資源簡介

(共17張PPT)
第2課時　積的乘方
2．[2024·石家莊模擬]下列各圖中，能直觀解釋“(3a)2＝9a2”
的是(　　)
4．[2024·東湖區(qū)期末]下列運算正確的是(　　)
A．2a2＋3a2＝5a4 B．b3·b3＝2b3
C．(a2)5＝a10 D．(a3b)2＝a6b
5．[2024·盤龍區(qū)期末]下列計算正確的是(　　)
A．a(chǎn)5＋a5＝2a10
B．a(chǎn)3·a5＝a15
C．(－a2)4＝a8
D．(－4a2b)3＝－12a6b3
10．已知2m＝a，3m＝b，24m＝c，那么a，b，c之間滿足的等量
關系是______．
c＝a3b
11．計算：
(1)a3·a5＋(a2)4＋(2a4)2；
(2)(－2x2)3＋x2·x4－(－3x3)2.
解：(1)6a8(過程略)；
(2)－16x6(過程略)．
12．冪的運算性質(zhì)在一定條件下具有可逆性，如ambm＝(ab)m，則(ab)m＝ambm.(a，b為非負數(shù)，m為非負整數(shù))請運用所學知識解答下列問題：
(1)已知2x＋3·3x＋3＝36x－2，求x的值；
(2)已知：3×2x＋3×4x＋3＝192，求x的值；
(3)已知p＝57，q＝75，用含p，q的式子表示3535.
解：(1)∵2x＋3·3x＋3＝36x－2，
∴(2×3)x＋3＝(62)x－2，即6x＋3＝62(x－2)，
∴x＋3＝2(x－2)，
解得x＝7；
(2)∵3×2x＋3×4x＋3＝192，
∴2x＋3×22(x＋3)＝64，
∴23(x＋3)＝26，
∴3(x＋3)＝6，
解得x＝－1；
(3)∵p＝57，q＝75，
∴3535＝(357)5＝[(5×7)7]5＝(57)5×(77)5
＝(57)5×(75)7＝p5q7.
解：(1)a＝255＝(25)11＝3211；
b＝344＝(34)11＝8111；
c＝433＝(43)11＝6411；
∴3211＜6411＜8111，
即a＜c＜b；
(2)當xa＝2，xb＝5時，
x3a＋2b
＝x3a·x2b
＝(xa)3·(xb)2
＝23×52
＝8×25
＝200；(共24張PPT)
16.2　整式的乘法
第1課時　整式的乘法
1．[2024·通許縣期中]下列計算正確的是(　　)
A．6x2·3xy＝9x3y3
B．2ab2·(－3ab)＝－6a2b3
C．m2n·(－m2n)＝－m3n3
D．－3x3y·(－3xy)＝9x3y2
2．(4×105)×(25×103)的計算結果是(　　)
A．100×108 B．1×1017
C．1010 D．100×1015
3．如圖，一個木制的長方體箱子的長、寬、高分別為2x＋5，x，2x，則這個木制的長方體的體積為(　　)
A．4x3＋10x2
B．4x3＋10x
C．4x2＋10x
D．4x2＋10x3
4．[2024·高坪區(qū)三模]已知m－2n＝1，則2n(m＋1)－m(1＋2n)＋3的值為(　　)
A．4 B．2
C．－4 D．－2
6．[2025·呼倫貝爾期中]如果xny4與2xym相乘的結果是2x5y7，那么m和n的值分別是(　　)
A．3，5 B．2，1
C．3，4 D．4，5
7．[2024·思明區(qū)期末]如圖，將長為a，寬為b的長方形紙板，
在它的四角都切去一個邊長為x的正方形，然后將四周突起部
分折起，制成一個長方體形狀的無蓋紙盒．下列說法錯誤的
有(　　)
A．紙盒的容積等于x(a－2x)(b－2x)
B．紙盒的外表面積為ab－4x2
C．紙盒的底面積為ab－2(a＋b)x－4x2
D．若制成的紙盒是正方體，則必須滿足a＝b＝3x
8．[2024·南宮期中]如圖，下列整式中不能正確表示圖中陰影部分面積的是(　　)
A．x2＋3(x＋2)
B．x(x＋3)＋2x
C．x(x＋3)＋6
D．(x＋3)(x＋2)－2x
9．[2024·呼蘭區(qū)期末]圖1是長為a，寬為b(a>b)的小長方形紙片，將6張如圖1的紙片按圖2的方式不重疊地放在長方形ABCD內(nèi)，已知CD的長度固定不變，BC的長度可以變化，圖中陰影部分(即兩個長方形)的面積分別表示為S1，S2，若a＝4，b＝2，S1－S2的值是(　　)
A．8 B．16
C．12 D．32
10．[2024·東山縣期中]利用多項式相乘的知識我們易得公式(ax＋b)(cx＋d)＝acx2＋(bc＋ad)x＋bd，我們直接套用公式可求得(3x－2)(5x＋3)＝15x2＋(－10＋9)x－6＝15x2－x－6，我們可以逆向運用這個公式，如果2x2－13x＋6＝(x－6)(　　)，那么括號里應該填(　　)
A．x＋1 B．2x－1
C．2x＋1 D．x－1
11．[2024·南昌期末]計算：(－5a4)·(－6ab3)＝______．
12．[2024·九臺區(qū)期中]觀察如圖兩個多項式相乘的運算過程，
若(x＋a)(x＋b)＝x2－9x＋14，根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，則a，b的
值可能分別是_____________________．
30a5b3
－2，－7(或－7，－2)
13．[2024·興安盟期末]如圖，長方形ABCD，則陰影部分面積
的表達式為____________．
解析：由圖形得BC＝a＋2b，CD＝a＋b，
∴S陰影＝S大長方形ABCD－7×S小長方形＝(a＋2b)(a＋b)－7ab
＝a2＋ab＋2ab＋2b2－7ab＝a2－4ab＋2b2.
a2－4ab＋2b2
14．[2024·靜寧縣期末]計算：x(x＋2y)－(y－3x)(x＋y)．
解：4x2＋4xy－y2(過程略)．
15．[2024·烏海期末]【閱讀材料】
“數(shù)形結合”是一種非常重要的數(shù)學思想方法．比如：在學習“整式的乘法”時，我們通過構造幾何圖形，用“等積法”直觀地推導出了完全平方和公式：(a+b)2＝a2＋2ab＋b2(如圖1)．利用“數(shù)形結合”的思想方
法，可以從代數(shù)角度解決圖形問
題，也可以用圖形關系解決代數(shù)
問題．
【方法應用】
根據(jù)以上材料提供的方法，回答下列問題：
(1)由圖2可得等式： ___；
(2)由圖3可得等式： ___；
(3)利用圖3得到的結論，解決問題：已知a＋b＋c＝10，ab＋ac＋bc＝24，求a2＋b2＋c2的值．
解：(1)由圖2知，大長方形的面積＝(2a＋b)(a＋b)，大長方形的面積＝2個邊長為a小正方形的面積＋3個小長方形的面積＋1個邊長為b的正方形面積＝a2＋a2＋b2＋3ab＝2a2＋b2＋3ab，
∴(2a＋b)(a＋b)＝2a2＋b2＋3ab；
故答案為：(2a＋b)(a＋b)＝2a2＋b2＋3ab；
(2)由圖3知，大正方形的面積＝(a＋b＋c)2，
大正方形的面積＝3個邊長分別為a，b，c的正方形的面積＋2個長和寬分別為a，b小長方形的面積＋2個長和寬分別為a，c小長方形的面積＋2個長和寬分別為b，c小長方形的面積＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc，
∴(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc；
故答案為：(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc；
(3)由(2)知：(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc，
∴a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－(2ab＋2ac＋2bc)，
＝(a＋b＋c)2－2(ab＋ac＋bc)，
把a＋b＋c＝10，ab＋ac＋bc＝24代入得：
a2＋b2＋c2＝102－2×24＝100－48＝52.
16. [推理能力][2024·思明區(qū)期中]閱讀以下內(nèi)容：
(x－1)(x＋1)＝x2－1，
(x－1)(x2＋x＋1)＝x3－1，
(x－1)(x3＋x2＋x＋1)＝x4－1……
根據(jù)這一規(guī)律，計算：1＋2＋22＋23＋24＋25＋…＋22 024－22 025
＝____．
－1
17. [推理能力] [2024·廣陵區(qū)期末]18世紀歐拉引進了求和符
號 （其中i≤n，且i和n表示正整數(shù)），對這個符號我們進
行如下定義： k表示k從i開始取數(shù)一直取到n，全部加起來，
＝i＋（i＋1）＋（i＋2）＋（i＋3）＋…＋n.例如：當i
＝1時， ＝1＋2＋3＋4＋…＋n.若 (x－k)(x－k＋1)＝3x2
＋px＋m，則m＝___．
20
解析：∵ （x－k）（x－k＋1）＝3x2＋px＋m，且3x2＋px＋m
中二次項系數(shù)為3，
∴n＝4，
∴ （x－k）（x－k＋1）＝（x－2）（x－1）＋（x－3）
（x－2）＋（x－4）（x－3）
＝x2－3x＋2＋x2－5x＋6＋x2－7x＋12
＝3x2－15x＋20,
∴ (x－k)(x－k＋1)＝3x2＋px＋m，
∴3x2－15x＋20＝3x2＋px＋m，
∴p＝－15，m＝20.(共19張PPT)
第十六章 整式的乘法
16．1　冪的運算
16．1.1　同底數(shù)冪的乘法
1．[2024·懷柔區(qū)期末]下列計算正確的是(　　)
A．a(chǎn)4·a3＝a B．a(chǎn)4·a3＝a7
C．a(chǎn)4·a3＝a12 D．a(chǎn)4·a3＝a64
3．下列各題能用同底數(shù)冪乘法法則進行計算的是(　　)
A．(x－y)2(x＋y)3
B．(－x－y)(x＋y)2
C．(x＋y)2＋(x＋y)2
D．－(x－y)2(－x－y)3
4．下列冪的運算中，正確的是(　　)
A．(－a2)·(－a)2＝－a4
B．(－a)2·(－a)2＝－a4
C．(－a)·(－a)3＝－a4
D．(－a)·(－a2)＝－a4
5．[2023·鎮(zhèn)江]如圖，在甲、乙、丙三只袋中分別裝有球29個、29個、5個，先從甲袋中取出2x個球放入乙袋，再從乙袋中取出(2x＋2y)個球放入丙袋，最后從丙袋中取出2y個球放入甲袋，此時三只袋中球的個數(shù)都相同，則2x＋y的值等于(　　)
A．128 B．64
C．32 D．16
6．[2024·邢臺期末]若2n·2n＝2n＋2n＋2n＋2n，則n的值
為(　　)
A．0 B．1
C．2 D．4
7.[新定義][2024·平湖期末]我們知道，同底數(shù)冪的乘法法則為am·an＝am＋n(其中a≠0，m，n為正整數(shù))．類似地，我們規(guī)定關于任意正整數(shù)m，n的一種新運算：f(m＋n)＝f(m)·f(n)．若f(4)＝k(k≠0)，那么f(2 024)的結果是(　　)
A．2 024k B．k2 024
C．506k D．k506
8．[2024·蘇州]計算：x3·x2＝__．
9．[2024·呼和浩特期中]若xm＝2，xn＝3，則xm＋n＝__．
10．[2024·赤峰期末]已知x＋y－3＝0，則3x·3y的值為___．
11．[2024·奉賢區(qū)期中]計算：(a－b)5·(b－a)4＝_______．
(結果用冪的形式表示)
x5
6
27
(a－b)9
a＋c＝b
2
14．計算：
(1)(－x2)·x4＋x·x5；
(2)(a－b)2·(b－a)3·(a－b)．
解：(1)0(過程略)；
(2)－(a－b)6(過程略)．
15．[2024·萊西期中]將如圖所示的長為1.5×102 cm，寬為1.2×102 cm，高為0.8×102 cm的大理石運往某地用以建設革命歷史博物館．求每塊大理石的體積．(結果用科學記數(shù)法表示)
解：1.5×102×1.2×102×0.8×102
＝(1.5×1.2×0.8)×(102×102×102)
＝1.44×106(cm3)
所以每塊大理石的體積為1.44×106 cm3.
16.[新定義][2024·西崗區(qū)期末]規(guī)定兩數(shù)a，b之間的一種運算，
記作[a，b]：如果ac＝b，那么[a，b]＝c.例如：因為24＝16，所
以[2，16]＝4.
(1)[3，27]＝ ，[ ，－8]＝3；
(2)令1＝[－2，－2]，2＝[－2，4]，3＝[－2，－8]，
4＝[－2，16]，5＝[－2，－32]……則9＝[－2，______]，
n＝[－2，______]；
(3)令n＝[－2，b1]，n＋1＝[－2，b2]，n＋2＝[－2，b3]，
若b1＋b2＋b3＝3 072，求n的值．
解：(1)3，－2；
(2)－512，(－2)n；
(3)∵n＝[－2，b1]，n＋1＝[－2，b2]，
n＋2＝[－2，b3]，
∴b1＝(－2)n，b2＝(－2)n＋1，b3＝(－2)n＋2，
∵b1＋b2＋b3＝3 072，
∴(－2)n＋(－2)n＋1＋(－2)n＋2＝3 072，
(－2)n[1＋(－2)＋(－2)2]＝3 072，
3×(－2)n＝3 072，
(－2)n＝1 024，
∴n＝10.
17. [推理能力][2024·泉州期中]一般地，n個相同的因數(shù)a相乘a·a·…·a，記為an，其中a稱為底數(shù)，n稱為指數(shù)；若已知2x＝32，易知x＝5，若2x＝33，則該如何表示x？一般地，如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么x叫作以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫作對數(shù)的底數(shù)，N叫作真數(shù)．如34＝81，則4叫作以3為底81的對數(shù)，記為log381＝4；故2x＝33中，x＝log233.
(1)熟悉下列表示法，并填空：
∵21＝2，
∴l(xiāng)og22＝1，
∵22＝4，
∴l(xiāng)og24＝2，
∵23＝8，
∴l(xiāng)og28＝3，
∵24＝16，
∴l(xiāng)og216＝ ，
計算：log232＝ ；
(2)觀察(1)中各個對數(shù)的真數(shù)和對數(shù)的值，我們可以發(fā)現(xiàn)log24＋log28＝ ；(用對數(shù)表示結果)
(3)于是我們猜想：logaM＋logaN＝ (a≠1，M>0，N>0)．請你請根據(jù)冪的運算法則及對數(shù)的含義證明你的結論．
解：(1)4，5；
(2)由(1)可得，log24＋log28＝2＋3＝5＝log232，
故答案為：log232；
(3)logaM＋logaN＝logaMN，
證明：設x＝logaM，y＝logaN，則ax＝M，ay＝N，
∴ax·ay＝MN，
即ax＋y＝MN，
∴x＋y＝logaMN，
∴l(xiāng)ogaM＋logaN＝logaMN.(共30張PPT)
16．3.2　完全平方公式
1．[2024·呼和浩特]下列運算正確的是(　　)
A．(3x)3＝9x3
B．(x－2)2＝x2－4
C．(－2ab2)2＝4a2b4
D．3a＋4b＝7ab
2．下列多項式中可以用完全平方公式計算的是(　　)
A．(a－2b)(2a－b)
B．(a－2b)(－2b－a)
C．(－a－2b)(－2b＋a)
D．(a－2b)(2b－a)
4．[2023·攀枝花]我們可以利用圖形中的面積關系來解釋很多
代數(shù)恒等式．給出以下4組圖形及相應的代數(shù)恒等式：其中，圖
形的面積關系能正確解釋相應的代
數(shù)恒等式的有(　　)
A．1個
B．2個
C．3個
D．4個
5．[2024·鼓樓區(qū)期中]小華在利用完全平方公式計算時，墨跡將結果“4x2●＋25y2”中的一項染黑了，則墨跡覆蓋的這一項及其符號可能是(　　)
A．＋10xy　　　　B．＋10xy或－10xy
C．＋20xy　　　　D．＋20xy或－20xy
6．[2024·海倫期末]若a＋b＝8，a2＋b2＝74，則ab的值
為(　　)
A．－10 B．－5
C．5 D．10
7．[2024·廬江縣期末]如圖，是某正方形的房屋結構平面圖，其中主臥與客臥也都是正方形，它們的邊長分別為a米，b米，其面積之和比剩余面積(陰影部分)多1平方米．則主臥與客臥的周長差為(　　)
A．1米 B．2米
C．4米 D．8米
8.[新定義][2024·立山區(qū)期中]定義a※b＝a(b－1)，例如2※3
＝2×(3－1)＝2×2＝4，則(x－1)※x的結果為(　　)
A．x2＋2x＋1 B．x2－x
C．x2－1 D．x2－2x＋1
9. [數(shù)學傳統(tǒng)文化][2024·黔江區(qū)期末](a＋b)n(n為非負整數(shù))
當n＝0，1，2，
3……時的展開情況如下所示：
(a＋b)0＝1
(a＋b)1＝a＋b
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4
(a＋b)5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5
觀察左邊這些式子的等號右邊各項的系數(shù)，我們得到了南宋數(shù)學家楊輝在其著作《詳解九章算法》中列出的一個神奇的“圖”(如圖)，他揭示了(a＋b)n展開后各項系數(shù)的情況，被后人稱為“楊輝三角”．根據(jù)圖，你認為(a＋b)8展開式中所有項系數(shù)的和應該是(　　)
A．128 B．256
C．512 D．1 024
10．[2024·巴南區(qū)期末]已知(x＋y)2＝25，(x－y)2＝13，則x2
＋y2的值為___．
11．[2024·靜安區(qū)期末]計算(a－b＋c)2＝__________________
_______．
12．[2024·南開區(qū)期末]若a2＋2(m－3)a＋16是完全平方式，則
m的值為_______．
19
a2－2ab＋b2＋2ac－
2bc＋c2
7或－1
13．[2024·白云區(qū)期末]如圖，以長方形ABCD的四條邊為邊向
外作四個正方形，設計出“中”字圖案，若四個正方形的周長
之和為40，面積之和為26，則長方形ABCD的面積為__．
6
14．[2024·興安盟期末]現(xiàn)有若干張如圖1所示的三種卡片，A種
卡片是邊長為a的正方形，B種卡片是邊長為b的正方形，C種卡片
是長為b、寬為a的長方形．
(1)若要拼出一個面積為(a＋2b)(3a＋b)的長方形，則需要A種卡片 張，B種卡片 張，C種卡片 張；
(2)①利用4張C種卡片按圖2的形狀拼成一個正方形，則可得到一個關于(b＋a)2，(b－a)2，ab的等量關系式： ___；
②如圖3，正方形ABCD和正方形EFGH的邊長分別為m，n(m>n)，若m＋n＝8，mn＝5，E是AB的中點，請利用①中的公式求陰影部分面積的和．
解：(1)∵(a＋2b)(3a＋b)＝3a2＋7ab＋2b2，
∴需要A種卡片3張，B種卡片2張，C種卡片7張．
故答案為：3；2；7；
(2)①小正方形可以是(b－a)2，也可以是(b＋a)2－4ab，
∴(b＋a)2－4ab＝(b－a)2.
故答案為：(b＋a)2－4ab＝(b－a)2；
15．[2024·河北區(qū)期末]先閱讀下面的內(nèi)容，再解決問題．
例題：若m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求m和n的值．
解：∵m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，
∴m2＋2mn＋n2＋n2－6n＋9＝0，
∴(m＋n)2＋(n－3)2＝0，
∴m＋n＝0，n－3＝0，
∴m＝－3，n＝3.
問題：(1)若x2＋2y2－2xy－4y＋4＝0，求xy的值；
(2)已知a，b，c是△ABC的三邊長，滿足a2＋b2＝10a＋8b－41，且c是△ABC中最長的邊，求c的取值范圍．
解：(1)x2＋2y2－2xy－4y＋4
＝x2－2xy＋y2＋y2－4y＋4
＝(x－y)2＋(y－2)2
＝0，
∴x－y＝0，y－2＝0，
解得x＝2，y＝2，
∴xy＝22＝4；
(2)∵a2＋b2＝10a＋8b－41，
∴a2－10a＋25＋b2－8b＋16＝0，
即(a－5)2＋(b－4)2＝0，
a－5＝0，b－4＝0，
解得a＝5，b＝4，∴1＜c＜9，
∵c是△ABC中最長的邊，
∴5≤c＜9.
16.[數(shù)學文化]《幾何原本》是古希臘數(shù)學家歐幾里得的一部不朽著作，是數(shù)學發(fā)展史的一個里程碑．在該書的第2卷“幾何與代數(shù)”部分，記載了很多利用幾何圖形來論證的代數(shù)結論，利用幾何給人以強烈印象，將抽象的邏輯規(guī)律體現(xiàn)在具體的圖形之中．
我們在學習許多代數(shù)公式時，可以用幾何圖形來推理，觀察下列圖形，找出可以推出的代數(shù)公式．(下列各圖形均滿足推導各公式的條件，只需填寫對應公式的序號)
公式①：(a＋b＋c)d＝ad＋bd＋cd；
公式②：(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd；
公式③：(a－b)2＝a2－2ab＋b2；
公式④：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.
圖1對應公式___，圖2對應公式___，圖3對應公式___，圖4對應
公式___．
①
②
④
③
17.[數(shù)學結合][2024·寧鄉(xiāng)期末]【閱讀理解】
數(shù)形結合是數(shù)學解題中常用的思想方法，數(shù)形結合的思想可以使某些抽象的數(shù)學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學問題的本質(zhì)．
例如：教材在探究平方差公式“兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，就等于這兩個數(shù)的平方差”，即(a＋b)(a－b)＝a2－b2，利用了如圖1的圖形表示它的幾何意義：深色陰影部分面積為a2－b2，也可轉化成一個一邊長為(a＋b)，另一邊長為(a－b)的長方形，其陰影部分面積為(a＋b)(a－b)，由于陰影部分面積相同，因此有(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
【類比探究】
如圖2是一個長為4b，寬為a的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分
成四個小長方形，然后用四個小長方形拼成一個“回形”正方形．
(如圖3)
(1)觀察圖3請你寫出(a＋b)2，(a－b)2，ab之間的等量關
系： ___；(共27張PPT)
第2課時　整式的除法
1．[2024·煙臺]下列計算結果為a6的是(　　)
A．a(chǎn)2·a3 B．a(chǎn)12÷a2
C．a(chǎn)3＋a3 D．(a2)3
2．[2024·廣東]下列計算正確的是(　　)
A．a(chǎn)2·a5＝a10 B．a(chǎn)8÷a2＝a4
C．－2a＋5a＝7a D．(a2)5＝a10
3．[2024·雅安]計算(1－3)0的結果是(　　)
A．－2 B．0
C．1 D．4
5．[2023·烏蘭察布期末]小亮在計算(6x3y－3x2y2)÷3xy時，錯把括號內(nèi)的減號寫成了加號，那么正確結果與錯誤結果的乘積是(　　)
A．2x2－xy B．2x2＋xy
C．4x4－x2y2 D．無法計算
①②③⑤
7．[2024·徐匯區(qū)期中]計算(4×102)3÷(－2×103)的結果
是__________．
8．[2024·萬州區(qū)期末]若一個多項式M與單項式2x2的積是
10x4－8x5，則這個多項式M是________．
9．[2024·紅河縣期末]已知長方形面積為6y4－3x2y3＋x2y2，
它的一邊長為3y2，則這個長方形另外一邊長為 ．
－3.2×104
5x2－4x3
8m3＋9m－10
11．[2024·東陽期末]在求多項式除以多項式時，可類似于正整
數(shù)除法的“列豎式”得到商式和余式，例如：通過“列豎式”可
求得(x2－3x＋11)÷(x＋2)的商式為x－5，余式為21，如圖所示．
運用此方法，那么(3x3＋2x2＋x＋5)÷(x＋1)的
商式為_________，余式為__．
3x2－x＋2
3
解：原式＝－8x2y＋6xy＋xy4.
13．[2024·江安縣期中]化簡求值：[(x－y)2－x(3x－2y)＋
(x＋y)(x－y)]÷2x，其中x＝1，y＝－2.
14．已知A，B均為整式，A＝(xy＋1)(xy－2)－2x2y2＋2，小馬在計算A÷B時，誤把“÷”抄成了“－”，這樣他計算的正確結果為－x2y2.
(1)將整式A化為最簡形式；
(2)求整式B；
(3)求A÷B的正確結果．
解：(1)A＝(xy＋1)(xy－2)－2x2y2＋2，
＝x2y2－2xy＋xy－2－2x2y2＋2，
＝－x2y2－xy；
(2)由題意，得A－B＝－x2y2.
由(1)知A＝－x2y2－xy，
∴－x2y2－xy－B＝－x2y2，
∴B＝－xy；
(3)由(1)知A＝－x2y2－xy，
由(2)知B＝－xy，
∴A÷B＝(－x2y2－xy)÷(－xy)＝xy＋1.
故A÷B的正確結果xy＋1.
15．[2025·呂梁期末]在信息傳遞的過程中，信息的發(fā)送方甲方，為了保護傳輸?shù)臄?shù)據(jù)信息不被第三方竊取，采用一個密鑰將要發(fā)送的信息進行加密并形成密文發(fā)送給乙方，信息的接收方乙方用另一把密鑰對密文進行解密，得到明文信息，這種完成信息通信目的的方法稱為密鑰加密．
若某種加密規(guī)則如圖所示，當發(fā)送方發(fā)
出a＝－4，b＝3，求解密后m，n的值．
16.[推理能力][2024·永吉縣期末]閱讀材料．
對數(shù)的創(chuàng)始人是蘇格蘭數(shù)學家納皮爾(1550—1617年)，納皮爾發(fā)明對數(shù)是在指數(shù)書寫方式之前，直到18世紀瑞士數(shù)學家歐拉(1707—1783年)才發(fā)現(xiàn)指數(shù)與對數(shù)之間的聯(lián)系．
對數(shù)的定義：一般地，若ax＝N(a>0，a≠1)，那么x叫作a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN，比如指數(shù)式23＝8可以轉化為對數(shù)式3＝log28，對數(shù)式4＝log381可以轉化為指數(shù)式34＝81.我們根據(jù)對數(shù)的定義可得到對數(shù)的一個性質(zhì)為loga(M·N)＝logaM＋logaN(a>0，a≠1，M>0，N>0)．理由如下：
設logaM＝m，logaN＝n，則M＝am，N＝an，
∴M·N＝am·an＝am＋n，
由對數(shù)的定義，得m＋n＝loga(M·N)，
又∵m＋n＝logaM＋logaN，
∴l(xiāng)oga(M·N)＝logaM＋logaN.
(1)用含a，b的代數(shù)式表示：
①甲走到點C時，用時 秒；
②當甲走到點C時，乙走了 ___米；
③當甲走到點C時，此時乙在點M處，△AMC的面積是 平方米；
④當甲走到點C時，已經(jīng)和乙相遇一次，它們從出發(fā)到這一次相遇，用時 秒；
(2)它們還會有第二次相遇嗎？如果有，請求出兩只螞蟻從出發(fā)到第二次相遇所用的時間；如果沒有，簡要說明理由．(共16張PPT)
16．1.2　冪的乘方與積的乘方
第1課時　冪的乘方
1．[2024·河西區(qū)期末]計算(x2)4的結果是(　　)
A．x6 B．x8
C．x10 D．x16
2．[2024·肅南縣期末]已知(2□)2＝26，則“□”內(nèi)填(　　)
A．6 B．5
C．4 D．3
3．[2024·河北模擬]下列計算正確的是(　　)
A．4a－2a＝2　　　B．a(chǎn)2·a4＝a8
C．(a3)2＝a6　　　 D．－(a－b)＝－a－b
4．[2024·濱海新區(qū)期末]已知am＝2，則a2m＋a3m＝(　　)
A．10 B．12
C．13 D．32
5．[2024·衡陽縣期中]已知10x＝2，10y＝3，則102x＋3y等
于(　　)
A．36 B．72
C．108 D．24
6．[2024·康縣期末]已知m，n均為正整數(shù)，且2m＋3n＝5，則4m·8n＝(　　)
A．16 B．25
C．32 D．64
7．若3m·3n＝35，(xm)2＝x4，則mn的值是(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
8．[2024·瓊中縣期末]已知a＝313，b＝96，c＝275，則a，b，c的大小關系為(　　)
A．c>a>b B．b>a>c
C．a(chǎn)>b>c D．a(chǎn)>c>b
9．[2024·青浦區(qū)期末]計算：－x2·(－x2)3＝__．
10．[2024·包頭期中]已知2x＝3，4y＝5，則2x＋2y的值為___．
11．[2024·天河區(qū)期末]若3x＋y－8＝0，則8x·2y的結果是____．
12．[2025·包頭期中]已知a＝166，b＝89，c＝413，則a，b，c
的大小關系為________．
13．[2024·伊通縣期末]已知2x＝4y＋1，27y＝3x－1，則x－y的值
為__．
x8
15
256
a＜c＜b
3
解：(1)－a26(過程略)；
(2)－5x14(過程略)．
15．[2023·金鄉(xiāng)縣期末]在冪的運算中規(guī)定：若ax＝ay(a＞0且a≠1，x，y是正整數(shù))，則x＝y(tǒng).利用上面結論解答下列問題：
(1)若9x＝36，求x的值；
(2)若3x＋2－3x＋1＝18，求x的值．
解：(1)∵9x＝36，
∴32x＝36，
∴2x＝6，
解得x＝3；
(2)∵3x＋2－3x＋1＝18，
∴3x＋1×3－3x＋1＝18，2×3x＋1＝2×32，
∴x＋1＝2，
解得x＝1.
32
17. [新定義+推理能力][2024·渠縣期中]規(guī)定兩數(shù)a，b之間
的一種運算，記作(a，b)：如果ac＝b，那么(a，b)＝c.例如：
因為23＝8，所以(2，8)＝3.
(1)根據(jù)上述規(guī)定，填空：(4，64)＝ ，( ，－27)
＝3，(42，48)＝ _；
(2)若(5，3)＝a，(5，8)＝b，(5，24)＝c，請你嘗試運用上述
運算證明：a＋b＝c.
解：(1)3，－3，4；
(2)證明：∵(5，3)＝a，(5，8)＝b，(5，24)＝c，
∴由新定義可得5a＝3，5b＝8，5c＝24，
∵3×8＝24，
∴5a·5b＝5c，
∴a＋b＝c.(共22張PPT)
16.3　乘法公式
16．3.1　平方差公式
1．[2024·云巖區(qū)期末]已知a＋b＝3，a－b＝2，則a2－b2
等于(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
2．[2024·廬江縣期末]下列各式能用平方差公式計算的
是(　　)
A．(a＋b)(－a－b) 　B．(a＋b)(b＋a)
C．(a－b)(b－a) 　 D．(b－a)(－a－b)
3．[2024·武漢期末]在運用乘法公式計算(2x－y＋3)(2x＋y－3)
時，下列變形正確的是(　　)
A．[(2x－y)＋3][(2x＋y)－3]
B．[(2x－y)＋3][(2x－y)－3]
C．[2x－(y＋3)][2x＋(y－3)]
D．[2x－(y－3)][2x＋(y－3)]
4．[2024·通許縣期中]如果x2－y2＝4，則(x－y)2(x＋y)2的值為(　　)
A．4 B．16
C．24 D．32
5．[2024·閻良區(qū)期末]為了美化校園，學校把一個邊長為a米(a>4)的正方形跳遠沙池的一邊增加1米，相鄰的一邊減少1米改造成長為(a＋1)米，寬為(a－1)米的長方形跳遠沙池．如果這樣，則沙池的面積會(　　)
A．變小 B．變大a平方米
C．沒有變化 D．變大1平方米
6．若(x2＋y2＋2)(x2＋y2－2)＝45，則x2＋y2＝(　　)
A．9 B．7
C．±7 D．±9
8．[2025·鄂爾多斯期末]在數(shù)學實踐課上，“智慧小組”將大正方形的陰影部分裁剪下來重新拼成一個圖形，以下4幅拼法中，其中能夠驗證平方差公式的是(　　)
A．①②
B．①③
C．①②③
D．①②④
9．[2024·南開區(qū)期末]計算(3y＋2)(3y－2)的結果為______．
10.[整體思想][2024·長寧縣期中]已知a2＋a＝2，則代數(shù)式
(a＋2)(a－2)＋a(a＋2)值為__．
9y2－4
0
11．[2024·赤峰期末]下列式子：①(x－y)(x＋y)　②(－x－y)
(x＋y) ③(x－y)(y－x)　④(x＋y)(－y＋x) ⑤(y＋x)(－y－x)
⑥(－x＋y)(－x－y)中．符合平方差公式特征的有_______．
(填序號)
①④⑥
12．[2024·蘇州期末]圖1為某校八(1)(2)兩個班級的勞動實踐
基地，圖2是從實踐基地抽象出來的幾何模型：兩塊邊長為m，n
的正方形，其中重疊部分B為池塘，陰影部分S1，S2分別表示八
(1)(2)兩個班級的基地面積．若m＋n＝8，m－n＝2，則S1－S2
＝___．
16
13．[2024·武都區(qū)期末]計算：(3x＋y)(y－3x)－x(3y－9x)．
解：y2－3xy(過程略)．
14．[2024·邢臺期末]黃老師在黑板上布置了一道題目，針對這道題目嘉嘉和淇淇展開下面的討論：
根據(jù)上述情景，解答下列問題：
(1)你認為誰的說法正確？并說明理由；
(2)當x＝－1，y＝0時，求代數(shù)式的值．
解：(1)原式＝4x2－y2＋2xy－8x2－y2＋4xy＋2y2－6xy＝－4x2，
淇淇正確，因為化簡結果與y的值無關；
(2)將x＝－1，y＝0代入，
原式＝－4×(－1)2＝－4.
15.[新定義][2024·汕尾期末]定義一種新運算“☆”，規(guī)定有理數(shù)a☆b＝(a＋b)(a－b)，例如4☆3＝(4＋3)(4－3)＝7×1＝7.
(1)計算：3☆(－5)；
(2)計算：(－5)☆3；
(3)求a☆b與b☆a之間的關系．
解：(1)3☆(－5)
＝(3－5)×[3－(－5)]
＝－2×8
＝－16；
(2)(－5)☆3
＝(－5＋3)×(－5－3)
＝－2×(－8)
＝16；
(3)a☆b＝(a＋b)(a－b)＝a2－b2；
b☆a＝(b＋a)(b－a)＝b2－a2，
故a☆b與b☆a互為相反數(shù)．
16. [新定義][2024·南關區(qū)期末]若一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差，則稱這個正整數(shù)為“好數(shù)”．下列正整數(shù)中能稱為“好數(shù)”的是(　　)
A．205 B．250
C．502 D．520
17．[2023·湛江期末]【探究】如圖1，從邊長為a的大正方形中剪掉一個邊長為b的小正方形，將陰影部分沿虛線剪開，拼成圖2的長方形．
(1)請你分別表示出這兩個圖形中陰影部分的面積 ， ____；
(2)比較兩圖的陰影部分面積，可
以得到乘法公式： (用字母a，
b表示)；
【應用】請應用這個公式完成下列各題：
(3)已知2m－n＝3，2m＋n＝4，則4m2－n2的值為 ；
(4)計算：(x－3)(x＋3)(x2＋9)；
【拓展】(5)計算(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(232＋1)的結果為 ___；
(6)計算：1002－992＋982－972＋…＋42－32＋22－12.
解：【探究】(1)a2－b2，(a＋b)(a－b)；
(2)(a＋b)(a－b)＝a2－b2；
【應用】(3)12；
(4)(x－3)(x＋3)(x2＋9)＝(x2－9)(x2＋9)＝x4－81；
【拓展】(5)264－1；
(6)∵1002－992＝(100＋99)(100－99)＝100＋99，
982－972＝(98＋97)(98－97)＝98＋97，
…，
22－12＝(2＋1)(2－1)＝2＋1，
∴原式＝100＋99＋98＋97＋…＋4＋3＋2＋1＝5 050.

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