資源簡介

(共26張PPT)
第5課時　“斜邊、直角邊”
1．[2024·大連期末]如圖，BE⊥AC于點E，CF⊥AB于點F，若BE＝CF，則Rt△BCF≌Rt△CBE的理由是(　　)
A．AAS 　　B．SAS
C．HL 　 　D．ASA
2．[2024·東川區期中]下列各選項中的兩個直角三角形不一定全等的是(　　)
A．兩個銳角對應相等的兩個直角三角形
B．兩條直角邊對應相等的兩個直角三角形
C．斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形
D．有一個銳角及這個銳角的對邊對應相等的兩個直角三角形全等
3．[2024·武岡市期末]如圖，CD⊥AB于點D，EF⊥AB于點F，AC＝BE.證明Rt△ACD≌Rt△BEF，不是利用“HL”的條件是(　　)
A．AC∥BE B．AD＝BF
C．CD＝EF D．AF＝BD
4. [對稱模型][2024·臨渭區期末]如圖，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D，E，BE，CD相交于點O.如果AB＝AC，那么圖中全等的直角三角形的對數是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
5．[2024·舞陽縣期中]如圖，∠ACB＝∠DBC＝90°，要根據
“HL”證明Rt△ABC≌Rt△DCB，應添加的直接條件是_______．
AB＝CD
6．[2024·西安區模擬]如圖，點E，C在BF上，BE＝CF，∠A＝
∠D＝90°，請添加一個條件：___________________，使Rt△ABC
≌Rt△DFE.
DE＝AC(答案不唯一)
7．[2023·衡陽期末]如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，
BC＝5，線段PQ＝AB，P，Q兩點分別在AC和過點A且垂直于AC的射
線AO上運動，當AP＝______時，△ABC和△PQA全等．
5或10
8．[2024·袁州區期中]如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD
＝150°，AB⊥CB于點B，AD⊥CD于點D，E，F分別是CB，CD上的
點，且∠EAF＝75°，EF＝3，下列結論：①△ADF≌△ABE　②EA
平分∠FEB　③EF平分∠AEC　④若四邊形ABCD的周長是15，且
△EAF的面積為3，則四邊形ABCD的面積等于11.
其中一定正確的有_____．
②④
9.[2025·呼和浩特期中]如圖所示，E為AB延長線上的一點，AC⊥BC，AD⊥BD，AC＝AD，求證：CE＝DE.
10．[2024·安康期末]如圖，數學活動實踐課上，小浩在旗桿
CD與某棟樓之間選定一點O，連接AO，CO.若AO＝OC，OB＝CD＝
15 m，DB＝36 m，且D，O，B在同一水平線上，求樓的高度(AB)．
11．[2024·長興縣期中]如圖，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AC＝A′C′，AD與A′D′分別為BC，B′C′邊上的中線，且AD＝A′D′.
求證：(1)Rt△ACD≌Rt△A′C′D′；
(2)Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.
12．[2024·廬陽區期末]如圖，在△ABC和△EDC中，∠B＝∠D＝90°，AB＝DE，EC＝AC.
(1)求證：∠BCE＝∠DCA；
(2)求證：HA＝HE.
13. [一線三等角模型]如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，分別過B，C向過A的直線作垂線，垂足分別為E，F.
(1)如圖1，過A的直線與斜邊BC不相交時，求證：EF＝BE＋CF；
(2)如圖2，過A的直線與斜邊BC相
交時，其他條件不變，若BE＝10，
CF＝3，求FE的長．
解：(1)證明：∵BE⊥EA，CF⊥AF，
∴∠BAC＝∠BEA＝∠CFE＝90°，
∴∠EAB＋∠CAF＝90°，
∠EBA＋∠EAB＝90°，
∴∠CAF＝∠EBA，
在△AEB和△CFA中，
(2)∵BE⊥EA，CF⊥AF，
∴∠BAC＝∠BEA＝∠CFE＝90°，
∴∠EAB＋∠CAF＝90°，
∠ABE＋∠EAB＝90°，
∴∠CAF＝∠ABE，(共31張PPT)
第2課時　“角邊角”和“角角邊”
1．[2024·南充期末]下列各圖中，a，b，c分別是三角形的邊長，由甲、乙、丙三個三角形中標注的信息，能確定與△ABC全等的是(　　)
A．甲和乙 B．甲和丙
C．乙和丙 D．只有丙
2．[2024·萊西市期末]如圖，D是AB上一點，DF交AC于點E，DE＝FE，FC∥AB，若AB＝6，CF＝4，則BD的長是(　　)
A．1.5 B．3
C．2.5 D．2
3．[2024·南陽期末]如圖，一塊三角形的玻璃打碎成四塊，現要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，最簡單的辦法是(　　)
A．只帶①去
B．帶②③去
C．帶①③去
D．只帶④去
4．[2025·赤峰期末]如圖，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D，BC＝DE，便能得到△ABC≌△AED，這所依據的是(　　)
A．SSS B．AAS
C．ASA D．SAS
5．[2024·晉江市期末]如圖，在△ABC和△A′B′C′中，
AB＝A′B′，∠A＝∠A′，則添加一個條件不能證明△ABC≌
△A′B′C′的是(　　)
A．AC＝A′C′
B．BC＝B′C′
C．∠B＝∠B′
D．∠C＝∠C′
6．[2023·陵城區期末]如圖所示，在Rt△ABC中，∠B＝45°，
AB＝AC，點D為BC中點，直角∠MDN繞點D旋轉，DM，DN分別與
邊AB，AC交于E，F兩點，下列結論：①△DEF是等腰直角三角
形　②AE＝CF　③△BDE≌△ADF　④BE＋CF＝EF，其中正確結
論是(　　)
A．①②④ B．②③④
C．①②③ D．①②③④
7．[2024·裕華區期末]在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，將△ABC沿圖中虛線剪開，剪下的兩個三角形不一定全等的是(　　)
8．[2025·呼和浩特期中]如圖，AC＝BC，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC，BF⊥AE，交AC延長線于點F，且垂足為點E，則下列結論：
①AD＝BF　②∠BAE＝∠FBC③S△ADB＝S△ADC　④AD＝2BE.其中正
確的結論有_______．(填寫序號)
①②④
解析：∵∠ACB＝90°，BF⊥AE，
∴∠BCF＝∠ACD＝∠BEA＝∠AEF＝90°.
又∵∠BDE＝∠ADC，∴∠CAD＝∠CBF，
又∵AC＝BC，∴△ACD≌△BCF(ASA)，∴AD＝BF，故①正確；
∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE.
∵∠CBF＝∠FAE，∴∠BAE＝∠FBC，故②正確；
如圖所示，過點D作DH⊥AB于點H，
則∠ACD＝∠AHD＝90°，
又∵AD＝AD，∠CAD＝∠HAD，
∴△ADH≌△ADC(AAS)，∴DH＝DC，
∵BD>DH＝DC，∴S△ABD>S△ACD，故③錯誤；
∵∠AEF＝∠AEB＝90°，AE＝AE，∠EAB＝∠EAF，
∴△AEF≌△AEB(ASA)，∴BE＝FE，∴AD＝BF＝2BE，故④正確；
∴正確的有①②④.
9．[2024·北京期末]如圖，點C是線段AB的中點，∠DCA＝∠EBC.
請你添加一個條件，使△DAC≌△ECB.你添加的條件是__________
__________．(只需填一個答案即可)
DC＝EB(答
案不唯一)
10．[2023·集美區期末]幾何學起源于土地測量，據史料記載，古希臘數學家泰勒斯發明了一種用帽子測量河流寬度的方法，具體操作步驟如下：
①如圖，人垂直站立在河岸邊上，視線與河岸邊保持垂直；
②調整帽子，使視線通過帽檐正好落在對面的河岸邊上；
③人保持姿勢，轉過一個角度，這時視線通過帽
檐落在了自己所在岸的某一點上；
④測量該點與人站立位置的距離就是河流的寬度．
請用你學過的一個數學定理解釋通過以上步驟能測得河流寬度
的道理：_____________________．
全等三角形對應邊相等
11. [一線三等角模型][2024·江津區期末]如圖，在平面直角坐
標系中，點B的坐標為(1，4)，點A的坐標為(3，0)，△ABC是等
腰直角三角形，∠BAC＝90°，則點C的坐標是_______．
(7，2)
12．[2024·辛集市期末]如圖，在△ABC中，CP平分∠ACB，
AP⊥CP于點P，已知△ABC的面積為5，則陰影部分的面積為____．
2.5
13．[2024·涼州區期末]如圖所示，四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，AB＝AC，點E是BD上一點，且∠ABD＝∠ACD，∠EAD＝∠BAC.
(1)求證：AE＝AD；
(2)若BD＝8，DC＝5，求ED的長．
14．[2024·高州市期末]如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，過點C在△ABC外作直線MN，AM⊥MN于點M，BN⊥MN于點N.
(1)求證：MN＝AM＋BN；
(2)如圖2，若過點C作直線MN與線段AB相交，AM⊥MN于點M，BN⊥MN于點N(AM＞BN)，(1)中的結
論是否仍然成立？若不成立，請寫
出正確的結論，并說明理由．
解：(1)證明：∵AM⊥MN于點M，BN⊥MN于點N，
∴∠AMC＝∠CNB＝90°，
∴∠MAC＋∠ACM＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACM＋∠NCB＝90°，
∴∠MAC＝∠NCB，
(2)(1)中的結論不成立，MN與AM，BN之間的數量關系為MN＝
AM－BN.理由如下：
∵AM⊥MN于點M，BN⊥MN于點N，
∴∠AMC＝∠CNB＝90°，
∴∠MAC＋∠ACM＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACM＋∠NCB＝90°，
∴∠MAC＝∠NCB，
15．[2024·懷化期末]如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，點D在線段BC上運動(D不與B，C重合)，連接AD，作∠ADE＝40°，DE與AC交于E.
(1)當∠BDA＝115°時，∠BAD＝_____°，∠DEC＝_____°；當點D從B向C運動時，∠BDA逐漸變____
(填“大”或“小” )；
(2)當DC＝AB＝2時，△ABD與△DCE是否
全等？請說明理由．
解：(1)25，115，小；
(2)當DC＝AB＝2時，△ABD≌△DCE，
理由：∵∠C＝40°，
∴∠DEC＋∠EDC＝140°，
又∵∠ADE＝40°，
∴∠ADB＋∠EDC＝140°，
∴∠ADB＝∠DEC，
又∵AB＝DC＝2，
16. [一線三等角模型][2025·通遼期末]綜合與探究
問題發現：如圖①，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線l經過點A，CE⊥l于點E，BD⊥l于點D，請直接寫出BD，CE，DE的數量關系 ____；
類比探究：
(1)如圖②，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三點在直線l上．且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，猜想BD，CE，DE的數量關系并證明；
(2)如圖③，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三點都在直線l上，直線l與BC交于點F，∠1＝∠2＝∠BAC，則線段BD，CE，DE又有怎樣的數量關系？寫出結論并證明．
問題發現：∵CE⊥l于點E，BD⊥l于點D，
∴∠ADB＝∠CEA＝90°，
∴∠BAD＋∠ABD＝90°，
∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，∵AB＝AC，
∴△ABD≌△CAE(AAS)，
∴BD＝AE，CE＝AD，
∴BD＋CE＝AE＋AD＝DE，故答案為BD＋CE＝DE；
類比探究：(1)DE＝CE＋BD，證明如下：
∵∠BDA＋∠DAB＋∠ABD＝180°，∠BAC＋∠DAB＋∠CAE＝180°，∠BDA＝∠BAC，
∴∠ABD＝∠CAE，
∵AB＝AC，∠BDA＝∠AEC，∴△ABD≌△CAE(AAS)，
∴BD＝AE，CE＝AD，∴BD＋CE＝AE＋AD＝DE；
(2)CE＝BD＋DE，證明如下：
∵∠1＝∠2＝∠BAC，∠1＝∠ABD＋∠BAD，∠2＝∠EAC＋∠ACE，∠BAC＝∠BAD＋∠CAE，
∴∠BAE＝∠ACE，∠ABD＝∠CAE，
∵AB＝AC，∴△ABD≌△CAE(ASA)，
∴BD＝AE，CE＝AD，∴CE＝AD＝AE＋DE＝BD＋DE.(共17張PPT)
第4課時　尺規作圖
1．[2025·遼陽期末]如圖，用尺規作圖作出∠BCP＝∠ABC，則作圖痕跡弧GH是(　　)
A．以點C為圓心，以BE長為半徑的弧
B．以點C為圓心，以DE長為半徑的弧
C．以點F為圓心，以DE長為半徑的弧
D．以點F為圓心，以BE長為半徑的弧
2．用直尺和圓規作∠GAB等于已知∠MON的過程如圖，則圖中△OCD與△AFE全等的依據是(　 　)
A．SAS B．SSS
C．ASA D．AAS
4．[2025·石家莊期中]如圖1所示，已知線段a，∠1，求作△ABC，使BC＝a，∠ABC＝∠BCA＝∠1，小明的作法如圖2所示，下列說法一定正確的是(　　)
A．作△ABC的依據為ASA
B．弧EF是以DK長為半徑畫的
C．弧MN是以A為圓心，a為半徑畫的
D．弧GH是以OD長為半徑畫的
5．[2025·深圳期末]如圖，在直線AB上取一點O，過點O作射線OC，使∠BOC＝41°，以點O為圓心，任意長度為半徑畫弧，分別交邊OB，OC于點D，E，再以點E為圓心，DE的長為半徑畫弧，交前弧于點F，再畫射線OF，則∠AOF的度數為(　　)
A．41° B．82°
C．98° D．139°
6．綜合實踐課上，嘉嘉畫出了△ABC，利用尺規作圖畫出了△ADE，使△ADE≌△ABC.圖1～圖3
是其作圖過程．
在嘉嘉的作法中，可直接判定
△ADE≌△ABC的依據是(　　)
A．SSS B．SAS
C．ASA D．AAS
7．[2025·呼和浩特期末]用直尺和圓規作一個角等于已知角的
示意圖如圖所示，則說明∠A′O′B′＝∠AOB，是因為圖中的兩
個三角形△COD≌△C′O′D′，那么判定這兩個三角形全等的依
據是____.
SSS
8．圖中的黑色球___(填“能”或“不能”)被擊入右下角的袋
中．(先估測，再用直尺和圓規作出反射角加以檢驗)
能
解：圖中的黑色球能被擊入右下角的袋中，如圖所示，作∠BOC＝∠AOB即可，
9．如圖，已知△ABC，請根據下列要求進行尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡．求作△DEF，使AB＝DE，∠A＝∠E，∠B＝∠D.
解：如圖，△DEF即為所求作的三角形．
10．如圖，在△ABC中，以點C為圓心，以BC長為半徑畫圓弧，交BC的延長線于點D.分別以點C，D為圓心，以線段AB，AC為半徑畫弧，兩弧交于點E，連接CE，DE.根據以上作圖過程，求證：CE∥AB.
證明：根據作圖知AB＝EC, BC＝CD，AC＝ED，
∴△ABC≌△ECD(SSS)，
∴∠B＝∠ECD，
∴CE∥AB.
11．[2024·永州期中]教科書告訴我們作一個三角形與已知三角形全等的方法：
已知：△ABC.
求作：△A′B′C′，
使得△A′B′C′≌△ABC.
作法：如圖.
(1)畫A′B′＝AB；
(2)在A′B′的同旁畫∠DA′B′＝∠A，∠EB′A′＝∠B，
A′D，B′E相交于C′；
(3)△A′B′C′即為所求作的三角形.(共22張PPT)
第3課時　“邊邊邊”
1．[2024·防城區期中]如圖，AB＝CB，若要判定△ABD≌△CBD，則需要補充的一個條件是(　　)
A．AD＝CD
B．AB＝DB
C．BD＝BD
D．CB＝DB
2．[2024·長沙縣期末]如圖是一個正方形網格，每個小正方形的邊長相等，我們把該網格中正方形的頂點稱之為“好點”，△ABC的三個頂點都在這個正方形網格的“好點”上，在這個正方形網格圖中找一個“好點” D(點D與點A不重合)，使得以點D，B，C為頂點的三角形與△ABC
全等，則這樣的“好點”D的個數為(　　)
A．1個 B．2個
C．3個 D．4個
3．[2024·贛州期中]如圖，∠AOB是一個任意角，在邊OA，OB上分別取OM＝ON，移動角尺使角尺兩邊相同的刻度分別與M，N重合，過角尺頂點C的射線OC便是∠AOB的平分線OC.以上作圖原理主要是通過 判定三角形全等．(　　)
A．SAS B．ASA
C．SSS D．AAS
4．[2024·秦都區期末]如圖，在△ABC和△DCB中，AC，BD相交于點E，AB＝DC，若利用“SSS”來判定△ABC≌△DCB，則需添加的條件是(　　)
A．AE＝DE B．CE＝CD
C．AC＝DB D．BE＝CE
5．[2023·蕪湖縣期中]如圖，AB＝AC，AD＝AE，BE＝CD，∠2＝110°，∠BAE＝60°，則下列結論錯誤的是(　　)
A．△ABE≌△ACD
B．△ABD≌△ACE
C．∠ACE＝30°
D．∠1＝70°
6．如圖，已知△ADC，分別以A，C為圓心，以AD，CD長為半徑
畫弧，兩弧交于點B，連接AB，CB.下列結論一定正確的有(　　)
①△ADC≌△ABC
②判定全等的依據是SSS
③∠ABC＝∠DCA
④AC平分∠BAD
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
7．[2024·牡丹江期中]如圖，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”
來判定△ABC和△FED全等時，下面的4個條件中：①AE＝FB　
②AB＝FE　③AE＝BE　④BF＝BE，可利用的是_______．
①或②
8．如圖，在△ABC中，點D，E分別為邊AC，BC上的點，且AD＝DE，
AB＝BE，∠A＝70°，則∠CED＝_____°.
110
9．如圖所示，AD＝BC，AC＝BD，用判定三角形全等的基本事實“SSS”可證明△ADC≌______．
△BCD
10．[2024·門頭溝區期末]如圖，點A，B，C，D在同一條直線上，AE＝DF，AC＝DB，BE＝CF.求證：∠E＝∠F.
11．[2024·番禺區期末]在△ABC與△A′B′C′中，邊BC與邊B′C′上的中線分別為AD與A′D′.若AB＝A′B′，BC＝B′C′，
AD＝A′D′.求證：△ABC≌△A′B′C′.
12．如圖，M為比賽出發點，P，Q兩點為標志物，且到M點的距離相等，選手小明從M點出發，計劃沿∠PMQ的平分線騎摩托車行駛，若小明沿射線MN行駛，在N點處經紅外線設備測得他到標志物P，Q兩點的距離相等，判斷小明的行駛路線是否偏離預定路線，并說明理由．
解：小明的行駛路線沒有偏離預定路線，
理由：如圖，連接PN，QN，
由題意得PN＝QN，PM＝QM，
又∵MN＝MN，
∴△PMN≌△QMN(SSS)，
∴∠PMN＝∠QMN，
∴MN是∠PMQ的平分線，
∴小明的行駛路線沒有偏離預定路線．
13．小明用如下兩種方法畫出了互相垂直的兩條直線，你能證明這兩種畫法的正確性嗎？
畫法一：
①畫∠AOB；
②以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA于點C，交OB于點D；
③再分別以點C和點D為圓心，大于 CD的長為半徑畫弧，兩弧相交于∠AOB內部一點P；
④分別畫射線OP，線段CD.
則CD與OP互相垂直．
畫法二：
①畫線段AB，再分別以點A和點B為圓心，大于 AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點C；
②分別連接AC，BC，延長AC到點D，使CD＝CA；
③連接DB.
則DB與AB互相垂直．
②如圖2，
∵AC＝BC，
∴∠ABC＝∠A.
又∵CD＝CA，CA＝CB，
∴CD＝CB，
∴∠CDB＝∠CBD，
∵∠A＋∠ABD＋∠ADB＝180°，
∴∠ABD＝∠ABC＋∠CBD＝90°，
∴DB⊥AB.(共26張PPT)
14.3　角的平分線
第1課時　角的平分線的性質
1．[2024·蘭州期末]如圖，為了促進當地旅游發展，某地要在三條公路圍成的一塊三角形平地ABC上修建一個度假村．要使這個度假村到三條公路的距離相等，應該修在(　　)
A．△ABC三邊中線的交點
B．△ABC三個角的平分線的交點
C．△ABC三邊高線的交點
D．△ABC三邊垂直平分線的交點
3．[2025·巴彥淖爾期中]如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝10，BD∶CD＝3∶2，AB＝15，則△ABD的面積為(　　)
A．20 B．25
C．30 D．45
4．如圖，△ABC的三邊AB，BC，CA長分別是20，30，40，其三條角平分線將△ABC分為三個三角形，則S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于(　　)
A．1∶1∶1 B．1∶2∶3
C．2∶3∶4 D．3∶4∶5
5．[2024·甘州區期中]如圖所示，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，AD＝2.5，連接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C，若P是BC邊上一動點，連接DP，則DP長的最小值為(　　)
A．2 B．4
C．2.5 D．5
7．[2024·集美區期末]把兩個同樣大小的含30°角的直角三角
尺(記作△ABC，△BCD)按如圖所示的方式進行擺放，其中M是AB
與CD的交點，則可以得到結論：MA的長度等于點M到BC的距離．
請用一個你學過的數學定理解釋這個結論：_________________
_________________．
角平分線上的點到
角兩邊的距離相等
8．[2024·南昌期末]如圖，已知△ABC的角平分線AD交BC于D，
若AC＝4，BD∶DC＝3∶2，則AB＝__．
6
9．[2024·武漢期末]如圖，已知△ABC的周長是18，∠ABC和
∠ACB的平分線交于點O，OD⊥BC于點D，若OD＝3，則△ABC的
面積是___．
27
10. [燕尾模型][2024·西寧期中]如圖，BD是∠ABC的平分線，AB＝BC，點P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，M，N分別是垂足，求證：PM＝PN.
∴∠ADP＝∠CDP.
即DP平分∠ADC.
∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM＝PN.
11．[2024·宜興市期末]如圖，在△ABC中，D為BC的中點，DE⊥BC交∠BAC的平分線于點E，EF⊥AB，交AB于點F，EG⊥AC，交AC的延長線于點G，試問：BF與CG的大小如何？證明你的結論．
解：相等．
證明如下：連接EB，EC，
∵AE是∠BAC的平分線，
且EF⊥AB于點F，EG⊥AC于點G，
∴EF＝EG.
∵ED⊥BC于D，D是BC的中點，
∴EB＝EC.
12．[2024·寶豐縣期末]圖1是一個平分角的儀器，其中OD＝OE，FD＝FE.
(1)如圖2，將儀器放置在△ABC上，使點O與頂點A重合，D，E分別在邊AB，AC上，沿AF畫一條射線AP，交BC于點P.AP是∠BAC的平分線嗎？請判斷并說明理由；
(2)如圖3，在(1)的條件下，過點P作PQ⊥AB于點Q，若PQ＝6，AC＝9，△ABC的面積是60，求AB的長．
13. [推理能力]感知：如圖1，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，易知：DB＝DC.
探究：如圖2，在四邊形ABDC中，AD平分∠BAC，∠B＝45°，∠C＝135°，試說明：DB與DC的數量關系，并說明理由．
應用：如圖3，在四邊形ABDC中，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD<90°，DB與DC的上述關系還成立嗎？說明理由．
解：探究：DC＝DB，理由如下：
在圖2中，作DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，
∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF.
∵∠DCA＝135°，
∴∠DCF＝180°－∠DCA＝45°＝∠B.
在△DCF和△DBE中，
∴△DCF≌△DBE(AAS)，
∴DC＝DB.
應用：結論仍成立，理由如下：
在圖3中，作DM⊥AB于點M，DN⊥AC于點N，
∵DA平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM＝DN.
∵∠B＋∠ACD＝180°，
∠ACD＋∠NCD＝180°，
∴∠B＝∠NCD.(共26張PPT)
第2課時　角的平分線的判定
1．如圖，點M，N分別是OA，OB邊上的點，點P在射線OC上，下列條件不能說明OC平分∠AOB的是(　　)
A．PM⊥OA，PN⊥OB，PM＝PN
B．PM⊥OA，PN⊥OB，OM＝ON
C．PM＝PN，OM＝ON
D．PM＝PN，∠PMO＝∠PNO
2．[2024·常州]如圖，在紙上畫有∠AOB，將兩把直尺按圖示擺放，直尺邊緣的交點P在∠AOB的平分線上，則(　　)
A．d1與d2一定相等
B．d1與d2一定不相等
C．l1與l2一定相等
D．l1與l2一定不相等
3．[2023·關嶺縣期末]如圖，點P在∠AOB內部的一條射線上，PQ⊥OA于點Q，且PQ＝4.已知點P到射線OB的最小距離為4，且∠OPQ＝65°，則∠AOB的度數為(　　)
A．30° B．40°
C．50° D．60°
4．如圖，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中點，DM平分∠ADC，且∠ADC＝100°，則∠MAB的度數是(　　)
A．50° B．40°
C．45° D．55°
5．[2024·辛集市期末]如圖，在△ABC中，∠ABC，∠EAC的平分線BP，AP交于點P，延長BA，BC，PM⊥BE，PN⊥BF，則下列結論正確的個數為(　　)
①CP平分∠ACF ②∠ABC＋2∠APC＝180°
③∠ACB＝2∠APB ④S△PAC＝S△MAP＋S△NCP
A．1個 B．2個
C．3個 D．4個
6．[2024·洛陽期末]如圖，點O在△ABC內，且到三邊的距離相
等，若∠BOC＝3∠A，則∠A＝_____．
36°
7．如圖，AB∥CD，點P到AB，BC，CD的距離相等，則∠BPC的度
數為_____．
90°
8．如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8 cm，BC＝15 cm，
AC＝17 cm，P是到△ABC三邊距離相等的點，則點P到△ABC三
邊的距離為_____．
3 cm
9．[2024·阜平縣期中]如圖，在△ABC中，∠CAB＝50°，點D
在△ABC的外部，且AD平分∠BAC，過點D作DE⊥AC，交AC的延
長線于點E，DF⊥BC，交BC于點F，連接BD.若∠BCE＝104°，
DE＝DF，則∠DBC的度數為_____．
63°
10．[2025·呼和浩特期末]如圖，已知△ABC和△ADE都是等腰
三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，BD，CE交于點F，連接AF，下
列結論：①BD＝CE　②BD⊥EF　③AF平分∠CAD　④∠AFB＝45°.
其中正確結論是_______．(填序號)
①②④
若③AF平分∠CAD成立，則∠EAF＝∠BAF，
∵∠AFE＝∠AFB，
∴∠AEF＝∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
由題意知，AB不一定等于AD，
∴AF不一定平分∠CAD，故③錯誤，
即正確的有3個，①②④.
11．[2025·烏蘭察布期末]如圖，在△ABC中，點D在BC邊上，∠BAD＝100°，∠ADC的平分線交AC于點E，過點E作EF⊥AB，垂足為F，且∠AEF＝50°，連接BE.
(1)求∠DAE的度數；
(2)求證：BE平分∠ABC；
(3)若AD＝6，CD＝10，△ACD面積是16，求EF的長．
解：(1)∵EF⊥AB，
∴∠F＝90°，
∵∠AEF＝50°，
∴∠BAE＝∠F＋∠AEF＝90°＋50°＝140°，
∵∠BAE＝∠BAD＋∠CAD，∠BAD＝100°，
∴∠CAD＝∠BAE－∠BAD＝140°－100°＝40°，即∠DAE＝40°；
(2)證明：過點E作EG⊥AD交AD于點G，EH⊥BC交BC于點H，
∵∠F＝90°，∠AEF＝50°，
∴∠EAF＝90°－50°＝40°，
由(1)可知，∠CAD＝40°，
∴∠EAF＝∠CAD＝40°，
∴AE平分∠FAD，
∵EF⊥AF，EG⊥AD，
∴EF＝EG，
∵DE平分∠ADC，EG⊥AD，EH⊥BC，
∴EG＝EH，
∴EF＝EH
∵EF⊥BF，EH⊥BC，
∴BE平分∠ABC；
12. [推理能力][2024·鏡湖區期中]如圖，直線MN⊥PQ，垂足為O，點A是射線OP上一點，OA＝2，以OA為邊在OP右側作∠AOF＝24°，且滿足OF＝4，若點B是射線ON上的一個動點(不與點O重合)，連接AB，作△AOB的兩個外角平分線交
于點C，在點B在運動過程中，當線段CF取最小
值時，∠OFC的度數為(　　)
A．90° B．69°
C．24° D．66°
解析：如圖，作CE⊥PQ于點E，CG⊥MN于點G，CH⊥AB于點H，連接OC，
∵AC平分∠PAB，CE⊥PQ，CH⊥AB，
∴CE＝CH，
同理可得CG＝CH，
∴CE＝CG，
∴OC平分∠AOB，即點C在∠AOB的平分線上，
∴∠AOC＝45°，
∵∠AOF＝24°，
∴∠FOC＝45°－24°＝21°，
如圖，作FC′⊥OC于C′，則C′F≤CF，
即CF的最小值為C′F，此時點C與C′重合，
∴∠FC′O＝90°，
∴∠OFC′＝90°－21°＝69°，
∴當線段CF取最小值時，∠OFC的度數為69°.
13. [推理能力][2024·路南區期中]如圖，在△ABC中，點D在邊BC延長線上，∠ACB＝110°，∠ABC的平分線交AD于點E，過點E作EH⊥BD，垂足為H，且∠CEH＝55°.
(1)求∠ACE的度數；
(2)求證：AE平分∠CAF；
(3)若AC＋CD＝14，AB＝8.5，且S△ACD
＝21，求△ABE的面積．
解：(1)∵∠ACB＝110°，
∴∠ACD＝180°－110°＝70°，
∵EH⊥BD，
∴∠CHE＝90°，
∵∠CEH＝55°，
∴∠ECH＝90°－55°＝35°，
∴∠ACE＝70°－35°＝35°；
(2)證明：過E點分別作EM⊥BF于點M，EN⊥AC于點N，
∵BE平分∠ABC，
∴EM＝EH，
∵∠ACE＝∠ECH＝35°，
∴CE平分∠ACD，
∴EN＝EH，
∴EM＝EN，
∴AE平分∠CAF；(共27張PPT)
14.2　三角形全等的判定
14.2　 第1課時　“邊角邊”
1．[2024·溫州期末]如圖，把兩根鋼條AA′，BB′的中點連在一起，可以做成一個測量工件內槽寬的卡鉗，若求AB的長，只需測量下列線段中的(　　)
A．A′B′ B．OA′
C．OB′ D．OA
2．[2024·越秀區期末]根據下列條件，能畫出唯一一個△ABC的是(　　)
A．AB＝1，BC＝2，AC＝3
B．AB＝4，BC＝6，∠A＝120°
C．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
D．∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°
3．[2024·呼倫貝爾期末]如圖，已知∠1＝∠2，若用“SAS”證明△BDA≌△ACB，還需加上條件(　　)
A．AD＝BC
B．∠D＝∠C
C．BD＝AC
D．OA＝OB
4．如圖，已知BC＝EF，AF＝DC，點A，F，C，D四點在同一直線上．要利用“SAS”來判定△ABC≌△DEF，下列四個條件：①∠A＝∠D　②∠ACB＝∠DFE　③AB∥DE　④BC∥EF.可以利用的是(　　)
A．①② B．②④
C．②③ D．①④
5．[2024·河西區期末]如圖，AB＝DB，BC＝BE，欲證△ABE≌
△DBC，則可增加的條件是(　　)
A．∠ABE＝∠DBE
B．∠A＝∠D
C．∠1＝∠2
D．∠E＝∠C
6．[2024·辛集市期末]如圖，給出了小明一個畫圖的過程，這個畫圖過程說明的事實是(　　)
A．兩個三角形的兩條邊和夾角對應相等，這兩個三角形全等
B．兩個三角形的兩個角和其中一角的對邊對應相等，這兩個三角形全等
C．兩個三角形的兩條邊和其中一邊對角對應相等，這兩個三角形不一定全等
D．兩個三角形的兩個角和夾邊對應相等，這兩個三角形不一定全等
7.[旋轉變換·手拉手模型][2024·海倫市期末]已知：如圖，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，點C，D，E三點在同一條直線上，連接BD，BE.以下四個結論：
①BD＝CE　②∠ACE＋∠DBC＝45°　③BD⊥CE　④∠BAE＋∠DAC＝180°.其中結論正確的個數是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
8．教室里有幾盆花，如圖①，要想測量這幾盆花兩旁的A，B兩點間的距離不方便，因此，選點A，B都能到達的一點O，如圖②，連接BO并延長BO到點C，使CO＝BO，連接AO并延長AO到點D，使DO＝AO，那么C，D兩點間的距離就是A，B兩點間的距離．
SAS
BA
9．[2025·鄂爾多斯期中]如圖，把兩個45°角的直角三角板放
在一起，點B在CE上，A，C，D三點在一條直線上，連接AE，DB
延長線交AE于點F.若AE＝8，DF＝11，則△ABE的面積為___．
12
10.[一線三等角模型][2024·北京期末]如圖，在△ABC中，
∠B＝∠C，D，E，F分別是BC，AC，AB上的點，且BF＝CD，
BD＝CE，∠FDE＝α，則∠A的度數是___________．(用含α的
代數式表示)
180°－2α
11. [手拉手模型][2024·東湖區期末]如圖所示，AB＝AC，AD
＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，則∠3＝_____．
55°
12．如圖，AB＝4 cm，AC＝BD＝3 cm，∠CAB＝∠DBA，點P在線
段AB上以1 cm/s的速度由點A向點B運動．同時，點Q在線段BD上
由點B向點D運動，設運動時間為t(s)，則當△ACP與△BPQ全等
時，點Q的運動速度為_______________．
1 cm/s或 cm/s
13. [燕尾模型][2025·興安盟期中]在數學實踐課上，珍珍將如圖1所示的燕尾風箏抽象成如圖2所示的圖形，已知AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝DE.
(1)求證：△ABC≌△ADE；
(2)若∠BAD＝100°，∠EAC＝50°，求∠BAE的度數．
14.[幾何直觀][2024·房山區期末]如圖1，小涵在解決該問題時想到這樣的測量方法：在陸地上選一點C，使得從點C能夠直接走到點A和點B.延長AC到D，使得CD＝CA，再延長BC到E，使CE＝CB.量出ED的長，那么ED的長
便是魚塘的寬AB的長．請根據小
涵的方法，在圖2中畫出圖形，并
說明理由(證明)．
15.[推理能力·倍長中線模型][2024·滕州市期末]為了進一步探究三角形中線的作用，數學興趣小組合作交流時，小麗在組內做了如下嘗試：如圖1，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，延長AD到M，使DM＝AD，連接BM.
【探究發現】(1)圖1中AC與BM的數量關系是 ，位置關系是 ；
【初步應用】(2)如圖2，在△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC邊上的中線AD的取值范圍．(提示：不等式的兩邊都乘或除以同一個正數，不等號的方向不變．例如：若3x<6，則x<2.)
【探究提升】(3)如圖3，AD是△ABC的中線，過點A分別向外作AE⊥AB，AF⊥AC，使得AE＝AB，AF＝AC，延長DA交EF于點P，判斷線段EF與AD的數量關系和位置關系，請說明理由．
(2)如圖2，延長AD到M，使DM＝AD，連接BM，
由(1)可知，△MDB≌△ADC(SAS)，
∴BM＝AC＝8，
在△ABM中，AB－BM∴12－8即4<2AD<20，
∴2即BC邊上的中線AD的取值范圍為2(3)EF＝2AD，EF⊥AD，理由如下：
如圖3，延長AD到M，使得DM＝AD，連接BM，
由(1)可知，△BDM≌△CDA(SAS)，
∴BM＝AC，
∵AC＝AF，
∴BM＝AF，
由(1)可知，AC∥BM，
∴∠BAC＋∠ABM＝180°，
∵AE⊥AB，AF⊥AC，
∴∠BAE＝∠FAC＝90°，
∴∠BAC＋∠EAF＝180°，
∴∠ABM＝∠EAF，
∴AM＝2AD，
∴EF＝2AD，
∵∠EAM＝∠BAM＋∠BAE＝∠E＋∠APE，
∴∠APE＝∠BAE＝90°，
∴EF⊥AD.(共23張PPT)
第十四章 全等三角形
14.1　全等三角形及其性質
1．[2024·呼和浩特期末]下列四組圖形中，是全等圖形的一組是(　　)
2．[20－21八年級上·內蒙古赤峰·期中]下列說法中正確的為(　　)
①全等三角形的面積相等
②周長相等的兩個三角形全等
③全等三角形的形狀相同、大小相等
④全等三角形的對應邊相等、對應角相等
A．②③④ B．①②③
C．①②④ D．①③④
3．[2024·東莞市期末]已知圖中的兩個三角形全等，則∠1等于(　　)
A．70°
B．68°
C．58°
D．52°
4．[2024·廣州期末]如圖，△ABE≌△ACD，點D，E分別在邊AB，AC上，若AD＝3，AC＝5，CD＝4，則AE的長度為(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
5．[2024·江城區期末]如圖，△DBC≌△ECB，且BE與CD相交于點A，下列結論錯誤的是(　　)
A．BE＝CD B．∠ABD＝∠ACE
C．BD＝AE D．∠D＝∠E
6．[2025·呼和浩特期中]如圖，銳角△ABC中，D，E分別是AB，AC邊上的點，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且C′D∥EB′∥BC，BE，CD交于點F，若∠BAC＝35°，則∠BFC的大小是(　　)
A．110° B．115°
C．120° D．130°
解析：設∠C′＝α，∠B′＝β，
∵△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，
∴∠ACD＝∠C′＝α，∠ABE＝∠B′
＝β，∠BAE＝∠B′AE＝∠C′AB＝35°，
∴∠C′DB＝∠BAC′＋∠C′＝35°＋α，∠CEB′＝35°＋β.
∵C′D∥EB′∥BC，
∴∠ABC＝∠C′DB＝35°＋α，∠ACB＝∠CEB′＝35°＋β，
∴∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°，即105°＋α＋β＝180°.
則α＋β＝75°.
∵∠BFC＝∠BDC＋∠DBE，
∠BDC＝∠BAC＋∠ACD＝35°＋α，
∴∠BFC＝35°＋α＋β＝35°＋75°＝110°.
7．[2024·泉港區期末]如圖，四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝10，
CD＝6，AD＝3.若四邊形OPCE≌四邊形ABCD，則PD＝__．
4
8．[2023·綠園區期末]如圖所示，四邊形ABCD≌四邊形
A′B′C′D′，則∠A的度數是_____.
95°
9．[2024·永春縣期末]如圖，△ABC≌△DEF，且A，B，D，E四
點共線，線段AD＝6，DE＝4，則BD＝__．
2
10．[2024·達日縣期末]如圖，在平面直角坐標系中，已知
A(0，5)，B(－3，0)，若△AOB≌△OCD，那么點D的坐標是
_________．
(5，－3)
11．[2024·梁平區期末]已知△ABC的三邊長為x，3，6，△DEF
的三邊長為5，6，y.若△ABC與△DEF全等，則x＋y的值為__．
8
12．[2024·廣州期末]如圖，△ABC≌△DCB，∠DBC＝40°，
則∠AOB＝____°.
80
13．[2024·新泰市期中]如圖，△ABC的兩條高AD，CE相交于點
F，若△ABD≌△CFD，DC＝6，DF＝2，則△ABC的面積為___．
24
14．[2025·鄂爾多斯期中]三個全等三角形按圖的形式擺放，
則∠1＋∠2＋∠3的度數等于______．
180°
解析：如圖所示：
由圖形可得：∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＋
∠8＋∠9＝540°，
∵三個三角形全等，∴∠7＋∠8＋∠9＝180°，
又∵∠4＋∠5＋∠6＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＋180°＋180°＝540°，
∴∠1＋∠2＋∠3的度數是180°.
15．如圖，已知△ABC≌△DEB，點E在AB上，AC與BD交于點F.
(1)若AB＝6，BC＝3，求AE的長；
(2)若∠A＝25°，∠C＝55°，求∠AED的度數．
解：(1)∵△ABC≌△DEB，BC＝3，
∴BE＝BC＝3，
∴AE＝AB－BE＝6－3＝3；
(2)∵△ABC≌△DEB，
∴∠ABC＝∠DEB.
∵∠A＝25°，∠C＝55°，
∴∠ABC＝180°－∠A－∠C＝180°－25°－55°＝100°，
∴∠DEB＝100°，
∴∠AED＝180°－∠DEB＝180°－100°＝80°.
16.[分類討論][2024·柘城縣期中]已知△ABC的三邊長為3，5，
7，△DEF的三邊長為5，2x－3，3x－2，若△ABC與△DEF全等，
則x等于__．
3
17.[模型觀念]如圖，在△ABC中，點D在邊BC上，點E在AD上，延長BE交AC于點F，且△ACD≌△BED.
(1)若BC＝11，AD＝8，求CD的長度；
(2)求證：∠AFE＝90°；
(3)若S△BCF＝20，S四邊形CFED＝8，則S△AEF＝ ．
解：(1)∵△ACD≌△BED，
∴BD＝AD＝8，
∴CD＝BC－BD＝11－8＝3；
(2)證明：∵△ACD≌△BED，
∴∠ADC＝∠BDE，∠CAD＝∠DBE，
∵∠ADC＋∠BDE＝180°，
∴∠ADC＝∠BDE＝90°，
∵∠AEF＋∠AFE＋∠EAF＝∠BED＋∠BDE＋∠DBE，
而∠AEF＝∠BED，
∴∠AFE＝∠BDE＝90°；
(3)4.

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