資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題03 乘法公式
考點類型
知識串講
（一）完全平方公式
完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
（a－b）2＝a2－2ab＋b2
【擴展】
擴展一(公式變化)： +
+2ab
擴展二： + = 2(+ )
- = 4ab
擴展三： + + = -2ab-2ac-2bc
（二）平方差公式
平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2
【運用平方差公式注意事項】
①對因式中各項的系數、符號要仔細觀察、比較，不能誤用公式．如：(a＋3b)(3a-b)，不能運用平方差公式．
②公式中的字母a、b可以是一個數、一個單項式、一個多項式。所以，當這個字母表示一個負數、分式、多項式時，應加括號避免出現只把字母平方，而系數忘了平方的錯誤．
考點訓練
考點1：平方差公式——圖形面積探究公式
典例1：如圖，邊長為的正方形紙片剪出一個邊長為的正方形之后，剩余部分可剪拼成一個長方形，若拼成的長方形一邊長為m，則拼成長方形的面積是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查平方差公式的幾何背景，解決此題的關鍵是利用兩正方形的面積表示出長方形的面積．根據題意，利用大正方形的面積減去小正方形的面積表示出長方形的面積，再化簡整理即可．
【詳解】解：根據題意，得：
．
故選：C．
【變式1】如圖，用四個完全相同且長、寬分別為，的長方形紙片圍成一個大正方形，中間是空的小正方形．已知，，則下列關系式中錯誤的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查完全平方公式的幾何背景，掌握完全平方公式的結構特征是正確解答的關鍵．
根據拼圖得出，，進而求出，，再代入分別計算，，的值即可．
【詳解】解：由拼圖可知，，，
，，
，，，
因此選項D符合題意．
故選：D．
【變式2】如圖1，從邊長為的大正方形中剪掉一個邊長為的小正方形，再將剩下的陰影部分剪開，拼成如圖2的長方形，則根據圖1、圖2陰影部分的面積相等，可以得到的一個等式為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查平方差公式的幾何意義，用兩種方法表示陰影部分的面積是解題的關鍵．
由大正方形的面積－小正方形的面積=矩形的面積，進而可以證明平方差公式．
【詳解】解：圖1中：大正方形的面積－小正方形的面積，
圖2中：矩形的面積，
依題意得：，
故答案為：．
【變式3】如圖，在邊長為a的正方形中減去一個邊長為b的小正方形，把剩下的部分拼成一個梯形，分別計算這兩個圖形陰影部分面積，驗證了公式 ．
【答案】
【分析】本題主要考查的是平方差公式的幾何表示，運用不同方法表示陰影部分面積是解題的關鍵，先根據左圖和右圖分別表示出陰影部分的面積，然后根據面積相等即可解答．
【詳解】解：由作圖可得：陰影部分的面積為；
由右圖可得：陰影部分的面積為：；
所以．
故答案為
考點2：平方差公式——識別
典例2：下列各式中不能用平方差公式計算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了平方差公式，根據平方差公式解答即可．即．
【詳解】因為，所以A不符合題意；
因為，所以B符合題意；
因為，所以C不符合題意；
因為，所以D不符合題意．
故選：B．
【變式1】下列各式能用平方差公式計算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了平方差公式．運用平方差公式計算時，關鍵要找相同項和相反項，其結果是相同項的平方減去相反項的平方．
根據平方差公式對各選項分別進行判斷．
【詳解】解：A、不能用平方差公式計算，故本選項不符合題意；
B、不能用平方差公式計算，故本選項不符合題意；
C、不能用平方差公式計算，故本選項不符合題意；
D、能用平方差公式計算，故本選項符合題意；
故選：D．
【變式2】下列能用平方差公式計算的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了平方差公式，能熟記平方差公式是解此題的關鍵．根據平方差公式的特點要找相同項和相反項，其結果是相同項的平方減去相反項的平方，只有具備以上特點才能進行運算，即可求解．
【詳解】解：A、，不能用平方差公式計算，故本選項不符合題意；
B、，不能用平方差公式計算，故本選項不符合題意；
C、，能用平方差公式計算，故本選項符合題意；
D、，不能用平方差公式計算，故本選項不符合題意．
故選：C．
【變式3】下列各式不能用平方差公式計算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題考查平方差公式，掌握平方差公式的結構特征是正確判斷的關鍵．
利用平方差公式的特點，兩個數的和與這兩個數差的積等于這兩個數的平方差，對每個選項進行分析，即可得出答案．
【詳解】A． ，能運用平方差公式計算，故不符合題意；
B．，能運用平方差公式計算，故不符合題意；
C．，不能運用平方差公式計算，故不符合題意；
D．，能運用平方差公式計算，故符合題意；
故選：C．
考點3：平方差公式——計算
典例3：一個長方形的長為，寬為，則這個長方形的面積為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了平方差公式的應用，利用平方差公式計算即可．
【詳解】解：長方形的面積為，
故選：B．
【變式1】小周學習完“平方差公式和完全平方公式”后，發現這兩個公式能使計算變得簡便，例如計算“”，運用公式，可得，請運用所學知識求得“”的值為（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【分析】本題考查的是平方差公式的應用，把原式化為，再利用平方差公式計算即可；
【詳解】解：
；
故選B
【變式2】如果，那么的值為 ．
【答案】3或
【分析】本題考查了平方差公式，平方根應用，根據題中條件，掌握解方程的基本方法是解決問題的關鍵．令，得出，求出，得出，即可得出答案．
【詳解】解：令，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
故選答案為：3或．
【變式3】若 ，，則的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查了求代數式的值，平方差公式．先將代數式根據平方差公式分解為：，再整體代入求解，
【詳解】解：∵ ，，
∴，
故答案為：．
考點4：平方差公式——巧用公式計算
典例4：的計算結果的個位數字是（　　）
A．8 B．6 C．2 D．0
【答案】D
【分析】本題考查了平方差公式的應用，能根據規律得出答案是解此題的關鍵．
根據平方差公式求出結果，根據規律得出答案即可．
【詳解】解：
，
∴的個位是以指數1到4為一個周期，冪的個位數字重復出現，
∵，故與的個位數字相同即為1，
∴的個位數字為0，
∴的個位數字是0．
故選：D．
【變式1】計算的值為（　　）
A． B． C．32 D．0
【答案】A
【分析】本題主要考查了實數運算、運用平方差公式進行運算等知識，熟練掌握平方差公式是解題關鍵．首先根據平方差公式計算，在根據乘法運算律進行計算，然后求解即可．
【詳解】解：
．
故選：A．
【變式2】用簡便方法計算： ．
【答案】1
【分析】考查平方差公式的相關應用，熟練掌握平方差公式是解題的關鍵；
按照平方差公式將進行轉化為，即可簡便計算結果.
【詳解】
．
故答案為：1．
【變式3】先觀察下面的解題過程，然后解答問題：
題目：化簡：
解：
；
計算： ．
【答案】/
【分析】本題主要考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式，將變形為，然后根據平方差公式進行計算即可．
【詳解】解：
．
故答案為：．
考點5：完全平方公式——圖形面積探究公式
典例5：如圖，可以驗證下列哪個乘法公式（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了完全平方公式幾何背景問題的解決能力，關鍵是準確理解并運用完全平方公式和數形結合思想．通過兩種不同方法求大正方形陰影部分的面積．
【詳解】解：由題意得，陰影部分的面積為： 或，
故，
故選：B．
【變式1】數學活動課上，老師準備了若干個如圖1的三種紙片，A中紙片是邊長為a的正方形，B種紙片是邊長為b的正方形，C種紙片是長為b、寬為a的長方形，并用A種紙片一張，B種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖2的大正方形．
圖1 圖2
則下列等式中，能正確表示圖2的面積關系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查完全平方公式的幾何背景，掌握完全平方公式的結構特征是解決問題的關鍵．由圖二可得總面積減掉兩個小矩形面積等于兩個正方形面積之和，從而得到答案，
【詳解】由圖2可得總面積減掉兩個小矩形面積等于兩個正方形面積之和，
即．
故選：D．
【變式2】幾何驗證：如圖1，可驗證公式．
（1）公式應用：若，，則的值為 ；
（2）拓展延伸：如圖2，四邊形和四邊形是兩個正方形，若，，則的值為 .
【答案】 13 18
【分析】本題考查完全平方公式的應用，熟練掌握完全平方公式及其變形推導是解此題的關鍵．
（1）將完全平方公式變形為，即可求解；
（2）設，．則，，據此求出，即可求解．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴．
故答案為：13．
（2）設，．
則，
∴，
∵四邊形和四邊形均為正方形，
∴，，
又∵，
∴．
∴
．
故答案為：18．
【變式3】如圖①，將一個大正方形的面積分成4個部分，通過計算大正方形的面積，我們可以得到恒等式為；如圖②，將一個大正方形的面積分成9個部分，通過計算大正方形的面積，我們可以得到的恒等式為： ．
【答案】
【分析】本題考查完全平方公式在幾何問題中的運用，根據圖形的面積的計算即可解題．
【詳解】解：由圖可知，，
故答案為：．
考點6：完全平方公式——識別
典例6：下列整式乘法中，能運用完全平方公式進行計算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了完全平方公式，解決本題的關鍵是熟記完全平方公式的結構特征．
根據平方差公式和完全平方公式的結構特征進行計算和判斷．
【詳解】解：A．，運用平方差公式進行計算，此選項不符合題意；
B．，運用平方差公式進行計算，此選項不符合題意；
C．，能運用完全平方公式進行計算，此選項符合題意；
D．，運用平方差公式進行計算，此選項不符合題意；
故選：C．
【變式1】若對于兩個多項式的乘積：，能用完全平方公式進行簡捷運算，則滿足的條件可以是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】本題考查的是完全平方公式的應用，熟記完全平方公式的特點是解本題的關鍵．
【詳解】解：根據完全平方公式的特點可得：
，
∴，，
故選C
【變式2】下列各式中，能用完全平方公式計算的是（ ）
A． B．．
C． D．
【答案】B
【分析】分別計算各選項后，即可得到答案．
【詳解】解：A．，故選項不符合題意；
B．，故選項符合題意；
C．，故選項不符合題意；
D．，故選項不符合題意．
故選：B．
【點睛】此題考查了乘法公式和多項式的乘法，熟練掌握完全平方公式和平方差公式是解題的關鍵．
【變式3】下列各式中不能用平方差公式或完全平方公式計算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】平方差公式為，完全平方公式為，由此即可求解．
【詳解】解：、，故選項能用平方差公式，不符合題意；
、不能用平方差公式或完全平方公式計算，故選項符合題意；
、，故選項能用平方差公式，不符合題意；
、，故選項能用平方差公式或完全平方公式計算，不符合題意；
故選：．
【點睛】本題主要考查乘法公式的運用，掌握平方差公式，完全平方公式的運用是解題的關鍵．
考點7：完全平方公式——計算
典例7：下列計算中正確的個數為（ ）
①；②；③；④
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本題考查的是整式的乘法運算，熟練的運用平方差公式與完全平方公式進行簡便運算是解本題的關鍵．
【詳解】解：①，原計算錯誤；
②，原計算錯誤；
③，計算正確；
④，計算正確；
∴正確的為③④，共個，
故選B．
【變式1】下列乘法公式的運用中，正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了完全平方公式和平方差公式的運算，解題的關鍵是掌握完全平方公式和平方差公式的法則．
根據完全平方公式和平方差公式逐項判斷即可．
【詳解】解：A．，故A錯誤，不符合題意；
B．，故B錯誤，不符合題意；
C．，故C正確，符合題意；
D．，故D錯誤，不符合題意．
故選：C．
【變式2】計算： ．
【答案】
【分析】本題考查完全平方公式，準確計算是解題的關鍵，根據完全平方公式計算即可．
【詳解】解：
故答案為：．
【變式3】計算： ．
【答案】
【分析】本題考查了整式的運算，利用完全平方公式計算即可．
【詳解】解：原式，
故答案為：．
考點8：完全平方公式——構造完全平方
典例8：若是一個完全平方式，則的值是（　　）
A． B．15 C．30 D．
【答案】D
【分析】本題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方式是解題的關鍵．根據完全平方式的特征進行計算，即可解答．
【詳解】解：是一個完全平方式，
，
，
，
故選：D．
【變式1】若多項式 是完全平方式， 則的值為（　　）
A．3 B． 或 1 C．3 或 D．7 或
【答案】C
【分析】本題考查了完全平方公式，熟練運用完全平方公式是解題的關鍵．根據，題目中的首末兩項是和這兩個數的平方，那么中間一項為加上或減去和積的2倍，推出，即可得到的值．
【詳解】多項式是關于的完全平方式
或
故選：C．
【變式2】若是完全平方式，則m的值等于 ．
【答案】7或/或7
【分析】本題主要考查了已知是完全平方式求參數，根據已知完全平方式得出，求出即可．
【詳解】解：∵是完全平方式，
∴，
解得：或，
故答案為：7或．
【變式3】若代數式：是完全平方公式，則m 的值是 ．
【答案】
【分析】本題考查完全平方公式，根據完全平方公式的結構可得，再求解即可．
【詳解】解：∵是完全平方公式，
∴，
∴，
故答案為：．
考點9：完全平方公式——變形式求值
典例9：已知，，則的值為（ ）
A．5 B．9 C．13 D．17
【答案】B
【分析】此題主要考查了完全平方公式的應用，掌握完全平方公式及公式的變形是解題關鍵．
利用完全平方公式得出，整體代入計算即可．
【詳解】解：∵，，
∴，
故選：B．
【變式1】若，，則等于（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【分析】本題考查了利用完全平方公式的變形進行求值，熟練掌握完全平方公式的結構特征是解題的關鍵. 將兩邊同時平方，然后根據完全平方公式的變形進行求解即可.
【詳解】解：∵，，
∴，
即，
∴，
故選B
【變式2】已知實數a滿足，則的值是 ．
【答案】7
【分析】本題考查完全平方公式的應用，掌握完全平方公式的結構特征是解決問題的前提，根據已知條件設元求解是關鍵．設，，得，，利用完全平方公式變形得，代入計算即可得答案．
【詳解】解：設，，
，
，
，
，
，
．
故答案為：7．
【變式3】若，則＝ ．
【答案】32
【分析】本題考查的是完全平方公式的應用，由可得，再進一步可得答案；
【詳解】解：∵，
∴即，
則 ，
故答案為：32．
考點10：乘法公式在幾何中的應用
典例10：乘法公式的探究及應用．
探究問題：
圖（1）是一張長方形紙條，將其剪成長短兩條后剛好能拼成圖（2）．
（1）圖（1）中長方形紙條的面積可表示為 _____________（寫成多項式乘法的形式）．
（2）拼成的圖（2）陰影部分的面積可表示為 _____________（寫成兩數平方差的形式）．
（3）比較兩圖陰影部分的面積，可以得到乘法公式：_____________．
結論運用：
（4）運用所得的公式計算：
_____________；
_____________．
拓展運用：
（5）計算：．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4），
（5）．
【分析】本題考查平方差公式、完全平方公式的幾何背景，掌握完全平方公式、平方差公式的結構特征是正確解答的前提．
（1）用代數式表示長方形的長、寬，再根據面積公式表示出長方形的面積即可；
（2）圖2中陰影部分的面積可以看作兩個正方形的面積差，表示兩個正方形的面積差即可；
（3）由兩個圖形的陰影部分的面積相等得出答案；
（4）利用平方差公式進行計算即可；
（5）利用平方差公式將原式化成，進而得到，再進行計算即可．
【詳解】解：（1）圖1中的長方形的長為，寬為，因此面積為；
故答案為：；
（2）圖2中陰影部分的面積可以看作兩個正方形的面積差，即，
故答案為：；
（3）由兩個圖形陰影部分的面積相等可得，
，
故答案為：；
（4），
，
故答案為：，；
（5）原式
．
【變式1】在乘法公式的學習中，我們采用了構造幾何圖形的方法研究問題，通過用不同的方法求同一個平面圖形的面積驗證了平方差公式和完全平方公式，我們把這種方法稱為等面積法．類似的，通過不同的方法求同一個立體圖形的體積，我們稱為等體積法；根據課堂學習的經驗，解決下列問題：
在一個棱長為a的正方體中挖出一個棱長為b的正方體（如圖1），然后利用切割的方法把剩余的立體圖形（如圖2）分成三部分（如圖3），這三部分長方體的體積依次為．
（1）分解因式： ；
（2）請用兩種不同的方法求圖1中的立體圖形的體積：（用含有a，b的代數式表示）① ；② ；
思考：類比平方差公式，你能得到的等式（寫成因式分解的形式）為 ．
（3）應用：利用在（2）中所得到的等式進行因式分解：；
（4）拓展：已知，代數式的值為 ．
【答案】；①，②，思考：；；
【分析】本題主要考查了數形結合的數學思想，利用數形結合思想建立代數與幾何圖形之間的內在聯系，熟練掌握因式分解是解題的關鍵．
（1）根據提取公因式的方法分解因式即可；
（2）根據題意計算體積即可；
（3）利用總結的公式進行因式分解即可；
（4）先提公因式再進行計算；
【詳解】解：（1），
故答案為：；
（2）①根據題意，立體圖形的體積邊長為的正方形的體積邊長為的正方形的體積，
即；
②根據題意，立體圖形的體積圖的三個立體圖形的體積之和，
即： ，
故答案為：；
思考：，
；
（3）；
（4）
由于，
原式．
【變式2】【探究】
若x滿足，求的值．
設，則，
；
【應用】
請仿照上面的方法求解下面問題：
（1）若x滿足，則的值為　　；
【拓展】
（2）已知正方形的邊長為x，E、F分別是、上的點，且，長方形的面積是8，分別以、為邊作正方形．
①　　，　　；（用含x的式子表示）
②求陰影部分的面積．
【答案】（1）5；（2）；②12
【分析】本題考查了完全平方公式的幾何背景．應從整體和部分兩方面來理解完全平方公式的幾何意義；主要圍繞圖形面積展開分析．
（1）設，根據已知等式確定出所求即可；
（2）①設正方形邊長為x，進而根據圖象可以表示出與；
②根據，陰影部分面積，運用題中方法求出陰影部分面積即可．
【詳解】解：（1）設，
則，
；
（2）①∵四邊形是長方形、、四邊形是正方形、
，
，，
故答案為：．
②∵長方形的面積是 8 ，
，
陰影部分面積，
設，
則，
，
，
又，
，
．
即陰影部分的面積是 12 ．
【變式3】【閱讀理解】：
若x滿足：，求的值．
解：設，，
則，，
所以，．
【嘗試應用】：請運用上面的方法求解下面的問題：
（1）若滿足，求的值；
（2）若滿足，求的值；
【問題解決】：
（3）如圖：已知正方形的邊長為，、分別是、上的點，且，，長方形的面積是，求長方形的周長．

【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】本題主要考查了完全平方公式及其變形應用，靈活運用完全平方公式及其變形式的是解決本題的關鍵；
（1）設，，根據已知確定出，，所求即為，利用完全平方公式即可求解；
（2）設，，根據已知確定出，，所求即為，利用完全平方公式即可求解；
（3）用含的式子表示出與，設，根據長方形的面積是得到，且，確定長方形的周長關鍵是確定，結合完全平方公式變形式即可確定，進而得解.
【詳解】解：（1）設，，
則，
，
所以
（2）設，，
則，
，
所以
（3），，
，，
長方形的面積為，
，
設，，
則，
，
，
，
，
長方形的周長
考點11：乘法公式與化簡求值
典例11：先化簡，再求值：
(1)，其中；
(2)，其中，．
【答案】(1)，17
(2)，
【分析】本題考查的是整式的混合運算及化簡求值類題目，掌握整式混合運算的順序和法則是解題的關鍵．
（1）先根據平方差公式和完全平方公式將原式展開，再合并同類項得到化簡結果；最后把已知的值代入化簡結果中，就能求出原式的值；
（2）根據平方差公式和完全平方公式將原式展開，再合并同類項得到化簡結果；最后把已知、的值代入化簡結果中，就能求出原式的值．
【詳解】（1）解：
．
當時，原式．
（2）解：
．
當，時，原式．
【變式1】先化簡，再求值：
(1)，其中，；
(2)，其中．
【答案】(1)，2
(2)，12
【分析】本題考查整式的化簡求值，（1）先利用平方差公式和完全平方公式進行計算，再合并同類項，最后再代入求值即可；
（2）先利用平方差公式和完全平方公式進行計算，再合并同類項，最后再代入求值即可．
【詳解】（1）解：，
，
把，代入得，；
（2）解：∵，
∴，
．
【變式2】化簡求值．
(1)先化簡，再求值：，其中，；
(2)先化簡，再求值：，其中．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本題考查整式的混合運算及代數式求值，熟練掌握運算法則和乘法公式是解答的關鍵．
（1）先利用完全平方公式和平方差公式計算括號內的代數式，再根據多項式除以單項式運算法則化簡原式，再代值求解即可；
（2）先利用完全平方公式和平方差公式化簡原式，再變形已知為代入求解即可．
【詳解】（1）解：
，
當，時，原式 ；
（2）解：
，
∵，
∴，
∴原式
．
【變式3】先化簡再求值：
(1) ，其中，．
(2)先化簡再求值，其中．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本題主要考查了整式的化簡求值：
（1）先根據平方差公式，完全平方公式，多項式除以單項式的計算法則去括號，然后合并同類項化簡，最后代值計算即可；
（2）先根據完全平方公式和單項式乘以多項式的計算法則去小括號，再合并同類項，接著計算多項式除以單項式化簡，最后代值計算即可．
【詳解】（1）解：
，
當，時，原式；
（2）解：
，
當時，原式．
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專題03 乘法公式
考點類型
知識串講
（一）完全平方公式
完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
（a－b）2＝a2－2ab＋b2
【擴展】
擴展一(公式變化)： +
+2ab
擴展二： + = 2(+ )
- = 4ab
擴展三： + + = -2ab-2ac-2bc
（二）平方差公式
平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2
【運用平方差公式注意事項】
①對因式中各項的系數、符號要仔細觀察、比較，不能誤用公式．如：(a＋3b)(3a-b)，不能運用平方差公式．
②公式中的字母a、b可以是一個數、一個單項式、一個多項式。所以，當這個字母表示一個負數、分式、多項式時，應加括號避免出現只把字母平方，而系數忘了平方的錯誤．
考點訓練
考點1：平方差公式——圖形面積探究公式
典例1：如圖，邊長為的正方形紙片剪出一個邊長為的正方形之后，剩余部分可剪拼成一個長方形，若拼成的長方形一邊長為m，則拼成長方形的面積是（　　）
A． B．
C． D．
【變式1】如圖，用四個完全相同且長、寬分別為，的長方形紙片圍成一個大正方形，中間是空的小正方形．已知，，則下列關系式中錯誤的是（ ）

A． B． C． D．
【變式2】如圖1，從邊長為的大正方形中剪掉一個邊長為的小正方形，再將剩下的陰影部分剪開，拼成如圖2的長方形，則根據圖1、圖2陰影部分的面積相等，可以得到的一個等式為 ．
【變式3】如圖，在邊長為a的正方形中減去一個邊長為b的小正方形，把剩下的部分拼成一個梯形，分別計算這兩個圖形陰影部分面積，驗證了公式 ．
考點2：平方差公式——識別
典例2：下列各式中不能用平方差公式計算的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1】下列各式能用平方差公式計算的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2】下列能用平方差公式計算的是（ ）
A． B． C． D．
【變式3】下列各式不能用平方差公式計算的是（ ）
A． B．
C． D．
考點3：平方差公式——計算
典例3：一個長方形的長為，寬為，則這個長方形的面積為（ ）
A． B．
C． D．
【變式1】小周學習完“平方差公式和完全平方公式”后，發現這兩個公式能使計算變得簡便，例如計算“”，運用公式，可得，請運用所學知識求得“”的值為（ ）
A． B． C．0 D．1
【變式2】如果，那么的值為 ．
【變式3】若 ，，則的值為 ．
考點4：平方差公式——巧用公式計算
典例4：的計算結果的個位數字是（　　）
A．8 B．6 C．2 D．0
【變式1】計算的值為（　　）
A． B． C．32 D．0
【變式2】用簡便方法計算： ．
【變式3】先觀察下面的解題過程，然后解答問題：
題目：化簡：
解：
；
計算： ．
考點5：完全平方公式——圖形面積探究公式
典例5：如圖，可以驗證下列哪個乘法公式（　　）
A． B．
C． D．
【變式1】數學活動課上，老師準備了若干個如圖1的三種紙片，A中紙片是邊長為a的正方形，B種紙片是邊長為b的正方形，C種紙片是長為b、寬為a的長方形，并用A種紙片一張，B種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖2的大正方形．
圖1 圖2
則下列等式中，能正確表示圖2的面積關系的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2】幾何驗證：如圖1，可驗證公式．
（1）公式應用：若，，則的值為 ；
（2）拓展延伸：如圖2，四邊形和四邊形是兩個正方形，若，，則的值為 .
【變式3】如圖①，將一個大正方形的面積分成4個部分，通過計算大正方形的面積，我們可以得到恒等式為；如圖②，將一個大正方形的面積分成9個部分，通過計算大正方形的面積，我們可以得到的恒等式為： ．
考點6：完全平方公式——識別
典例6：下列整式乘法中，能運用完全平方公式進行計算的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1】若對于兩個多項式的乘積：，能用完全平方公式進行簡捷運算，則滿足的條件可以是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【變式2】下列各式中，能用完全平方公式計算的是（ ）
A． B．．
C． D．
【變式3】下列各式中不能用平方差公式或完全平方公式計算的是（ ）
A． B．
C． D．
考點7：完全平方公式——計算
典例7：下列計算中正確的個數為（ ）
①；②；③；④
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式1】下列乘法公式的運用中，正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2】計算： ．
【變式3】計算： ．
考點8：完全平方公式——構造完全平方
典例8：若是一個完全平方式，則的值是（　　）
A． B．15 C．30 D．
【變式1】若多項式 是完全平方式， 則的值為（　　）
A．3 B． 或 1 C．3 或 D．7 或
【變式2】若是完全平方式，則m的值等于 ．
【變式3】若代數式：是完全平方公式，則m 的值是 ．
考點9：完全平方公式——變形式求值
典例9：已知，，則的值為（ ）
A．5 B．9 C．13 D．17
【變式1】若，，則等于（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【變式2】已知實數a滿足，則的值是 ．
【變式3】若，則＝ ．
考點10：乘法公式在幾何中的應用
典例10：乘法公式的探究及應用．
探究問題：
圖（1）是一張長方形紙條，將其剪成長短兩條后剛好能拼成圖（2）．
（1）圖（1）中長方形紙條的面積可表示為 _____________（寫成多項式乘法的形式）．
（2）拼成的圖（2）陰影部分的面積可表示為 _____________（寫成兩數平方差的形式）．
（3）比較兩圖陰影部分的面積，可以得到乘法公式：_____________．
結論運用：
（4）運用所得的公式計算：
_____________；
_____________．
拓展運用：
（5）計算：．
【變式1】在乘法公式的學習中，我們采用了構造幾何圖形的方法研究問題，通過用不同的方法求同一個平面圖形的面積驗證了平方差公式和完全平方公式，我們把這種方法稱為等面積法．類似的，通過不同的方法求同一個立體圖形的體積，我們稱為等體積法；根據課堂學習的經驗，解決下列問題：
在一個棱長為a的正方體中挖出一個棱長為b的正方體（如圖1），然后利用切割的方法把剩余的立體圖形（如圖2）分成三部分（如圖3），這三部分長方體的體積依次為．
（1）分解因式： ；
（2）請用兩種不同的方法求圖1中的立體圖形的體積：（用含有a，b的代數式表示）① ；② ；
思考：類比平方差公式，你能得到的等式（寫成因式分解的形式）為 ．
（3）應用：利用在（2）中所得到的等式進行因式分解：；
（4）拓展：已知，代數式的值為 ．
【變式2】【探究】
若x滿足，求的值．
設，則，
；
【應用】
請仿照上面的方法求解下面問題：
（1）若x滿足，則的值為　　；
【拓展】
（2）已知正方形的邊長為x，E、F分別是、上的點，且，長方形的面積是8，分別以、為邊作正方形．
①　　，　　；（用含x的式子表示）
②求陰影部分的面積．
【變式3】【閱讀理解】：
若x滿足：，求的值．
解：設，，
則，，
所以，．
【嘗試應用】：請運用上面的方法求解下面的問題：
（1）若滿足，求的值；
（2）若滿足，求的值；
【問題解決】：
（3）如圖：已知正方形的邊長為，、分別是、上的點，且，，長方形的面積是，求長方形的周長．

考點11：乘法公式與化簡求值
典例11：先化簡，再求值：
(1)，其中；
(2)，其中，．
【變式1】先化簡，再求值：
(1)，其中，；
(2)，其中．
【變式2】化簡求值．
(1)先化簡，再求值：，其中，；
(2)先化簡，再求值：，其中．
【變式3】先化簡再求值：
(1) ，其中，．
(2)先化簡再求值，其中．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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