資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
專題03 分式的加減法
考點類型
知識串講
（一）分式加減法法則
同分母分式加減法：分母不變，把分子相加減。式子表示為
異分母分式加減法：先通分，化為同分母的分式，然后再加減。式子表示為
（二）整數(shù)指數(shù)冪運算
★
★
★
★（）
★
★（）
★（）（任何不等于零的數(shù)的零次冪都等于1）
其中m，n均為整數(shù)。
（三）科學(xué)計數(shù)法表示小于1的正數(shù)
有了負整數(shù)指數(shù)冪后，小于1的正數(shù)也可以用科學(xué)記數(shù)法表示。即小于1的正數(shù)可以用科學(xué)記數(shù)法表示為a×10-n的形式.(1≤∣a∣＜10，n是正整數(shù))
注意：
①1≤︱a︱＜10
②n是正整數(shù)，n等于原數(shù)中左邊第一個不為0的數(shù)字前面所有的0的個數(shù)。(包括小數(shù)點前面的0）
考點訓(xùn)練
考點1：同分母分式加減法
典例1：計算：；
【答案】2
【分析】本題考查了分式的加法法則，根據(jù)分式的加法法則相加，再約分即可；
【詳解】解：
；
【變式1】化簡：．
【答案】
【分析】先計算同分母分式的減法，再利用完全平方公式約分化簡．
【詳解】解：
【點睛】本題考查分式的約分化簡，解題的關(guān)鍵是掌握分式的運算法則．
【變式2】計算：
（1）；（2）；（3）．
【答案】（1）；（2）；（3）1．
【分析】利用同分母分式的加減計算法則進行計算即可．
【詳解】解：（1）原式，
；
（2）原式，
；
（3）原式，
，
．
【點睛】此題主要考查了分式的加減，關(guān)鍵是掌握同分母分式加減法法則：同分母的分式相加減，分母不
變，把分子相加減．
【變式3】計算：
（1）；
（2）.
【答案】（1）2；（2）
【分析】（1）分母不變，分子相加，再化簡即可；
（2）先根據(jù)除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)對變形成×，化簡后再計算；
【詳解】解：（1）原式=
=
=2；
（2）原式= ×
=
=．
【點睛】本題考查了分式的混合運算，進行正確的計算是解題的關(guān)鍵．
考點2：異分母分式加減法
典例2：計算：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題考查分式的混合運算，正確計算是解題的關(guān)鍵：
（1）根據(jù)同分母分式的減法計算即可；
（2）根據(jù)異分母分式的加法計算即可；
（3）先通分，再計算即可
【詳解】（1）解：
（2）解：

（3）解：

【變式1】計算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)1
(2)
【分析】本題考查了分式的乘除混合運算，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
（1）先算乘法，再運算加法，即可作答．
（2）先通分括號內(nèi)，再運算除法，即可作答．
【詳解】（1）解：
．
（2）解：
．
【變式2】計算
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了分式的運算，熟練掌握分式的混合運算法則是解題的關(guān)鍵.
（1）通分并利用同分母分式的減法法則計算即可求解；
（2）通分并利用同分母分式的加減法法則計算，約分即可求解．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
．
【變式3】計算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本題主要考查了分式加減運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式加減運算法則，準確計算．
（1）根據(jù)同分母減法運算法則進行計算即可；
（2）根據(jù)異分母減法運算法則進行計算即可；
（3）根據(jù)異分母加法運算法則進行計算即可；
（4）異分母減法運算法則進行計算即可．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
考點3：分式加減乘除混合運算
典例3：計算：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查的是分式的混合運算，熟知分式混合運算的法則是解答此題的關(guān)鍵．
（1）先把括號內(nèi)的分式進行通分，再算括號里面的，再算除法即可；
（2）先把括號內(nèi)的分式進行通分，再算括號里面的，再算除法即可．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
．
【變式1】計算下列各題：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)1
(2)
(3)
(4)
【分析】本題考查分式的運算，解題的關(guān)鍵是熟練運用分式的運算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．
（1）根據(jù)分式的加法法則即可求出答案．
（2）根據(jù)分式的除法法則即可求出答案．
（3）根據(jù)分式的運算法則即可求出答案．
（4）根據(jù)分式的運算法則即可求出答案．
【詳解】（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：
．
（4）解：
．
【變式2】計算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本題考查了分式的混合運算，熟練掌握分式的混合運算規(guī)則是解題的關(guān)鍵．
（1）按照分式乘法即可求解；
（2）先進行通分，再化簡即可；
（3）先分解因式，再約分，最后通分化簡即可；
（4）先對括號里的進行通分，再把除法運算化為乘法運算，因式分解后約分即可；
【詳解】（1）解：
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
【變式3】計算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本題考查了分式的混合運算：分式的混合運算，要注意運算順序，式與數(shù)有相同的混合運算順序；先乘方，再乘除，然后加減，有括號的先算括號里面的．最后結(jié)果分子、分母要進行約分，注意運算的結(jié)果要化成最簡分式或整式．
（1）先進行乘方運算，再把除法運算化為乘法運算，然后約分即可；
（2）先進行乘方運算和把分子分母因式分解，再把除法運算化為乘法運算，然后約分即可；
（3）先把括號內(nèi)通分，再把分子分母因式分解和除法運算化為乘法運算，然后約分即可；
（4）先通分，把分子分母因式分解，然后約分即可．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
考點4：用科學(xué)計數(shù)法表示除法
典例4：某種細菌直徑約為0.00000067mm，若將0.00000067mm用科學(xué)記數(shù)法表示為mm（n為負整數(shù)），則n的值為（ ）
A．-5 B．-6 C．-7 D．-8
【答案】C
【詳解】解：∵0.000 000 67mm=6.7×10-7
∴n=-7
故選：C
【變式1】地球的體積約為1012立方千米，太陽的體積約為1.4×1018立方千米，地球的體積是太陽體積的倍數(shù)約是(　　)
A．7.1×10-6 B．7.1×10-7
C．1.4×106 D．1.4×107
【答案】B
【分析】直接利用整式的除法運算法則結(jié)合科學(xué)記數(shù)法求出答案．
【詳解】解：∵地球的體積約為1012立方千米，太陽的體積約為1.4×1018立方千米，
∴地球的體積約是太陽體積的倍數(shù)是：1012÷1.4×1018≈7.1×10﹣7．
故選：B
【點睛】本題考查整式的除法．
【變式2】去年11月，在巴黎舉行的第27屆國際計量大會中宣布引進4個新單位詞頭，新增的4個詞頭分別是ronna，quetta，ronto和quecto，其中1ronto，此前，國際單位制最小單位詞頭為“幺”（yocto）．
1幺．一個光子的質(zhì)量約為幺克．換算后約為 ronto克．
【答案】
【分析】運用科學(xué)記數(shù)法的運算法則解答即可．
【詳解】一個光子的質(zhì)量約為幺克．換算后約為 ronto克
故答案為．
【點睛】本題考查了用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)的除法運算，解題的關(guān)鍵是掌握用科學(xué)計數(shù)法表示數(shù)的運算方法．
【變式3】地球的體積約為1012立方千米，太陽的體積約為1.4×1018立方千米，地球的體積約是太陽體積的倍數(shù)是 （用科學(xué)記數(shù)法表示，保留2位有效數(shù)字）
【答案】7.1×10-7
【分析】直接利用整式的除法運算法則結(jié)合科學(xué)記數(shù)法求出答案．
【詳解】∵地球的體積約為1012立方千米，太陽的體積約為1.4×1018立方千米，
∴地球的體積約是太陽體積的倍數(shù)是：1012÷(1.4×1018)≈7.1×10-7．
故答案是：7.1×10-7．
【點睛】本題主要考查了用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)的除法與有效數(shù)字，正確掌握運算法則是解題關(guān)鍵．
考點5：負指數(shù)冪運算
典例5：下列運算中正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了零指數(shù)冪、積的乘方、負整數(shù)指數(shù)冪、同底數(shù)冪的除法等知識點，熟練掌握相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)零指數(shù)冪、積的乘方、負整數(shù)指數(shù)冪、同底數(shù)冪的除法逐項判斷即可．
【詳解】解：A、，故該選項正確，符合題意；
B、，故該選項錯誤，不符合題意；
C、，故該選項錯誤，不符合題意；
D、，故該選項錯誤，不符合題意．
故選D．
【變式1】下列計算①；②；③ ；④正確的有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】A
【分析】此題主要考查了零指數(shù)冪、同底數(shù)冪的乘法、負整數(shù)指數(shù)冪、冪的乘方、積的乘方等知識，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．按照零指數(shù)冪、同底數(shù)冪的乘法、負整數(shù)指數(shù)冪和乘法、冪的乘方、積的乘方進行運算后即可作出判斷．
【詳解】解：，故①錯誤；
，故②錯誤；
，故③正確；
，故④錯誤；
綜上所述，正確的有③，共1個，
故選：A．
【變式2】計算： ．
【答案】
【分析】此題主要考查了實數(shù)運算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．直接利用零指數(shù)冪的性質(zhì)、負整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)分別化簡得出答案．
【詳解】解：原式
．
故答案為：
【變式3】若，， ， ，則a，b，c，d的大小關(guān)系是 ．（用“”連接）
【答案】
【分析】本題考查比較實數(shù)的大小，涉及負整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪的計算，在解題時要把各個數(shù)解出來再進行比較是本題的關(guān)鍵．先計算出每個數(shù)，再比較大小即可．
【詳解】解：，， ， ，
，
．
考點6：整數(shù)指數(shù)冪運算
典例6：下列計算正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查的是完全平方公式，同底數(shù)冪的乘法，整數(shù)指數(shù)冪的運算，積的乘方運算，根據(jù)以上知識逐一分析判斷即可；
【詳解】解：A. ，故錯誤；
B. ，故錯誤；
C. ，故錯誤；
D. ，故正確．
故選：D．
【變式1】下列計算正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
本題考查的是同底數(shù)冪的除法運算，負整數(shù)指數(shù)冪的含義，整數(shù)指數(shù)沒的運算，積的乘方運算，再逐一分析各選項即可得到答案．
【詳解】
解：∵，
∴選項A不符合題意；
∵，
∴選項B不符合題意；
∵，
∴選項C符合題意；
∵，
∴選項D不符合題意；
故選：C．
【變式2】對于實數(shù)a，b，定義運算：a▲b=如：2▲3=，4▲2=．按照此定義的運算方式計算[（-）▲2019]× [2020▲4]= ．
【答案】-4
【分析】根據(jù)題中的新定義進行計算即可．
【詳解】根據(jù)題意可得，原式=，
故答案為：-4．
【點睛】本題考查了整數(shù)指數(shù)冪，掌握運算法則是解題關(guān)鍵．
【變式3】計算：的結(jié)果為 ．
【答案】
【分析】按照整數(shù)指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪的運算法則，逐項計算即可.
【詳解】原式=
=
=
=
=-9
故答案為-9.
【點睛】此題主要考查冪的混合運算，熟練掌握運算法則，即可解題.
考點7：分式化簡求值
典例7：先化簡，再求值：
，其中x的值從不等式組的整數(shù)解中選取．
【答案】，當時，原式
【分析】本題考查了分式的化簡求值及解不等式組的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握相應(yīng)的運算法則并能根據(jù)原代數(shù)式排除．
根據(jù)分式的混合運算法則化簡，再解不等式組求出的取值范圍，取適當?shù)恼麛?shù)值代入即可計算．
【詳解】解：原式
，
解不等式組得，
，
，
代入中得原式．
【變式1】化簡求值：
(1)，其中，；
(2)其中a，2，3為三角形的三邊長，且a為整數(shù)．
【答案】(1)，19
(2)，
【分析】（1）去括號，合并同類項，正確化簡，后轉(zhuǎn)化為代數(shù)式的值計算即可．
（2）先對分式通分、因式分解、約分等化簡，化成最簡分式，后代入求值．
本題考查了整式的化簡求值，分式的化簡求值，運用去括號，合并同類項，因式分解，通分，約分等技巧化簡是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：
，
當，時，
原式．
（2）解：
，
∵a，2，3為三角形的三邊長，且a為整數(shù)，
故，且
∵，
∴，
當時，
原式．
【變式2】（1）化簡：；
（2）先化簡，再求值：，其中從中取一個你認為合適的數(shù)代入求值．
【答案】（1）；（2），當時，原式
【分析】本題考查了分式減法運算和分式的化簡求值，解題關(guān)鍵是熟練運用分式運算法則進行準確計算，代入數(shù)值后正確求值．
（1）根據(jù)分式減法運算法則計算即可；
（2）先按照分式運算法則進行化簡，再選取數(shù)軸代入計算即可．
【詳解】解：（1）
；
（2）
；
當取和時，分式無意義，故選；
把代入，原式．
【變式3】化簡、下面是甲、乙兩同學(xué)的部分運算過程：
解：原式…
解：原式…
(1)甲同學(xué)解法的依據(jù)是__________，乙同學(xué)解法的依據(jù)是__________；（填序號）
①等式的基本性質(zhì)；②分式的基本性質(zhì)；③乘法分配律；④乘法交換律．
(2)請從甲、乙同學(xué)的解法中選擇一種，寫出完整的化簡過程，然后從，，0，1，2中挑選一個合適的數(shù)代入求值．
【答案】(1)②；③
(2)選擇甲，見解析；，4．
【分析】本題考查了分式的化簡求值，準確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)分式的基本性質(zhì)，以及乘法分配律，即可解答；
（2）若選擇甲同學(xué)的解法，先利用異分母分式加減法法則計算括號里，再算括號外，即可解答；若選擇乙同學(xué)的解法，利用乘法分配律進行計算，即可解答，然后把x的值代入化簡后的式子進行計算，即可解答．
【詳解】（1）解：甲同學(xué)解法的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)，乙同學(xué)解法的依據(jù)是乘法分配律，
故答案為：②；③；
（2）解：若選擇甲同學(xué)的解法，
原式
；
若選擇乙同學(xué)的解法，
原式
；
∵，，，
∴，，，
∴當時，原式．
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專題03 分式的加減法
考點類型
知識串講
（一）分式加減法法則
同分母分式加減法：分母不變，把分子相加減。式子表示為
異分母分式加減法：先通分，化為同分母的分式，然后再加減。式子表示為
（二）整數(shù)指數(shù)冪運算
★
★
★
★（）
★
★（）
★（）（任何不等于零的數(shù)的零次冪都等于1）
其中m，n均為整數(shù)。
（三）科學(xué)計數(shù)法表示小于1的正數(shù)
有了負整數(shù)指數(shù)冪后，小于1的正數(shù)也可以用科學(xué)記數(shù)法表示。即小于1的正數(shù)可以用科學(xué)記數(shù)法表示為a×10-n的形式.(1≤∣a∣＜10，n是正整數(shù))
注意：
①1≤︱a︱＜10
②n是正整數(shù)，n等于原數(shù)中左邊第一個不為0的數(shù)字前面所有的0的個數(shù)。(包括小數(shù)點前面的0）
考點訓(xùn)練
考點1：同分母分式加減法
典例1：計算：；
【變式1】化簡：．
【變式2】計算：
（1）；（2）；（3）．
【點睛】此題主要考查了分式的加減，關(guān)鍵是掌握同分母分式加減法法則：同分母的分式相加減，分母不
【變式3】計算：
（1）；
（2）.
考點2：異分母分式加減法
典例2：計算：
(1)
(2)
(3)
【變式1】計算：
(1)；
(2)．
【變式2】計算
(1)
(2)
【變式3】計算：
(1)
(2)
(3)
(4)
考點3：分式加減乘除混合運算
典例3：計算：
(1)；
(2)
【變式1】計算下列各題：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【變式2】計算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【變式3】計算：
(1)
(2)
(3)
(4)
考點4：用科學(xué)計數(shù)法表示除法
典例4：某種細菌直徑約為0.00000067mm，若將0.00000067mm用科學(xué)記數(shù)法表示為mm（n為負整數(shù)），則n的值為（ ）
A．-5 B．-6 C．-7 D．-8
【變式1】地球的體積約為1012立方千米，太陽的體積約為1.4×1018立方千米，地球的體積是太陽體積的倍數(shù)約是(　　)
A．7.1×10-6 B．7.1×10-7
C．1.4×106 D．1.4×107
【變式2】去年11月，在巴黎舉行的第27屆國際計量大會中宣布引進4個新單位詞頭，新增的4個詞頭分別是ronna，quetta，ronto和quecto，其中1ronto，此前，國際單位制最小單位詞頭為“幺”（yocto）．
1幺．一個光子的質(zhì)量約為幺克．換算后約為 ronto克．
【變式3】地球的體積約為1012立方千米，太陽的體積約為1.4×1018立方千米，地球的體積約是太陽體積的倍數(shù)是 （用科學(xué)記數(shù)法表示，保留2位有效數(shù)字）
考點5：負指數(shù)冪運算
典例5：下列運算中正確的是（ ）
A． B． C． D．
【變式1】下列計算①；②；③ ；④正確的有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【變式2】計算： ．
【變式3】若，， ， ，則a，b，c，d的大小關(guān)系是 ．（用“”連接）
考點6：整數(shù)指數(shù)冪運算
典例6：下列計算正確的是（ ）
A． B． C． D．
【變式1】下列計算正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【變式2】對于實數(shù)a，b，定義運算：a▲b=如：2▲3=，4▲2=．按照此定義的運算方式計算[（-）▲2019]× [2020▲4]= ．
【變式3】計算：的結(jié)果為 ．
考點7：分式化簡求值
典例7：先化簡，再求值：
，其中x的值從不等式組的整數(shù)解中選取．
【變式1】化簡求值：
(1)，其中，；
(2)其中a，2，3為三角形的三邊長，且a為整數(shù)．
【變式2】（1）化簡：；
（2）先化簡，再求值：，其中從中取一個你認為合適的數(shù)代入求值．
【變式3】化簡、下面是甲、乙兩同學(xué)的部分運算過程：
解：原式…
解：原式…
(1)甲同學(xué)解法的依據(jù)是__________，乙同學(xué)解法的依據(jù)是__________；（填序號）
①等式的基本性質(zhì)；②分式的基本性質(zhì)；③乘法分配律；④乘法交換律．
(2)請從甲、乙同學(xué)的解法中選擇一種，寫出完整的化簡過程，然后從，，0，1，2中挑選一個合適的數(shù)代入求值．
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