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湖南省湘潭市2026屆高一上學期第一次摸底數學檢測試卷
一、單選題（本大題共8小題，共40分）
1．[5分]已知命題，；命題，，則（ ）
A．和都是真命題 B．和都是真命題
C．和都是真命題 D．和都是真命題
2．[5分]已知全集，集合，則（ ）
A． B． C． D．
3．[5分]已知集合，，則（ ）
A． B．
C． D．
4．[5分]已知，，則（ ）
A． B．
C． D．
5．[5分]已知全集，集合A，B滿足，則下列關系一定正確的是（ ）
A． B． C． D．
6．[5分]設，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
7．[5分]如圖，在平面直角坐標系中，將正方形繞點O逆時針旋轉后得到正方形，依此方式，繞點O連續旋轉2020次得到正方形，如果點A的坐標為，那么點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
8．[5分]已知，，且，則的最小值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
二、多選題（本大題共3小題，共15分）
9．[5分]下列敘述中不正確的是（ ）
A．若，則“不等式恒成立”的充要條件是“”；
B．若，則“”的充要條件是“”；
C．“”是“方程有一個正根和一個負根”的必要不充分條件；
D．“”是“”的充分不必要條件.
10．[5分]設，，為實數，，記集合，，若、分別表示集合、的元素的個數，則下列結論能成立的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
11．[5分]已知、均為正實數，且過點的直線與拋物線相切于點，下列說法正確的是（ ）
A．
B．的最小值為
C．的最小值為3
D．的最小值為2
三、填空題（本大題共3小題，共15分）
12．[5分]已知命題“，”為假命題，則實數的取值范圍為 .
13．[5分]已知集合，,,，則集合中的元素個數為____.
14．[5分]若存在，使不等式成立，則的取值范圍為________.
四、解答題（本大題共5小題，共80分）
15．[14分]隨著我國經濟發展，醫療消費需求增長，人們健康觀念轉變以及人口老齡化進程加快等影響，醫療器械市場近年來一直保持了持續增長的趨勢．某醫療器械公司為了進一步增加市場力，計劃改進技術生產某產品．已知生產該產品的年固定成本為300萬元，最大產能為100臺，每生產臺，需另投入成本萬元，且，由市場調研知，該產品每臺的售價為200萬元，且全年內生產的該產品當年能全部銷售完．
（1）寫出年利潤萬元關于年產量臺的函數解析式（利潤＝銷售收入－成本）；
（2）當該產品的年產量為多少時，公司所獲利潤最大？最大利潤是多少？
16．[15分]已知集合，，.
（1）求；
（2），求的取值范圍．
17．[15分]給定兩組數據與，稱為這兩組數據之間的“差異量”．鑒寶類的節目是當下非常流行的綜藝節目．現有個古董，它們的價值各不相同，最值錢的古董記為1號，第二值錢的古董記為2號，以此類推，則古董價值的真實排序為．現在某專家在不知道古董真實排序的前提下，根據自己的經驗對這個古董的價值從高到低依次進行重新排序為，其中為該專家給真實價值排第位古董的位次編號，記，那么與的差異量可以有效反映一個專家的水平，該差異量越小說明專家的鑒寶能力越強．
（1）當時，求的所有可能取值；
（2）當時，求滿足的的個數；
（3）現在有兩個專家甲、乙同時進行鑒寶，已知專家甲的鑒定結果與真實價值的差異量為，專家甲與專家乙的鑒定結果的差異量為4，那么專家乙的鑒定結果與真實價值的差異量是否可能為？請說明理由．
（注：實數滿足：，當且僅當時取“”號）
18．[18分]由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體，圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面，兩個面的公共邊叫做多面體的棱，棱與棱的公共點叫做多面體的頂點.對于凸多面體，有著名的歐拉公式：，其中為頂點數，為棱數，為面數.我們可以通過歐拉公式計算立體圖形的頂點 棱 面之間的一些數量關系.例如，每個面都是四邊形的凸六面體，我們可以確定它的頂點數和棱數.一方面，每個面有4條邊，六個面相加共24條邊；另一方面，每條棱出現在兩個相鄰的面中，因此每條棱恰好被計算了兩次，即共有12條棱；再根據歐拉公式，，可以得到頂點數.
（1）已知足球是凸三十二面體，每個面均為正五邊形或者正六邊形，每個頂點與三條棱相鄰，試確定足球的棱數；
（2）證明：個頂點的凸多面體，至多有條棱；
（3）已知正多面體的各個表面均為全等的正多邊形，且與每個頂點相鄰的棱數均相同.試利用歐拉公式，討論正多面體棱數的所有可能值.
19．[18分]已知曲線（）上一點（）處的切線分別交直線，直線于點，，記點，，.
（1）設，的面積分別為，，解不等式；
（2）在曲線與線段，線段圍成的區域內，以為一頂點作，設所有這些三角形的面積最大值為，求的極值.
湖南省湘潭市2026屆高一上學期第一次摸底數學檢測試卷參考答案
1．【答案】A
2．【答案】C
3．【答案】B
4．【答案】C
5．【答案】C
6．【答案】B
7．【答案】C
8．【答案】A
9．【答案】AB
10．【答案】ACD
11．【答案】ABC
12．【答案】
13．【答案】2
14．【答案】
15．【答案】（1）；
（2）年產量為60臺時，公司所獲利潤最大，最大利潤是1680萬元
【詳解】（1）當時，；
當時，，
．
（2）若，當時，萬元；
若，
，
當且僅當時，即時，萬元，
由于，故該產品的年產量為60臺時，公司所獲利潤最大，
最大利潤是1680萬元．
16．【答案】（1）
（2）
【詳解】（1）∵，
∴；
∵，∴；
.
（2）
①當時，不滿足題意（舍）；
②當時，，
，；
③當時，，，
綜上，
17．【答案】（1）0，2，4
（2）12
（3）不可能，理由見詳解
【詳解】（1）若時，則，且，
可得，
所以的所有可能取值為0，2，4.
（2）若對調兩個位置的序號之差大于2，則，
可知只能調整兩次兩個連續序號或連續三個序號之間調整順序，
若調整兩次兩個連續序號：則有，共有3種可能；
若連續三個序號之間調整順序，連續三個序號有：，共3組，
由（1）可知：每組均有3種可能滿足，可得共有種可能；
所以的個數為.
（3）不可能，理由如下：
設專家甲的排序為，記；
專家乙的排序為，記；
由題意可得：，，
因為，
結合的任意性可得，
所以專家乙的鑒定結果與真實價值I的差異量不可能為.
18．【答案】（1）
（2）證明見解析
（3）
【詳解】（1）設足球有個正五邊形，則有個正六邊形，
足球的頂點，棱數，
由歐拉公式得，
解得，即此足球中有個面為正五邊形，
所以此足球的棱數.
（2）由個頂點的凸多面體，其面數盡可能多，那么相當于每一個面盡可能均為三角形，
當棱數最多時，該凸多面體每一個面均為三角形，此時，即，
又，即，解得，
故個頂點的凸多面體，至多有條棱.
（3）設正多面體每個頂點有條棱，每個面都是正邊形，
則此多面體棱數，，即，
由歐拉公式，得，
所以，即，即，
所以，
當時，，所以，，；
當時，，所以，，；
當時，，所以，，；
綜上：棱數可能為.
19．【答案】（1）
（2）的極大值為，極小值為
【詳解】（1）因為，，
所以：，即，其中
得：，.
所以，
故或，
由知不等式的解集為.
（2）知在內，要使得面積最大，必須在線段或線段上，有三種情況：
①均在線段上，此時的最大面積為的面積（如圖1）；
②均在線段上，此時的最大面積為的面積（如圖1）；
③分別在線段上（如圖2），設，，
其中，.
此時的面積
當時，，，
設是上的一次函數或常數函數，
，
，.
所以，，，.
當時，，，
設是上的一次函數或常數函數，
，，
其中
所以，，，.
所以
當時，，，
當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減；
所以的極大值為，
當時，，，單調遞增；
所以的極小值為.
綜上，的極大值為，極小值為.
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