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湖南省湘潭市2026屆高三上學(xué)期第一次摸底數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷
一、單選題（本大題共8小題，共40分）
1．[5分]已知復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．[5分]已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
3．[5分]點(diǎn)是雙曲線上的點(diǎn)，，是其焦點(diǎn)，雙曲線的離心率是，且，若的面積是9，則的值等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．[5分]雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
5．[5分]已知平面向量，則在上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
6．[5分]已知集合，則下圖中陰影部分表示的集合為（ ）
A． B． C． D．
7．[5分]已知，（），若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)不存在對(duì)稱軸，則的范圍為（ ）
A． B．
C． D．
8．[5分]已知函數(shù) ，若方程的實(shí)根個(gè)數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題（本大題共3小題，共15分）
9．[5分]已知函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A．是的一個(gè)周期
B．在上遞減
C．將圖象向左平移個(gè)單位可得到的圖象
D．若，則
10．[5分]如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，，分別是棱和的中點(diǎn)．則（ ）
A．
B．平面與側(cè)面的交線長(zhǎng)為
C．點(diǎn)到平面的距離為
D．與平面所成角的余弦值為
11．[5分]已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線C上，直線分別與l交于A，B，直線與拋物線C交于另一點(diǎn)N，則（ ）
A．F的坐標(biāo)為 B． C． D．
三、填空題（本大題共3小題，共15分）
12．[5分]記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則 .
13．[5分]若圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則 ．
14．[5分]已知的展開式中第二項(xiàng)與第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 .
四、解答題（本大題共5小題，共80分）
15．[14分]近年來，由于大學(xué)生不理智消費(fèi)導(dǎo)致財(cái)務(wù)方面的新聞層出不窮，無力償還校園貸，跳樓自殺也偶有發(fā)生，一時(shí)間人們對(duì)大學(xué)生的消費(fèi)觀充滿了質(zhì)疑．為進(jìn)一步了解大學(xué)生的消費(fèi)情況，對(duì)S城某大學(xué)的10000名（其中男生6000名，女生4000名）在校本科生．按性別采用分層抽樣的方式抽取了1000名學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查，其中有一項(xiàng)是針對(duì)大學(xué)生每月的消費(fèi)金額進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)．通過整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．已知在抽取的學(xué)生中，月消費(fèi)金額超過2000元的女生有150人．
參考數(shù)據(jù)與參考公式：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
，其中．

（1）求的值．
（2）估計(jì)月消費(fèi)金額的中位數(shù)
（3）依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析月消費(fèi)金額在2000元以上的大學(xué)生與性別是否有關(guān)？
16．[14分]某企業(yè)為了解下屬某部門對(duì)本企業(yè)職工的服務(wù)情況，隨機(jī)訪問50名職工，根據(jù)這50名職工對(duì)該部門的評(píng)分，繪制頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為

（1）求頻率分布直方圖中的值；
（2）估計(jì)該企業(yè)的職工對(duì)該部門評(píng)分不低于80的概率；
（3）從評(píng)分在的受訪職工中，隨機(jī)抽取2人，求此2人評(píng)分都在的概率.
17．[16分]已知定義在上的函數(shù)滿足對(duì)任意的x，，，當(dāng)時(shí)，，.
（1）證明：為奇函數(shù).
（2）證明：在上是減函數(shù).
（3）求不等式的解集.
18．[18分]已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且（）.
（1）若為等比數(shù)列，求公比q的值；
（2）若，
（ⅰ）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
（ⅱ）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
19．[18分]為考察某種藥物預(yù)防和治療流感的效果，某藥物研究所用100只小白鼠進(jìn)行了分組試驗(yàn)，該分組試驗(yàn)分兩個(gè)階段：第一階段為5天的觀察預(yù)防期，第二階段為10天的觀察治療期.第一階段結(jié)束時(shí)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：患病小白鼠的比例為，未服藥小白鼠的比例為，未服藥且未患病的小白鼠有20只.
（1）完成下面2×2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷該藥物對(duì)預(yù)防流感是否有效.
藥物 流感 合計(jì)
未患病 患病
未服用
服用
合計(jì)
（2）第一階段結(jié)束時(shí)，若在患病的小白鼠中隨機(jī)抽取2只，用X表示服藥的只數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
附：，其中.
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
湖南省湘潭市2026屆高三上學(xué)期第一次摸底數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷參考答案
1．【答案】B
2．【答案】B
3．【答案】D
4．【答案】B
5．【答案】A
6．【答案】C
7．【答案】C
8．【答案】C
9．【答案】ACD
10．【答案】BC
11．【答案】BC
12．【答案】95
13．【答案】
14．【答案】54
15．【答案】（1）
（2）元
（3）有關(guān)．
【詳解】（1）由直方圖知，各矩形面積之和為1，
則，解得；
（2）由頻率分布直方圖知，
前3個(gè)矩形面積之和為：；
前4個(gè)矩形面積之和為： ，
設(shè)中位數(shù)為，∴，
∴，∴月消費(fèi)金額的中位數(shù)為百元，即元；
（3）故月消費(fèi)金額超過2000元的大學(xué)生人數(shù)為人，
由分層抽樣知，男生、女生抽樣的人數(shù)分別為600人和400人，
由題知，月消費(fèi)金額超過2000元的男生人數(shù)為100人，由條件可以列出列聯(lián)表：
男生 女生 合計(jì)
消費(fèi)金額不超過2000元 500人 250人 750人
消費(fèi)金額超過2000元 100人 150人 250人
合計(jì) 600人 400人 1000人
提出零假設(shè)：月消費(fèi)金額在2000元以上的大學(xué)生與性別無關(guān)．
故，
所以在犯錯(cuò)的概率不超過的情況下可以判斷月消費(fèi)金額在2000元以上的大學(xué)生與性別有關(guān)．
16．【答案】（1）0.006；（2）；（3）.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br/>所以
（2）由所給頻率分布直方圖知，50名受訪職工評(píng)分不低于80的頻率為，
所以該企業(yè)職工對(duì)該部門評(píng)分不低于80的概率的估計(jì)值為
（3）受訪職工評(píng)分在[50，60)的有：50×0.006×10=3(人)，
即為；
受訪職工評(píng)分在[40，50)的有： 50×0.004×10=2(人)，即為.
從這5名受訪職工中隨機(jī)抽取2人，所有可能的結(jié)果共有10種，它們是
又因?yàn)樗槿?人的評(píng)分都在[40，50)的結(jié)果有1種，即，
故所求的概率為
17．【答案】（1）見詳解；
（2）見詳解；
（3）.
【詳解】（1）令，則，所以，
令，則，
所以且定義域?yàn)镽，故為奇函數(shù)；
（2）設(shè)，因?yàn)椋?br/>所以，
所以，
因?yàn)椋裕裕试谏蠁握{(diào)遞減；
（3）因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，且，所以，
不等式化為，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，即，解得，
即不等式的解集是.
【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列求和方法之錯(cuò)位相減法、等比數(shù)列的判定與證明、等比數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式
18．【答案】（1）；
（2）（ⅰ）見詳解；（ⅱ）.
【詳解】（1）數(shù)列中，，由，得，
則，解得或，
當(dāng)時(shí)，，，，
而，顯然不恒成立，因此，
當(dāng)時(shí)，，，，符合題意，
所以.
（2）（ⅰ）由，得，兩式相減得，
則，當(dāng)時(shí)，，
而，，則，即，，
所以數(shù)列為等比數(shù)列.
（ⅱ）由（ⅰ）知等比數(shù)列的首項(xiàng)為3，公比為2，則，
，兩式相減得，
當(dāng)時(shí)，，
于是，，則；
當(dāng)時(shí)，，
于是，，則，
因此，，，
則，，
兩式相減得，
所以.
19．【答案】（1）列聯(lián)表見詳解，有效
（2）分布列見詳解，
【詳解】（1）因?yàn)榛疾⌒“资蟮谋壤秊椋曰疾⌒“资笥兄唬?br/>則不患病的小白鼠有100-45=55只，又未服藥小白鼠的比例為，
所以未服藥小白鼠有，從而完善2×2列聯(lián)表，如下表：
藥物 流感 合計(jì)
未患病 患病
未服用 20 20 40
服用 35 25 60
合計(jì) 55 45 100
零假設(shè)為：該藥物對(duì)預(yù)防流感無關(guān)聯(lián).
因?yàn)椋?br/>根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷成立，
沒有充分證據(jù)表明該藥物對(duì)預(yù)防流感有效.
（2）由題意X的所有可能取值為0，1，2，
則，，，
所以X的分布列為：
0 1 2
所以X的數(shù)學(xué)期望為.
第 page number 頁(yè)，共 number of pages 頁(yè)
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