資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題04 分式方程
考點類型
知識串講
（一）分式方程
（1）解分式方程的基本步驟
①去分母(兩邊同乘最簡公分母，約去分母，化成整式方程)。
②解整式方程(去括號-移項/合并同類項-系數化為1)。
③檢驗(把整式方程的解代入最簡公分母，
若最簡公分母為0 ，則x=a不是分式方程的解
若最簡公分母不為0，則x=a是分式方程的解
④寫出答案
（2）增根的概念：在分式方程化為整式方程的過程時，若整式方程的根使最簡公分母為0（即根使整式方程成立，但分式方程中分母為0 ），那么這個根叫做原分式方程的增根。
（二）分式方程應用
分式方程解決實際問題的步驟：
① 根據題意找等量關系
② 設未知數
③列出方程
④解方程，并驗根（對解分式方程尤為重要）
⑤ 寫答案
考點訓練
考點1：分式方程的定義
典例1：在下列方程組中，（　　）是分式方程．
A．＝1 B．
C． D．
【變式1】在①；②（x－1）＋（x＋1）＝4；③＝1；④＋＝－1；⑤（3x－7）中，分式方程有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【變式2】在下列方程：①、②、③、④、⑤中，分式方程的個數有 ．
【變式3】下列方程是關于x的方程，其中是分式方程的是 （只填序號）
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨．
考點2：解分式方程
典例2：解方程
(1)；
(2)．
【變式1】解分式方程：
(1)；
(2)
【變式2】解下列方程：
(1)
(2)
【變式3】解下列分式方程：
(1)；
(2)．
考點3：根據分式方程解的情況求值
典例3：關于x的方程．
(1)m為何值時，方程有增根？
(2)m為何值時，方程無解？
【變式1】已知分式方程．
(1)若分式方程無解，求b的值．
(2)若分式方程的解是非負數，求b的取值范圍．
【變式2】已知關于的方程．
(1)當取何值時，此方程的解為；
(2)當取何值時，此方程會產生增根；
(3)當此方程的解是正數時，求的取值范圍．
【變式3】我們可以將一些只含有一個字母且分子、分母的次數都為一次的分式變形，轉化為整數新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如：，．參考上面的方法，解決下列問題：
(1)將變形為滿足以上結果要求的形式： ；
(2)將變形為滿足以上結果要求的形式： ；
(3)若為正整數，且也為正整數，則的值為 ；
(4)若分式 的值為整數，則滿足條件的所有整數的和為 ．
考點4：分式方程無解問題
典例4：已知關于的分式方程．
(1)若方程有增根，求的值；
(2)若方程無解，求的值．
【變式1】已知關于的分式方程．
(1)若，求分式方程的解；
(2)若分式方程無解，求的值．
【變式2】在解分式方程時，我們通常會通過去分母來簡化方程，這一步就需要在等式兩邊同時乘以最簡公分母．然而，在這個過程中，我們無法確定所乘的最簡公分母是否為0．這就可能導致未知數的取值范圍被不恰當地擴大．如果去分母后得到的整式方程的某個解，使得原分式方程的最簡公分母為0，那么這個解就是增根．雖然增根滿足整式方程，但它并不滿足原分式方程．
(1)解分式方程時產生了增根，這個增根是：　　　　；
(2)若關于x的方程有增根，求m的值：　　　　；
(3)已知整數m使關于x的方程有整數解，求m的值．
【變式3】閱讀下列材料：
在學習“分式方程及其解法”的過程中，老師提出一個問題：若關于的分式方程的解為正數，求的取值范圍．經過獨立思考與分析后，小明和小聰開始交流解題思路，小明說：解這個關于的方程，得到方程的解為，由題目可得，所以，問題解決．小聰說：你考慮的不全面，還必須滿足_______．
（1）請回答：橫線填什么_____．
完成下列問題：
（2）已知關于的方程的解為非負數，求的取值范圍；
（3）若關于的方程無解，求的值．
考點5：列分式方程
典例5：今年夏天干旱嚴重，某村準備請工程隊從烏江引水，為了盡快解決村民用水難問題，工程隊增加了人力進行管道鋪設，現在平均每小時比原計劃多鋪設，現在鋪設所需時間與原計劃鋪設所需時間相同．設現在平均每小時鋪設，則列出的方程為（　　）．
A． B． C． D．
【變式1】“綠水青山就是金山銀山”．某地為美化環境，計劃種植樹木1200棵．在種植完400棵后，由于志愿者的加入，實際每天種植的棵樹比原計劃增加了，結果比原計劃提前4天完成任務．設原計劃每天植樹x棵，則所列方程正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2】《步輦圖》是唐朝畫家閻立本的作品，如圖是它的局部畫面，裝裱前是一個長為，寬為的矩形，裝裱后，整幅圖畫寬與長的比是，且四周邊框的寬度相等，則邊框的寬度應是多少？設邊框的寬度為，根據題意，可列方程為 ．

【變式3】某服裝制造廠要在開學前趕制3000套校服，為了盡快完成任務，廠領導合理調配，加強第一線人力，______，結果提前4天完成任務．問原計劃每天能完成多少套校服？
根據下面的解題過程，上面橫線處空缺的條件應是 ．
解 設原計劃每天能完成x套校服，根據題意，得
考點6：分式方程與實際問題
典例6：某地對一段長達2400米的河堤進行加固，施工隊在加固800米后，采用新的加固模式，每天的工作效率比原來提高，用26天完成了全部加固任務．
(1)施工隊原來每天加固河堤多少米？
(2)若承包商原來每天支付給施工隊的工資為2000元，提高工作效率后每天支付給施工隊的工資增加了，那么完成整個工程后承包商共支付給施工隊的工資為多少元？
【變式1】隨著天氣轉暖，服裝店老板預測某薄款衣服可能會暢銷．用8000元進了一批貨，面市后供不應求，就又用17600元第二次進貨，第二次進貨的數量是第一批的2倍，但單件進貨價格貴了4元．
(1)第一次進貨每件衣服的進貨價格是多少元？
(2)該薄款衣服每件標價60元，第一批按標價售完，第二批準備降價銷售，如果要使銷售完畢的總利潤不低于8000元，問第二批銷售時，每件最多降價多少元？
【變式2】“喜迎二十大奮進新征程”，鄭州鄭東新區2022年“新發展杯”籃球賽于9月下旬火熱開賽，本次比賽也帶動了部分新區居民的運動熱情．為增加器材儲備，某活動中心決定購買A，B兩種型號的籃球作為訓練器材，已知A款比B款每個貴35元．預算資金為1700元，其中800元購買A款籃球，其余資金全部購買B款籃球，且購買B款的數量是A款數量的2倍．
(1)分別求A，B兩款籃球的單價；
(2)后由于聯合了其他活動中心購買，商家答應所有籃球按原價八折銷售，故調整了購買方案：不超過預算資金且購買A款籃球的資金不少于832元，A，B兩款籃球共購買35個；問購買A，B兩款籃球有哪幾種方案？
【變式3】根據以下素材，探索完成任務．
獎品購買方案設計
素材1 某文具店銷售某種鋼筆與筆記本，已知鋼筆的單價是筆記本的倍，用108元購買鋼筆的數量比用60元購買筆記本的數量多2件．
素材2 某學校花費540元購買該文具店的鋼筆和筆記本作為獎品頒發給“優秀學生”，購買的鋼筆數量比筆記本少15支．
素材3 學校花費540元后，文具店贈送m張兌換券（如圖）用于商品兌換．兌換后，筆記本數量與鋼筆相同．
問題解決
任務一 【探求商品單價】請運用適當方法，求出鋼筆與筆記本的單價．
任務二 【探究購買方案】在不使用兌換券的情況下，求購買的鋼筆和筆記本數量．
任務三 【確定兌換方式】運用數學知識，確定兌換方案．
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專題04 分式方程
考點類型
知識串講
（一）分式方程
（1）解分式方程的基本步驟
①去分母(兩邊同乘最簡公分母，約去分母，化成整式方程)。
②解整式方程(去括號-移項/合并同類項-系數化為1)。
③檢驗(把整式方程的解代入最簡公分母，
若最簡公分母為0 ，則x=a不是分式方程的解
若最簡公分母不為0，則x=a是分式方程的解
④寫出答案
（2）增根的概念：在分式方程化為整式方程的過程時，若整式方程的根使最簡公分母為0（即根使整式方程成立，但分式方程中分母為0 ），那么這個根叫做原分式方程的增根。
（二）分式方程應用
分式方程解決實際問題的步驟：
① 根據題意找等量關系
② 設未知數
③列出方程
④解方程，并驗根（對解分式方程尤為重要）
⑤ 寫答案
考點訓練
考點1：分式方程的定義
典例1：在下列方程組中，（　　）是分式方程．
A．＝1 B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據分式方程定義進行解答即可．
【詳解】A、是分式方程，故此選項符合題意；
B、不是分式方程，是整式方程，故此選項不符合題意；
C、不是分式方程，故此選項不符合題意；
D、不是分式方程，是整式方程，故此選項不符合題意；
故選：A．
【點睛】此題主要考查了分式方程，關鍵是掌握分母中含有未知數的方程叫做分式方程．
【變式1】在①；②（x－1）＋（x＋1）＝4；③＝1；④＋＝－1；⑤（3x－7）中，分式方程有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【分析】根據分式方程的定義：分母中含有未知數的方程叫做分式方程進行分析．
【詳解】③＝1； ④＋＝－1是分式方程，共2個，
故選B．
【點睛】此題主要考查了分式方程定義，判斷一個方程是否為分式方程主要是看這個方程的分母中是否含有未知數．
【變式2】在下列方程：①、②、③、④、⑤中，分式方程的個數有 ．
【答案】3
【分析】根據分式方程的概念：分母里含有字母的方程叫做分式方程一一判斷，得出結果即可．
【詳解】解：方程①②分母中不含未知數，故①②不是分式方程；
方程③④⑤分母中含表示未知數的字母，故是分式方程；
故答案為3．
【點睛】本題考查分式方程，判斷一個方程是否為分式方程，主要是依據分式方程的定義，也就是看分母中是否含有未知數（注意：僅僅是字母不行，必須是表示未知數的字母）．
【變式3】下列方程是關于x的方程，其中是分式方程的是 （只填序號）
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨．
【答案】④⑤⑥⑦⑨
【分析】根據分式方程的定義：分母里含有未知數的方程叫做分式方程進行判斷．
【詳解】①是整式方程，故①不符合題意；
②是整式方程，故②不符合題意；
③是整式方程，故③不符合題意；
④是分式方程，故④符合題意；
⑤是分式方程，故⑤符合題意；
⑥是分式方程，故⑥符合題意；
⑦是分式方程，故⑦符合題意；
⑧是整式方程，故⑧不符合題意；
⑨是分式方程，故⑨符合題意；
故答案為：④⑤⑥⑦⑨．
【點睛】本題考查分式方程的定義，充分理解分式方程的定義是解答本題的關鍵．
考點2：解分式方程
典例2：解方程
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查解分式方程，熟練掌握解分式方程的方法步驟是解題的關鍵．
（1）根據解分式方程的方法步驟（去分母，去括號，移項，合并同類項，系數化為1，檢驗，）求解，即可解題；
（2）解題方法與（1）類似．
【詳解】（1）解：
方程兩邊同乘，得
，
解得：，
檢驗：時，，
∴是該分式方程的解；
（2）解：
方程兩邊同乘，得
解得：，
檢驗：時，，
∴是該分式方程的解．
【變式1】解分式方程：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)按照解分式方程的基本步驟求解即可．
(2)按照解分式方程的基本步驟求解即可．
本題考查了分式方程的解法，熟練掌握解分式方程的基本步驟是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：∵,
去分母，得
，
去括號，得
，
移項，得
，
合并同類項，得，
系數化為1，得，
經檢驗，是原方程的根，
故是原方程的根．
（2）∵，
即，
去分母，得
，
去括號，得
，
移項、合并同類項，得
，
系數化為1，得
經檢驗，是原方程的根，
故原方程的根為．
【變式2】解下列方程：
(1)
(2)
【答案】(1)無解；
(2)
【分析】此題考查了解分式方程，不要忘記檢驗．
（1）去分母把分式方程化為整式方程，解整式方程并檢驗即可得到結論；
（2）去分母把分式方程化為整式方程，解整式方程并檢驗即可得到結論．
【詳解】（1）
兩邊同乘以得，
解得，
當時，，
∴是增根，原分式方程無解；
（2）
兩邊同乘以得，
解得，
當時，，
∴是分式方程的解
【變式3】解下列分式方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)無解
【分析】本題考查了解分式方程；
（1）先去分母，再解整式方程，最后檢驗即可；
（2）先去分母，再解整式方程，最后檢驗即可．
【詳解】（1），
去分母，得，
解得，
經檢驗，是原方程的根；
（2），
去分母，得，
解得，
經檢驗，是原方程的增根，原方程無解．
考點3：根據分式方程解的情況求值
典例3：關于x的方程．
(1)m為何值時，方程有增根？
(2)m為何值時，方程無解？
【答案】(1)當或時，方程有增根；
(2)當或或時，方程無解
【分析】本題考查了分式方程的增根和無解問題，熟練掌握解分式方程的步驟和增根問題是解題的關鍵．
（1）去分母把分式方程化為整式方程，再把增根代入，即可求出m的值；
（2）分式方程無解，即化成整式方程時無解，或者求得的能令最簡公分母為0，據此進行解答．
【詳解】（1）解：
方程兩邊都乘，
得，
∵原方程有增根，
∴最簡公分母，
解得或，
當時，則，
解得；
當時，則，
解得，
∴當或時，方程有增根；
（2）解：由（1）可得，
則，即，
當，即時整式方程無解，
當，即時整式方程無解，
當，即時整式方程無解，
∴當或或時，方程無解．
【變式1】已知分式方程．
(1)若分式方程無解，求b的值．
(2)若分式方程的解是非負數，求b的取值范圍．
【答案】(1)
(2)b的取值范圍是且
【分析】本題主要考查分式方程的解，熟練掌握解分式方程是解題的關鍵．
（1）先對分式方程求解，再根據分式方程無解得到即可得到答案；
（2）根據題意得到，且，計算即可．
【詳解】（1）解：去分母，得，
移項，得．
系數化為1．得．
分式方程無解．
，
；
（2）解：分式方程的解是非負數，且分式方程的分母不為0，
，且，
且，
b的取值范圍是且．
【變式2】已知關于的方程．
(1)當取何值時，此方程的解為；
(2)當取何值時，此方程會產生增根；
(3)當此方程的解是正數時，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(3)且
【分析】本題考查了分式方程的解，以及一元一次不等式，熟練掌握方程和不等式的解法是解題的關鍵．
（1）把分式方程化為整式方程，解之得到，把代入方程即可得出k的值；
（2）根據增根的定義，得出增根，從而得出k的值；
（3）根據解為正數，建立不等式求解，即可得出k的取值范圍．
【詳解】（1）解：，
，
，
，
，
，
，
，
方程的解為，
，解得，
當時，此方程的解為；
（2）解：方程會產生增根，
，
，解得，
當時，此方程會產生增根；
（3）解：方程的解是正數，
且，
解得且．
當此方程的解是正數時，的取值范圍是且．
【變式3】我們可以將一些只含有一個字母且分子、分母的次數都為一次的分式變形，轉化為整數新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如：，．參考上面的方法，解決下列問題：
(1)將變形為滿足以上結果要求的形式： ；
(2)將變形為滿足以上結果要求的形式： ；
(3)若為正整數，且也為正整數，則的值為 ；
(4)若分式 的值為整數，則滿足條件的所有整數的和為 ．
【答案】(1)
(2)
(3)2或6
(4)8
【分析】本題考查了分式的化簡求值，根據分式的情況求值：
（1）根據題意變形即可；
（2）根據題意變形即可；
（3）根據（2）得到變形后的結果，然后根據是正整數可得到的值；
（4）先把式子變形，然后根據題意可分別得到的值，最后求和即可；
正確計算是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：由題可得，
故答案為：；
（2）解：由題可得，
故答案為：；
（3）解：由（2）可得變形為，
∵為正整數，且也為正整數，
∴或，
解得：或，
故答案為：2或6；
（4）解：先將變形，
即，
∵分式 的值為整數，
當時，，
當時，，
當時，，
當時，，
當時，，
當時，，
當時，，
當時，，
∴a的和為：，
故答案為：8．
考點4：分式方程無解問題
典例4：已知關于的分式方程．
(1)若方程有增根，求的值；
(2)若方程無解，求的值．
【答案】(1)m的值為或1.5
(2)m的值為或或1.5
【分析】本題考查了分式方程無解的問題，正確的將分式方程轉化為整式方程，明確方程產生無解的原因，能正確地根據產生的原因進行解答是關鍵．
（1）方程兩邊同時乘以最簡公分母，化為整式方程；若方程有增根，則最簡公分母為0，從而求得x的值，然后代入整式方程即可得解；
（2）方程無解，有兩種情況，一種是原方程有增根，一種是所得整式方程無解，分別求解即可得．
【詳解】（1）解：方程兩邊同時乘以，得
，
整理得，
∵原分式方程有增根，
∴，
解得：或，
當時，；
當時，；
綜上，m的值為或1.5．
（2）解：當時，該整式方程無解，則原分式方程也無解，此時；
當時，要使原方程無解，由（2）得：或，
綜上，m的值為或或1.5．
【變式1】已知關于的分式方程．
(1)若，求分式方程的解；
(2)若分式方程無解，求的值．
【答案】(1)
(2)或或
【分析】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗根．
（1）將代入，分式方程去分母轉化為整式方程，即可求出x的值；
（2）分式方程去分母轉化為整式方程，求解得到，由分式方程無解，得到或或，即可求出 m的值．
【詳解】（1）解：去分母得 ，
解得 ，
經檢驗：是方程的解；
（2）解：去分母得 ，即 ，
當時，即時，整式方程無解，符合題意；
當時，則
∴或，
∴或，
綜上所述，或或.
【變式2】在解分式方程時，我們通常會通過去分母來簡化方程，這一步就需要在等式兩邊同時乘以最簡公分母．然而，在這個過程中，我們無法確定所乘的最簡公分母是否為0．這就可能導致未知數的取值范圍被不恰當地擴大．如果去分母后得到的整式方程的某個解，使得原分式方程的最簡公分母為0，那么這個解就是增根．雖然增根滿足整式方程，但它并不滿足原分式方程．
(1)解分式方程時產生了增根，這個增根是：　　　　；
(2)若關于x的方程有增根，求m的值：　　　　；
(3)已知整數m使關于x的方程有整數解，求m的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】此題主要考查了分式方程的增根，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：（1）化分式方程為整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相關字母的值.
（1）解分式方程時產生了增根，則據此求出這個增根即可；
（2）首先把所給的分式方程化為整式方程，然后根據分式方程有增根，得到或據此求出的值，代入整式方程求出的值即可；
（3）首先根據用含的式子表示出，然后根據關于的方程 有整數解，求出的值即可.
【詳解】（1）解：解分式方程時產生了增根，
∴，
解得，
故答案為：；
（2），
，
．
將代入方程得：．不符合條件．
將代入方程得：．
．
綜上所述，．
（3），
，
．
∵．
∴．
∵為整數，
∴，
∴．
綜上所述，．
【變式3】閱讀下列材料：
在學習“分式方程及其解法”的過程中，老師提出一個問題：若關于的分式方程的解為正數，求的取值范圍．經過獨立思考與分析后，小明和小聰開始交流解題思路，小明說：解這個關于的方程，得到方程的解為，由題目可得，所以，問題解決．小聰說：你考慮的不全面，還必須滿足_______．
（1）請回答：橫線填什么_____．
完成下列問題：
（2）已知關于的方程的解為非負數，求的取值范圍；
（3）若關于的方程無解，求的值．
【答案】（1）分式的分母不能為0（a≠0）；（2）且；（3）或．
【分析】本題考查根據分式方程的解的情況，求參數：
（1）根據分式有意義的條件：分母不能為0，即可知道小聰說得對；
（2）首先按照解分式方程的步驟得到方程的解，再利用解是非負數結合分式有意義即可求出的取值范圍；
（3）按照解分式方程的步驟去分母得到整式方程，若分式方程無解，則得到增根或者整式方程無解，即可求出的范圍．
【詳解】（1）解：∵分式方程的解不能是增根，即不能使分式的分母為0
∴小聰說得對，分式的分母不能為0．
（2）解：原方程可化為
去分母得：
解得：
∵解為非負數
∴，即
又∵
∴，即
∴且
（3）解：去分母得：
解得：
∵原方程無解
∴或者
①當時，得：
②當時，，得：
綜上：當或時原方程無解．
考點5：列分式方程
典例5：今年夏天干旱嚴重，某村準備請工程隊從烏江引水，為了盡快解決村民用水難問題，工程隊增加了人力進行管道鋪設，現在平均每小時比原計劃多鋪設，現在鋪設所需時間與原計劃鋪設所需時間相同．設現在平均每小時鋪設，則列出的方程為（　　）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了由實際問題列分式方程，關鍵在于尋找相等關系，列出方程．設現在平均每小時鋪設，則原計劃每天鋪m，根據現在鋪設所需時間與原計劃鋪設所需時間相同列出分式方程即可．
【詳解】解：設現在平均每小時鋪設，則原計劃每天鋪，根據題意，可列方程：
，
故選：A．
【變式1】“綠水青山就是金山銀山”．某地為美化環境，計劃種植樹木1200棵．在種植完400棵后，由于志愿者的加入，實際每天種植的棵樹比原計劃增加了，結果比原計劃提前4天完成任務．設原計劃每天植樹x棵，則所列方程正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查從實際問題中抽取分式方程，理解題意是解題的關鍵．根據題中的等量關系列出方程即可．
【詳解】解：設原計劃每天植樹x棵，
根據等量關系即可得到，
故選B．
【變式2】《步輦圖》是唐朝畫家閻立本的作品，如圖是它的局部畫面，裝裱前是一個長為，寬為的矩形，裝裱后，整幅圖畫寬與長的比是，且四周邊框的寬度相等，則邊框的寬度應是多少？設邊框的寬度為，根據題意，可列方程為 ．

【答案】
【分析】本題主要考查了列分式方程，分別表示裝裱后的長和寬，再根據比例列出方程即可．
【詳解】解：裝裱后的長為cm，寬為cm，根據題意，得
．
故答案為：．
【變式3】某服裝制造廠要在開學前趕制3000套校服，為了盡快完成任務，廠領導合理調配，加強第一線人力，______，結果提前4天完成任務．問原計劃每天能完成多少套校服？
根據下面的解題過程，上面橫線處空缺的條件應是 ．
解 設原計劃每天能完成x套校服，根據題意，得
【答案】每天完成的校服比原計劃多，
【分析】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．設原來每天完成校服套，則實際每天完成校服套，根據工作時間工作總量工作效率結合實際比原計劃提前4天完成任務，根據方程，此題得解．
【詳解】解：設原來每天完成校服套，則實際每天完成校服套，
依題意，得：．
所以橫線處空缺的條件應是：每天完成的校服比原計劃多，
故答案為：每天完成的校服比原計劃多，
考點6：分式方程與實際問題
典例6：某地對一段長達2400米的河堤進行加固，施工隊在加固800米后，采用新的加固模式，每天的工作效率比原來提高，用26天完成了全部加固任務．
(1)施工隊原來每天加固河堤多少米？
(2)若承包商原來每天支付給施工隊的工資為2000元，提高工作效率后每天支付給施工隊的工資增加了，那么完成整個工程后承包商共支付給施工隊的工資為多少元？
【答案】(1)原來每天加固河堤80米
(2)完成整個工程后承包商共支付給施工隊的工資為元
【分析】本題主要考查了分式方程的應用，解題的關鍵在于能夠準確找到等量關系列出方程求解．
（1）設原來每天加固河堤米，則采用新的加固模式后每天加固米，然后根據用26天完成了全部加固任務，列方程求解即可；
（2）先算出提高工作效率后每天加固的長度，然后進行求解即可．
【詳解】（1）解：設原來每天加固河堤米，則采用新的加固模式后每天加固米．
根據題意得：，
解這個方程得：，
經檢驗可知，是原分式方程的根，并符合題意；
答：原來每天加固河堤80米；
（2）解：根據題意得(米)，
所以，承包商支付給工人的工資為：(元)．
故完成整個工程后承包商共支付給施工隊的工資為元．
【變式1】隨著天氣轉暖，服裝店老板預測某薄款衣服可能會暢銷．用8000元進了一批貨，面市后供不應求，就又用17600元第二次進貨，第二次進貨的數量是第一批的2倍，但單件進貨價格貴了4元．
(1)第一次進貨每件衣服的進貨價格是多少元？
(2)該薄款衣服每件標價60元，第一批按標價售完，第二批準備降價銷售，如果要使銷售完畢的總利潤不低于8000元，問第二批銷售時，每件最多降價多少元？
【答案】(1)第一次進貨每件衣服的進貨價格是40元；
(2)第二批銷售時，每件最多降價6元
【分析】本題考查分式的實際應用、一次一次不等式的實際應用：
（1）設第一次進貨每件衣服的進貨價格是x元，根據所給等量關系列分式方程，求出解后進行檢驗即可；
（2）設每件降價y元，根據“總利潤不低于8000元”列不等式，求出不等式的最大整數解即可．
【詳解】（1）解：設第一次進貨每件衣服的進貨價格是x元，則第二次進貨每件衣服的進貨價格是元，
根據題意得：，
解得：，
經檢驗，是所列方程的解．
答：第一次進貨每件衣服的進貨價格是40元；
（2）答：第一次進貨每件衣服的進貨價格是40元；
第一次進貨的數量是（件）；
第二次進貨的數量是（件）．
設第二批銷售時，每件降價y元，
根據題意得：，
解得：，
∴y的最大值為6．
答：第二批銷售時，每件最多降價6元．
【變式2】“喜迎二十大奮進新征程”，鄭州鄭東新區2022年“新發展杯”籃球賽于9月下旬火熱開賽，本次比賽也帶動了部分新區居民的運動熱情．為增加器材儲備，某活動中心決定購買A，B兩種型號的籃球作為訓練器材，已知A款比B款每個貴35元．預算資金為1700元，其中800元購買A款籃球，其余資金全部購買B款籃球，且購買B款的數量是A款數量的2倍．
(1)分別求A，B兩款籃球的單價；
(2)后由于聯合了其他活動中心購買，商家答應所有籃球按原價八折銷售，故調整了購買方案：不超過預算資金且購買A款籃球的資金不少于832元，A，B兩款籃球共購買35個；問購買A，B兩款籃球有哪幾種方案？
【答案】(1)A款籃球的單價為80元，B款籃球的單價為45元
(2)見解析
【分析】本題主要考查了分式方程的應用以及不等式組的應用，掌握分式方程的應用以及不等式組的應用是解本題的關鍵．
（1）設B款籃球的單價為x元，則A款籃球的單價為元，根據“預算資金為1700元，其中800元購買A款籃球，其余資金全部購買B款籃球，且購買B款的數量是A款數量的2倍”列分式方程，解方程即可；
（2）設購買A款籃球m個，則購買B款籃球個，根據“不超過預算資金且購買A款籃球的資金不少于832元”列一元一次不等式組，求出m的取值范圍，取整即可確定購買方案．
【詳解】（1）解：設B款籃球的單價為x元，則A款籃球的單價為元，
根據題意，得，
解得，
經檢驗，是原分式方程的根，
（元）
答：A款籃球的單價為80元，B款籃球的單價為45元．
（2）設購買A款籃球m個，則購買B款籃球個，
根據題意，得，
解得，
∵m為正整數，
∴m的值可以取13，14，15，
∴有三種購買方案：
方案一：購買A款籃球13個，B款籃球22個；
方案二：購買A款籃球14個，B款籃球21個；
方案三：購買A款籃球15個，B款籃球20個．
【變式3】根據以下素材，探索完成任務．
獎品購買方案設計
素材1 某文具店銷售某種鋼筆與筆記本，已知鋼筆的單價是筆記本的倍，用108元購買鋼筆的數量比用60元購買筆記本的數量多2件．
素材2 某學校花費540元購買該文具店的鋼筆和筆記本作為獎品頒發給“優秀學生”，購買的鋼筆數量比筆記本少15支．
素材3 學校花費540元后，文具店贈送m張兌換券（如圖）用于商品兌換．兌換后，筆記本數量與鋼筆相同．
問題解決
任務一 【探求商品單價】請運用適當方法，求出鋼筆與筆記本的單價．
任務二 【探究購買方案】在不使用兌換券的情況下，求購買的鋼筆和筆記本數量．
任務三 【確定兌換方式】運用數學知識，確定兌換方案．
【答案】任務一：每支鋼筆9元，每本筆記本6元；任務二：購買鋼筆30支，筆記本45本；任務三：有3種方案，分別為：①3張兌換鋼筆，0張兌換筆記本；②5張兌換鋼筆，1張兌換筆記本；③7張兌換鋼筆，2張兌換筆記本
【分析】本題主要考查了分式方程的應用，二元一次方程組的應用：
任務一：解：設筆記本每本x元，則鋼筆每支1.5x元．由題意，列出方程，即可求解；
任務二：解：設購買鋼筆a支，購買筆記本b本．由題意，列出方程組，即可求解；
任務三：解：設其中y張用來兌換鋼筆，則張兌換筆記本．由題意，列出方程，即可求解．
【詳解】解：設筆記本每本x元，則鋼筆每支1.5x元．由題意，得：
，解得：，
經檢驗，是原方程的解，且符合題意．
（元）
答：每支鋼筆9元，每本筆記本6元；
任務二：解：設購買鋼筆a支，購買筆記本b本．由題意得：
，
解得：，
答：購買鋼筆30支，筆記本45本；
任務三：解：設其中y張用來兌換鋼筆，則張兌換筆記本．
由題意得：，整理得：，
∵，
∴或或，
∴有3種方案，分別為：
①3張兌換鋼筆，0張兌換筆記本；
②5張兌換鋼筆，1張兌換筆記本；
③7張兌換鋼筆，2張兌換筆記本
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