資源簡介

(共21張PPT)
第2課時　含30°角的直角三角形
1．[2024·呼和浩特期末]如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC邊上的中線，CD的垂直平分線EF交AC于點E，交BC于點F，若EF＝2，則AB長為(　　)
A．10 B．8
C．6 D．4
3．[2024·五華區(qū)期末]如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝60°，BC＝1，則AD的長為(　　)
A．1.5 B．2
C．3 D．4
4．[2023·石泉縣期末]如圖，在等邊△ABC中，D是BC的中點，DE⊥AC于點E，EF⊥AB于點F，已知BC＝16，則BF的長為(　　)
A．4 B．6
C．8 D．10
5．[2024·忻州期中]如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6，AB的垂直平分線ME交BC于點M，交AB于點E，AC的垂直平分線NF交BC于點N，交AC于點F，則MN的長為(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
6．[2024·忠縣期末]如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∠B＝30°，作BC的垂直平分線EF交BC于點F，交AB于點E，
連接CE.若EF＝1，則△ACE的周長為__．
6
7．[2024·北京期末]如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC的垂
直平分線DE分別交AB，AC于點D和E，CD平分∠ACB，AD＝5，
BD＝ ．
8．[2024·蜀山區(qū)期末]如圖，△ABC是等邊三角形，點D在邊AC
上，點E在AB延長線上，若ED⊥AC交BC于P，且AD＝4，BP＝2，
則PC＝__．
4
9. [分類討論][2024·公安縣期中]如圖，在△ABC中，AB＝
12 cm，AC＝10 cm，∠A＝60°，點P從點B出發(fā)以每秒2 cm的
速度向點A運動，點Q從點A同時出發(fā)以每秒1 cm的速度向點C
運動，其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運
動，設運動時間為t秒，當△APQ為直角三角形時，t的值為
_______．
3或4.8
①②③④
11. [應用意識][2024·安定區(qū)期中]如圖，一條船上午8時從海島A出發(fā)，以每小時15海里的速度向正北方向航行，上午10時到達海島B處，分別從A，B處望燈塔C，測得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°.若這條船到達海島B處后，繼續(xù)向正北方向
航行，還要經(jīng)過多長時間，船與燈塔C之間的距離最
短？
解：根據(jù)題意，得AB＝15×(10－8)＝30(海里)．
∵∠NBC＝60°，∠NAC＝30°，
∴∠ACB＝∠NBC－∠NAC＝60°－30°＝30°，
∴∠ACB＝∠NAC，
∴BC＝AB＝30海里．
如圖，過點C作CD⊥AB于點D.
根據(jù)垂線段最短，線段CD的長
為船與燈塔C之間的最短距離，
∠BDC＝90°.
又∵∠NBC＝60°，
∴∠DCB＝180°－∠BDC－∠CBD＝180°－90°－60°＝30°，
12．[2024·交城縣期中]如圖，在等邊△ABC中，D是AC的中點，E是BC延長線上的一點，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足為點M.
(1)求證：M是BE的中點；
(2)若CM＝2，求BE的長度．
∴BD＝ED.
又∵DM⊥BC，
∴M是BE的中點；
(2)由(1)得∠ACB＝60°，M是BE的中點，
∵DM⊥BE，
∴∠DME＝90°，
∴∠CDM＝30°，
∴CD＝2CM.
∵CM＝2，
∴CD＝4.
∵CD＝CE，
∴CE＝4，
∴ME＝CM＋CE＝6.
∵M是BE的中點，
∴BE＝2ME＝12.
13．[2024·宣恩縣期中]如圖，已知∠ABC＝60°，點P在邊AB上，BP＝a，點E，F(xiàn)在邊BC上，PE＝PF，若FE＝b，則BE的長用a，b可表示為(　　)
14．[2024·海安期中]如圖，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝
90°，等邊三角形DEF的三個頂點分別落在AC，AB，BC上，
若CD＝5，BE＝8，則AB的長為___．
14(共21張PPT)
第十五章 軸對稱
15.1　圖形的軸對稱
15．1.1　軸對稱及其性質
1. [民族傳統(tǒng)文化][2025·呼和浩特期末]作為少數(shù)民族圖案的一支，蒙古族圖案成為一種鑒別民族屬性的視覺符號，無處不散發(fā)著濃郁的民族氣息，讓我們感受到美的存在．下列蒙古族圖案中，不是軸對稱圖形的是(　　)
2．下列說法中，正確的是(　　)
A．直角三角形是軸對稱圖形
B．經(jīng)過線段中點的直線是這條線段的對稱軸
C．如果兩個三角形關于某直線成軸對稱，那么它們是全等三角形
D．如果兩個三角形全等，則它們關于某直線成軸對稱
3．[2024·河北]如圖，AD與BC交于點O，△ABO和△CDO關于直線PQ對稱，點A，B的對稱點分別是點C，D.下列不一定正確的是(　　)
A．AD⊥BC
B．AC⊥PQ
C．△ABO≌△CDO
D．AC∥BD
4．[2023·鄆城縣期末]如圖，△ABC和△AB′C′關于直線l對稱，下列結論中：
①△ABC≌△AB′C′ ②∠BAC′＝∠B′AC
③l垂直平分CC′ ④直線BC和B′C′的交點不一定在l上．
正確的有(　　)
A．4個 B．3個
C．2個 D．1個
5．[2025·呼和浩特期中]如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝100°，
∠C＝70°，將△BMN沿MN翻折得到△FMN，若MF∥AD，F(xiàn)N∥DC，
則∠B＝_____．
95°
6．[2024·澄海區(qū)期中]如圖，直線AD為△ABC的對稱軸，BC＝6，
AD＝4，則圖中陰影部分的面積為__．
6
7．如圖，△ABD和△FEC關于直線l對稱，點A，B，D的對應點分
別為點F，E，C，點B，C，D，E在同一條直線上，則圖中有__對
全等三角形．
2
8．[2024·甘肅]圍棋起源于中國，古代稱為“弈”．如圖是兩
位同學的部分對弈圖，輪到白方落子，觀察棋盤，白方如果落子
于點_____的位置，則所得的對弈圖是軸對稱圖形．(填寫A，B，
C，D中的一處即可，A，B，C，D位于棋盤的格點上)
A或C
9．如圖，點P是∠AOB外的一點，點M，N分別是∠AOB兩邊上的點，
點P關于OA的對稱點Q恰好落在線段MN上，點P關于OB的對稱點R落
在MN的延長線上．若PM＝4 cm，PN＝5 cm，MN＝6.5 cm，則線段
QR的長為____cm.
7.5
10．如圖，球沿圖中箭頭方向擊出后碰到桌子的邊緣會反彈，其
中∠1叫作入射角，∠2叫作反射角，如果每次的入射角總是等于
反射角，那么球最后將落入桌子四個頂角處的球袋中的______．
C號袋
11．[2024·新野縣期末]如圖，△ABC和△ADE關于直線MN對稱，BC和DE的交點F在直線MN上．
(1)若ED＝15，BF＝9，求EF的長；
(2)若∠ABC＝35°，∠AED＝65°，
∠BAE＝16°，求∠BFN的度數(shù)；
(3)連接BD和EC，判斷BD和EC的位置關系，并說明理由．
解：(1)EF＝6(過程略)；
(2)∵△ABC和△ADE關于直線MN對稱，∠ABC＝35°，∠AED＝65°，∠BAE＝16°，
∴∠AED＝∠ACB＝65°，
∴∠BAC＝180°－∠ABC－∠ACB＝180°－35°－65°＝80°，
∵∠BAE＝16°，
∴∠EAC＝∠BAC－∠BAE＝80°－16°＝64°，
∵線段AE與AC關于直線MN對稱，
12.[推理能力]定義：如圖1，OM平分∠AOB，則稱射線OB，OA關
于OM對稱．
理解題意
(1)如圖1，射線OB，OA關于OM對稱
且∠AOB＝45°，則∠AOM＝ °；
應用實際
(2)如圖2，若∠AOB＝45°，OP在∠AOB內(nèi)部，OP，OP1關于OB對
稱，OP，OP2關于OA對稱，求∠P1OP2的度數(shù)；
(3)如圖3，若∠AOB＝45°，OP在∠AOB外部，且0°＜∠AOP＜45°，OP，OP1關于OB對稱，OP，OP2關于OA對稱，求∠P1OP2的度數(shù)；
拓展提升
(4)如圖4，若∠AOB＝45°，OP，OP1
關于∠AOB的OB邊對稱，∠AOP1＝4∠BOP1，求∠AOP(直接寫出答案)．
解：(1)22.5；
(2)如圖2，∵OP和OP1關于OB對稱，
∴∠POP1＝2∠BOP，
又∵OP和OP2關于OA對稱，
∴∠POP2＝2∠AOP，
∴∠P1OP2＝∠POP1＋∠POP2＝2∠BOP＋2∠AOP＝2∠AOB＝90°；
(3)如圖3，∵OP和OP1關于OB對稱，
∴∠POP1＝2∠BOP，
又∵OP和OP2關于OA對稱，
∴∠POP2＝2∠AOP，
∴∠P1OP2＝∠POP1－∠POP2＝2∠BOP－2∠AOP＝2∠AOB＝90°；
(4)①OP在∠AOB內(nèi)部，如圖4，
∵OP，OP1關于OB對稱，
∴∠BOP＝∠BOP1，
∵∠AOP1＝4∠BOP1，
∴∠AOB＝3∠BOP1＝45°，
∴∠BOP1＝15°，
∴∠BOP1＝∠BOP＝15°，
∴∠AOP＝30°；
②當OP在∠AOB外部，如圖5，
∵OP，OP1關于∠AOB的OB邊對稱，
∴∠BOP＝∠BOP1，
∵∠AOP1＝4∠BOP1，
∴∠AOB＝∠BOP1＋∠AOP1＝5∠BOP1＝45°，
∴∠BOP1＝9°，
∴∠BOP1＝∠BOP＝9°，
∴∠AOP＝45°＋9°＝54°.
綜上所述，∠AOP＝30°或54°.(共39張PPT)
15.3.2　等邊三角形
第1課時　等邊三角形的性質和判定
1．[2024·巴彥淖爾期中]下列三角形：①有兩個角等于60°；②有一個角等于60°的等腰三角形；③三個外角(每個頂點處各取一個外角)都相等的三角形；④一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形，其中是等邊三角形的有(　　)．
A．①②④ B．③④
C．①②③④ D．①④
2．[2024·天津期中]在△ABC中，AB＝AC，添加下列一個條件后不能判斷△ABC是等邊三角形的是(　　)
A．∠A＝60°
B．AC＝BC
C．∠B與∠C互余
D．AB邊上的高也是AB邊上的中線
3．[2024·饒平縣期末]如圖，在等邊三角形ABC中，BD⊥AC，BF＝BD，則∠CDF的度數(shù)是(　　)
A．10° B．15°
C．20° D．25°
4．[2024·昆明期末]如圖，將等邊△APQ的邊PQ向兩邊延長，使PB＝QC＝PQ，則∠BAC的度數(shù)為(　　)
A．120° B．110°
C．100° D．90°
5．[2024·龍湖區(qū)期末]如圖，△ABC是等邊三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分線，延長BC到E，使CE＝CD，則BE長為(　　)
6．[2024·花都區(qū)期末]如圖，在等腰三角形紙片ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，點H為BC邊上的垂足．小花放入一張等邊三角形紙片BDE，E在BC上，F(xiàn)為AH與DE的交點，小都又放一張等邊三角形紙片EFG，G在BC上．小花和小都量得EF＝5，CE＝3，那么等腰三角形紙片的底邊BC長應為(　　)
A．8 B．10
C．11 D．13
7．[2024·興安盟二模]在數(shù)學課堂上，老師帶領同學們用尺規(guī)“過直線l外一點C作直線l的垂線”，圖1是老師畫出的第一步，圖2，圖3分別是甲、乙兩位同學補充的作圖痕跡，則補充的作圖痕跡正確的是(　　)
A．甲對乙不對
B．乙對甲不對
C．甲和乙
D．都不正確
8．[2024·海州區(qū)期中]如圖所示，邊長為2的等邊三角形ABC中，D點在邊BC上運動(不與B，C重合)，點E在邊AB的延長線上，點F在邊AC的延長線上，AD＝DE＝DF.點D在BC邊上從B至C的運動過程中，△BED周長變化規(guī)律為(　　)
A．不變
B．一直變小
C．先變大后變小
D．先變小后變大
9．[2024·?？谄谀如圖，△ABC是等邊三角形，點D，E，F(xiàn)
分別在AB，BC，AC上，若∠1＝∠2，∠DFE＝80°，則∠EDF
＝_____．
40°
10. [手拉手模型][2023·楊浦區(qū)期末]如圖，已知O是等邊三
角形ABC內(nèi)一點，D是線段BO延長線上一點，且OD＝OA，
∠AOB＝120°，那么∠BDC＝_____．
60°
11.[手拉手模型][2024·玉林期末]在△ABC中，∠ACB＝90°，
∠BAC＝30°，BC＝8，且E為邊BC的中點，連接AE，以AE為邊
向上作等邊三角形ADE，連接BD，則BD的長為___．
12
解析：如圖， 延長BC到點T，使得CT＝CB，連接AT，
∵AC⊥BT，CB＝CT，
∴AB＝AT，
∴∠BAC＝∠TAC＝30°，
∴∠BAT＝60°，
∴△ABT是等邊三角形，
∵∠EAD＝∠BAT＝60°，
∴∠BAD＝∠EAT.
12．[2024·鄂爾多斯期末]小明同學復習幾種三角形的關系時
發(fā)現(xiàn)，通過增加特殊的邊或者角的條件能得到新的三角形，
通過小明整理的思維導圖，請幫他在括號內(nèi)△處填上一個適
當?shù)臈l件___________________．(只需填上一個即可)
BC＝AB(答案不唯一)
13．[2024·天河區(qū)期末]如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，點E為AD上一點，連接BD，CE交于點F，CE∥AB.
(1)若△ABD為等邊三角形，請判斷△DEF的形狀，并說明理由；
(2)在(1)的條件下，若AD＝12，CE＝9，求CF的長．
解：(1)△DEF是等邊三角形，理由如下：
∵△ABD為等邊三角形，
∴∠ADB＝60°，∠ABD＝60°，∠A＝60°
∵CE∥AB，
∴∠DEF＝∠A＝60°，∠EFD＝∠ABD＝60°，
∴△DEF是等邊三角形；
(2)連接AC交BD于點O，如圖，
∵AB＝AD，CB＝CD，
∴AC垂直平分BD，
∴AO⊥BD，
∴∠BAO＝∠DAO＝30°.
∵CE∥AB，
∴∠ACE＝∠BAO＝∠DAO，
∴AE＝CE＝9，
∴DE＝AD－AE＝12－9＝3.
∵△DEF是等邊三角形，
∴EF＝DE＝3，
∴CF＝CE－EF＝6.
14. [分類討論][2024·惠城區(qū)期中]在邊長為10的等邊三角形ABC中，點P是AB上一動點，以每秒2個單位長度的速度從點A向點B移動，設運動時間為t秒．
(1)如圖1，若Q是BC上一定點，CQ＝6，t為何值時PQ∥AC；
(2)如圖2，若點P從點A向點B運動，同時點Q以每秒3個單位長度的速度從點B經(jīng)點C向點A運動，當t為
何值時，△APQ為等邊三角形？
解：(1)∵△ABC是等邊三角形，PQ∥AC，
∴∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，∠B＝60°，AB＝BC，
∴∠B＝∠BQP＝∠BPQ＝60°，
∴△BPQ是等邊三角形，
∴BP＝BQ，
∴AP＝CQ.
由題意，得AP＝2t，
則2t＝6，
∴t＝3.
∴當t的值為3時，PQ∥AC；
(2)①當點Q在邊BC上時，如圖1，
此時△APQ不可能為等邊三角形；
②當點Q在邊AC上時，如圖2，
若△APQ為等邊三角形，
則AP＝AQ.
由題意，得AP＝2t，BC＋CQ＝3t，
∴AQ＝BC＋AC－(BC＋CQ)＝10＋10－3t＝20－3t，
即20－3t＝2t，
解得t＝4，
∴當t＝4時，△APQ為等邊三角形．
15.[手拉手模型][2024·齊齊哈爾期中]已知點C為線段AB上一點，分別以AC，BC為邊在線段AB同側作△ACD和△BCE，且CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE，直線AE與BD交于點F，
(1)如圖1，若∠ACD＝60°，則∠AFB＝ ___；
如圖2，若∠ACD＝90°，則∠AFB＝ ___；
如圖3，若∠ACD＝120°，則∠AFB＝ ___；
(2)如圖4，若∠ACD＝α，則∠AFB＝ ；(用含α的式子表示)
(3)將圖4中的△ACD繞點C順時針旋轉任意角度(交點F至少在BD，AE中的一條線段上)，變成如圖5所示的情形，且∠ACD＝∠BCE＝α，則∠AFB與α的有何數(shù)量關系？并給予證明．
解：(1)如圖1，CA＝CD，∠ACD＝60°，
∴△ACD是等邊三角形．
∵CB＝CE，∠BCE＝60°，
∴△ECB是等邊三角形．
∵∠ACE＝∠ACD＋∠DCE，∠BCD＝∠BCE＋∠DCE，∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACE＝∠BCD.
∵AC＝DC，CE＝BC，
∴△ACE≌△DCB(SAS)．
∴∠EAC＝∠BDC.
∴∠DFA＝∠DCA＝60°，
∴∠AFB＝120°，
如圖2，同理得△ACE≌△DCB.
∴∠AEC＝∠DBC.
又∵∠FDE＝∠CDB，∠DCB＝90°，
∴∠EFD＝90°.
∴∠AFB＝90°.
如圖3，∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD－∠DCE＝∠BCE－∠DCE.
即∠ACE＝∠DCB.
又∵CA＝CD，CE＝CB，
∴△ACE≌△DCB(SAS)．
∴∠EAC＝∠BDC.
∵∠BDC＋∠FBA＝∠ACD＝120°，
∴∠FAB＋∠FBA＝120°.
∴∠AFB＝60°.
故答案為：120°，90°，60°；
(2)∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE.
∴∠ACE＝∠DCB.
又∵AC＝DC，BC＝EC，
∴△ACE≌△DCB(SAS)．
∴∠CAE＝∠CDB.
∴∠DFA＝∠ACD＝α.
∴∠AFB＝180°－∠DFA＝180°－∠ACD＝180°－α.
故答案為：180°－α.
∴△ACE≌△DCB(SAS)．
∴∠CBD＝∠CEA，
∴∠EFB＝∠ECB＝α.
∴∠AFB＝180°－∠EFB＝180°－α.
16. [半角模型][2024·福田區(qū)期末]在等邊△ABC的兩邊AB，AC所在直線上分別有兩點M，N，D為△ABC外一點，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC.探究：當M，N分別在直線AB，AC上移動時，BM，NC，MN之間的數(shù)量關系及△AMN的周長Q與等邊△ABC的周長L的關系．(提示：直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半)
解：(1)∵DM＝DN，∠MDN＝60°，
∴△MDN是等邊三角形．
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A＝60°，
∵BD＝CD，∠BDC＝120°，
∴∠DBC＝∠DCB＝30°，
∴∠MBD＝∠NCD＝90°，
∵DM＝DN，BD＝CD，
∴Rt△BDM≌Rt△CDN(HL)，
∴∠BDM＝∠CDN＝30°，BM＝CN，
∴DM＝2BM，DN＝2CN，
MN＝2BM＝2CN＝BM＋CN，
AM＝AN，
∴△AMN是等邊三角形．
∵AB＝AM＋BM，
∴AM∶AB＝2∶3，
(3)NC－BM＝MN.
證明：如圖3，在CN上截取CM1＝BM，連接DM1，
可證△DBM≌△DCM1，
∴DM＝DM1，
可證∠M1DN＝∠MDN＝60°，
∴△MDN≌△M1DN，
∴MN＝M1N，
∴NC－M1C＝NC－BM＝NM1＝MN.(共26張PPT)
15．1.2　線段的垂直平分線
1．下列說法正確的個數(shù)是(　　)
①每個命題都有逆命題
②真命題的逆命題是真命題
③每個定理都有逆定理
④定理一定有逆命題
⑤命題“若a＝b，則a3＝b3”的逆命題是假命題
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如圖，直線l與線段AB交于點O，點P在直線l上，且PA＝PB.則下列說法正確的是(　　)
A．AO＝BO
B．直線l是AB的垂直平分線
C．若l⊥AB，則直線l是AB的垂直平分線
D．若∠A＝∠B，則直線l是AB的垂直平分線
3．[2024·洪山區(qū)期末]如圖，在△ABC中，BC的垂直平分線分別交BC，AC于點D，E，連接BE.若BE平分∠ABC，且∠A＝72°，則∠CED的度數(shù)為(　　)
A．72° B．64°
C．54° D．36°
4．[2024·余姚期末]如圖，在△ABC中，AB，AC的垂直平分線分別交BC于點D，點M，交AB于點E，交AC于點F，若BC＝4，則△ADM的周長為(　　)
A．4 B．6
C．8 D．10
5．如圖，在△ABC中，邊AB的垂直平分線OM與邊AC的垂直平分線ON交于點O，這兩條垂直平分線分別交BC于點D，E，已知△ADE的周長為13 cm，分別連接OA，OB，OC，若△OBC的周長為28 cm，則OA的長為(　　)
A．6.5 cm B．7.5 cm
C．13 cm D．43 cm
6．[2025·赤峰期中]如圖，在△ABC中，分別以點A和點B為圓心，大于 AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N，作直線MN，交BC于點D，連接AD.若△ADC的周長為12，AB＝8，則△ABC的周長為(　　)
A．7 B．14
C．17 D．20
7．[2024·永春縣期末]如圖，DE垂直平分線段AB于點E，DF垂
直平分線段BC于點F，若AD＝8，則CD＝__．
8
8．[2024·淮北期末]如圖，線段BE與線段AC互相垂直平分，相
交于點D，若∠E＝26°，∠ABC＝_____．
52°
9．[2024·榆樹期末]如圖，點C，D是線段AB外的兩點，且AC＝
BC，AD＝BD，若AB＝5，CD＝4，則△ACD的面積為__．
5
10．[2024·宜興期末]如圖，在△ABC中，邊AB，AC的垂直平分
線交于點O，若∠BOC＝80°，則∠A＝_____．
40°
11．[2024·閔行區(qū)期末]如圖，在△ABC中，已知點O是邊AB，
AC垂直平分線的交點，點E是∠ABC，∠ACB角平分線的交點，
若∠O＋∠E＝180°，則∠A＝____°.
36
12．[2023·慶安縣期末]作圖題(不寫作圖步驟，保留作圖痕跡)．
電信部門要修建一座信號發(fā)射塔，要求發(fā)射塔離村莊A，B的距離必須相等，且到兩條高速公路MN，PQ的距離也必須相等．發(fā)射塔應修建在什么位置？在圖上標出它的位置．
解：如圖，點E與點E′為發(fā)射塔所在的位置．
13．[2025·鄂爾多斯期末]請你設計“線段的垂直平分線”的儀器．
(1)材料：描述所需材料及要求；
(2)請你設計“線段的垂直平分線”的儀器方案，方案包括畫出“儀器”的平面幾何圖形，寫出圖形中條件的符號語言，再寫出“儀器”的操作說明；
(3)說明你設計方案的合理性．
解：(1)4根細木條，要求兩兩相等；
(2)儀器的平面幾何圖形如圖1，
其中AD＝AB，CD＝CB，
操作說明：如圖2，
將儀器的點D和點B分別放置在一條線段的
兩個端點上，畫直線AC；AC就是這條線段
DB的垂直平分線；
(3)合理性：如圖2，
∵在△ADB中，AD＝AB，
∴點A在線段DB的垂直平分線上，
∵在△CDB中，CD＝CB，
∴點C在線段DB的垂直平分線上，
∴直線AC是線段DB的垂直平分線．
14．[2024·玄武區(qū)期末]如圖，在△ABC中，直線l是BC邊的垂直平分線，l與AB邊交于點D，與∠BAC的平分線交于點E，連接BE，CE，延長AC至點F.
(1)求證：∠ABE＝∠ECF；
(2)連接CD，若∠ACD＝30°，則∠ABE＝ °.
解：(1)證明：如圖，作EG⊥AB，垂足為點G，EH⊥AF，垂足為點H，
∵直線l是BC邊的垂直平分線，
∴BE＝CE，
∵AE平分∠BAC，EG⊥AB，EH⊥AF，
∴GE＝HE，
∴Rt△BEG≌Rt△CEH(HL)，
∴∠ABE＝∠ECF；
15. [推理能力][2024·啟東期中]已知，在△ABC中，DE垂直平分邊AB，分別交AB，BC于點D，E，MN垂直平分邊AC，分別交AC，BC于點M，N.
(1)如圖1，若∠BAC＝108°，求∠EAN的度數(shù)；
(2)如圖2，若∠BAC＝78°，求∠EAN的度數(shù)；
(3)通過以上的探索過程，請根據(jù)圖1與圖2分別寫出∠EAN與∠B，∠C之間的數(shù)量關系，并說明理由．
解：(1)∵DE垂直平分AB，
∴EA＝EB，
∴∠B＝∠EAB，
同理∠C＝∠CAN，
∴∠EAB＋∠CAN＝∠B＋∠C＝180°－∠BAC，
∴∠EAN＝∠BAC－(180°－∠BAC) ＝2∠BAC－180°＝2×108°－180°＝36°；
(2)由(1)可知，∠B＝∠EAB，∠C＝∠CAN，
∴∠EAB＋∠CAN＝∠B＋∠C＝180°－∠BAC，
∴∠EAN＝∠EAB＋∠CAN－∠BAC＝180°－2∠BAC＝180°－2×
78°＝24°；
(3)由圖1知當90°<∠BAC<180°時，
∠EAN＝2∠BAC－180°＝2(180°－∠B－∠C)－180°
＝180°－2(∠B＋∠C)；
由圖2知當0°<∠BAC<90°時，
∠EAN＝180°－2∠BAC
＝180°－2(180°－∠B－∠C)
＝2(∠B＋∠C)－180°.(共16張PPT)
15.2　畫軸對稱的圖形
1．[2024·通遼]剪紙是我國民間藝術之一，如圖放置的剪紙
作品，它的對稱軸與平面直角坐標系的坐標軸重合，則點
A(－4，2)關于對稱軸對稱的點的坐標為(　　)
A．(－4，－2) B．(4，－2)
C．(4，2) D．(－2，－4)
2．[2024·雅安]在平面直角坐標系中，將點P(1，－1)向右平移2個單位后，得到的點P1關于x軸的對稱點坐標是(　　)
A．(1，1) B．(3，1)
C．(3，－1) D．(1，－1)
3．[2024·思明區(qū)期末]如圖是平面鏡成像的示意圖．若以蠟燭的底部和平面鏡中像的底部連線為x軸，鏡面?zhèn)让鏋閥軸(鏡面厚度忽略不計)建立平面直角坐標系．某時刻火焰頂部S的坐標為(4，2)，則此時對應的虛像火焰頂部S′的坐標是(　　)
A．(4，－2) B．(2，4)
C．(2，－4) D．(－4，2)
4．已知點A(m－2，1)與點B(5，n－1)關于y軸對稱，
則(m＋n)2 025的值為(　　)
A．0 B．1
C．－1 D．32 025
6．如圖，在平面直角坐標系xOy中，△DEF可以看作是△ABC經(jīng)過若干次圖形的變化(平移、軸對稱)得到的，
下列由△ABC得到△DEF的變化過程錯誤的
是(　　)
A．將△ABC沿x軸翻折得到△DEF
B．將△ABC沿直線y＝1翻折，再向下平移2個單位得到△DEF
C．將△ABC向下平移2個單位，再沿直線y＝1翻折得到△DEF
D．將△ABC向下平移4個單位，再沿直線y＝－2翻折得到△DEF
7．[2024·東莞期末]如圖，在平面直角坐標系xOy中，∠A＝90°，OA＝2，OB平分∠AOC，點B(a－1，a－2)關于x軸的對稱點是(　　)
A．(－2，1) B．(3，－2)
C．(2，－1) D．(3，－1)
8.[規(guī)律探究][2024·洗雅縣期末改編]如圖，在平面直角坐標系中，對△ABC 進行循環(huán)往復的軸對稱變換，若原來點A坐標(1，2)，則經(jīng)過第2 025 次變換后點A的
對應點的坐標為(　　)
A．(1，－2)
B．(－1，－2)
C．(－1，2)
D．(1，2)
9．[2024·深圳期末]若點A(b＋2，4)與點B(－3，a－1)關于y軸
對稱，則2a＋3b＝___．
10．[2024·林州期末]在平面直角坐標系中，將點A(－3，－2)
向右平移5個單位長度得到點B，則點B關于y軸對稱的點B′的坐
標是___________．
11．[2024·鼓樓區(qū)期末]在平面直角坐標系中，點A(2，3)與點B
(－2，3)是一個軸對稱圖形上對稱的兩點，該圖形只有一條對稱
軸，則圖形中與點C(4，－1)成軸對稱的點D坐標是___________．
13
(－2，－2)
(－4，－1)
12．[2024·北京期末]如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中有四個格
點A，B，C，D，以其中一個點為原點，網(wǎng)格線所在直線為坐標
軸，建立平面直角坐標系，使其余三個點中存在兩個點關于一
條坐標軸對稱，則原點可能是____．
點D
13．[2025·呼和浩特期末]如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點坐標分別為A(－1，3)，B(－2，－1)，C(－3，1)．
(1)在圖中畫出△ABC關于x軸對稱的圖形△A1B1C1，并寫出C的對稱點C1的坐標；
(2)若D(－6，1)與點C關于某一條直線成軸對稱，
請你在圖中用尺規(guī)作圖作出這條對稱軸；(不寫
作法，保留作圖痕跡)
(3)在y軸上確定一點E，使△ABE的周長最小．
(不寫作法，不求坐標，只保留作圖痕跡)
解：(1)如圖，△A1B1C1為所求的三角形，C1(－3，－1)；
(2)如圖，直線MN為所求的對稱軸；
(3)如圖，點E為所求的點．
14.[幾何直觀]點P(－2，1)與點Q(a，b)關于直線y＝－1對稱，則點Q的坐標為(　　)
A．(－2，－3)
B．(－2，－1)
C．(－2，－2)
D．(－2，－4)
15．[2024·安徽期末]如圖所示的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1個單位長度，△ABC的三個頂點都在格點上．
(1)在網(wǎng)格中畫出△ABC向下平移3個單位得到的△A1B1C1；
(2)在網(wǎng)格中畫出△ABC關于直線m對稱的
△A2B2C2；
(3)在直線m上畫一點P，使得|PA－PC2|的值
最大．
解：(1)如圖，△A1B1C1即為所求作；
(2)如圖，△A2B2C2即為所求作；
(3)如圖，點P即為所求作．(共26張PPT)
15.3　等腰三角形　　
15．3.1　等腰三角形
第1課時　等腰三角形的性質
1．[2024·昆明期末]大觀公園是國家4A級旅游景區(qū)，始建于明朝洪武元年(公元1368年)，位于昆明市以西約2公里的滇池湖畔，完好保存著許多古典園林建筑群，既反映中國清代古建筑的風格，又具有云南地方民族建筑的特色，是云南清代園林建筑的博覽苑．如圖，建筑的頂端可看作等腰三角形ABC，AB＝AC，D是BC的中點．下列結論不一定正確的是(　　)
A．∠B＝∠C B．AD⊥BC
C．∠BAD＝∠CAD D．AB＝2AD
3．[2024·蘭州]如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，則∠ADB＝(　　)
A．100° B．115°
C．130° D．145°
4．[2024·重慶期末]如圖，在△ABC中，點M為BC上一點，AB＝AM＝MC，∠B＝50°，則∠C的度數(shù)為(　　)
A．25° B．30°
C．35° D．40°
5．[2024·淮北期末]如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線交AC于點G，BC＝6，△BCG周長是13，則AB的長是(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
7．[2024·蜀山區(qū)期末]如圖，AB＝AC＝AD，∠BAD＝50°，則∠BCD的度數(shù)為(　　)
A．115° B．130°
C．140° D．155°
8．[2024·鎮(zhèn)江]等腰三角形的兩邊長分別為6和2，則第三邊長
為__．
9．[2024·綏化]如圖，AB∥CD，∠C＝33°，OC＝OE.則∠A
＝____°.
6
66
10．[2025·呼倫貝爾期末]如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC
邊上的中線，在AD上取一點E，連結CE，使得AE＝CE，若∠ECD＝
20°，則∠B＝_____．
55°
11.[分類討論][2024·安徽期末]定義：等腰三角形的頂角與其
一個底角的度數(shù)的比值k稱為這個等腰三角形的“特征值”．若
在等腰△ABC中，∠A＝40°，則它的特征值k等于 ．
12.[分類討論][2024·海倫期末]等腰三角形的一腰上的高與另
一腰所在直線的夾角為40°，則這個三角形的底角為___________．
65°或25°
13．[2024·蒙城縣期末]如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D，E分別在邊BC，AC的延長線上，AD＝AE.
(1)若∠BAD＝120°，求∠EDC的度數(shù)；
(2)猜想∠BAD與∠EDC的關系，并說明理由．
解：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，
∵AD＝AE，∴∠E＝∠ADE，
∵∠B＋∠ACB＋∠BAC＝180°，∠E＋∠ADE＋∠CAD＝180°，
∴2∠ACB＋2∠E＋∠BAD＝360°，
∵∠DCE＝∠ACB，
∴2(∠DCE＋∠E)＋∠BAD＝360°，
∵∠BAD＝120°，
∴∠DCE＋∠E＝120°，
∴∠EDC＝180°－120°＝60°；
(2)∠BAD＝2∠EDC，理由如下：
由(1)知2(∠DCE＋∠E)＋∠BAD＝360°，
∴2(180°－∠EDC)＋∠BAD＝360°，
∴∠BAD＝2∠EDC.
14．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上任意一點，過D分別向AB，AC引垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，CG是AB邊上的高．
(1)DE，DF，CG的長之間的等量關系是 ；
(2)若D在底邊BC的延長線上，其他條件不變，試
猜測DE，DF，CG的長之間的等量關系，并說明理
由．
15．[2025·鄂爾多斯期中]已知Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點D為直線BC上的一動點(點D不與點B，C重合)，以AD為邊作Rt△ADE，AD＝AE，連接CE.
(1)發(fā)現(xiàn)問題：如圖1，當點D在邊BC上時，
①請寫出BD和CE之間的數(shù)量關系 ，位置關系 ；
②線段CE，CD，BC之間的關系是 ；
(2)嘗試探究：如圖2，當點D在邊BC的延長線上且其他條件不變時，(1)中CE，CD，BC之間存在的數(shù)量關系是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；
(3)拓展延伸：如圖3，當點D在邊CB的延長線上且其他條件不變時，若BC＝4，CE＝2，求線段CD的長．
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，
∴∠BCE＝45°＋45°＝90°，
即BD⊥CE.
故答案為：BD＝CE，BD⊥CE；
②由①可得，△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE，
∴BC＝BD＋CD＝CE＋CD，
故答案為：BC＝CD＋CE；
(2)不成立，存在的數(shù)量關系為CE＝BC＋CD.
理由：
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴BD＝CE，
∴CD＝BC＋BD＝BC＋CE，
∵BC＝4，CE＝2，
∴CD＝4＋2＝6.(共38張PPT)
第2課時　等腰三角形的判定
1．[2024·巴彥淖爾期中]下列條件能判斷△ABC為等腰三角形的是(　　)
A．∠A＝30°，∠B＝60°
B．∠A＝40°，∠B＝80°
C．∠A＝50°，∠B＝65°
D．∠A＝60°，∠B＝70°
2．[2024·藍田縣期中]如圖是一個蹺蹺板的示意圖，立柱OC與地面垂直(OC⊥AC于點C)，蹺蹺板的一頭A著地時∠OAC＝27°，當蹺蹺板的另一頭B在B′處著地時，點A，C，B′在同一水平線上，∠OB′C＝∠OAC，若OA＝1 m，則AB的長度為(　　)
A．1.5 m B．2 m
C．2.5 m D．3 m
3．[2024·石獅市期末]如圖，點A，B在方格圖的格點上，在此圖中再確定一格點C，使得△ABC是等腰三角形，則滿足條件的格點C共有(　　)
A．4個 B．5個
C．6個 D．7個
4．[2024·廈門期末]如圖，在下列三角形中，若AB＝AC，則不能被一條直線分成兩個小等腰三角形的是(　　)
5．[2024·寶應縣期末]如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝20°.若某個三角形與△ABC能拼成一個等腰三角形(無重疊)，則拼成的等腰三角形有(　　)
A．4種 B．5種
C．6種 D．7種
解析：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝20°，則∠ABC＝70°，
(1)取一個△EFD和△ABC全等，其中EF＝AC，F(xiàn)D＝BC，ED＝AB，∠F＝∠C＝90°，
此時有兩種拼圖方法：
①將EF與AC拼接在一起，如圖1所示：
∵AB＝ED，∠ACB＝∠EFD＝90°，
∴點B，C(F)，D在一條直線上，
∴△ABD為等腰三角形；
②將DF與BC拼接在一起，如圖2所示：
∵AB＝ED，∠ACB＝∠EFD＝90°，
∴點A，C(F)，D在一條直線上，
∴△ABE為等腰三角形；
(2)取一個△EFD，使AC＝EF，∠F＝90°，∠D＝55°，∠E＝35°，
將EF與AC拼接在一起，如圖3所示：
∵∠ACB＝∠EFD＝90°，
∴點B，C(F)，D在一條直線上，
此時∠BAD＝∠BAC＋∠FED＝20°＋35°＝55°，
∴∠BAD＝∠D＝55°，
∴△ABD為等腰三角形；
(3)取一個△EFD，使EF＝BC，∠F＝90°，∠D＝80°，∠E＝10°，
將EF與BC拼接在一起，如圖4所示：
∵∠ACB＝∠EFD＝90°，
∴點A，C(F)，D在一條直線上，
此時∠ABD＝∠ABC＋∠FED＝70°＋10°＝80°，
∴∠ABD＝∠D，
∴△ABD為等腰三角形；
(4)取一個△EFD，使EF＝AC，∠F＝90°，∠D＝40°，∠E＝50°，
將EF與AC拼接在一起，如圖5所示：
∵∠ACB＝∠EFD＝90°，
∴點B，C(F)，D在一條直線上，
此時∠BAD＝∠BAC＋∠FED＝20°＋50°＝70°，
∴∠BAD＝∠ABC，
∴△ABD為等腰三角形；
(5)取一個△EFD，使EF＝AB，∠F＝110°，∠D＝45°，∠E＝25°，
將EF與AB拼接在一起，如圖6所示：
∵∠EFD＝110°，∠ABC＝70°，
∴∠EFD＋∠ABC＝180°，
∴點C，B(F)，D在一條直線上，
此時∠CAD＝∠BAC＋∠FED＝20°＋25°＝45°，
∴∠CAD＝∠D，
∴△ACD為等腰三角形；
(6)取一個△EFD，使EF＝BC，∠D＝20°，∠E＝110°，∠F＝50°，
將EF與BC拼接在一起，如圖7所示：
∵∠FED＝110°，∠ABC＝70°，
∴∠FED＋∠ABC＝180°，
∴點A，B(E)，D在一條直線上，
此時∠D＝∠A＝20°，
∴△ACD為等腰三角形；
綜上所述：拼成的等腰三角形有7種．
6．[2024·林州期末]如圖，在△ABC中，BC＝15厘米，BP，CP
分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，且PD∥AB，PE∥AC，則△PDE
的周長為______．
15 cm
7．[2024·閻良區(qū)期末]如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直
平分線MN分別交AC，AB于D，E，連接BD，DF⊥BC于點F，若∠A
＝36°，則下列結論：①∠C＝72°　②△ABD和△BCD也都是等
腰三角形　③DE＝DF.其中所有正確結論的序號有_______．
①②③
8．[2023·余干縣期中]如圖已知P為射線BM上一動點(P不與B重
合)，∠AOB＝30°，∠ABM＝60°，當以A，O，B三個點中的某兩
個點與P點為頂點的三角形是等腰三角形時，∠OAP的度數(shù)為_____
______________．
75°
或120°或90°
②OA＝AP，
∵∠AOB＝30°，OA＝AP，
∴∠APO＝∠AOB＝30°，
∴∠OAP＝180°－∠AOB－∠APO
＝180°－30°－30°＝120°；
③AB＝AP，
∵∠ABM＝60°，AB＝AP，
∴∠APO＝∠ABM＝60°，
∴∠OAP＝180°－∠AOB－∠APO
＝180°－30°－60°＝90°；
⑤AP＝BP，
∵∠ABM＝60°，AP＝BP，
∴∠ABM＝∠PAB＝60°，
∴∠APO＝180°－60°－60°＝60°，
∴∠OAP＝180°－∠AOB－∠APO＝180°－30°－60°＝90°；
綜上所述，當∠OAP＝75°或120°或90°時，以A，O，B中的任意兩點和P點為頂點的三角形是等腰三角形．
9．[2024·宿豫區(qū)期中]如圖，在△ABC中，CE平分∠ACB，交AB于點E，EG∥BC，交AC于點G
(1)求證：EG＝CG；
(2)延長EG交CF于點H，若點G是EH的中點，
求證：CF平分∠ACD.
證明：(1)∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠ECB，
∵EG∥BC，∴∠GEC＝∠ECB，
∴∠GEC＝∠ACE，
∴EG＝CG；
(2)由(1)知EG＝CG，
∠GEC＝∠GCE，
∵點G是EH的中點，
∴EG＝GH，
∴CG＝GH，
∴∠GCH＝∠GHC，
∴∠GCE＋∠GCH＝90°，
∴∠ECB＋∠HCD＝90°，
∵∠ACE＝∠ECB，
∴∠ACH＝∠HCD，
∴CF平分∠ACD.
10．[2024·朝陽區(qū)期末]如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D，E，F(xiàn)分別在AB，BC，AC邊上，且BE＝CF，BD＝CE.
(1)求證：△DEF是等腰三角形；
(2)當∠A＝50°時，求∠DEF的度數(shù)．
11．[2023·沂水縣期末]已知在△ABC中，AB＝AC，點D是邊AB上一點，∠BCD＝∠A.
(1)如圖1，試說明CD＝CB；
(2)如圖2，過點B作BE⊥AC，垂足為點E，BE與CD相交于點F.
①試說明∠BCD＝2∠CBE；
②如果△BDF是等腰三角形，
求∠A的度數(shù)．
解：(1)∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠BDC是△ADC的一個外角，
∴∠BDC＝∠A＋∠ACD，
∵∠ACB＝∠BCD＋∠ACD，∠BCD＝∠A，
∴∠BDC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠BDC，
∴CD＝CB；
(2)①∵BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，
∴∠CBE＋∠ACB＝90°，
設∠CBE＝α，則∠ACB＝90°－α，
∴∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°－α，
∴∠BCD＝180°－∠BDC－∠ABC＝180°－(90°－α)－
(90°－α)＝2α，
∴∠BCD＝2∠CBE；
②設∠CBE＝α，
由①得∠BCD＝2α，∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°－α，
∴∠DFB＝3α，∠DBF＝90°－2α，
分三種情況：
當BD＝BF時，
∠BDF＝∠DFB，
∴90°－α＝3α，
∴α＝22.5°，
∴∠A＝∠BCD＝2α＝45°；
當DB＝DF時，
∠DBF＝∠DFB，
∴90°－2α＝3α，
∴α＝18°，
∴∠A＝∠BCD＝2α＝36°；
當FB＝FD時，∠DBE＝∠BDF，
∵∠BDF＝∠ABC＞∠DBF，
∴不存在FB＝FD，
綜上所述，如果△BDF是等腰三角形，∠A的度數(shù)為45°或36°.
12．[2025·通遼期末]閱讀下面材料，完成相應任務：
尺規(guī)作圖
尺規(guī)作圖是指用無刻度的直尺和圓規(guī)進行作圖．無刻度的直尺不具有度量長度的功能，它用來作經(jīng)過兩點的直線、射線或線段、圓規(guī)用來畫弧、圓規(guī)的兩腳還可以截取線段或兩點之間的長度．尺規(guī)作圖的關鍵是確定線與線，線與弧，弧與弧的交點，從而構造出符合要求的圖形.
數(shù)學課上，在用尺規(guī)作角的平分線時，同學們自主探究出很多不同于教材的作法.
已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分線.
小明的作法：如圖①，在射線OA上取點C，E，分別以O為圓心，OC，OE長為半徑畫弧，交射線OB于點D，F(xiàn)，連接CF，DE交于點P，過點P畫射線OP，則射線OP為∠AOB的平分線.
小華的思路：如圖②，在OA上任取一點E，在E的右側作射線EM，使得∠AEM＝∠AOB，在射線EM上取一點P，使EP＝OE，過點P畫射線OP，則射線OP是∠AOB的平分線.
趙老師因勢利導，引導同學們對各種作法進行研究，感受它們的異同并進行了拓展訓練.
任務一：小明的作法中，可以得出△OED≌△OFC，請你寫出證明過程；
任務二：根據(jù)小華的思路完成下列問題：
(1)根據(jù)小華的作法，證明OP是∠AOB的平分線；
(2)拓展訓練：如圖③，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，EF經(jīng)過點O，與AB，AC相交于點E，F(xiàn)，
且EF∥BC.當AB＝7，AC＝6，求△AEF的周長．
答案：任務一：由作圖得：OC＝OD，OE＝OF，
∵∠AOB＝∠BOA，
∴△OED≌△OFC(SAS)；
任務二：
(1)∵∠AEM＝∠AOB，
∴EP∥OB.
∴∠BOP＝∠EPO.
∵OE＝EP，
∴∠AOP＝∠EPO.
∴∠AOP＝∠BOP.
即OP是∠AOB的平分線；
(2)∵BO平分∠ABC，
∴∠EBO＝∠OBC.
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC.
∴∠EOB＝∠EBO，
∴OE＝BE.
同理可證：OF＝CF.
∴△AEF的周長＝AF＋OF＋OE＋AE＝AF＋CF＋BE＋AE
＝AC＋AB＝13.

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