資源簡介

2024-2025學年高二上學期期末監測數學試題
一、單選題
1．已知空間向量，則（ ）
A． B． C．2 D．14
2．若直線經過點，，則直線的斜率是（ ）
A． B． C． D．
3．已知數列，，，，，…，，…，則該數列的第40項是（ ）
A． B． C．11 D．5
4．圓與圓的位置關系是（ ）
A．內含 B．內切 C．外離 D．相交
5．如圖，在四面體中，是的中點.設，，，則（ ）

A． B．
C． D．
6．若橢圓的左焦點的坐標為，則的值為（ ）
A．1 B．1或5 C．5 D．3或5
7．已知平面經過點，且它的法向量，是平面內任意一點，則（ ）
A． B．
C． D．
8．設為數列的前項和，若，則（ ）
A．4 B．8 C． D．
二、多選題
9．已知空間向量，，，且，則下列說法正確的有（ ）
A． B． C． D．
10．已知數列的前項和，則下列說法正確的有（ ）
A．是遞減數列 B．是等比數列
C． D．
11．已知拋物線：過點，焦點為，準線為，過點的直線交于，兩點，，分別交于，兩點，則（ ）
A． B．最小值為4
C．準線的方程為 D．以為直徑的圓恒過定點，
三、填空題
12．點到直線的距離是 .
13．已知雙曲線C：的離心率為，直線與C交于A，B兩點且，則C的方程為 .
14．已知等差數列，其前項和為，，則 ， .
四、解答題
15．已知點，，.
(1)求直線的一般方程；
(2)求外接圓的一般方程.
16．數列滿足：，，設.
(1)求證：是等比數列；
(2)求的通項公式及前項和.
17．如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AC＝4，AB＝3，BC＝5，點D是線段BC的中點．
(1)求證：AB⊥A1C；
(2)求二面角D﹣CA1﹣A的余弦值；
18．動點與定點的距離和它到定直線：的距離的比是，動點的軌跡記為曲線．
(1)求動點的軌跡；
(2)已知直線與曲線交于不同的兩點，且線段的中點在圓上，求實數的值．
19．已知橢圓的離心率.
(1)若橢圓過點，求橢圓的標準方程.
(2)若直線均過點且互相垂直，直線交橢圓于兩點，直線交橢圓于兩點，分別為弦和的中點，直線與軸交于點，設.
①求；
②記，求數列的前項和.
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C D C C A B ABD ABC
題號 11
答案 BCD
1．B
根據模長公式即可求解.
【詳解】,
故選：B
2．D
根據斜率公式即可求解.
【詳解】由于直線經過點，，故斜率為，
故選：D
3．C
利用觀察法求出數列的通項公式，進而求出第40項.
【詳解】依題意，所給數列的通項公式為，
所以該數列的第40項.
故選：C
4．D
根據圓心距和半徑的關系即可求解.
【詳解】的圓心和半徑為，，的圓心和半徑為，,
故,,故兩圓相交，
故選：D
5．C
根據空間向量的線性關系即可求解.
【詳解】,
故選：C
6．C
根據焦點位置確定，利用關系即可求出結果.
【詳解】根據左焦點的坐標為，可得，且焦點在軸上，
結合橢圓標準方程可得，故.
故選：C.
7．A
根據法向量的性質可得，即可根據向量垂直的坐標運算求解.
【詳解】解析：因為，，所以.
平面的法向量，則，
所以，即.
故選：A.
8．B
根據的關系可得遞推公式，利用遞推公式可得.
【詳解】當時，，所以，
整理得，所以.
故選：B．
9．ABD
根據空間向量的坐標運算，即可結合選項逐一求解.
【詳解】對于A，，故A正確，
對于B，由于，則，故，B正確，
對于C，，故與不垂直，故C錯誤，
對于D，，D正確，
故選：ABD
10．ABC
對于A，利用作差法判斷即可；對于BCD，利用與的關系求得，從而對選項逐一分析檢驗即可.
【詳解】對于A，因為，所以，
故，則，
所以是遞減數列，故A正確；
對于B，當時，，
當時，，
經檢驗，滿足，
所以，
故當時，，所以是等比數列，故B正確；
對于C，由選項B知，故C正確；
對于D，因為，，
所以，故D錯誤.
故選：ABC.
11．BCD
對于A，將點代入拋物線方程中可求出的值；對于B，當為通徑時，其取最小值；對于C，由于，從而可得準線方程；對于D，設直線的方程為，，，由題意可求出，，從而可得以為直徑的圓的方程，整理后可得其過定點
【詳解】把點代入曲線可得，∴，故A錯誤；
拋物線的方程為，把代入可得，∴，可知最小值為4，故B正確；
準線的方程為，故C正確；
當直線的斜率存在時，可設直線的方程為，，，聯立
可得，，，直線的方程為，同理直線的方程為，令，可得，，則以為直徑的圓的方程為，整理可得，令，可得或，故圓過定點，．當直線的斜率不存在時，將直線的方程代入拋物線方程可得，，可得，，以點為直徑的圓方程，顯然過兩定點，，選項D正確，
故選：BCD．
12．
根據點到直線的距離公式即可求解.
【詳解】到直線的距離為，
故答案為：
13．
由雙曲線的對稱性，可得，再由雙曲線的性質可解.
【詳解】根據題意，由雙曲線的對稱性，可得，
∴，∴，雙曲線：.
故答案為：
14．
根據等差數列下標和性質求出，再根據求和公式及下標和性質計算可得.
【詳解】在等差數列中，又，所以，
又，
所以.
故答案為：；
15．(1)
(2)
（1）根據兩點式直線方程的特征即可求解，
（2）利用待定系數法即可列方程求解.
【詳解】（1）由題意，得.
化簡，得直線的一般式方程為.
（2）設外接圓的一般方程為.①
因為，，三點都在圓上，所以它們的坐標都滿足方程①，于是，
得，
即，解得.
故所求圓的一般方程為.
16．(1)證明見解析
(2)，
（1）利用等比數列的定義可證得結論成立；
（2）利用（1）中的結論可求出數列的通項公式，由此可求得數列的通項公式，利用分組求和法可求得.
【詳解】（1）因為，所以，即.
又因為，所以，故是首項為，公比為的等比數列.
（2）由（1）得，，即，所以，
所以.
.
17．(1)證明見解析
(2)
（1）由條件先證明底面，從而可證明.
（2）取的中,則可得面，過作,垂足為，連結,所以為D﹣CA1﹣A的平面角，然后在直角三角形中求解即可
【詳解】（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面,底面,則
又AC＝4，AB＝3，BC＝5，則,所以
又,所以面
面,所以
（2）點D是線段BC的中點．取的中，則,且
由（1）可知面，則面
過作,垂足為，連結,
所以為D﹣CA1﹣A的平面角
由AA1＝AC＝4，則,則為等腰三角形，且,
所以, 直角三角形中,
在直角三角形中,
18．(1)M的軌跡是焦點在軸上，實軸長為2、虛軸長為的雙曲線
(2)
（1）設是點到直線的距離，由題意得到，轉化成方程即可；
（2）聯立直線與的方程，通過韋達定理求得中點坐標，代入圓方程即可.
【詳解】（1）解：設是點到直線的距離，則動點的軌跡就是點的集合，
由此得，
兩邊平方，并化簡，得，即，
即點M的軌跡是焦點在軸上，實軸長為2、虛軸長為的雙曲線；
（2）設曲線與直線的交點分別為，，
則，得，
∴，
∴，
∴線段的中點坐標為，
又∵線段的中點在圓上，
∴，解得.

19．(1)
(2)①；②
【詳解】（1）因，可得： ①，
又橢圓過點，可得 ②，
聯立①，②，解得，
故橢圓的標準方程為；
（2）①當直線中一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0時，
直線與軸重合，不符合題意，故直線的斜率均存在且不為0.
設直線的方程為，
聯立，消去，整理得：，
因直線交橢圓于兩點，則，且，則，
因直線的方程為，同理可得：，
因三點共線，則，即，
易知，則，
因，則；
②結合①可知，則 ，
因，則數列是首項為9，公比為3的等比數列，
所以數列的前項和為.

展開更多......

收起↑