資源簡介

(共27張PPT)
第2課時　用完全平方公式分解因式
2．[2024·石景山區期末]把2xy－x2－y2分解因式，結果正確的是(　　)
A．(x－y)2 B．(－x－y)2
C．－(x－y)2 D．－(x＋y)2
4．[2023·阜平縣期末]若4x2－kx＋1能用完全平方公式分解因式，則k＝(　　)
A．－4 B．4
C．－4或4 D．－8或8
5．[2024·鄲城縣期中]在對多項式進行因式分解時我們經常用到“整體思想”，請同學們將(x2＋y2)(x2＋y2－8)＋16進行因式分解結果是(　　)
A．(x2＋y2－4)2 B．(x－y)4
C．(x2－y2－4)2 D．(x2＋y2＋4)2
6．[2024·衡陽期中]已知a≠c，若M＝a2－ac，N＝ac－c2，則M與N的大小關系是(　　)
A．M>N B．M＝N
C．M7．[2024·晉江市期末]因式分解：(a－b)2－2(a－b)b＋b2＝
________．
8．[2024·閻良區期末]若多項式x2－(m－1)x＋16能用完全平
方公式進行因式分解，則m＝_______．
9.[整體思想][2024·大觀區二模]因式分解：(x＋y)2－6(x＋y
－1)＋3＝__________．
10．[2024·遼陽期末]因式分解：(a2＋b2)2－4a2b2＝_______
_______．
(a－2b)2
9或－7
(x＋y－3)2
(a＋b)2
(a－b)2
11. [整體思想][2024·鄞州區期末]先閱讀材料，再回答問題：
分解因式：(a－b)2－2(a－b)＋1.
解：設a－b＝M，則原式＝M2－2M＋1＝(M－1)2，
再將a－b＝M還原，得到：原式＝(a－b－1)2.
上述解題中用到的是“整體思想”，它是數學中常用的一種思想．
請你用整體思想分解因式：(x＋y)(x＋y－6)＋9＝__________．
(x＋y－3)2
12．[2024·青浦區期末]因式分解：(m2－6)2－6(m2－6)＋9.
解：(m2－6)2－6(m2－6)＋9
＝(m2－6－3)2
＝(m2－9)2
＝[(m＋3)(m－3)]2
＝(m＋3)2(m－3)2.
14.[拆項法][2024·濟寧期末]觀察下面因式分解的過程：
x4＋x3＋2x2＋3x－3
＝x4＋x3－x2＋3x2＋3x－3
＝x2(x2＋x－1)＋3(x2＋x－1)
＝(x2＋3)(x2＋x－1)．
上面因式分解過程的第一步把2x2拆成了－x2＋3x2，這種因式分解的方法稱為拆項法．請用上面的方法完成下列題目：
(1)a2－b2＋2a＋6b－8；
(2)x4－23x2＋1.
解：(1)a2－b2＋2a＋6b－8
＝a2－b2＋2a＋6b＋1－9
＝(a2＋2a＋1)－(b2－6b＋9)
＝(a＋1)2－(b－3)2
＝(a＋1＋b－3)(a＋1－b＋3)
＝(a＋b－2)(a－b＋4)；
(2)x4－23x2＋1
＝x4＋2x2－25x2＋1
＝(x4＋2x2＋1)－25x2
＝(x2＋1)2－(5x)2
＝(x2＋1＋5x)(x2＋1－5x)．
15.[換元法][2024·云南期末]閱讀下列材料：
在因式分解中，把多項式中某些部分看作一個整體，用一個新的字母代替(即換元)，不僅可以簡化要分解的多項式的結構，而且能使式子的特點更加明顯，便于觀察如何進行因式分解，我們把這種因式分解的方法稱為“換元法”．下面是小涵同學用換元法對多項式(x2－4x＋1)(x2－4x＋7)＋9進行因式分解的過程．
解：設x2－4x＝y，
原式＝(y＋1)(y＋7)＋9(第一步)
＝y2＋8y＋16(第二步)
＝(y＋4)2(第三步)
＝(x2－4x＋4)2(第四步)．
請根據上述材料回答下列問題：
(1)小涵同學的解法中，第二步到第三步運用了因式分解的 ；
A．提取公因式法
B．平方差公式法
C．完全平方公式法
(2)老師說，小涵同學因式分解的結果不徹底，請你寫出該因式
分解的最后結果： ____；
(3)請你用換元法對多項式(x2＋2x)(x2＋2x＋2)＋1進行因式分解．
解：(1)C；
(2)(x2－4x＋1)(x2－4x＋7)＋9，
設x2－4x＝y，
原式＝(y＋1)(y＋7)＋9
＝y2＋8y＋16
＝(y＋4)2
＝(x2－4x＋4)2
＝(x－2)4；
故答案為：(x－2)4；
(3)設x2＋2x＝y，
原式＝y(y＋2)＋1
＝y2＋2y＋1
＝(y＋1)2
＝(x2＋2x＋1)2
＝(x＋1)4.
16.[添項法·類比思想]請看下面的問題：把m4＋4分解因式．
分析：這個二項式既無公因式可提，也不能直接利用公式，怎么辦呢？
19世紀的法國數學家蘇菲·熱門抓住了該式只有兩項，而且屬于平方和(m2)2＋22的形式，要使用公式就必須添一項4m2，隨即將此項4m2減去，即可得
m4＋4＝(m2)2＋4m2＋22－4m2＝(m2＋2)2－(2m)2
＝(m2＋2＋2m)(m2＋2－2m)＝(m2＋2m＋2)(m2－2m＋2)
人們為了紀念蘇菲·熱門給出這一解法，就把它叫作“熱門定理”，請你依照蘇菲·熱門的做法，將下列各式因式分解．
(1)4x4＋y4；
(2)x2－2ax－b2－2ab.
解：(1)原式＝4x4＋y4＋4x2y2－4x2y2
＝(2x2＋y2)2－4x2y2
＝(2x2＋y2＋2xy)(2x2＋y2－2xy)；
(2)原式＝x2－2ax＋a2－a2－b2－2ab
＝(x－a)2－(a＋b)2
＝(x＋b)(x－2a－b)．
17．[2025·通遼期末]閱讀材料：利用公式法，可以將一些形如ax2＋bx＋c(a≠0)的多項式變形為a(x＋m)2＋n的形式，我們把這樣的變形方法叫做多項式ax2＋bx＋c(a≠0)的配方法，運用多項式的配方法及平方差公式能對一些多項式進行因式分解．
根據以上材料，解答下列問題：
(1)分解因式：x2＋2x－8；
(2)求多項式x2＋4x－3的最小值；
(3)已知a，b，c是△ABC的三邊長，且滿足a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，求△ABC的周長．
(3)∵a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，
∴a2＋b2＋c2＋50－6a－8b－10c＝0，
∴a2－6a＋9＋b2－8b＋16＋c2－10c＋25＝0，
∴(a－3)2＋(b－4)2＋(c－5)2＝0，
∴a－3＝0，b－4＝0，c－5＝0，
∴a＝3，b＝4，c＝5，
∴△ABC的周長＝3＋4＋5＝12.(共13張PPT)
第十七章 因式分解
17.1　用提公因式法分解因式
第1課時　用提公因式法分解因式
1．[2024·赤峰期末]下列從左到右的變形，屬于因式分解的
是(　　)
A．m2＋5m＋4＝m(m＋5)＋4
B．m2－4m＋4＝(m－2)2
C．a(m－n)＝am－an
D．(a＋2b)(a－2b)＝a2－4b2
2．[2024·唐山期末]多項式3m2＋6mn的公因式是(　　)
A．3 B．m
C．3m D．3n
3．化簡(－2)2 025＋(－2)2 026，結果為(　　)
A．－2 B．0
C．－22 025 D．22 025
4．[2024·靜安區期末]關于等式①2a－4＝2(a－2)和②3x2＋
3xy＝3x(x＋y)從左到右的變形，下列說法中，正確的是(　　)
A．①和②都是因式分解
B．①和②都不是因式分解
C．①是因式分解，②不是因式分解
D．①不是因式分解，②是因式分解
5．[2024·朝陽區期末]若分解因式x2＋mx－15＝(x＋3)(x－5)，
則m的值為(　　)
A．－2 B．2
C．－5 D．5
6．[2024·呼倫貝爾期末]把－6x3y2－3x2y2＋8x2y3因式分解時，
應提取的公因式是______.
7．[2024·汝城縣期中]如果把多項式x2－3x＋n分解因式得
(x－1)(x＋m)，那么m＝____ ，n＝__ .
－x2y2
－2
2
a(a－2)
6
9．因式分解：
(1)mx＋my；
(2)2x2＋4xy＋2x2；
(3)3x2－6x＋12xy.
解：(1)mx＋my＝m(x＋y)；
(2)2x2＋4xy＋2x2
＝4x2＋4xy
＝4x(x＋y)；
(3)3x2－6x＋12xy
＝3x(x－2＋4y)．
10．計算：(1)17×0.11＋37×0.11＋46×0.11；
(2)1.992＋1.99×0.01.
解：(1)原式＝(17＋37＋46)×0.11
＝100×0.11
＝11；
(2)1.992＋1.99×0.01
＝1.99×(1.99＋0.01)
＝3.98.
11．[2024·埇橋區期中]父親今年x歲，兒子今年y歲，父親比兒子大26歲，并且x2－xy＝1 040，請你求出父親和兒子今年各多少歲？
解：由題意，得x－y＝26，
∵x2－xy＝x(x－y)，
∴26x＝1 040，
解得x＝40，
y＝x－26＝40－26＝14.
答：父親和兒子今年分別是40歲、14歲．(共22張PPT)
第3課時　復雜的因式分解
1．[2024·開封期末]下列因式分解正確的是(　　)
A．－x2＋y2＝(x＋y)(x－y)
B．a3＋2a2b＋ab2＝a(a＋b)2
C．x2－2x＋4＝(x－1)2＋3
D．ax2－9＝a(x＋3)(x－3)
2．[2024·萊西市期末]將多項式3x2－6x＋3分解因式，下列結果正確的是(　　)
A．3(x2－2x) B．3x(x－2)
C．3(x2－2x＋1) D．3(x－1)2
3．如果a＋b＝3，ab＝1，那么a3b＋2a2b2＋ab3的值為(　　)
A．0 B．1
C．4 D．9
4．已知m＋n＝3，則2m2＋2n2＋4mn－6的值是(　　)
A．12 B．6
C．3 D．0
5．在把多項式m2－2mn－3n2因式分解時，雖然它不符合完全平方公式，但經過變形，可以利用完全平方公式進行分解：原式＝m2－2mn＋n2－4n2＝(m－n)2－4n2＝(m＋n)(m－3n)，像這樣構造完全平方式的方法稱之為“配方法”．用這種方法把多項式a2－6ab＋5b2因式分解的結果是(　　)
A．(a＋5b)(a＋b) B．(a－5b)(a＋b)
C．(a＋5b)(a－b) D．(a－5b)(a－b)
6．以下是一名學生做的5道因式分解題
①3x2－5xy＋x＝x(3x－5y)；
②－4x3＋16x2－26x＝－2x(2x2＋8x－13)；
③6(x－2)＋x(2－x)＝(x－2)(6＋x)；
④1－25x2＝(1＋5x)(1－5x)；
⑤x2－xy＋xz－yz＝(x－y)(x＋z)
請問他做對了幾道題？(　　)
A．5題 B．4題 C．3題 D．2題
7．如圖是投影屏上出示的搶答題，需要回答橫線上符號代表的內容，則回答錯誤的是(　　)
8．因式分解：(x＋y)(x＋y＋2xy)＋(xy＋1)(xy－1)＝_______
_____________________.
9.[新定義][2024·晉江市期中]對于任意實數x，都有g(x)＝mx2
＋nx，若g(1)＝10，g(2)＝22，則將g(x2－6x)因式分解的結果
為______________.
(x＋1)
(y＋1)(x＋y＋xy－1)
x(x－6)(x－3)2
10．[2023·大連期末]現在生活人們已經離不開密碼，如取款、
上網等都需要密碼，有一種用“因式分解”法產生的密碼，方
便記憶．原理是：如對于多項式x4－y4因式分解的結果是(x－y)
(x＋y)(x2＋y2)，若取x＝8，y＝8時，則各個因式的值是：x－y
＝0，x＋y＝16，x2＋y2＝128，把這些值從小到大排列得到
016 128，于是就可以把“016 128”作為一個六位數的密碼，對
于多項式8x3－2xy2，取x＝9，y＝2時，請你寫出用上述方法產生
的密碼________.
161 820
11．[2024·鐵西區期末]如圖，約定：上方相鄰兩整式之和等
于這兩個整式下方箭頭共同指向的整式．
(1)求整式M，P；
(2)將整式P因式分解．
解：(1)根據題意得M＝(3x2－4x－20)－3x(x－3)
＝3x2－4x－20－3x2＋9x
＝5x－20；
P＝3x2－4x－20＋(x＋2)2
＝3x2－4x－20＋x2＋4x＋4
＝4x2－16；
(2)P＝4x2－16
＝4(x2－4)
＝4(x＋2)(x－ 2)．
12．[2023·新化縣期末]下面是嘉淇同學把多項式－16my2＋4mx2分解因式的具體步驟：
－16my2＋4mx2
利用加法交換律變形：＝4mx2－16my2……第一步
提取公因式m：＝m(4x2－16y2)……第二步
逆用積的乘方公式：＝m[(2x)2－(4y)2]……第三步
運用平方差公式因式分解：＝m(2x＋4y)(2x－4y)……第四步
(1)事實上，嘉淇的解法是錯誤的，造成錯誤的原因是 ；
(2)請給出這個問題的正確解法．
解：(1)事實上，嘉淇的解法是錯誤的，造成錯誤的原因是公
因式沒有提取完；
故答案為：公因式沒有提取完；
(2)原式＝4m(x2－4y2)
＝4m(x＋2y)(x－2y)．
13．某同學碰到這么一道題“分解因式x2＋2x－3”，不會做，去問老師，老師說：“能否變成平方差的形式？在原式加上1，再減去1，這樣原式化為(x2＋2x＋1)－4，…”，老師話沒講完，此同學就恍然大悟，他馬上就做好了此題．請你仔細領會該同學的做法，將a2－2ab－3b2分解因式．
解：a2－2ab－3b2
＝a2－2ab＋b2－4b2
＝(a－b)2－4b2
＝(a－b＋2b)(a－b－2b)
＝(a＋b)(a－3b)．
14．[2025·呂梁期末]閱讀與思考
下面是一位同學的數學學習筆記，請仔細閱讀并完成相應任務．
整體思想
整體思想是一種重要的數學思想，在解決數學問題時，將要解決的問題看做一個整體，發現問題的整體結構特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或圖形看成一個整體，把握已知和所求之間的關聯，進行有目的、有意識地整體處理，使復雜的問題簡單化．下面通過舉一個例子來更好地理解整體思想.
例：把(x2－2x)(x2－2x＋2)＋1因式分解.
解：把“x2－2x”看成一個整體，令x2－2x＝y.
原式＝y(y＋2)＋1
＝y2＋2y＋1
＝(y＋1)2
＝(x2－2x＋1)2.
任務：
(1)材料中對多項式因式分解的結果不徹底，其因式分解的正確結果為 ；
(2)請類比材料中所給因式分解的解題過程，解決下面兩道題．
①將多項式(x2＋6x＋2)(x2＋6x＋16)＋49因式分解；
②已知m＋n＝5，mn＝1，求(m2＋1)(n2＋1)的值．
解：(1)把“x2－2x”看成一個整體，令x2－2x＝y.
原式＝y(y＋2)＋1
＝y2＋2y＋1
＝(y＋1)2
＝(x2－2x＋1)2
＝[(x－1)2]2
＝(x－1)4.
故答案為：(x－1)4；
(2)①把“x2＋6x”看成一個整體，令x2＋6x＝y.
(x2＋6x＋2)(x2＋6x＋16)＋49＝(y＋2)(y＋16)＋49
＝y2＋18y＋32＋49
＝y2＋18y＋81
＝(y＋9)2
＝(x2＋6x＋9)2
＝[(x＋3)2]2
＝(x＋3)4；
②∵m＋n＝5，mn＝1，
∴(mn)2＝1，m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝52－2＝23，
則(m2＋1)(n2＋1)＝(mn)2＋m2＋n2＋1
＝12＋23＋1
＝25.(共22張PPT)
17.2　用公式法分解因式
第1課時　用平方差公式分解因式
1．[2024·泉港區期末]下列各多項式中，能直接用平方差公式分解因式的是(　　)
A．a2＋9 B．a2－6a＋9
C．－a2－9 D．a2－9
2．[2023·綏化期中]若81－xk＝(9＋x2)(3＋x)(3－x)，那么k的值是(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
3．[2023·廈門期末]已知多項式a2＋b2＋M可以運用平方差公式分解因式，則單項式M可以是(　　)
A．2ab B．－2ab
C．3b2 D．－5b2
4．[2024·新華區期末]等式“□a2＋b2＝－(2a－b)(2a＋b)”中的“□”表示的數是(　　)
A．4 B．－4
C．16 D．－16
5．[2024·赫章縣期中]先觀察下列各式：①32－12＝4×2；
②42－22＝4×3；③52－32＝4×4；④62－42＝4×5…下列
選項成立的是(　　)
A．n2－(n－1)2＝4n
B．(n＋1)2－n2＝4(n＋1)
C．(n＋2)2－n2＝4(n＋1)
D．(n＋2)2－n2＝4(n－1)
6．[2023·曲陽縣期末]小明在抄分解因式的題目時，不小心漏抄了x的指數，他只知道該數為不大于10的正整數，并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作業本上的式子是x□－4y2 (“□”表示漏抄的指數)，則這個指數可能的結果共有(　　)
A．2種 B．3種
C．4種 D．5種
7．[2024·益陽一模]在日常生活中如取款、上網等都需要密碼，有一種用“因式分解”法產生的密碼記憶方便．原理是：如對于多項式x4－y4，因式分解的結果是(x－y)(x＋y)(x2＋y2)，若取x＝9，y＝9，則各個因式的值是：x－y＝0，x＋y＝18，x2＋y2＝162，于是就可以把“018 162”作為一個六位數的密碼．對于多項式x3－xy2，取x＝50，y＝20，用上述方法產生的密碼不可能是(　　)
A．503 070 B．507 030
C．307 040 D．703 050
8．[2025·通遼期末]若2 0232 026－2 0232 024＝2 024×2 023n
×2 022，則n的值是(　　)
A．2 022 B．2 023
C．2 024 D．2 025
9．[2024·海南]因式分解：x2－4＝_____________．
10．[2024·淄博期中]因式分解：(4a＋5)2－9＝
_______________．
11．[2023·合川區期末]因式分解：4(m－n)2－(m＋n)2＝
_______________．
(x＋2)(x－2)
8(a＋2)(2a＋1)
(3m－n)(m－3n)
12．[2024·海安市一模]若a＋b＝4，a－b＝1，則(a＋2)2－
(b－2)2的值為___．
13．[2025·呼倫貝爾期末]因式分解：x2(a－b)＋4(b－a)＝
___________________．
20
(a－b)(x＋2)(x－2)
14．[2024·靜安區期中]分解因式：(4a＋b)2－4(a＋b)2.
解：(4a＋b)2－4(a＋b)2
＝(4a＋b)2－(2a＋2b)2
＝(4a＋b＋2a＋2b)(4a＋b－2a－2b)
＝(6a＋3b)(2a－b)
＝3(2a＋b)(2a－b)．
(1)①用含a，b的式子表示紙片(陰影部分)的面積；
②當a＝6.4，b＝1.8時，利用分解因式法計算陰影部分的面積；
(2)當a＋2b＝8，ab＝2時，求出紙盒的底面積．
解：(1)①由圖得，紙片(陰影部分)的面積為(a2－4b2)cm2；
②∵a＝6.4，b＝1.8，
∴a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b)＝(6.4＋2×1.8)×(6.4－2×1.8)＝10×2.8＝28(cm2)；
(2)∵a＋2b＝8，ab＝2，
∴紙盒的底面積為(a－2b)2＝a2－4ab＋4b2＝(a＋2b)2－8ab＝82－8×2＝48(cm2)．
16.[應用意識][2024·武漢期末]如圖為2024年某月日歷，現用一個正方形方框框住部分(陰影部分)9個位置上的數，若最小的數與最大的數的積記為n，中間位置上的數記為m.下列所給的數據中，n不可能是(　　)
A．377 B．420
C．465 D．512
解析：最大和最小的兩個數是m＋8和m－8，∴n＝(m－8)(m＋8)＝m2－64，即m2＝64＋n，A選項中，當n＝377時，64＋377＝441＝212，結果是一個平方數，所以n可能是377，故A不符合題意；B選項中，當n＝420時，420＋64＝484＝222，結果是一個平方數，所以n可能是420，故B不符合題意；C選項中，當n＝465時，465＋64＝529＝232，結果是一個平方數，所以n可能是465，故C不符合題意；D選項中，當n＝512時，512＋64＝576＝242，結果是一個平方數，但此時最大數為24＋8＝32，32號不存在，所以n不可能是512，故D符合題意．
17．【方法提取】
數學學習活動，是在公式化體系的不斷完善中進行的．我們已經學方差公式，在平方差公式的基礎上，可以對式子a3－b3進行如下推導：
a3－b3
＝a3－a2b＋a2b－b3
＝a2(a－b)＋b(a2－b2)
＝a2(a－b)＋b(a＋b)(a－b)
＝(a－b)[a2＋b(a＋b)]
＝(a－b)(a2＋ab＋b2)．
對于a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)，稱為立方差公式．
解：【公式推導】
a3＋b3
＝a3＋a2b－a2b＋b3
＝a2(a＋b)－b(a2－b2)
＝a2(a＋b)－b(a＋b)(a－b)
＝(a＋b)[a2－b(a－b)]
＝(a＋b)(a2－ab＋b2)；(共13張PPT)
第2課時　用提公因式法分解因式(2)
1．[2024·包頭期末]把－a(x－y)－b(y－x)＋c(x－y)分解因式正確的結果是(　　)
A．(x－y)(－a－b＋c)
B．(y－x)(a－b－c)
C．－(x－y)(a＋b－c)
D．－(y－x)(a＋b－c)
2．[2024·瑤海區一模]下列因式分解正確的是(　　)
A．a2b－2ab＝a(ab－2b)
B．－a2b＋2ab＝－ab(a＋2)
C．ab－ab2＝ab(1－b2)
D．－a2b＋ab2＝－ab(a－b)
3．把多項式(m＋1)(m－1)＋(m－1)提取公因式(m－1)后得
(m－1)(　　)，括號中內容是(　　)
A．m＋1 B．2m
C．m－1 D．m＋2
4．計算1－a－a(1－a)－a(1－a)2－a(1－a)3－…－a(1－a)2 013
－[(1－a)2 014－3]的結果為(　　)
A．3 B．1
C．(1－a)2 015 D．(1－a)2 015＋3
5．[2025·通遼期中]如圖，邊長為a，b的矩形的周長為10，面積為6，則a2b＋ab2的值為(　　)
A．60 B．16
C．30 D．11
6．[2024·甘井子區期末]分解因式：4a(x＋7)－3(x＋7)＝
______________．
7．[2024·西城區期末]已知等式：x(y－1)＋( )＝
(y－1)(x＋3)，若括號內所填的式子記為A，則A＝______．
8．多項式3xm·yn＋2＋xm－1yn＋1分解因式的結果
是________________.
(x＋7)(4a－3)
3y－3
xm－1yn＋1(3xy＋1)
9．因式分解．
(1)6ab3－2a2b2＋4a3b；
(2)2a(y－z)－3b(z－y)；
(3)(x2＋2)2－6(x2＋2)＋9.
解：(1)6ab3－2a2b2＋4a3b
＝2ab(3b2－ab＋2a2)；
(2)2a(y－z)－3b(z－y)
＝2a(y－z)＋3b(y－z)
＝(y－z)(2a＋3b)；
(3)(x2＋2)2－6(x2＋2)＋9
＝[(x2＋2)－3]2
＝(x2－1)2
＝(x＋1)2(x－1)2.
10．[2025·呼倫貝爾期中]已知x2＋x＋1＝0，則1＋x＋x2＋x3
＋x4＋…＋x2 022的值是__．
解析：∵x2＋x＋1＝0，
∴1＋x＋x2＋x3＋x4＋…＋x2 022
＝1＋(x＋x2＋x3)＋(x4＋x5＋x6)＋…＋(x2 020＋x2 021＋x2 022)
＝1＋x(1＋x＋x2)＋x4(1＋x＋x2)＋…＋x2 020(1＋x＋x2)＝1.
1
11．[2024·包頭期中]閱讀下列因式分解的過程，再回答所提出的問題：
1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2
＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)]
＝(1＋x)2(1＋x)
＝(1＋x)3.
(1)上述分解因式的方法是 ，共應用了 次．
(2)若分解1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)2 004，則需應用上述方法 次，結果是 _ .
(3)分解因式：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n(n為正整數)．
解：(1)提公因式法，2；
(2)2 004，(1＋x)2 005；
(3)原式＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)]＋x(x＋1)3＋…＋x(x＋1)n，
＝(1＋x)2(1＋x)＋x(x＋1)3＋…＋x(x＋1)n，
＝(1＋x)3＋x(x＋1)3＋…＋x(x＋1)n，
＝(x＋1)n＋x(x＋1)n，
＝(x＋1)n＋1.

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