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(共18張PPT)
第十三章 三角形
13．1　三角形的概念
1．[2024·和靜縣期中]如圖所示，其中三角形的個數是(　　)
A．2個
B．3個
C．4個
D．5個
2．[2025·寧波期末]如圖，三角形有一部分被遮擋，我們可以判定此三角形的類型為(　　)
A．鈍角三角形
B．直角三角形
C．銳角三角形
D．不能確定
3．[2024·扶溝縣期中]如圖均表示三角形的分類，下列判斷正確的是(　　)
A．①對，②不對
B．①不對，②對
C．①，②都不對
D．①，②都對
4．如圖是用火柴棒圍成的圖形，其中是三角形的是(　　)
5．如圖所示，在△ABC中，∠ACB是鈍角，讓點
C在射線BD上向右移動，則(　　)
A．△ABC將先變成直角三角形，然后再變成銳角
三角形，而不會再是鈍角三角形
B．△ABC將變成銳角三角形，而不會再是鈍角三角形
C．△ABC將先變成直角三角形，然后再變成銳角三角形，接著又由銳角三角形變為鈍角三角形
D．△ABC先由鈍角三角形變為直角三角形，再變為銳角三角形，接著又變為直角三角形，然后再次變為鈍角三角形
6．如圖，以FC為邊的三角形有__個．
2
7．[2024·營口期中]如果依次用a1，a2，a3，a4分別表示圖1、
圖2、圖3、圖4內三角形的個數，那么a1＝3，a2＝8，a3＝15，
a4＝___．
24
8．(1)圖中共有6個三角形，它們分別是______________________
____________________；
(2)以AE為邊的三角形有____________________；
(3)∠C分別是△AEC，△ADC，△ABC中___，___，___邊的對角；
(4)∠B是______，______，______的內角；
∠AED是______，______的內角．
△ABD, △ABE，△ABC，
△ADE，△ADC，△AEC
△ABE，△ADE，△AEC
AE
AD
AB
△ABD
△ABE
△ABC
△ADE
△ABE
9．[2024·浙江期末]如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°.動點P從點C出發，沿邊CB，BA向點A運動．在點P運動過程中，△PAC可能成為的特殊三角形依次是(　　)
A．直角三角形→等邊三角形→直角三角形→等邊三角形→直角三角形
B．等腰三角形→直角三角形→等邊三角形→直角三角形→等腰直角三角形
C．直角三角形→等邊三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形
D．等腰直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形
10．[2023·北侖區期末]我們把由三根長度為1的火柴棒圍成的
三角形稱為單位三角形(如圖①)，現按如圖所示的方式拼搭圖形，
則第④個圖中共有___個單位三角形；若要拼出64個單位三角形，
則需要____根火柴棒．
16
108
11．[2024·姑蘇區期中]如圖，圖①中有1個三角形，在圖①中
的三角形內部(不含邊界)取一點，連接該點與三角形的3個頂點
得到圖②，圖②中共有4個三角形．若在圖②中的一個小三角形
內部(不含邊界)取一點，連接該點與該小三角形的3個頂點得到
圖③.在虛線框中畫出圖③，圖③中共有 個三角形．(寫
出所有可能的值)
解：如圖所示，共有兩種情況：
①兩點不在同一直線上，分別連接三個頂點，共有7個三角形；
②兩點在同一直線上，分別連接三個頂點，共有9個三角形．
故答案為：7或9.
12．如圖，在△ABC中，A1，A2，A3，…，An為AC邊上不同的n個點，首先連接BA1，圖中出現了3個不同的三角形，再連接BA2，圖中便有6個不同的三角形……
(1)完成表格：
(2)若出現了45個三角形，則共連接了多少個點？
(3)若一直連接到An，則圖中共有 ____ 個三角形.13.2　與三角形有關的線段
連接個數 ____ ____ ____ ____ ____ ____
出現三角
形個數 ____ ____ ____ ____ ____ ____
解：(1)
連接個數 1 2 3 4 5 6
出現三角
形個數 3 6 10 15 21 28(共29張PPT)
13.3　三角形的內角與外角
13．3.1　三角形的內角
1．[2024·長沙]如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝50°，AD∥BC，則∠1的度數為(　　)
A．50° B．60°
C．70° D．80°
2．根據下列條件不能判斷△ABC是直角三角形的是(　　)
A．∠B＝50° ，∠C＝40°
B．∠B＝∠C＝45°
C．∠A，∠B，∠C的度數比為5∶3∶2
D．∠A－∠B＝90°
3．[2024·坪山區期末]如圖，在△ABC中，∠B＝56°，∠C＝37°，AD和AE分別是△ABC的高和角平分線，則∠DAE的度數
為(　　)
A．7.5° B．8.5°
C．9.5° D．10.5°
4．[2023·德宏州期末]如圖，將一個三角形剪去一個角后，∠1＋∠2＝230°，則∠A等于(　　)
A．35° B．50°
C．65° D．70°
5．[2023·衢州]如圖是脊柱側彎的檢測示意圖，在體檢時為方便測出Cobb角∠O的大小，需將∠O轉化為與它相等的角，則圖中與∠O相等的角是(　　)
A．∠BEA B．∠DEB
C．∠ECA D．∠ADO
6.[雙角平分線模型][2024·恩平市期末]如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點O，∠BOC＝120°，則∠A＝(　　)
A．30° B．40°
C．55° D．60°
7．[2024·蘭州期末]如圖，在△ABC中，BD是AC邊上的高，CE是∠ACB的平分線，BD，CE交于點F.若∠AEC＝80°，∠BFC＝128°，則∠ABC的度數是(　　)
A．28° B．38°
C．42° D．62°
8．[2024·張家港市期中]如果一個三角形的兩個內角α與β滿足α－β＝90°，那么我們稱這樣的三角形為“差余三角形”．已知△ABC是“差余三角形”，且∠A＝110°，則∠B的度數為(　　)
A．20°或60°
B．50°或60°
C．20°或50°
D．30°或40°
9．[2024·羅湖區期末]如圖，在△ABC中，DE∥BC，∠A＝50°，
∠C＝70°，則∠ADE的度數是_____．
60°
22.5
11．[2024·涼山州]如圖，在△ABC中，∠BCD＝30°，∠ACB＝80°，CD是邊AB上的高，AE是∠CAB的平分線，則∠AEB的度數
是______．
100°
12．如圖，在Rt△ABC 中，∠B＝90°，直線 DE 與 AC，BC 分
別交于 D，E 兩點．若∠DEC＝∠A，則△EDC是___________．
直角三角形
13.[雙角平分線模型][2024·李滄區期末]如圖，點M，N分別在
OA，OB上，MC平分∠AMN，NC平分∠BNM.若∠AOB＝68°，則∠MCN
的度數為____°.
56
14．[2022·北京]下面是證明三角形內角和定理的兩種添加輔助
線的方法，選擇其中一種，完成證明．
證明：方法一：∵DE∥BC，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，
∵∠BAD＋∠BAC＋∠CAE＝180°，
∴∠B＋∠BAC＋∠C＝180°；
方法二：∵CD∥AB，
∴∠A＝∠ACD，∠B＋∠BCD＝180°，
∴∠B＋∠ACB＋∠A＝180°.
15．在△ABC中，∠C>∠B.
(1)如圖1，AD，AE分別是△ABC的高、角平分線，若∠C＝83°，∠B＝37°，求∠EAD的度數；
(2)如圖2，AE是△ABC的角平分線，若F為AE上一點，過點F作FM⊥BC于點M，請探究∠EFM與∠B，∠C之間的數量關系，并說明理由；
(3)如圖3，AE是△ABC的角平分線，若F為AE的延長線上一點，過點F作FM⊥BC于點M，請問(2)中∠EFM與∠B，∠C之間的數量關系是否仍然成立？請說明理由．
16.[模型觀念]AD是△ABC的高，若∠BAD＝60°，∠CAD＝40°，
則∠BAC的度數是____________．
20°或100°
17．[2025·包頭期末]已知△ABC中，點D是AC延長線上的一點，
過點D作DE∥BC，DG平分∠ADE，BG平分∠ABC，DG與BG交于點G.
解：(1)如圖1，∵∠ACB＝90°，∠A＝50°，∴∠ABC＝40°，
∵BG平分∠ABC，∴∠CBG＝20°，
∵DE∥BC，∴∠CDE＝∠BCD＝90°，
∵DG平分∠ADE，∴∠CDF＝45°，
∴∠CFD＝45°，∴∠G＝∠CFD－∠CBG＝45°－20°＝25°；
(2)如圖2，∠A＝2∠G，理由：
由(1)知：∠ABC＝2∠FBG，∠CDF＝∠CFD，
設∠ABG＝x，∠CDF＝y，(共17張PPT)
13.2　與三角形有關的線段
13．2.1　三角形的邊
1．如圖，人字梯中間一般會設計“拉桿”，這樣做的道理
是(　　)
A．兩點之間，線段最短
B．垂線段最短
C．三角形具有穩定性
D．兩直線平行，內錯角相等
2．[2023·宿遷]以下列每組數為長度(單位：cm)的三根小木棒，其中能搭成三角形的是(　　)
A．2，2，4 B．1，2，3
C．3，4，5 D．3，4，8
3．[2024·廊坊模擬]一個不等邊三角形的兩邊長分別為6和10，且第三邊長為偶數，符合條件的三角形有(　　)
A．2個 B．3個
C．4個 D．5個
4．[2024·瀏陽市期末]如圖是折疊凳及其側面示意圖，若AC＝BC＝12 cm，則折疊凳的寬AB可能為(　　)
A．20 cm　
B．24 cm　
C．30 cm　
D．36 cm
5．[2024·永吉縣期末]如圖，小明將△ABC沿虛線剪去一個角得到四邊形BCDE，設△ABC與四邊形BCDE的周長分別為x和y，則x與y的大小關系是(　　)
A．無法比較 B．x＝y
C．x>y D．x6．[2024·白云區期末]如圖，用AB，BC，CD，AD四條鋼條固定成一個方框，相鄰鋼條的夾角均可調整，不計螺絲大小、重疊部分．若AB＝5，BC＝9，CD＝7，AD＝6，則所固定成的方框中，兩個頂點的距離最大值是(　　)
A．14 B．16
C．13 D．11
7．[2024·永吉縣期末]如圖，我國某部隊戰士在射擊訓練時，
手、肘、肩構成托槍三角形，說明三角形具有_______．
8．我們知道要使四邊形木架不變形，至少要釘一根木條，如圖，
有一個五邊形木框，要使五邊形木架不變形，至少要釘__根木條．
穩定性
2
9．[2025·呼和浩特期末]用兩根長度分別為3 cm和5 cm的細木
條做一個三角形的框架，需要將其中一根木條分為兩段，如果不
考慮損耗和接頭部分，那么可以分成兩段的是___________．
10．[2024·寧明縣期中]已知a，b，c分別是△ABC的三邊長，a，
b滿足|a－7|＋(b－1)2＝0，c為奇數，則△ABC的周長為___．
5 cm的木條
15
11．[2025·烏蘭察布期末]為方便勞動技術小組實踐教學，需用
籬笆圍成一塊三角形空地，現已連接好三段籬笆AB，BC，CD，這
三段籬笆的長度如圖所示，其中籬笆AB，CD可分別繞軸BE和CF轉
動．若要圍成一個三角形的空地，則在籬笆AB上接上新的籬笆的
長度可以為______________m．(寫一個即可)
4(答案不唯一)
12．[2024·江津區期中]已知a，b，c是△ABC的三條邊長，化
簡|a＋b－c|＋|a－b－c|的結果為___．
13．已知一個三角形的三邊長分別為3，2a－1，10，則|a－7|
－|a－4|＝_______．
2b
11－2a
14．[2024·雙遼市期末]在學習了三角形后，老師給同學們每人準備了一根12 cm長的木棒，讓同學們通過剪拼的形式，制作一個三角形木框．
(1)小明想把木棒剪成三段，第一段長a cm，
第二段的長比第一段的3倍少2 cm.試判斷第
一段的長能否為3 cm，并說明理由；
(2)小亮先把木棒剪成如圖所示的AB＝4 cm和CD＝8 cm的兩段，現要將木棒CD從P處剪開，使得三根木棒首尾順次相接能組成三角形，請直接寫出符合條件的CP的整數長度．
解：(1)第一段的長不能為3 cm.
理由如下：
根據題意，第一段長a cm，第二段的長(3a－2) cm，第三段的長為[12－a－(3a－2)]＝(14－4a) cm，
當a＝3 cm時，3a－2＝7 cm，14－4a＝2 cm，
∵3＋2<7，
∴三根木棒不能制作一個三角形木框，
∴第一段的長不能為3 cm；
(2)設CP＝x cm，則PD＝(8－x) cm，
∵AB，CP，PD能組成三角形，
∴x＋4>8－x且4＋8－x>x，
解得2∴整數x為3或4或5，
即符合條件的CP的整數長度為3 cm或4 cm或5 cm.
15.[類比思想][2023·梁子湖區期中]如圖1，填空：
由三角形兩邊的和大于第三邊，得AB＋AD>_ ，PD＋CD> ．將不等式左邊、右邊分別相加，得AB＋AD＋PD＋CD> ，即AB＋AC> ．
(1)補全上面步驟；
(2)仿照圖1的方法，請你利用圖2，
過P作直線交AB，AC于點M，N，證明：AB＋AC>PB＋PC.
解：(1)由三角形的兩邊之和大于第三邊，得AB＋AD>BD，PD＋CD>PC，
將不等式兩邊相加得AB＋AD＋PD＋CD>BD＋PC，
即AB＋AC>BP＋PC；
故答案為：BD；PC；BD＋PC；BP＋PC；
(2)在△AMN中，AM＋AN>MN，
在△MPB中，MP＋MB>BP，
在△NPC中，NP＋NC>PC，
將三個不等式相加得AM＋AN＋MB＋MP＋PN＋NC>MP＋NP＋PB＋PC，
即AB＋AC>BP＋PC.(共32張PPT)
13．3.2　三角形的外角
1．[2024·盤龍區期末]將一副直角三角尺按如圖放置，則∠α的大小為(　　)
A．95° B．100°
C．105° D．110°
2.[8字模型][2024·五華區期中]如圖，∠α的度數為(　　)
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
3．[2024·潮陽區期末]如圖，起重機在工作時，起吊物體前機械臂AB與操作臺BC的夾角∠ABC＝120°，支撐臂BD為∠ABC的平分線．物體被吊起后，機械臂AB的位置不變，支撐臂繞點B旋轉一定的角度并縮短，此時∠CBD＝2∠ABD，∠BDC增大了10°，則∠DCE的變化情況為(　　)
A．增大10° B．減小10°
C．增大30° D．減小30°
4.[雙角平分線模型][2024·武漢期中]如圖，在△ABC中，BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，CE為外角∠ACD的平分線，交BO的延長線于點E，記∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，給出下列結論，其中錯誤的是(　　)
A．∠1＝2∠2
B．∠BOC＝3∠2
C．∠BOC＝90°＋ ∠1
D．∠BOC＝90°＋∠2
5. [雙角平分線模型][2024·天鎮縣期中]如圖，已知△ABC的內角∠A＝α，分別作內角∠ABC與外角∠ACD的平分線，兩條平分線交于點A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分線交于點A2，得∠A2；…，以此類推得到∠A2 025，則∠A2 025的度數是(　　)
6．問題“如圖，∠BDC＝110°，∠A＝∠C＝40°，求∠B的度數”的解法有如下兩種方法，下列說法正確的是(　　)
方法Ⅰ
①如圖，延長CD交AB于點E；
②計算∠C＋∠A得∠CEB的值；
③計算∠BDC－
∠CEB即可．
方法Ⅱ
①如圖，連接BC；
②計算180°－∠A得∠ABC＋∠ACB的值；
③計算180°－∠BDC得∠1＋
∠2的值；
④計算(∠ABC＋∠ACB)－
(∠1＋∠2)－∠3即可．
A.只有Ⅰ對 B．只有Ⅱ對
C．Ⅰ，Ⅱ都對 D．Ⅰ，Ⅱ都不對
7．[2024·成華區期末]如圖，點E是△ABC的外角∠CBD內部一
點，滿足∠CAB＝3∠EAB，∠CBD＝3∠EBD.若∠C＝42°，則
∠E的度數是_____．
14°
8．體育課上的側壓腿動作(圖1)可以抽象為幾何圖形(圖2)，如
果∠1＝118°，則∠2等于_____．
28°
9．[2024·東昌府區期末]把一副三角尺按如圖所示放置，如果
不計三角尺的厚度，圖中∠α的度數是_____．
75°
10．[2024·忻州期中]如圖，△ABC中，∠A＝80°，剪去∠A后，
得到四邊形BCDE，則∠1＋∠2＝______．
260°
11．如圖，在△ABC中，∠B＝∠C，D為BC邊上的一點，E點在AC
邊上，∠ADE＝∠AED，若∠BAD＝36°，則∠CDE＝_____．
18°
12．[2024·碭山縣期末]如圖，五角星的頂點分別是A，B，C，
D，E，那么∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝______．
180°
13. [雙角平分線模型]在△ABC中，∠ABC的平分線與∠ACB的
平分線相交于點P，∠ABC的外角平分線與∠ACB的外角平分線
相交于點Q.若∠Q＝55°，則∠BPC＝_____°.
125
14．[2024·鹿邑縣期中]如圖，∠ACE是△ABC的一個外角，CD平分∠ACE，交BA的延長線于點D.
(1)若∠ACB＝∠B＝20°，求∠D的度數；
(2)求證：∠BAC＝∠B＋2∠D.
(2)證明：∵CD平分∠ACE，
∴∠ACD＝∠DCE，
又∵∠BAC＝∠D＋∠ACD，
∴∠BAC＝∠D＋∠DCE，
又∵∠DCE＝∠B＋∠D，
∴∠BAC＝∠D＋∠B＋∠D＝∠B＋2∠D.
15.[飛鏢模型][2024·潮州期中]自主學習，綜合運用
材料閱讀：如圖1所示的圖形，像我們常見的學習用品——圓規．我們不妨把這樣的圖形叫作“規形圖”．
解決問題：
(1)觀察“規形圖”，試探究∠BDC與∠A，∠B，∠C的關系，并說明理由；
(2)請你直接利用以上結論，解決以下兩個問題：
①如圖2，把一塊三角尺DEF放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊DE，DF恰好經過點B，C，若∠A＝40°，求∠ABD＋∠ACD的度數；
②如圖3，BD平分∠ABP，CD平分
∠ACP，∠BPC＝130°，∠A＝40°，
求∠BDC的度數．
解：(1)∠BDC＝∠BAC＋∠B＋∠C，理由如下：
連接AD并延長到點F，如圖所示：　
∵∠FDC＝∠DAC＋∠C，∠BDF＝∠B＋∠BAD，
∴∠FDC＋∠BDF＝∠DAC＋∠C＋∠B＋∠BAD，
即∠BDC＝∠BAC＋∠B＋∠C；
(2)①∵∠BDC＝90°，
由(1)知∠A＋∠ABD＋∠ACD＝∠BDC＝90°，
∵∠A＝40°，
∴∠ABD＋∠ACD＝90°－40°＝50°；
16. [雙角平分線模型·推理能力][2024·江都區期中]小聰對內外角平分線夾角問題進行了深入的研究，他的研究過程如下：
(1)【問題再現】
如圖1，若∠MON＝90°，點A，B分別在OM，ON上運動(不與點O重合)，BC是∠ABN的平分線，BC的反向延長線交∠BAO的平分線于點D，則∠D＝ _°；
(2)【問題推廣】
①如圖2，若∠MON＝α(0°<α<180°)，(1)中的其余條件不變，則∠D＝______(用含α的代數式表示)；(共20張PPT)
13．2.2　三角形的中線、角平分線、高
1．[2024·延慶區期末]如圖，在△ABC中，AB邊上的高線
是(　　)
A．線段AD B．線段AF
C．線段BG D．線段CE
2．[2024·蒼溪縣期中]下列說法錯誤的是(　　)
A．銳角三角形的三條高線、三條中線、三條角平分線分別交于一點
B．鈍角三角形有兩條高線在三角形外部
C．直角三角形只有一條高線
D．任意三角形都有三條高線、三條中線、三條角平分線
3．[2024·安徽期末]如圖，在△ABC中，AD是高，AE是角平分線，AF是中線，則下列說法錯誤的是(　　)
A．BF＝CF
B．∠B＋∠BAD＝90°
C．S△ABE∶S△ACE＝BE∶CE
D．∠BAF＝∠CAF
4．[2024·林州市期中]如圖，AD是△ABC的中線，AB比AC長
3 cm，若△ABD的周長為25 cm，則△ACD的周長為(　　)
A．28 cm B．25 cm
C．22 cm D．19 cm
5．[2024·鞍山期中]如圖，用三角板作鈍角△ABC的BC邊上的高線，下列三角板的擺放位置正確的是(　　)
6．[2025·赤峰期中]如圖，在△ABC中，D是邊AC的中點，連接
BD，E是BD的中點，連接AE，CE，且△ABC的面積為24 cm2，則
S陰影＝___cm2.
12
7．[2024·政和縣期中]如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，
BE是△ABD的邊AD上的中線，若△ABC的面積是48，則△ABE的面
積是___．
12
8．[2024·聊城期末]如圖，AD是△ABC的中線，BE是△ABD的中
線，EF⊥BC于點F.若S△ABC＝24，BD＝5，則EF的長為____．
2.4
9．[2025·烏蘭察布期末]如圖，AE為△ABC的角平分線，D為AE
上一點(不與A，E重合)，DF⊥BC于點F.若∠B＝60°，∠FDE＝
14°，∠C的度數為_____．
32°
10．如圖，△ABC的面積為1，分別倍長(延長一倍)AB，BC，CA
得到△A1B1C1，再分別倍長A1B1，B1C1，C1A1得到△A2B2C2，…，
按此規律，倍長2 025次后得到的△A2 025B2 025C2 025的面積
為_____．
72 025
11．[2024·五華區期中]如圖，CD，CE分別是△ABC的高和中線，若AC＝3，AB＝5，BC＝4，∠ACB＝90°.
(1)求CD的長；
(2)求△EBC與△ACE的周長之差．
12.[模型觀念][2023·龍崗區期末]綜合與實踐
【知識生成】三角形的中線把三角形分成面積相等的兩部分．
已知：如圖1，在△ABC中，點D是BC邊上的中點，連接AD.求證：S△ABD＝S△ACD.
證明：過點A作AE⊥BC于點E，
∵點D是BC邊上的中點，
∴BD＝CD，
【拓展探究】
(1)如圖2，在△ABC中，點D是BC邊上的中點，若S△ABC＝6，S△ABD＝ ；
(2)如圖3，在△ABC中，點D是BC邊上的點且CD＝2BD，S△ABD和S△ABC存在怎樣的數量關系？請模仿寫出證明過程；
【問題解決】
(3)現在有一塊四邊形土地ABCD(如圖4)，和都想問老熊要這塊地，老熊讓他們平分，可他們誰都沒法平分，請你來幫幫忙．
要求：用不超過三條的線段畫出平分方法，并對作法進行描述．可利用帶刻度的直尺．
(3)如圖4，連接BD，取BD的中點Q，連接AQ，CQ，
折線AQ－QC將四邊形ABCD分成面積相等的兩部分，
證明：∵Q是BD的中點，
∴AQ是△ABD的中線，CQ是△CBD的中線，
∴S△ABQ＝S△ADQ，S△CBQ＝S△CDQ，
∴S△ABQ＋S△CBQ＝S△ADQ＋S△CDQ，
∴折線AQ－QC將四邊形ABCD分成面積相等的兩部分．(方法不唯一，也可連接AC，取AC的中點M，連接BM，DM)

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