資源簡介

1.2 從立體圖形到平面圖形培優課時卷-北師大版數學七年級上冊
一、選擇題
1．（2024七上·羅湖期中）下列圖形中，不是正方體展開圖的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2020七上·呼和浩特期末）有一種正方體如圖所示，下列圖形是該方體的展開圖的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2021七上·長順月考）若干個相同的正方體組成一個幾何體，從不同方向看可以得到如圖所示的形狀，則這個幾何體最多可由多少個這樣的正方體組成？（　　）
A．12個 B．13個 C．14個 D．18個
4．（2020七上·西安月考）如圖所示的三棱柱，高為 ，底面是一個邊長為 的等邊三角形.要將該三棱柱的表面沿某些棱剪開，展開成一個平面圖形，需剪開棱的棱長的和的最小值為（　　） .
A．28 B．31 C．34 D．36
5．（2019七上·宜興期末）如圖，線段AB和CD是正方體表面兩正方形的對角線，將此正方體沿部分棱剪開，展成一個平面圖形后，AB和CD可能出現下列關系中的哪幾種？ 、B、C、D四點在同一直線上 正確的結論是（　　）
A． B． C． D．
6．（2017七上·和平期中）某展廳要用相同的正方體木塊搭成一個展臺，從正面、左面、上面看到的形狀如圖所示，請判斷搭成此展臺共需這樣的正方體（　　）
A．3個 B．4個 C．5個 D．6個
7．（2016七上·揭陽期末）如下圖，有一個正方體紙盒，在它的三個側面分別畫有三角形、正方形和五邊形，現用一把剪刀沿著它的棱剪開成一個平面圖形，則展開圖是（　　）
A． B．
C． D．
8．如圖所示，則圖中三角形的個數一共是（　　）

A．16 B．32 C．40 D．44
二、填空題
9．（2023七上·禪城月考）用正方體小木塊搭建成的，下面三個圖分別是它的從正面看、從左面看和從上面看，請你觀察它是由　 　塊小木塊組成的．
10．（2021七上·成都期末）一張長50cm，寬40cm的長方形紙板，在其四個角上分別剪去一個小正方形（邊長相等且為整厘米數）后，折成一個無蓋的長方體形盒子，這個長方體形盒子的容積最大為　 　cm3.
11．（2018-2019學年數學北師大版七年級上冊第一章《豐富的圖形世界》單元檢測B卷）用平面截幾何體可得到平面圖形，在表示幾何體的字母后填上它可截出的平面圖形的號碼．
如A（1、5、6）；則B（　 　）；C（　 　）；D（　 　）；E（　 　）．
12．如圖中，共有 　 　個三角形， 　 　個平行四邊形， 　 　個梯形．
13．將一個半徑為2cm的圓分成四個扇形，它們的圓心角的度數之比為2：3：3：4，則最大扇形的面積為 　 　．
三、解答題
14．（2024七上·羅湖期中）如圖，是由若干個完全相同的棱長為1的小正方體組成的一個幾何體．
（1）直接寫出這個幾何體的表面積（包括底部）：　 　；
（2）請按要求在方格內分別畫出從這個幾何體的三個不同方向看到的形狀圖．
15．（2021七上·嶧城月考）如圖是一個正方體盒子的展開圖，要把﹣6、、﹣1、6、﹣、1這些數字分別填入六個小正方形中，使得按虛線折成的正方體相對面上的兩個數互為相反數．
16．如圖①，從大正方體上截去一個小正方體之后，可以得到圖②的幾何體．
（1）設原大正方體的表面積為S，圖②中幾何體的表面積為S1，那么S1與S的大小關系是
A．S1＞S B．S1=S C．S1＜S D．無法確定
（2）小明說：“設圖①中大正方體各棱的長度之和為l，圖②中幾何體各棱的長度之和為l1，那么l1比l正好多出大正方體3條棱的長度．”你認為這句話對嗎？為什么？
（3）如果截去的小正方體的棱長為大正方體棱長的一半，那么圖③是圖②中幾何體的表面展開圖嗎？如有錯誤，請予修正．
17．對于如圖①、②、③、④所示的四個平面圖
我們規定：如圖③，它的頂點為A、B、C、D、E共5個，區域為AED、ABE、BEC、CED共4個，邊為AE、EC、DE、EB、AB、BC、CD、DA共8條．
（1）按此規定將圖①、②、④的頂點①數、邊數、區域數填入下列表格：
圖 頂點數 邊數 區域數
①
②
③ 5 8 4
④
（2）觀察上表，請你歸納上述平面圖的頂點數、邊數、區域數之間的數量關系．
（3）若有一個平面圖滿足（2）中歸納所得的數量關系，它共有9個區域，且每一個頂點出發都有3條邊，則這個平面圖共有多少條邊？
18．小明在學習了《展開與折疊》這一課后，明白了很多幾何體都能展開成平面圖形．于是他在家用剪刀展開了一個長方體紙盒，可是一不小心多剪了一條棱，把紙盒剪成了兩部分，即圖中的①和②．根據你所學的知識，回答下列問題：
（1）小明總共剪開了 條棱．
（2）現在小明想將剪斷的②重新粘貼到①上去，而且經過折疊以后，仍然可以還原成一個長方體紙盒，你認為他應該將剪斷的紙條粘貼到①中的什么位置？請你幫助小明在①上補全．
（3）小明說：他所剪的所有棱中，最長的一條棱是最短的一條棱的5倍．現在已知這個長方體紙盒的底面是一個正方形，并且這個長方體紙盒所有棱長的和是880cm，求這個長方體紙盒的體積．
19．（2021七上·和平期中）用棱長都為5cm的小立方塊搭成幾何體，從上面看到的幾何體的形狀圖如圖所示，其中小正方形中的數字表示在該位置的小立方塊的個數．
（1）請你分別畫出從正面和從左面看到的這個幾何體的形狀圖；
（2）若在所搭幾何體的基礎上（不改變原幾何體中小立方塊的位置），繼續添加大小相同的小立方塊，以搭成一個大正方體，至少還需要　 　個小立方塊；
（3）①圖中的幾何體的表面積（包括與桌面接觸的部分）為　 　 ；
②若新搭一個幾何體，且滿足如下三個條件：圖中從上面看到的幾何體的形狀圖不變，小立方塊的總數不變，從上面看到的小正方形中的數字可以改變，則新搭幾何體的表面積（包括與桌面接觸的部分）最小值和最大值分別為　 　 ，　 　 ．
20．（2024七上·龍崗月考）問題情景：某綜合實踐小組開展了“長方體紙盒的制作”實踐活動．
（1）下列圖形中，是無蓋正方體的表面展開圖的是　 　；（填序號）
（2）綜合實踐小組利用邊長為的正方形紙板制作出兩種不同方案的長方體盒子（圖1為無蓋的長方體紙盒，圖2為有蓋的長方體紙盒）．其中，．
①根據圖1方式制作一個無蓋的長方體盒子．方法：先在紙板四角剪去四個同樣大小邊長為的小正方形，再沿虛線折合起來．則長方體紙盒的底面積為　 　；
②根據圖2方式制作一個有蓋的長方體紙盒．方法：先在紙板四角剪去兩個同樣大小邊長為的小正方形和兩個同樣大小的小長方形，再沿虛線折合起來．則該長方體紙盒的體積為　 　；
③制作成的無蓋盒子的體積是有蓋盒子體積的　 　倍；
（3）若有蓋長方體的長、寬、高分別為、、，將它的表面沿某些棱剪開，展成一個平面圖形，則該長方體表面展開圖的最大外圍周長為　 　；
（4）若無蓋（缺長寬為，的長方形底面）長方體的長、寬、高分別為、、，將它的表面沿某些棱剪開，展成一個平面圖形，則該長方體表面展開圖的最小外圍周長為　 　．
答案解析部分
1．【答案】B
【知識點】正方體的幾種展開圖的識別
【解析】【解答】解：選項中ACD均為正方體的展開圖，只有選項B不是正方體的展開圖。
故答案為：B.
【分析】正方體的展開圖樣式有多種，因此本題從選項中進行判斷，只有無法還原成正方體即為答案。選項ACD均可還原，唯獨B選項在還原的時候，正方體缺少底面，因此得出答案。
2．【答案】C
【知識點】幾何體的展開圖
【解析】【解答】A.折疊后，三條對角線交于一點，不能構成三角形；
B. 折疊后，側面倆條對角線無交點，不能構成三角形；
C.折疊后，可以形成三角形；
D，折疊后，底面和側面的倆條對角線無交點，不能構成三角形.
故答案為：C.
【分析】由平面圖形的折疊及正方體的展開圖解題.
3．【答案】B
【知識點】由三視圖判斷幾何體
【解析】【解答】解：綜合從正南方向看（主視圖）與從正西方向看（左視圖）可知，這個幾何體有三行、三列，
即：
第一行第1列最多有2個，
第一行第2列最多有1個，
第一行第3列最多有2個；
第二行第1列最多有1個，
第二行第2列最多有1個，
第二行第3列最多有1個；
第三行第1列最多有2個，
第三行第2列最多有1個，
第三行第3列最多有2個；
所以最多有：2+1+2+1+1+1+2+1+2=13(個).
故答案為：B.
【分析】通過題中的兩個從不同方向看到的圖形可知，此幾何體有三行，三列，分別判斷出各行各列最多有幾個正方體組成即可得出答案.
4．【答案】A
【知識點】幾何體的展開圖
【解析】【解答】解：由圖形可知：沒有剪開的棱的條數是4條，
則至少需要剪開的棱的條數是：9-4=5（條），
∴棱長和的最小值為：8+4×5=28，
故答案為：A
【分析】三棱柱有9條棱，觀察三棱柱的展開圖可知沒有剪開的棱的條數是條，相減即可求出需要剪開的棱的條數.
5．【答案】B
【知識點】幾何體的展開圖
【解析】【解答】解：由已知可知，AB與CD為相鄰面所在，如展開圖簡要示意，
如圖1，若展開圖中，不剪AC，如圖1，此時兩直線所在平面展開圖的直線關系為AB∥CD，
如圖2，若展開圖中，剪開AC，且相鄰直線所在平面完全分離，此時所在直線展開圖的直線關系為AB∥CD，
如圖3、4，若展開圖中，剪開AC，但相鄰直線所在平面依靠點A或點C連接，此時所在直線展開圖的直線關系為AB⊥CD，
故①②成立，③不成立，選A.
故答案為：A.
【分析】利用相鄰面情況展開分析，選擇適當的角度將所有相鄰面的情況分析即可得出結論.
6．【答案】B
【知識點】由三視圖判斷幾何體
【解析】【解答】根據三視圖可得出第一行第一列有2個正方形、第二列有1個正方體，第二行第二列有1個正方體，
共需正方體2+1+1=4.
故答案為：B.
【分析】根據三視圖將組合體還原，據此判斷正方體的個數即可。
7．【答案】C
【知識點】幾何體的展開圖
【解析】【解答】根據正方體的展開圖的性質可得D為正方體的展開圖．
故C符合題意.
故答案為：C.
【分析】根據正方體中五邊形、對角線、陰影面是相鄰的，再由展開圖相對的面相隔一個正方形，對各選項分析可求解.
8．【答案】D
【知識點】平面圖形的初步認識
【解析】【解答】解：根據圖形特點把圖中三角形分類，單一的小三角形是16個；再數出由2個小三角形組成的三角形是16個；再數出由4個小三角形組成的三角形是8個；再數出由8個小三角形組成的三角形是4個．
故圖中共有三角形個數為：16+16+8+4=44（個）．
答：圖中三角形的個數一共是44個．
故選D．
【分析】首先數出單一的小三角形是16個；再數出由2個小三角形組成的三角形是16個；再數出由4個小三角形組成的三角形是8個；再數出由8個小三角形組成的三角形是4個；然后合并起來即可．
9．【答案】10
【知識點】由三視圖判斷幾何體
【解析】【解答】解：從上面看有6個正方形，則最底層有6塊小木塊.
從正面看和從左面看可知，第二層有3塊小木塊，第三層有1塊小木塊.3
所以它是由6+3+1=10 塊小木塊組成的．
故答案為10：.
【分析】先從上面看判斷最底層的小木塊的個數，再從正面看和從左面看判斷第二層和第三層的小木塊的個數，相加即可判斷.
10．【答案】6552
【知識點】幾何體的展開圖
【解析】【解答】解：設減去的正方形的邊長為x厘米，則體積V=x（50-2x）（40-2x）=2×2x（25-x）（20-x）；
因為2x+（25-x）+（20-x）=45，當2x、（25-x）、（20-x）三個值最接近時，積最大，而每一項=45÷3=15時，積最大，而取整數厘米，所以2x=14，即x=7時；
這時紙盒的容積v=（50-7×2）×（40-7×2）×7，
=36×26×7，
=6552cm3.
故答案為：6552.
【分析】根據題意，這張紙板上在它的四個角上剪去大小相等的四個正方形，然后做成一個無蓋的紙盒,也就是紙板的長和寬分別減去所剪正方形的兩個邊長，是紙盒底面的長和寬，紙盒的高就等于所剪去的正方形的邊長；當紙盒的長、寬、高三個值最接近時，它們的容積最大，因此可以設減去的正方形的邊長為x厘米，列方程解答.
11．【答案】1、3、4；1、2、3、4；5；3、5、6
【知識點】截一個幾何體
【解析】【解答】解：B三棱錐，截面有可能是三角形，正方形，梯形
C正方體，截面有可能是三角形，四邊形（矩形，正方形，梯形），五邊形，六邊形
D球體，截面只可能是圓
E圓柱體，截面有可能是橢圓，圓，矩形，
因此應該寫B（1、3、4）；C（1、2、3、4）；D（5）；E（3、5、6）．
【分析】截面的形狀既與被截得幾何體的形狀有關，還與截面的角度和方向有關，此題需要展開空間想象能力分別分析，最好的話還可以動手操作一下即可做出判斷。
12．【答案】13；15；18
【知識點】平面圖形的初步認識
【解析】【解答】解：①圖中有9個小三角形，有四個三角形組成的三角形3個，故共有9+3+1=13個三角形；
②第二層有2個平行四邊形，第三層有6個平行四邊形，第二和第三層組合可組成4個，第一和第二層組合可組成1個，第一和第二和第三層組合可組成2個，故共有2+6+4+1+2=15個平行四邊形；
③第二層有一個梯形，第三層有4個梯形，第二和第三層組合可組成7個，第一和第二層組合可組成2個，第一和第二和第三層組合可組成4個，故共有1+4+7+2+4=18個梯形．
故答案為：13，15，18．
【分析】先計算一個三角形的個數，再計算四個三角形組成的三角形的個數，再加上一個大三角形即可得出答案．對于平行四邊形，先計算同一層的個數，再計算相鄰層組成的個數，最后就是三層的個數；對于梯形也是先計算同一層的個數，再計算相鄰層組成的個數．
13．【答案】 cm2
【知識點】平面圖形的初步認識
【解析】【解答】解：∵一個圓分割成四個扇形，它們的圓心角的度數比為2：3：4：3，
∴它們的圓心角的度數分別為：60°，90°，120°，90°，
圓心角位120°的扇形的面積最大，其面積為：=（cm2）．
故答案是： cm2．
14．【答案】（1）24
（2）解：
【知識點】幾何體的表面積；簡單組合體的三視圖
【解析】【解答】 （1）解：這個幾何體的表面積為。
故答案為：（1）。
【分析】（）先分析出從正面看是5個正方形，從左面看是3個正方形，從上面看是4個正方形，然后根據圖形計算即可；
（）分別畫出從三個方向看到的平面圖形即可；本題考查作圖形狀圖、幾何體的表面積，正確識圖是解題的關鍵。
15．【答案】解：如圖：

【知識點】幾何體的展開圖
【解析】【分析】正方體的平面展開圖中，相對面的特點是之間一定相隔一個正方形，據此作答．
16．【答案】解：（1）設原大正方體的表面積為S，圖②中幾何體的表面積為S1，
那么S1與S的大小關系是相等；
故選：B；
（2）設大正方體棱長為1，小正方體棱長為x，那么l1﹣l=6x．
只有當x= 時，才有6x=3，所以小明的話是不對的；
（3）如圖所示：
【知識點】截一個幾何體
【解析】【分析】（1）根據平移的性質可得出S1與S的大小關系；
（2）利用立方體的性質得出得出棱長之間的關系；
（3）利用立方體的側面展開圖的性質得出即可．
17．【答案】解：（1）按此規定將圖①、②、④的頂點數、邊數、區域數填入下列表格：
圖 頂點數 邊數 區域數
① 4 6 3
② 6 9 4
③ 5 8 4
④ 10 15 6
（2）由表格得：頂點數+區域數=邊數+1，
（3）設頂點數為x，根據題意可知，x+9= +1，
得出x=16
每個頂點發出三個3邊，有9個區域數，
則有16個頂點，24條邊．
【知識點】平面圖形的初步認識
【解析】【分析】（1）根據規定結合圖形即可填充表格．
（2）根據所填的表格即可得出平面圖的頂點數、邊數、區域數之間的數量關系．
（3）根據（2）的關系直接寫出答案．
18．【答案】解（1）小明共剪了8條棱，
故答案為：8．
（2）如圖，四種情況．

（3）∵長方體紙盒的底面是一個正方形，
∴設最短的棱長高為acm，則長與寬相等為5acm，
∵長方體紙盒所有棱長的和是880cm，
∴4（a+5a+5a）=880，解得a=20cm，
∴這個長方體紙盒的體積為：20×100×100=200000立方厘米．
【知識點】幾何體的展開圖
【解析】【分析】（1）根據平面圖形得出剪開棱的條數，
（2）根據長方體的展開圖的情況可知有兩種情況，
（3）設最短的棱長高為acm，則長與寬相等為5acm，根據棱長的和是880cm，列出方程可求出長寬高，即可求出長方體紙盒的體積．
19．【答案】（1）解：由已知可得：
（2）12
（3）1400；1250；1550
【知識點】幾何體的表面積；由三視圖判斷幾何體
【解析】【解答】（2）根據正方體的性質，每行每列都是3個小正方體，
已知有 （個）
∴ （個），
故答案為：12；
（3）①∵小正方體的棱長為5cm，
∴小正方形的面積為 ，
∴幾何體表面積為 ，
故答案為： ；
②如圖搭建此時表面積為最小，
幾何體最小表面積為 ；
如圖搭建此時表面積為最大，
幾何體最大表面積為 ；
故答案為：1250，1550．
【分析】（1）根據所給的圖形作圖即可；
（2）先求出，再計算求解即可；
（3）①先求出小正方形的面積為 ，再計算求解即可；
②先作圖，再計算求解即可。
20．【答案】（1）①③④
（2）400；1000；2
（3）70
（4）44
【知識點】幾何體的展開圖；已知展開圖進行幾何體的相關的計算
【解析】【解答】解：（1）①③④能圍成無蓋正方體，而②不能圍成無蓋正方體.
故答案為：①③④；
（2）①該無蓋長方體紙盒的底面面積=；
②該有蓋長方體紙盒的體積=；
③無蓋長方體紙盒的體積=400×5=2000cm3，2000÷1000=2，即 無蓋盒子的體積是有蓋盒子體積的 2倍.
故答案為：400；1000；2.
（3）有蓋長方體表面展開圖的最大外圍周長為6×8+4×4+3×2=70.
故答案為：70；
（4）無蓋長方體 （缺長寬為，的長方形底面） 表面展開圖的最小外圍周長為3×8+6×2+4×2=44.
故答案為：44.
【分析】 （1）①③④能圍成無蓋正方體，而②展開圖，折疊后會出現缺少一個側面，且有兩個底面重合；
（2）無蓋長方體的底面實際上是邊長為a-2b的正方形，根據面積公式計算即可；有蓋長方體相當于邊長分別為a-2b、b、的長方體，根據體積公式計算即可；先計算出無蓋長方體體積，再除以有蓋長方體體積即可.
（3）要得到最大外圍周長的展開圖，需要把4條長全部剪開，同時剪開1個由寬、高組成的側面的2條寬和1條高，由于每剪開1條邊會產生2條相同的被剪開邊，因此4條長全部剪開將得到8條長，即6×8=48，2條寬剪開得到4條寬，即4×4=16，1條高剪開得到2條高，即3×2=6，總和即為70；
（4）與（3）的思路類似，要得到最小外圍周長的展開圖，只需要把4條高全部剪開即可，總長3×8=24，加上2條長，即6×2=12，以及2條寬，即4×2=8，總和即為44.
1 / 11.2 從立體圖形到平面圖形培優課時卷-北師大版數學七年級上冊
一、選擇題
1．（2024七上·羅湖期中）下列圖形中，不是正方體展開圖的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知識點】正方體的幾種展開圖的識別
【解析】【解答】解：選項中ACD均為正方體的展開圖，只有選項B不是正方體的展開圖。
故答案為：B.
【分析】正方體的展開圖樣式有多種，因此本題從選項中進行判斷，只有無法還原成正方體即為答案。選項ACD均可還原，唯獨B選項在還原的時候，正方體缺少底面，因此得出答案。
2．（2020七上·呼和浩特期末）有一種正方體如圖所示，下列圖形是該方體的展開圖的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知識點】幾何體的展開圖
【解析】【解答】A.折疊后，三條對角線交于一點，不能構成三角形；
B. 折疊后，側面倆條對角線無交點，不能構成三角形；
C.折疊后，可以形成三角形；
D，折疊后，底面和側面的倆條對角線無交點，不能構成三角形.
故答案為：C.
【分析】由平面圖形的折疊及正方體的展開圖解題.
3．（2021七上·長順月考）若干個相同的正方體組成一個幾何體，從不同方向看可以得到如圖所示的形狀，則這個幾何體最多可由多少個這樣的正方體組成？（　　）
A．12個 B．13個 C．14個 D．18個
【答案】B
【知識點】由三視圖判斷幾何體
【解析】【解答】解：綜合從正南方向看（主視圖）與從正西方向看（左視圖）可知，這個幾何體有三行、三列，
即：
第一行第1列最多有2個，
第一行第2列最多有1個，
第一行第3列最多有2個；
第二行第1列最多有1個，
第二行第2列最多有1個，
第二行第3列最多有1個；
第三行第1列最多有2個，
第三行第2列最多有1個，
第三行第3列最多有2個；
所以最多有：2+1+2+1+1+1+2+1+2=13(個).
故答案為：B.
【分析】通過題中的兩個從不同方向看到的圖形可知，此幾何體有三行，三列，分別判斷出各行各列最多有幾個正方體組成即可得出答案.
4．（2020七上·西安月考）如圖所示的三棱柱，高為 ，底面是一個邊長為 的等邊三角形.要將該三棱柱的表面沿某些棱剪開，展開成一個平面圖形，需剪開棱的棱長的和的最小值為（　　） .
A．28 B．31 C．34 D．36
【答案】A
【知識點】幾何體的展開圖
【解析】【解答】解：由圖形可知：沒有剪開的棱的條數是4條，
則至少需要剪開的棱的條數是：9-4=5（條），
∴棱長和的最小值為：8+4×5=28，
故答案為：A
【分析】三棱柱有9條棱，觀察三棱柱的展開圖可知沒有剪開的棱的條數是條，相減即可求出需要剪開的棱的條數.
5．（2019七上·宜興期末）如圖，線段AB和CD是正方體表面兩正方形的對角線，將此正方體沿部分棱剪開，展成一個平面圖形后，AB和CD可能出現下列關系中的哪幾種？ 、B、C、D四點在同一直線上 正確的結論是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】幾何體的展開圖
【解析】【解答】解：由已知可知，AB與CD為相鄰面所在，如展開圖簡要示意，
如圖1，若展開圖中，不剪AC，如圖1，此時兩直線所在平面展開圖的直線關系為AB∥CD，
如圖2，若展開圖中，剪開AC，且相鄰直線所在平面完全分離，此時所在直線展開圖的直線關系為AB∥CD，
如圖3、4，若展開圖中，剪開AC，但相鄰直線所在平面依靠點A或點C連接，此時所在直線展開圖的直線關系為AB⊥CD，
故①②成立，③不成立，選A.
故答案為：A.
【分析】利用相鄰面情況展開分析，選擇適當的角度將所有相鄰面的情況分析即可得出結論.
6．（2017七上·和平期中）某展廳要用相同的正方體木塊搭成一個展臺，從正面、左面、上面看到的形狀如圖所示，請判斷搭成此展臺共需這樣的正方體（　　）
A．3個 B．4個 C．5個 D．6個
【答案】B
【知識點】由三視圖判斷幾何體
【解析】【解答】根據三視圖可得出第一行第一列有2個正方形、第二列有1個正方體，第二行第二列有1個正方體，
共需正方體2+1+1=4.
故答案為：B.
【分析】根據三視圖將組合體還原，據此判斷正方體的個數即可。
7．（2016七上·揭陽期末）如下圖，有一個正方體紙盒，在它的三個側面分別畫有三角形、正方形和五邊形，現用一把剪刀沿著它的棱剪開成一個平面圖形，則展開圖是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知識點】幾何體的展開圖
【解析】【解答】根據正方體的展開圖的性質可得D為正方體的展開圖．
故C符合題意.
故答案為：C.
【分析】根據正方體中五邊形、對角線、陰影面是相鄰的，再由展開圖相對的面相隔一個正方形，對各選項分析可求解.
8．如圖所示，則圖中三角形的個數一共是（　　）

A．16 B．32 C．40 D．44
【答案】D
【知識點】平面圖形的初步認識
【解析】【解答】解：根據圖形特點把圖中三角形分類，單一的小三角形是16個；再數出由2個小三角形組成的三角形是16個；再數出由4個小三角形組成的三角形是8個；再數出由8個小三角形組成的三角形是4個．
故圖中共有三角形個數為：16+16+8+4=44（個）．
答：圖中三角形的個數一共是44個．
故選D．
【分析】首先數出單一的小三角形是16個；再數出由2個小三角形組成的三角形是16個；再數出由4個小三角形組成的三角形是8個；再數出由8個小三角形組成的三角形是4個；然后合并起來即可．
二、填空題
9．（2023七上·禪城月考）用正方體小木塊搭建成的，下面三個圖分別是它的從正面看、從左面看和從上面看，請你觀察它是由　 　塊小木塊組成的．
【答案】10
【知識點】由三視圖判斷幾何體
【解析】【解答】解：從上面看有6個正方形，則最底層有6塊小木塊.
從正面看和從左面看可知，第二層有3塊小木塊，第三層有1塊小木塊.3
所以它是由6+3+1=10 塊小木塊組成的．
故答案為10：.
【分析】先從上面看判斷最底層的小木塊的個數，再從正面看和從左面看判斷第二層和第三層的小木塊的個數，相加即可判斷.
10．（2021七上·成都期末）一張長50cm，寬40cm的長方形紙板，在其四個角上分別剪去一個小正方形（邊長相等且為整厘米數）后，折成一個無蓋的長方體形盒子，這個長方體形盒子的容積最大為　 　cm3.
【答案】6552
【知識點】幾何體的展開圖
【解析】【解答】解：設減去的正方形的邊長為x厘米，則體積V=x（50-2x）（40-2x）=2×2x（25-x）（20-x）；
因為2x+（25-x）+（20-x）=45，當2x、（25-x）、（20-x）三個值最接近時，積最大，而每一項=45÷3=15時，積最大，而取整數厘米，所以2x=14，即x=7時；
這時紙盒的容積v=（50-7×2）×（40-7×2）×7，
=36×26×7，
=6552cm3.
故答案為：6552.
【分析】根據題意，這張紙板上在它的四個角上剪去大小相等的四個正方形，然后做成一個無蓋的紙盒,也就是紙板的長和寬分別減去所剪正方形的兩個邊長，是紙盒底面的長和寬，紙盒的高就等于所剪去的正方形的邊長；當紙盒的長、寬、高三個值最接近時，它們的容積最大，因此可以設減去的正方形的邊長為x厘米，列方程解答.
11．（2018-2019學年數學北師大版七年級上冊第一章《豐富的圖形世界》單元檢測B卷）用平面截幾何體可得到平面圖形，在表示幾何體的字母后填上它可截出的平面圖形的號碼．
如A（1、5、6）；則B（　 　）；C（　 　）；D（　 　）；E（　 　）．
【答案】1、3、4；1、2、3、4；5；3、5、6
【知識點】截一個幾何體
【解析】【解答】解：B三棱錐，截面有可能是三角形，正方形，梯形
C正方體，截面有可能是三角形，四邊形（矩形，正方形，梯形），五邊形，六邊形
D球體，截面只可能是圓
E圓柱體，截面有可能是橢圓，圓，矩形，
因此應該寫B（1、3、4）；C（1、2、3、4）；D（5）；E（3、5、6）．
【分析】截面的形狀既與被截得幾何體的形狀有關，還與截面的角度和方向有關，此題需要展開空間想象能力分別分析，最好的話還可以動手操作一下即可做出判斷。
12．如圖中，共有 　 　個三角形， 　 　個平行四邊形， 　 　個梯形．
【答案】13；15；18
【知識點】平面圖形的初步認識
【解析】【解答】解：①圖中有9個小三角形，有四個三角形組成的三角形3個，故共有9+3+1=13個三角形；
②第二層有2個平行四邊形，第三層有6個平行四邊形，第二和第三層組合可組成4個，第一和第二層組合可組成1個，第一和第二和第三層組合可組成2個，故共有2+6+4+1+2=15個平行四邊形；
③第二層有一個梯形，第三層有4個梯形，第二和第三層組合可組成7個，第一和第二層組合可組成2個，第一和第二和第三層組合可組成4個，故共有1+4+7+2+4=18個梯形．
故答案為：13，15，18．
【分析】先計算一個三角形的個數，再計算四個三角形組成的三角形的個數，再加上一個大三角形即可得出答案．對于平行四邊形，先計算同一層的個數，再計算相鄰層組成的個數，最后就是三層的個數；對于梯形也是先計算同一層的個數，再計算相鄰層組成的個數．
13．將一個半徑為2cm的圓分成四個扇形，它們的圓心角的度數之比為2：3：3：4，則最大扇形的面積為 　 　．
【答案】 cm2
【知識點】平面圖形的初步認識
【解析】【解答】解：∵一個圓分割成四個扇形，它們的圓心角的度數比為2：3：4：3，
∴它們的圓心角的度數分別為：60°，90°，120°，90°，
圓心角位120°的扇形的面積最大，其面積為：=（cm2）．
故答案是： cm2．
三、解答題
14．（2024七上·羅湖期中）如圖，是由若干個完全相同的棱長為1的小正方體組成的一個幾何體．
（1）直接寫出這個幾何體的表面積（包括底部）：　 　；
（2）請按要求在方格內分別畫出從這個幾何體的三個不同方向看到的形狀圖．
【答案】（1）24
（2）解：
【知識點】幾何體的表面積；簡單組合體的三視圖
【解析】【解答】 （1）解：這個幾何體的表面積為。
故答案為：（1）。
【分析】（）先分析出從正面看是5個正方形，從左面看是3個正方形，從上面看是4個正方形，然后根據圖形計算即可；
（）分別畫出從三個方向看到的平面圖形即可；本題考查作圖形狀圖、幾何體的表面積，正確識圖是解題的關鍵。
15．（2021七上·嶧城月考）如圖是一個正方體盒子的展開圖，要把﹣6、、﹣1、6、﹣、1這些數字分別填入六個小正方形中，使得按虛線折成的正方體相對面上的兩個數互為相反數．
【答案】解：如圖：

【知識點】幾何體的展開圖
【解析】【分析】正方體的平面展開圖中，相對面的特點是之間一定相隔一個正方形，據此作答．
16．如圖①，從大正方體上截去一個小正方體之后，可以得到圖②的幾何體．
（1）設原大正方體的表面積為S，圖②中幾何體的表面積為S1，那么S1與S的大小關系是
A．S1＞S B．S1=S C．S1＜S D．無法確定
（2）小明說：“設圖①中大正方體各棱的長度之和為l，圖②中幾何體各棱的長度之和為l1，那么l1比l正好多出大正方體3條棱的長度．”你認為這句話對嗎？為什么？
（3）如果截去的小正方體的棱長為大正方體棱長的一半，那么圖③是圖②中幾何體的表面展開圖嗎？如有錯誤，請予修正．
【答案】解：（1）設原大正方體的表面積為S，圖②中幾何體的表面積為S1，
那么S1與S的大小關系是相等；
故選：B；
（2）設大正方體棱長為1，小正方體棱長為x，那么l1﹣l=6x．
只有當x= 時，才有6x=3，所以小明的話是不對的；
（3）如圖所示：
【知識點】截一個幾何體
【解析】【分析】（1）根據平移的性質可得出S1與S的大小關系；
（2）利用立方體的性質得出得出棱長之間的關系；
（3）利用立方體的側面展開圖的性質得出即可．
17．對于如圖①、②、③、④所示的四個平面圖
我們規定：如圖③，它的頂點為A、B、C、D、E共5個，區域為AED、ABE、BEC、CED共4個，邊為AE、EC、DE、EB、AB、BC、CD、DA共8條．
（1）按此規定將圖①、②、④的頂點①數、邊數、區域數填入下列表格：
圖 頂點數 邊數 區域數
①
②
③ 5 8 4
④
（2）觀察上表，請你歸納上述平面圖的頂點數、邊數、區域數之間的數量關系．
（3）若有一個平面圖滿足（2）中歸納所得的數量關系，它共有9個區域，且每一個頂點出發都有3條邊，則這個平面圖共有多少條邊？
【答案】解：（1）按此規定將圖①、②、④的頂點數、邊數、區域數填入下列表格：
圖 頂點數 邊數 區域數
① 4 6 3
② 6 9 4
③ 5 8 4
④ 10 15 6
（2）由表格得：頂點數+區域數=邊數+1，
（3）設頂點數為x，根據題意可知，x+9= +1，
得出x=16
每個頂點發出三個3邊，有9個區域數，
則有16個頂點，24條邊．
【知識點】平面圖形的初步認識
【解析】【分析】（1）根據規定結合圖形即可填充表格．
（2）根據所填的表格即可得出平面圖的頂點數、邊數、區域數之間的數量關系．
（3）根據（2）的關系直接寫出答案．
18．小明在學習了《展開與折疊》這一課后，明白了很多幾何體都能展開成平面圖形．于是他在家用剪刀展開了一個長方體紙盒，可是一不小心多剪了一條棱，把紙盒剪成了兩部分，即圖中的①和②．根據你所學的知識，回答下列問題：
（1）小明總共剪開了 條棱．
（2）現在小明想將剪斷的②重新粘貼到①上去，而且經過折疊以后，仍然可以還原成一個長方體紙盒，你認為他應該將剪斷的紙條粘貼到①中的什么位置？請你幫助小明在①上補全．
（3）小明說：他所剪的所有棱中，最長的一條棱是最短的一條棱的5倍．現在已知這個長方體紙盒的底面是一個正方形，并且這個長方體紙盒所有棱長的和是880cm，求這個長方體紙盒的體積．
【答案】解（1）小明共剪了8條棱，
故答案為：8．
（2）如圖，四種情況．

（3）∵長方體紙盒的底面是一個正方形，
∴設最短的棱長高為acm，則長與寬相等為5acm，
∵長方體紙盒所有棱長的和是880cm，
∴4（a+5a+5a）=880，解得a=20cm，
∴這個長方體紙盒的體積為：20×100×100=200000立方厘米．
【知識點】幾何體的展開圖
【解析】【分析】（1）根據平面圖形得出剪開棱的條數，
（2）根據長方體的展開圖的情況可知有兩種情況，
（3）設最短的棱長高為acm，則長與寬相等為5acm，根據棱長的和是880cm，列出方程可求出長寬高，即可求出長方體紙盒的體積．
19．（2021七上·和平期中）用棱長都為5cm的小立方塊搭成幾何體，從上面看到的幾何體的形狀圖如圖所示，其中小正方形中的數字表示在該位置的小立方塊的個數．
（1）請你分別畫出從正面和從左面看到的這個幾何體的形狀圖；
（2）若在所搭幾何體的基礎上（不改變原幾何體中小立方塊的位置），繼續添加大小相同的小立方塊，以搭成一個大正方體，至少還需要　 　個小立方塊；
（3）①圖中的幾何體的表面積（包括與桌面接觸的部分）為　 　 ；
②若新搭一個幾何體，且滿足如下三個條件：圖中從上面看到的幾何體的形狀圖不變，小立方塊的總數不變，從上面看到的小正方形中的數字可以改變，則新搭幾何體的表面積（包括與桌面接觸的部分）最小值和最大值分別為　 　 ，　 　 ．
【答案】（1）解：由已知可得：
（2）12
（3）1400；1250；1550
【知識點】幾何體的表面積；由三視圖判斷幾何體
【解析】【解答】（2）根據正方體的性質，每行每列都是3個小正方體，
已知有 （個）
∴ （個），
故答案為：12；
（3）①∵小正方體的棱長為5cm，
∴小正方形的面積為 ，
∴幾何體表面積為 ，
故答案為： ；
②如圖搭建此時表面積為最小，
幾何體最小表面積為 ；
如圖搭建此時表面積為最大，
幾何體最大表面積為 ；
故答案為：1250，1550．
【分析】（1）根據所給的圖形作圖即可；
（2）先求出，再計算求解即可；
（3）①先求出小正方形的面積為 ，再計算求解即可；
②先作圖，再計算求解即可。
20．（2024七上·龍崗月考）問題情景：某綜合實踐小組開展了“長方體紙盒的制作”實踐活動．
（1）下列圖形中，是無蓋正方體的表面展開圖的是　 　；（填序號）
（2）綜合實踐小組利用邊長為的正方形紙板制作出兩種不同方案的長方體盒子（圖1為無蓋的長方體紙盒，圖2為有蓋的長方體紙盒）．其中，．
①根據圖1方式制作一個無蓋的長方體盒子．方法：先在紙板四角剪去四個同樣大小邊長為的小正方形，再沿虛線折合起來．則長方體紙盒的底面積為　 　；
②根據圖2方式制作一個有蓋的長方體紙盒．方法：先在紙板四角剪去兩個同樣大小邊長為的小正方形和兩個同樣大小的小長方形，再沿虛線折合起來．則該長方體紙盒的體積為　 　；
③制作成的無蓋盒子的體積是有蓋盒子體積的　 　倍；
（3）若有蓋長方體的長、寬、高分別為、、，將它的表面沿某些棱剪開，展成一個平面圖形，則該長方體表面展開圖的最大外圍周長為　 　；
（4）若無蓋（缺長寬為，的長方形底面）長方體的長、寬、高分別為、、，將它的表面沿某些棱剪開，展成一個平面圖形，則該長方體表面展開圖的最小外圍周長為　 　．
【答案】（1）①③④
（2）400；1000；2
（3）70
（4）44
【知識點】幾何體的展開圖；已知展開圖進行幾何體的相關的計算
【解析】【解答】解：（1）①③④能圍成無蓋正方體，而②不能圍成無蓋正方體.
故答案為：①③④；
（2）①該無蓋長方體紙盒的底面面積=；
②該有蓋長方體紙盒的體積=；
③無蓋長方體紙盒的體積=400×5=2000cm3，2000÷1000=2，即 無蓋盒子的體積是有蓋盒子體積的 2倍.
故答案為：400；1000；2.
（3）有蓋長方體表面展開圖的最大外圍周長為6×8+4×4+3×2=70.
故答案為：70；
（4）無蓋長方體 （缺長寬為，的長方形底面） 表面展開圖的最小外圍周長為3×8+6×2+4×2=44.
故答案為：44.
【分析】 （1）①③④能圍成無蓋正方體，而②展開圖，折疊后會出現缺少一個側面，且有兩個底面重合；
（2）無蓋長方體的底面實際上是邊長為a-2b的正方形，根據面積公式計算即可；有蓋長方體相當于邊長分別為a-2b、b、的長方體，根據體積公式計算即可；先計算出無蓋長方體體積，再除以有蓋長方體體積即可.
（3）要得到最大外圍周長的展開圖，需要把4條長全部剪開，同時剪開1個由寬、高組成的側面的2條寬和1條高，由于每剪開1條邊會產生2條相同的被剪開邊，因此4條長全部剪開將得到8條長，即6×8=48，2條寬剪開得到4條寬，即4×4=16，1條高剪開得到2條高，即3×2=6，總和即為70；
（4）與（3）的思路類似，要得到最小外圍周長的展開圖，只需要把4條高全部剪開即可，總長3×8=24，加上2條長，即6×2=12，以及2條寬，即4×2=8，總和即為44.
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