、n的值；
(2)當m、n取第（1）小題的值時，求的值．
【變式2】【閱讀理解】
在計算機上可以設置程序，將二次多項式處理成一次多項式，設置程序為：將二次多項式A的二次項系數乘以2作為一次多項式B的一次項系數，將二次多項式A的一次項系數作為一次多項式B的常數項．
例如：，A經過程序設置得到．
【知識應用】
關于x的二次多項式A經過程序設置得到一次多項式B，己知，根據上方閱讀材料，解決下列問題：
(1)若，求m，n的值；
(2)若的結果中不含一次項，求關于x的方程的解；
(3)某同學在計算時，把看成了，得到的結果是，求出的正確值．
【變式3】7張如圖1的長為a，寬為b（a＞b）的小長方形紙片，按如圖2、3的方式不重疊地放在矩形ABCD內，未被覆蓋的部分（兩個矩形）用陰影表示．
（1）如圖2，點E、Q、P在同一直線上，點F、Q、G在同一直線上，右下角與左上角的陰影部分的面積的差為 　 　（用含a、b的代數式表示），矩形ABCD的面積為 　 　（用含a、b的代數式表示）；
（2）如圖3，點F、H、Q、G在同一直線上，設右下角與左上角的陰影部分的面積的差為S，PC＝x．當BC的長度變化時，按照同樣的放置方式，S始終保持不變，那么a、b必須滿足什么條件？
考點9：整式乘法——圖形面積
典例9：閱讀下列材料并解答問題：通過學習，我們知道可以用圖1中圖形的面積來解釋公式，實際上還有一些代數恒等式也可以用這種形式表示，如圖，圖形的面積可解釋恒等式．
(1)請寫出圖表示的代數恒等式為 ；
(2)試畫出一個幾何圖形，可以用圖形的面積解釋恒等式：；
(3)請仿照上述方法另寫一個含，的代數恒等式，并畫出與它對應的幾何圖形．代數恒等式為： ．
【變式1】如圖1，把邊長為的正方形放在長方形中，其中正方形的兩條邊分別在，上，已知，．
(1)請用含a、b的代數式表示陰影部分的面積： ；
(2)將另一長方形BEFG放入圖1中得到圖2，已知，；
①請用含a、b的代數式表示長方形的面積： ；請用含a、b的代數式表示長方形面積： ；
②若長方形的周長為6，求陰影部分的面積（用含的代數式表示）．
【變式2】在探索有關整式的乘法法則時，可以借助幾何圖形來解釋某些法則．例如，平方差公式可以用圖形①來解釋．實際上還有些代數式恒等式也可以用這種形式表示，例如，就可以用圖②中的幾何圖形的面積來表示．
(1)請寫出圖③中的幾何圖形所表示的代數恒等式；
(2)試畫出一個幾何圖形，使它的面積能表示
(3)請仿照上述方法另寫一個含有a，b的代數恒等式，并畫出與之相對應的幾何圖形．
【變式3】某花圃基地計劃將如圖所示的一塊長，寬的矩形空地，劃分成五塊小矩形區域．其中一塊正方形空地為育苗區，另一塊空地為活動區，其余空地為種植區，分別種植，，三種花卉．活動區一邊與育苗區等寬，另一邊長是．
設育苗區的邊長為，用含的代數式表示下列各量：
(1)B區的長是___________，寬是___________ ；
(2)A區的種植面積是___________，C區的種植面積是___________；
(3)若計劃A區與B區的面積和是矩形空地面積的一半，那育苗區的邊長為多少？
考點10：整式乘法——新定義問題
典例10：化簡并求值：定義一種新的運算法則： ， 請你化簡式子： ， 若， 請計算上面這個式子的值．
【變式1】定義，如．
(1)若，求的值；
(2)若的值與無關，求值．
【變式2】閱讀理解題：
定義：如果一個數的平方等于，記為，這個數i叫做虛數單位，把形如（為實數）的數叫做復數，其中叫這個復數的實部，叫做這個復數的虛部，它的加，減，乘法運算與整式的加，減，乘法運算類似．
例如計算；
；
根據以上信息，完成下列問題：
(1)填空：__________，_________；
(2)計算：；
(3)計算：．
【變式3】教科書第一章《整式的乘除》中，我們學習了整式的幾種乘除運算，學會了研究運算的方法．現定義了一種新運算“”，對于任意有理數a，b，c，d，規定，等號右邊是通常的減法和乘法運算．例如：．

請解答下列問題：
(1)填空：______；
(2)若的代數式中不含x的一次項時，求n的值；
(3)求的值，其中；
(4)如圖1，小長方形長為a，寬為b，用5張圖1中的小長方形按照圖2方式不重疊地放在大長方形內，其中，大長方形中未被覆蓋的兩個部分（圖中陰影部分），設左下角長方形的面積為，右上角長方形的面積為．當，求的值．
考點11：整式乘法——四則混合運算
典例11：先化簡，再求值：
(1)，其中；
(2)，其中，．
【變式1】計算：
(1)；
(2)；
(3)．
【變式2】我們定義：如果兩個多項式M與N的和為常數，則稱M與N互為“組合多項式”，這個常數稱為它們的“組合數”．如與，，則M與N互為“組合多項式”，它們的“組合數”為3．
(1)下列各組多項式中，互為“組合多項式”的是________（填序號）；
①與；②與；③與．
(2)多項式與（m，n為常數）互為“組合多項式”，求它們的“組合數”；
(3)關于x的多項式與的“組合數”能為0嗎？若能，請求出m，n的值；若不能，請說明理由．
【變式3】數學是研究數量關系和空間形式的科學．對于一些特殊的整式運算，我們要善于觀察并發現規律：（）
；
；
；
．
(1)嘗試：_________________；
(2)猜想：_________________；
(3)利用以上結論求值：
①；
②若，_________________．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)中小學教育資源及組卷應用平臺
專題02 整式乘法
考點類型
知識串講
（一）整式乘法
（1）單項式×單項式
單項式的乘法法則：單項式相乘，把系數、同底數冪分別相乘，作為積的因式；對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式．
單項式乘法易錯點：
（2）單項式×多項式
單項式與多項式相乘，用單項式和多項式的每一項分別相乘，再把所得的積相加
【單項式乘以多項式注意事項】
①單項式乘多項式的結果是多項式，積的項數與原多項式的項數相同。
②單項式分別與多項式的每一項相乘時，要注意積的各項符號。（同號相乘得正，異號相乘得負）
③不要出現漏乘現象，運算要有順序。
（3）多項式×多項式
多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項與另一個多項式的每一項相乘，再把所得的積相加．
【多項式乘以多項式注意事項】
多項式與多項式相乘時，多項式的每一項都應該帶上它前面的正負號。多項式是單項式的和，每一項都包括前面的符號，在計算時一定要注意確定各項的符號。
考點訓練
考點1：計算單項式×單項式
典例1：下列某同學在一次作業中的計算摘錄： ①，②，③，④，其中正確的個數有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本題考查整式乘除法，涉及單項式乘以單項式、單項式除以單項式、同底數冪的乘法運算、同底數冪的除法運算、冪的乘方運算等知識，根據整式乘除運算法則逐項驗證即可得到答案，熟記整式乘除法的運算法則是解決問題的關鍵．
【詳解】解：①，計算錯誤，不符合題意；
②，計算正確，符合題意；
③，計算錯誤，不符合題意；
④，計算錯誤，不符合題意；
綜上所述，正確的為②，個數有1個，
故選：A．
【變式1】計算：如圖，“三角”表示，方框表示，求的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查整式的乘法，根據題意列算式，再根據整式的乘法法則計算可求解．
【詳解】解：由題意得
．
故答案選：B
【變式2】計算：＝ ．
【答案】
【分析】運用積的乘方、單項式乘單項式的運算法則即可解答．
【詳解】解：．
故答案為．
【點睛】本題主要考查了積的乘方、單項式乘單項式的運算法則等知識點，掌握積的乘方運算法則成為解答本題的關鍵．
【變式3】（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ；
（5） ；（6） ．
【答案】 ．
【分析】（1）根據單項式乘以單項式的計算法則進行求解即可；
（2）根據單項式乘以單項式的計算法則進行求解即可；
（3）先計算乘方，然后根據根據單項式乘以單項式的計算法則進行求解即可；
（4）先計算乘方，然后根據根據單項式乘以單項式的計算法則進行求解即可；
（5）先計算乘方，然后根據根據單項式乘以單項式的計算法則進行求解即可；
（6）先計算乘方，然后根據根據單項式乘以單項式的計算法則進行求解即可．
【詳解】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
故答案為：；；；；；．
【點睛】本題主要考查了單項式乘以單項式，積的乘方和冪的乘方，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關計算法則進行求解．
考點2：用科學計數法表示乘法
典例2：廣闊無垠的太空中有無數顆恒星，其中離太陽系最近的一顆恒星稱為“比鄰星”，它距離太陽系約4.2光年.光年是天文學中一種計量天體時空距離的長度單位，1光年約為9500000000000千米.則“比鄰星”距離太陽系約為（ ）
A．千米 B．千米 C．千米 D．千米
【答案】A
【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值＞10時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．
【詳解】9 500 000 000 000×4.2=39900000000000≈40000000000000=4×1013．
故選A．
【點睛】此題主要考查了科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．
【變式1】一種計算機每秒可做次運算,它工作秒運算的次數為 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據題意列出代數式，再根據單項式的乘法法則以及同底數冪的乘法的性質進行計算即可．
【詳解】解：它工作2×104秒運算的次數為：
（4×108）×（2×104）
=（4×2）×（108×104）
=8×1012
=8×1012．
故選D．
【點睛】本題主要利用單項式的乘法法則以及同底數冪的乘法的性質求解，科學記數法表示的數在運算中通常可以看做單項式參與的運算．
【變式2】一種計算機每秒可做次運算，它工作秒運算的次數為 （結果用科學記數法表示）．
【答案】
【分析】此題考查了科學記數法，單項式的乘法法則以及同底數冪的乘法的性質，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．
根據題意列出代數式，再根據單項式的乘法法則以及同底數冪的乘法的性質進行計算即可．
【詳解】解：計算機工作秒運算的次數為：
．
故答案為：．
【變式3】用四舍五入法把精確到千萬位的近似數為 用科學記數法表示．
計算： 結果用科學記數法表示
【答案】
【分析】本題考查了近似數和科學記數法；熟知“科學記數法的表示形式為的形式，其中，為整數”是解題的關鍵．
先將原數精確到千萬位，再用科學記數法表示為的形式即可求解；先計算，然后用科學記數法表示為的形式即可求解．
【詳解】解：用四舍五入法把精確到千萬位的近似數為；
．
故答案為：；．
考點3：計算單項式×多項式
典例3：已知，則的值為（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查單項式乘多項式，先變形已知條件得，再化簡原式，代入即可．
【詳解】解：
∵
∴原式 ．
故選：B．
【變式1】已知，，，若的值與x的取值無關，則a的值為（ ）
A． B．3 C．5 D．4
【答案】A
【分析】本題考查了整式的運算，正確化簡是解本題的關鍵．
先求出，再根據取值與x無關，得出，即可解答．
【詳解】解：∵，，，
∴
，
∵的值與x的取值無關，
∴，
解得：，
故選：A．
【變式2】為求的值，小明發現從第二個加數起每個加數都是前一個加數的3倍，于是設，則，因此，所以，得出答案后，小明想：若把3換成則 ．
【答案】
【分析】
本題考查了整式的加減運算；
設，則，兩式相減得出，然后求出S即可．
【詳解】解：設，
則，
∴，即，
∴，
故答案為：．
【變式3】定義三角 表示，方框 表示，則 的結果是 ．
【答案】/
【分析】先根據三角和方框表示的意義列出代數式，再根據單項式乘以多項式的法則進行計算即可．
【詳解】解：三角 表示，
，
方框 表示，
，
，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了列代數式、單項式乘以多項式，理解題中所給的新定義，準確進行計算是解題的關鍵．
考點4：計算多項式×多項式
典例4：化簡：．
【答案】
【分析】本題考查了整式的乘法，根據多項式乘以多項式、單項式乘以多項式法則進行計算即可求解．
【詳解】解：原式
．
【變式1】計算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本題考查整式的乘法運算，涉及知識點：積的乘方、單項式乘以單項式、單項式乘以多項式、多項式乘多項式、合并同類項，熟練掌握運算法則是關鍵．
（1）先計算積的乘方、單項式乘單項式，再合并即可；
（2）利用單項式乘多項式法則去掉括號即可；
（3）利用多項式乘多項式法則去掉括號，再合并即可；
（4）先利用單項式乘多項式法則、多項式乘多項式法則去掉括號，再合并即可．
【詳解】（1）解：原式
；
（2）解：原式；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
【變式2】計算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本題考查了單項式乘多項式，多項式乘多項式，同底數冪的乘法，積的乘方及整式的加減運算．
（1）先算積的乘方，同底數冪的乘法，再算合并同類項即可解答；
（2）利用單項式乘多項式的法則，進行計算即可解答；
（3）利用多項式乘多項式的法則，進行計算即可解答；
（4）利用多項式乘多項式的法則，進行計算即可解答．
【詳解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
【變式3】計算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】此題考查了整式乘法混合運算，解題的關鍵是熟練整式乘法混合運算法則．
（1）運用單項式與多項式相乘的法則求解即可；
（2）運用單項式與多項式相乘的法則求解即可；
（3）首先計算單項式與多項式相乘，然后合并同類項即可．
【詳解】（1）
；
（2）
．
（3）
．
考點5：整式乘法——求字母、代數式的值
典例5：（1）已知，則 ．
（2）已知，互質，且，則 ．
（3）已知，則 ．
（4）已知的展開式中不含項和項，則 ．
【答案】 （1）7; （2）36; （3）7; （4）4.
【分析】（1）根據單項式乘以單項式的法則計算，列出方程組解答即可；
（2）根據積的乘方及冪的乘方，再根據，互質即可求得m、n的值，代入即可；
（3）根據積的乘方的逆運用即可求得x的值；
（4）將多項式展開，合并同類項，取項和項系數為0，解方程即可.
【詳解】（1），
（2），且，互質，
（3），
，
，
（4）
，
且開展式中不含項和項，
故答案為7； 36；7；4.
【點睛】本題考查的是整式的乘法及冪的運算，熟練的掌握各運算法則是關鍵.
【變式1】數學課上，老師講了單項式與多項式相乘：先用單項式乘多項式中的每一項，再把所得的積相加，小麗在練習時，發現了這樣一道題：“（3x﹣■+1）＝”那么“■”中的一項是 ．
【答案】
【分析】利用多項式除以單項式法則計算即可得出“■”中的項，然后利用單項式乘多項式的法則進行計算驗證即可．
【詳解】解：∵
即 ，
∴“■”中的一項是2y．
故答案為：2y．
【點睛】此題考查了單項式乘多項式和多項式除以單項式，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加．
【變式2】已知，則代數式的值為（ ）
A．2 B．1 C．0 D．-1
【答案】A
【分析】利用單項式乘單項式法則對代數式進行化簡，將已知方程變形后代入計算即可求出值.
【詳解】原式，
∵
∴
∴原式.
故選A.
【點睛】已知代數式求值.解決本題時，不需要解出x的值，用整體法求出的值即可代入求值.
【變式3】已知邊長分別為a、b的長方形的周長為10，面積4，則ab2+a2b的值為（　　）
A．10 B．20 C．40 D．80
【答案】B
【分析】直接利用長方形周長和面積公式得出ab，a+b，進而利用提取公因式法分解因式得出答案.
【詳解】解：由邊長分別為a、b的長方形的周長為10，面積4，
.則2（a+b）=10，ab=4，則a+b=5，故ab2+a2b=ab（b+a）=4×5=20.
故選B.
【點睛】本題主要考查了長方形的性質應用，正確分解因式是解題關鍵.
考點6：整式乘法——化簡求值
典例6：先化簡再求值： ，其中 ．
【答案】，
【分析】本題是化簡求值問題，考查了乘法公式，單項式乘以多項式法則，整式的混合運算和求解，能正確運用以上運算法則是解題的關鍵．
根據乘法公式、單項式乘以多項式法則進行展開，再合并同類項，求出和的值，代入式子計算即可．
【詳解】解：，
．
當時，
∵，，
∴，，
解答，，
故原式．
故答案為．
【變式1】先化簡，再求值．
(1)，其中；
(2)，其中．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本題主要考查了整式的化簡求值，熟知整式的相關計算法則是解題的關鍵．
（1）先根據多項式乘以多項式的計算法則和完全平方公式去括號，然后合并同類項，最后代值計算即可；
（2）先根據平方差公式和完全平方公式去小括號，然后合并同類項，再根據多項式除以單項式的計算法則化簡，最后代值計算即可．
【詳解】（1）解；
，
當時，原式；
（2）解；
，
當時，原式．
【變式2】先化簡，再求值
(1), 其中，
(2)，其中
【答案】(1)，1
(2)，
【分析】（1）先算完全平方和平方差，再合并同類項，最后代入求值即可；
（2）先算完全平方和多項式乘多項式，再合并同類項，最后代入求值即可．
【詳解】（1）解：
，
將代入，得：
原式；
（2）解：
，
將代入，得：
原式．
【點睛】本題考查整式的化簡求值，解題的關鍵是熟練掌握乘方公式及去括號、合并同類項法則．
【變式3】計算：
(1)計算：；
(2)計算：；
(3)先化簡，再求值：；其中，．
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）先算乘方，再算乘除，最后合并同類項；
（2）先展開，再合并；
（3）先化簡，再將x，y的值代入計算即可．
【詳解】（1）解：原式
；
（2）原式
；
（3）原式
，
當，時，
原式
．
【點睛】本題考查整式的混合運算，解題的關鍵是掌握去括號，合并同類項的法則．
考點7：整式乘法——錯看問題
典例7：在計算時，甲錯把看成了4，得到結果是：，乙錯把看成，得到結果：．
(1)求出，的值；
(2)在（1）的條件下，計算的結果．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了多項式乘以多項式法則和解方程，能正確運用多項式乘以多項式法則進行計算是解此題的關鍵．
（1）根據題意得出，，得出，，求出a、b即可；
（2）把a、b的值代入，再根據多項式乘以多項式法則求出即可．
【詳解】（1）解：甲錯把看成了4，得到結果是：
，
乙錯把看成，得到結果：，
∴，
，，
解得：；
（2）．
【變式1】在計算時，甲把b錯看成了6，得到結果是：；乙把a錯看成，得到結果是：．
(1)求出a，b的值；
(2)在（1）的條件下，計算的結果．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根據題意得出，，得出，，求出a、b即可；
（2）把a、b的值代入，再根據多項式乘以多項式法則求出即可．
【詳解】（1）根據題意得：，
，
所以，，
解得：，；
（2）當，時，．
【點睛】本題考查了多項式乘以多項式，能正確運用多項式乘以多項式法則進行計算是解此題的關鍵．
【變式2】小馬虎做一道數學題“兩個多項式A，B，已知，試求的值”．小馬虎將看成，結果答案（計算正確）為．
(1)當時，求多項式A的值；
(2)若多項式，且滿足的結果不含項和x項，求m，n的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查整式的加減，解題的關鍵是掌握整式的加減法則．
（1）將錯就錯，把與錯誤結果代入確定即可；
（2）化簡，根據不含項和x項求出結果．
【詳解】（1）解：根據題意得：
，
當時，原式；
（2）解： ，，
，
結果不含x2項和x項，
，
．
【變式3】已知，為多項式，，計算時，某學生把看成，結果得，
(1)求出多項式；
(2)求出的正確答案．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據題意可得，再根據多項式乘以多項式法則計算，即可求解；
（2）根據整式的加減計算，即可求解．
【詳解】（1）解：依題意得：
（2）解：
【點睛】本題主要考查了整式的混合運算，熟練掌握整式的混合運算法則是解題的關鍵．
考點8：整式乘法——不含某項問題
典例8：關于x的代數式化簡后不含有項和常數項．
(1)求a，b的值．
(2)求的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本題考查整式的四則混合運算、解一元一次方程、代數式求值，熟練掌握整式的四則混合運算法則，正確得到a、b的方程是解答的關鍵，尤其（2）中利用積的乘方的逆運算求解是關鍵．
（1）先將原式括號展開，再合并同類項，最后根據不含和常數項得出，，即可解答；
（2）根據冪的運算法則得出，根據（1）中得出的a和b的值，即可解答．
【詳解】（1）解：
，
∵不含和常數項，
∴，，
∴，．
（2）解：，
由（1）知，，
原式．
【變式1】已知展開式中不含和項．
(1)求m、n的值；
(2)當m、n取第（1）小題的值時，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用多項式乘多項式的法則得到展開式，再利用三次項和二次項的系數為零求解即可．
（2）直接將字母的值代入到代數式中求解即可．
【詳解】（1）解：∵
，
∵展開式中不含和項，
∴，
∴．
（2）解：原式=
=
= ．
【點睛】本題考查了多項式乘多項式法則、代數式求值等知識，解題關鍵是牢記運算法則．
【變式2】【閱讀理解】
在計算機上可以設置程序，將二次多項式處理成一次多項式，設置程序為：將二次多項式A的二次項系數乘以2作為一次多項式B的一次項系數，將二次多項式A的一次項系數作為一次多項式B的常數項．
例如：，A經過程序設置得到．
【知識應用】
關于x的二次多項式A經過程序設置得到一次多項式B，己知，根據上方閱讀材料，解決下列問題：
(1)若，求m，n的值；
(2)若的結果中不含一次項，求關于x的方程的解；
(3)某同學在計算時，把看成了，得到的結果是，求出的正確值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】本題考查整式計算，解一元一次方程．
（1）根據題意列式對應系數相等即可得到結果；
（2）根據題意列式即可得到結果；
（3）先求出的值，再求出即可．
【詳解】（1）解：，．
，
，，
，；
（2）解：，
∵的結果中不含一次項，
，解得：，
由得：，
；
（3）解：，
，
，
∴．
【變式3】7張如圖1的長為a，寬為b（a＞b）的小長方形紙片，按如圖2、3的方式不重疊地放在矩形ABCD內，未被覆蓋的部分（兩個矩形）用陰影表示．
（1）如圖2，點E、Q、P在同一直線上，點F、Q、G在同一直線上，右下角與左上角的陰影部分的面積的差為 　 　（用含a、b的代數式表示），矩形ABCD的面積為 　 　（用含a、b的代數式表示）；
（2）如圖3，點F、H、Q、G在同一直線上，設右下角與左上角的陰影部分的面積的差為S，PC＝x．當BC的長度變化時，按照同樣的放置方式，S始終保持不變，那么a、b必須滿足什么條件？
【答案】（1）；；（2）
【分析】(1)右下角的圖形為邊長為a的正方形，左上角圖形為長方形，其長寬分別為4b，3b.分別計算面積作差即可，找到矩形ABCD的長寬分別為a+4b，a+3b計算面積即可，
(2) AE=FQ，PC=HG，有FQ=HG+FH-QG，從而得到AE，把S表示出來，令與相乘的因式為零，即可得到S與BC長度無關．
【詳解】(1) 右下角的圖形為邊長為a的正方形，面積為．
左上角圖形為長方形，其長寬分別為4b，3b，面積為 ．
則右下角與左上角的陰影部分的面積的差為．
矩形ABCD的長寬分別為a+4b，a+3b，面積為
故答案為；
(2) ∵AE=FQ，PC=HG，有FQ=HG+FH-QG
∴AE=PC+FH-QG
即AE=x+4b-a
圖3中，右下角的矩形長寬分別為x，a，則面積為xa．
左上角矩形長寬分別為x+4b-a，3b，則面積為3b（x+4b-a）．
則
整理得到，
當BC的長度變化時，S始終保持不變，則時成立．
【點睛】本題解題關鍵在于找準各部分圖形的邊長與邊長之間的關系，準確表示出面積的代數式，需要注意的是，矩形的對邊與對邊長度相等，可互相等量代換求得其他線段的長度．
考點9：整式乘法——圖形面積
典例9：閱讀下列材料并解答問題：通過學習，我們知道可以用圖1中圖形的面積來解釋公式，實際上還有一些代數恒等式也可以用這種形式表示，如圖，圖形的面積可解釋恒等式．
(1)請寫出圖表示的代數恒等式為 ；
(2)試畫出一個幾何圖形，可以用圖形的面積解釋恒等式：；
(3)請仿照上述方法另寫一個含，的代數恒等式，并畫出與它對應的幾何圖形．代數恒等式為： ．
【答案】(1)
(2)圖見解析；
(3)（答案不唯一）．
【分析】（）圖（）中大長方形的長為，寬為，根據題意列出恒等式；
（）根據給出的恒等式，畫出的幾何圖形的長為 ，寬為即可；
（）根據給出的例子畫出幾何圖形，并寫出恒等式即可；
本題考查了單項式乘以多項式，多項式乘以多項式，掌握相關的運算法則是解題的關鍵．
【詳解】（1）圖面積的表示：
方法一：，
方法二：，
∴，
故答案為：；
（2）如圖，
面積表示：
方法一：，
方法二：，
∴；
（3）如圖，
故答案為：（答案不唯一）．
【變式1】如圖1，把邊長為的正方形放在長方形中，其中正方形的兩條邊分別在，上，已知，．
(1)請用含a、b的代數式表示陰影部分的面積： ；
(2)將另一長方形BEFG放入圖1中得到圖2，已知，；
①請用含a、b的代數式表示長方形的面積： ；請用含a、b的代數式表示長方形面積： ；
②若長方形的周長為6，求陰影部分的面積（用含的代數式表示）．
【答案】(1)；
(2)①，；②．
【分析】本題主要考查幾何圖形與多項式乘以多項式運算，掌握用整式表示陰影部分面積是解題的關鍵．
（1）用大長方形面積減去小正方形面積，即可；
（2）①用代數式表示出，，結合長方形的面積公式即可求解；
②由長方形的周長為6可得，結合即可得到答案．
【詳解】（1）解：；
（2）①根據題意得，，，
∴，
；
②，
，
，
，
．
【變式2】在探索有關整式的乘法法則時，可以借助幾何圖形來解釋某些法則．例如，平方差公式可以用圖形①來解釋．實際上還有些代數式恒等式也可以用這種形式表示，例如，就可以用圖②中的幾何圖形的面積來表示．
(1)請寫出圖③中的幾何圖形所表示的代數恒等式；
(2)試畫出一個幾何圖形，使它的面積能表示
(3)請仿照上述方法另寫一個含有a，b的代數恒等式，并畫出與之相對應的幾何圖形．
【答案】(1)
(2)見詳解
(3)見詳解
【分析】本題考查多項式乘多項式與圖形面積，解答的關鍵是掌握長方形和正方形的面積公式；
（1）利用矩形的面積相等列關系式即可；
（2）畫一個長為，寬為的矩形即可；
（3）一個含有的代數恒等式可以是然后畫一個長為，寬為的矩形即可．
【詳解】（1）解：根據圖形可得：，
故答案為：；
（2）解：畫圖如下(答案不唯一)：它的面積能表示；
（3）解：恒等式是，如圖所示(答案不唯一)．
【變式3】某花圃基地計劃將如圖所示的一塊長，寬的矩形空地，劃分成五塊小矩形區域．其中一塊正方形空地為育苗區，另一塊空地為活動區，其余空地為種植區，分別種植，，三種花卉．活動區一邊與育苗區等寬，另一邊長是．
設育苗區的邊長為，用含的代數式表示下列各量：
(1)B區的長是___________，寬是___________ ；
(2)A區的種植面積是___________，C區的種植面積是___________；
(3)若計劃A區與B區的面積和是矩形空地面積的一半，那育苗區的邊長為多少？
【答案】(1)；
(2)，
(3)育苗區的邊長為．
【分析】本題考查的是列代數式，根據題意正確列出代數式是解題的關鍵．
（1）根據題意，區的長是：，寬為：；
（2）根據題意，分別求出區和區的長與寬，再計算其種植面積即可；
（3）根據題意，可列方程：，求解即可．
【詳解】（1）解：根據題意，區的長是：，寬為：，
故答案為：；；
（2）解：區的長為：，寬為：，
則區的種植面積是：，
區的長為：，寬為：，
則區的種植面積是：，
故答案為：；；
（3）解：根據題意，得：
，
解得：，
答：育苗區的邊長為．
考點10：整式乘法——新定義問題
典例10：化簡并求值：定義一種新的運算法則： ， 請你化簡式子： ， 若， 請計算上面這個式子的值．
【答案】-，－20
【分析】根據對進行化簡后，將x、y的數值代入即可得出答案．
【詳解】解：
=
=
=-
當x=2，y=1時，
原式=．
【點睛】本題考查了整式的混合運算，掌握整式的混合運算的法則是解題的關鍵．
【變式1】定義，如．
(1)若，求的值；
(2)若的值與無關，求值．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）先根據定義運算的規定，得到關于x的方程，求解即可；
（2）先根據定于運算的規定得到整式，計算并化簡整式，根據值與x無關確定m、n的值，再計算nm．
【詳解】（1）解：（1）（x+1）2﹣（x﹣1）2＝4，
∴4x＝4，
∴x＝1．
（2）（x+m）（2x+1）﹣（nx﹣1）（x﹣1）
＝2x2+x+2mx+m﹣（nx2﹣x﹣nx+1）
＝2x2+x+2mx+m﹣nx2+x+nx﹣1
＝（2﹣n）x2+（2m+n+2）x+m﹣1
∵的值與x無關，
∴2﹣n＝0，2m+n+2＝0，
∴n＝2，m＝﹣2，
∴nm＝2﹣2．
【點睛】本題主要考查了整式的混合運算，理解定義運算的規定，掌握乘法的完全平方公式和多項式乘多項式法則是解決本題的關鍵．
【變式2】閱讀理解題：
定義：如果一個數的平方等于，記為，這個數i叫做虛數單位，把形如（為實數）的數叫做復數，其中叫這個復數的實部，叫做這個復數的虛部，它的加，減，乘法運算與整式的加，減，乘法運算類似．
例如計算；
；
根據以上信息，完成下列問題：
(1)填空：__________，_________；
(2)計算：；
(3)計算：．
【答案】(1)，1
(2)
(3)i
【分析】此題考查了實數新定義運算問題的解決能力，關鍵是能根據定義和實數的運算方法進行準確計算．
（1）把化為，把化為，再結合進行計算；
（2）根據復數的乘法法則變形可得，再結合進行計算；
（3）根據可知，，，……，則：中含有504個和一個，據此化簡即可．
【詳解】（1）解：∵，
∴，，
故答案為：，1；
（2）解：
；
（3）解：∵，
，……，
∴
．
【變式3】教科書第一章《整式的乘除》中，我們學習了整式的幾種乘除運算，學會了研究運算的方法．現定義了一種新運算“”，對于任意有理數a，b，c，d，規定，等號右邊是通常的減法和乘法運算．例如：．

請解答下列問題：
(1)填空：______；
(2)若的代數式中不含x的一次項時，求n的值；
(3)求的值，其中；
(4)如圖1，小長方形長為a，寬為b，用5張圖1中的小長方形按照圖2方式不重疊地放在大長方形內，其中，大長方形中未被覆蓋的兩個部分（圖中陰影部分），設左下角長方形的面積為，右上角長方形的面積為．當，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)24
【分析】本題主要考查了新定義，多項式乘以多項式：
（1）根據新定義計算求解即可；
（2）根據新定義求出，再根據不含x的一次項，即可含x的一次項的系數為0進行求解即可；
（3）根據新定義求出，再利用整體代入法代值計算即可；
（4）根據所給圖形可得，根據推出，再根據新定義，進而一步步利用整體代入法降次求解即可．
【詳解】（1）解：由題意得，；
（2）解：
∵代數式中不含x的一次項，
∴，
∴；
（3）解：
∵，
∴原式；
（4）解：根據題意得：，
整理得：，
∴
．
考點11：整式乘法——四則混合運算
典例11：先化簡，再求值：
(1)，其中；
(2)，其中，．
【答案】(1)，5
(2)，
【分析】本題考查整式乘法的化簡求值，掌握運算法則和運算順序是解題的關鍵．
（1）先利用多項式的乘法展開，然后合并化簡，再整體代入解題即可；
（2）先利用多項式的乘法展開，然后合并化簡，再代入數值解題即可
【詳解】（1）解：
，
當時，原式；
（2）解：
，
當，時，原式．
【變式1】計算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題考查了整式的混合運算，熟練掌握運算法則以及運算順序是解此題的關鍵．
（1）先計算冪的乘方與積的乘方，再計算單項式乘以單項式，最后計算單項式除以單項式即可得解；
（2）根據整式的混合運算法則計算即可得出答案；
（3）根據整式的混合運算法則計算即可得出答案．
【詳解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：．
【變式2】我們定義：如果兩個多項式M與N的和為常數，則稱M與N互為“組合多項式”，這個常數稱為它們的“組合數”．如與，，則M與N互為“組合多項式”，它們的“組合數”為3．
(1)下列各組多項式中，互為“組合多項式”的是________（填序號）；
①與；②與；③與．
(2)多項式與（m，n為常數）互為“組合多項式”，求它們的“組合數”；
(3)關于x的多項式與的“組合數”能為0嗎？若能，請求出m，n的值；若不能，請說明理由．
【答案】(1)②③
(2)
(3)能，，
【分析】本題主要考查了整式四則混合運算、求代數式值，準確理解新定義是解題的關鍵．
（1）運用題目中的定義進行逐一計算、辨別；
（2）先運用題目中的定義求得m，n的值，再代入求解；
（3）先求得，，再將根據“組合數”為0，列方程解方程即可；
【詳解】（1） ，不是常數，
①組多項式不是互為“組合多項式”；
，是常數，
②組多項式是互為“組合多項式”；
，2是常數，
③組多項式是互為“組合多項式”，
故答案為：②③
（2）
，
，
與（m，n為常數）互為“組合多項式”，
，，為常數，
解得：，，
，
它們的“組合數”為3；
（3）能為0，理由如下：
，，
，
若C和D的“組合數”能為0，
解得：．
【變式3】數學是研究數量關系和空間形式的科學．對于一些特殊的整式運算，我們要善于觀察并發現規律：（）
；
；
；
．
(1)嘗試：_________________；
(2)猜想：_________________；
(3)利用以上結論求值：
①；
②若，_________________．
【答案】(1)
(2)
(3)①；②0
【分析】本題考查多項式除以多項式，規律探究：
（1）根據已有等式，進行作答即可；
（2）根據已有等式，抽象概括出規律即可；
（3）根據規律構造等式進行求解即可．
【詳解】（1）解：由題意，可得：；
故答案為：；
（2）；
故答案為：；
（3）①；
②∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑