資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題05 分式單元過關（基礎版）
考試范圍：第十五章；考試時間：120分鐘；總分：150分
注意事項：
1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息
2．請將答案正確填寫在答題卡上
第I卷（選擇題）
評卷人得分
一、單選題
1．下列運算正確的是（　　）
A．a15÷b5＝a3 B．4a 3a2＝12a2
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（2a2）2＝4a4
【答案】D
【分析】根據單項式的乘法法則，積的乘方的性質，平方差公式對個選項計算后利用排除法求解．
【詳解】解：A、原式＝b10，不符合題意；
B、原式＝12a3，不符合題意；
C、原式＝a2﹣2ab+b2，不符合題意；
D、原式＝4a4，符合題意，
故選D．
【點睛】本題考查單項式的乘法法則、積的乘方的性質、平方差公式，解題的關鍵是熟練掌握單項式的乘法法則、積的乘方的性質、平方差公式.
2．已知，，則的值為（ ）
A．7 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【分析】根據已知，，以及，代入計算即可．
【詳解】，，
，
故選：C．
【點睛】本題主要考查了平方差公式，正確應用平方差公式是解題的關鍵．
3．下列從左到右的變形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據因式分解是把一個多項式轉化成幾個整式積的形式，可得答案．
【詳解】解：A．該式子是整式的乘法，不是因式分解，故此選項不符合題意；
B．該式子是把一個多項式轉化成幾個整式積的形式，屬于因式分解，故此選項符合題意；
C．該式子的右邊不是幾個整式積的形式，不是因式分解，故此選項不符合題意；
D．該式子是整式的乘法，不是因式分解，故此選項不符合題意．
故選：B．
【點睛】本題考查因式分解．解題的關鍵是掌握因式分解的意義，因式分解是把一個多項式轉化成幾個整式積的形式，注意因式分解與整式乘法的區(qū)別．
4．等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據乘法分配律簡便計算．
【詳解】解：（-2）2019+（-2）2020
=（-2）2019×（1-2）
=（-2）2019×（-1）
=22019．
故選：B．
【點睛】本題考查了有理數的混合運算，有理數混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，應按從左到右的順序進行計算；如果有括號，要先做括號內的運算．進行有理數的混合運算時，注意各個運算律的運用，使運算過程得到簡化．
5．計算的結果正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】題目主要考查單項式除以單項式，熟練掌握運算法則是解題關鍵．
【詳解】解：，
故選：B．
6．計算的結果等于（ ）
A．1 B． C．7 D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了有理數的乘方運算等知識點，先根據乘方意義，把寫成的形式，然后利用積的乘方法則進行簡便計算即可，解題關鍵是熟練掌握逆用積的乘方法則進行簡便計算．
【詳解】解：，
故選C．
7．若xmyn÷(x3y)=4x2，則( )
A．m=6，n=1 B．m=5，n=1 C．m=5，n=0 D．m=6，n=0
【答案】B
【分析】根據整式除法法則進行計算即可.
【詳解】因為，xmyn÷(x3y)=4x2
所以，m-3=2,n-1=0
所以，m=5,n=1
故選B
【點睛】熟練掌握整式除法法則,特別是同底數冪除法法則.
8．下列計算結果正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據整式的加減運算法則，同底數冪的運算，完全平方公式，積的乘方運算即可求解．
【詳解】解：、，故此選項錯誤，不符合題意；
B、，故此選項錯誤，不符合題意；
C、，故此選項錯誤，不符合題意；
D、，正確，符合題意．
故選：．
【點睛】本題主要考查整式的加減運算法則，同底數冪的運算，完全平方公式，積的乘方運算，掌握整式的混合運算是解題的關鍵．
9．下列運算結果正確的是（　　）
A．a+2b＝3ab B．3a2﹣2a2＝1
C．（﹣a2）3＝﹣a6 D．（a+2b）2＝a2+4b2
【答案】C
【分析】根據合并同類項，同底數冪的乘法、除法進行判斷．
【詳解】A、a+2b不能合并，錯誤；
B、3a2﹣2a2＝a2，錯誤；
C、（﹣a2）3＝﹣a6，正確；
D、（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，錯誤；
故選C．
【點睛】本題考查了合并同類項、同底數冪的乘除法．關鍵是根據法則判斷．
10．已知，，，則代數式的值為（ ）
A．3 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】根據條件式求出，，，然后對所求式子利用完全平方公式變形，整體代入計算即可.
【詳解】解：∵，，，
∴，，，
∴，
，
，
，
，
故選C.
【點睛】本題若直接代入求值會很麻煩，應根據式子特點選擇合適的方法先進行化簡整理，化繁為簡，從而達到簡化計算的效果，對完全平方公式的靈活運用是解題的關鍵．
第II卷（非選擇題）
評卷人得分
二、填空題
11．計算： ．
【答案】
【分析】此題考查了平方差公式，根據平方差公式進行計算即可．
【詳解】解：
故答案為：
12．若，則m= .
【答案】-2
【分析】利用完全平方公式計算即可求出的值．
【詳解】解：∵，
，即
故答案為-2．
【點睛】此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．
13．計算： ．
【答案】
【分析】把單項式分別乘以多項式的每一項，再把所得的積相加即可．
【詳解】解：
．
故答案為：．
【點睛】本題考查的是單項式乘以多項式，掌握“單項式乘以多項式的運算法則”是解本題的關鍵．
14．因式分解： ．
【答案】
【分析】本題考查了因式分解的概念以及提公因式法和公式法分解因式，先整理原式得出，再提公因式得出，最后運用公式法進行分解因式，即可作答．
【詳解】解：，
，
，
，
故答案為：．
15．已知實數a，b，滿足，則的值為
【答案】
【分析】將轉化為a=2b，代入代數式中化簡計算即可．
【詳解】解：∵，
∴a=2b，代入中，
則
=
=
=
=
故答案為：．
【點睛】本題考查了代數式求值，解題的關鍵是掌握分式的基本性質．
16．如果的值為8，那么的值是 ．
【答案】7
【分析】將所求代數式進行變形，變?yōu)椋俅肭蠼饧纯桑?br/>【詳解】解：∵，
當的值為8時，
原式．
【點睛】本題考查的知識點是代數式求值，解此類問題的關鍵是將所求式子進行恒等變形，轉化為用已知關系表示的形式，再代入計算．
評卷人得分
三、解答題
17．先化簡，再求值：，其中．
【答案】
【分析】利用整式的混合運算法則先化簡，再代值計算即可．
【詳解】解：原式
．
當時，原式．
【點睛】本題考查整式的混合運算．注意計算的準確性．
18．已知：=a，=b，用a，b分別表示：
（1）的值；
（2）的值.
【答案】（1）ab；（2）a3b2.
【分析】（1）逆用同底數冪的乘法：，再將=a，=b代入即可；
（2）逆用同底數冪的乘法和逆用冪的乘方：，再將=a，=b代入即可.
【詳解】（1）
將=a，=b代入可得：
原式=ab；
（2）
將=a，=b代入可得：
原式=a3b2.
【點睛】此題考查的是逆用同底數冪的乘法和逆用冪的乘方.
19．探索題．
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1
……
觀察以上等式，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，利用所得規(guī)律，解決下列問題：
（1）直接寫出（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝　 　．
（2）直接寫出（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+……x2+x+1）＝　 　．
（3）直接寫出26+25+24+23+22+2+1的值　 　．
【答案】（1）x6﹣1；（2）xn+1﹣1；（3）63．
【分析】（1）仿照閱讀材料中的等式寫出第5個等式即可；
（2）歸納總結得到一般性規(guī)律，寫出即可；
（3）利用得出的規(guī)律化簡，計算即可求出值．
【詳解】解：（1）（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝x6﹣1；
故答案為：x6﹣1；
（2）（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）＝xn+1﹣1；
故答案為：xn+1﹣1；
（3）原式＝（2﹣1）（26+25+24+23+22+2+1）＝26﹣1＝63，
故答案為：63
【點睛】本題主要考查了整式乘法，是整式乘法的規(guī)律探究題，找準等式的一般性規(guī)律是解題的關鍵.
20．已知，．試求：（1）的值；（2）的值．
【答案】（1）±5；（2）222.
【分析】（1）利用完全平方公式將 變形，將已知等式代入計算求出的值，再開方即可求出值；
（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式變形，將各自的值代入計算即可求出值．
【詳解】解：（1）
∴
（2），
原式
故答案為（1）±5；（2）222.
【點睛】本題考查完全平方公式，因式分解的應用，熟練掌握完全平方公式是解題的關鍵．
21．已知、、為的三邊，且，試判斷的形狀，并說明理由．
【答案】△ABC是等邊三角形；理由見解析．
【分析】先把化為，再利用非負數的性質求解 從而可得答案.
【詳解】解：△ABC是等邊三角形；理由如下：
∵，
，
即：,
∴，
，即．
是等邊三角形．
【點睛】本題考查的是完全平方式的應用，非負數的性質，等邊三角形的定義，掌握完全平方式的特點及性質是解題的關鍵.
22．已知，求代數式的值．
【答案】，
【分析】根據，由非負數的性質求出，再化簡代數式，把代入化簡后的結果計算即可得到答案．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
原式
當時，
原式
【點睛】此題主要考查了整式的四則混合運算和代數式求值，熟練掌握整式的運算法則和乘方公式是解題的關鍵．
23．根據平方根的意義知：若，則，此時可求出方程的兩個根，依此理，由，則，移項得，這是方程的兩個根．根據上述提示，解下列方程：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)x=；
(2)；
(3)
【分析】（1）移項，直接利用平方根的意義求解即可；
（2）利用平方根的意義求解即可；
（3）利用完全平方公式對左邊配方，再利用平方根的意義求解即可．
【詳解】（1）解：，
移項，得：，
解得：x=；
（2）解：，
開方得：，
移項得；
（3）解：原方程整理得：，
開方得：，
移項得．
【點睛】本題考查了平方根．解題的關鍵是掌握平方根的定義．
24．對于二次三項式 2+ 2 + 2可以直接用公式法分解為 ( + )2的形式，但對于二次三項 2+ 2 3 2.就不能直接用公式法了,我們可以在二次三項式 2+ 2 3 2中先加上一項 2.使其成為完全平方式，再減去 2這項， 使整個式子的值不變.于是有
2 + 2 3 2
≡ 2+ 2 + 2 2 3 2
≡ ( + )2- （2 ）2= ( + 3 )( – )
像上面這樣把二次三項式分解因式的方法叫做添(拆)項法，
（1）請用上述方法把分解因式下列因式：① 2 4 + 3;② 4+ 4
（2）解決問題:多項式 2 + 2 + 2有最小值嗎，如果有，請求出它的最小值，并求出當它有最小值時 x 的值是多少 如果沒有，請說明理由.
【答案】（1）①（x-1）（x-3）；
②( 2+2y +2)( 2-2y +2);
（2）它有最小值1時x的值是-1．
【分析】（1）要運用配方法，只要二次項系數為1，只需加上一次項系數一半的平方即可配成完全平方公式；
（2）把多項式x2+2x+2湊成完全平方式加常數項的形式，即可求出多項式x2+2x+2有最小值時x的值．
【詳解】解：（1）①x2-4x+3
=x2-2×2x+22-22+3
=（x-2）2-12
=（x-1）（x-3）；
② 4+ 4
= （ 2）2+ 4+4 2-4 2
=（ 2+2）2-（2y）2
=( 2+2y +2)( 2-2y +2);
（2）x2+2x+2
=x2+2x+12-12+2
=（x+1）2+1，
故當它有最小值1時x的值是-1．
【點睛】此題主要考查了因式分解的應用，完全平方式的非負性，即完全平方式的值是大于等于0的，它的最小值為0．所以在求一個多項式的最小值時常常用湊完全平方式的方法進行求值．
25．閱讀下列材料，解決問題：
12345678987654321這個數有這樣一個特點：各數位上的數字從左到右逐漸增大（由1到9，是連續(xù)的自然數），到數9時，達到頂峰，以后又逐漸減小（由9到1），它活像一只橄欖，我們不妨稱它為橄欖數．記第一個橄欖數為a1＝1，第二個橄欖數為a2＝121，第三個橄欖數為a3＝12321……有趣的是橄欖數還是一個平方數，如1＝12，121＝112，12321＝1112，1234321＝11112……而且，橄欖數可以變形成如下對稱式：
……
根據以上材料，回答下列問題
（1）11111112＝　 　；將123454321變形為對稱式：123454321＝　 　．
（2）一個兩位數（十位大于個位），交換其十位與個位上的數字，得到一個新的兩位數，將原數和新數相加，就能得到橄欖數121，求這個兩位數．
（3）證明任意兩個橄欖數am，an的各數位之和的差能被m﹣n整除（m＝1，2…9，n＝1，2…9，m＞n）
【答案】（1）；（2）65，74，83，92；（3）任意兩個橄欖數am，an的各數位之和的差能被m﹣n整除．
【分析】（1）根據題中給出的定義，直接可得：
（2）設十位數字是x，個位數字是y，根據題意得到x+y=11，進而確定兩位數；
（3）根據數的規(guī)律求得am的各數位之和m2，an的各數位之和n2，然后因式分解證明結論.
【詳解】（1）根據題中給出的定義，直接可得：
11111112＝1234567654321，123454321＝；
（2）設十位數字是x，個位數字是y，x＞y，
10x+y+10y+x＝11（x+y）＝121，
∴x+y＝11，
∴這個兩位數是65，74，83，92；
（3）am的各數位之和1+2+3+…+m+（m﹣1）+…+2+1＝＝m2，
an的各數位之和1+2+3+…+m+（m﹣1）+…+2+1＝＝n2，
∴am，an的各數位之和的差為m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n），
∵m＞n，
∴m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）能被m﹣n整除，
∴任意兩個橄欖數am，an的各數位之和的差能被m﹣n整除．
【點睛】本題考查新定義，字母表示數，自然數求和，因式分解；能夠理解定義，熟練掌握因式分解，自然數求和方法是解題的關鍵．
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專題05 分式單元過關（基礎版）
考試范圍：第十五章；考試時間：120分鐘；總分：150分
注意事項：
1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息
2．請將答案正確填寫在答題卡上
第I卷（選擇題）
評卷人得分
一、單選題
1．下列運算正確的是（　　）
A．a15÷b5＝a3 B．4a 3a2＝12a2
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（2a2）2＝4a4
2．已知，，則的值為（ ）
A．7 B．8 C．10 D．12
3．下列從左到右的變形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
4．等于（ ）
A． B． C． D．
5．計算的結果正確的是（ ）
A． B． C． D．
6．計算的結果等于（ ）
A．1 B． C．7 D．
7．若xmyn÷(x3y)=4x2，則( )
A．m=6，n=1 B．m=5，n=1 C．m=5，n=0 D．m=6，n=0
8．下列計算結果正確的是（ ）
A． B． C． D．
9．下列運算結果正確的是（　　）
A．a+2b＝3ab B．3a2﹣2a2＝1
C．（﹣a2）3＝﹣a6 D．（a+2b）2＝a2+4b2
10．已知，，，則代數式的值為（ ）
A．3 B．6 C．7 D．8
第II卷（非選擇題）
評卷人得分
二、填空題
11．計算： ．
12．若，則m= .
13．計算： ．
14．因式分解： ．
15．已知實數a，b，滿足，則的值為
16．如果的值為8，那么的值是 ．
評卷人得分
三、解答題
17．先化簡，再求值：，其中．
18．已知：=a，=b，用a，b分別表示：
（1）的值；
（2）的值.
19．探索題．
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1
……
觀察以上等式，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，利用所得規(guī)律，解決下列問題：
（1）直接寫出（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝　 　．
（2）直接寫出（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+……x2+x+1）＝　 　．
（3）直接寫出26+25+24+23+22+2+1的值　 　．
20．已知，．試求：（1）的值；（2）的值．
21．已知、、為的三邊，且，試判斷的形狀，并說明理由．
22．已知，求代數式的值．
23．根據平方根的意義知：若，則，此時可求出方程的兩個根，依此理，由，則，移項得，這是方程的兩個根．根據上述提示，解下列方程：
(1)
(2)
(3)
24．對于二次三項式 2+ 2 + 2可以直接用公式法分解為 ( + )2的形式，但對于二次三項 2+ 2 3 2.就不能直接用公式法了,我們可以在二次三項式 2+ 2 3 2中先加上一項 2.使其成為完全平方式，再減去 2這項， 使整個式子的值不變.于是有
2 + 2 3 2
≡ 2+ 2 + 2 2 3 2
≡ ( + )2- （2 ）2= ( + 3 )( – )
像上面這樣把二次三項式分解因式的方法叫做添(拆)項法，
（1）請用上述方法把分解因式下列因式：① 2 4 + 3;② 4+ 4
（2）解決問題:多項式 2 + 2 + 2有最小值嗎，如果有，請求出它的最小值，并求出當它有最小值時 x 的值是多少 如果沒有，請說明理由.
25．閱讀下列材料，解決問題：
12345678987654321這個數有這樣一個特點：各數位上的數字從左到右逐漸增大（由1到9，是連續(xù)的自然數），到數9時，達到頂峰，以后又逐漸減小（由9到1），它活像一只橄欖，我們不妨稱它為橄欖數．記第一個橄欖數為a1＝1，第二個橄欖數為a2＝121，第三個橄欖數為a3＝12321……有趣的是橄欖數還是一個平方數，如1＝12，121＝112，12321＝1112，1234321＝11112……而且，橄欖數可以變形成如下對稱式：
……
根據以上材料，回答下列問題
（1）11111112＝　 　；將123454321變形為對稱式：123454321＝　 　．
（2）一個兩位數（十位大于個位），交換其十位與個位上的數字，得到一個新的兩位數，將原數和新數相加，就能得到橄欖數121，求這個兩位數．
（3）證明任意兩個橄欖數am，an的各數位之和的差能被m﹣n整除（m＝1，2…9，n＝1，2…9，m＞n）
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