資源簡介

4.5 相似三角形判定定理的證明
素養目標
1.知道三個相似三角形判定定理的證明方法和過程.
2.在不同的問題情境中,選取不同的相似三角形判定定理進行推理、證明與探究.
◎重點::運用三角形相似的判定定理解決問題.
【預習導學】
知識點：證明兩個三角形相似
閱讀教材本課時相關內容,思考下列問題.
1.根據相似三角形的定義可知:若△ABC∽△A'B'C',△A''B''C''∽△A'B'C',則　　　　,即相似三角形具有　　　　.
2.證明三角形相似的問題,常見的判定方法有:
①平行線法:平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交,所構成的三角形與原三角形相似;相似的基本圖形可分別記為“A”型和“X”型,在應用時要善于從復雜的圖形中抽象出這些基本圖形.
②三邊法:三組對應邊的比相等的兩個三角形相似.
③兩邊及其夾角法:兩組對應邊的比相等且其夾角對應相等的兩個三角形相似.
④兩角法:有兩組角對應相等的兩個三角形相似.
　如圖,在 ABCD中,BE⊥CD,垂足為E,連接AE,F為AE上一點,∠BFE=∠C.
(1)△ABF與△EAD相似嗎 為什么
(2)若AB=3,AD=2,∠BAE=30°,求AE,BF的長.
　　　　
　　　　
　　　　
　　　　
【合作探究】
任務驅動一：如圖,點D在△ABC的邊AC上,要判斷△ADB與△ABC相似,添加一個條件,不正確的是 (　　)
A.∠ABD=∠C
B.∠ADB=∠ABC
C.=
D.=
變式訓練　
如圖,∠1=∠2,添加一個條件使得△ADE∽△ACB,這個條件為∠D=∠C或∠E=∠B或　　　　.
任務驅動二：如圖,已知==,求證:∠BAD=∠CAE.
　　　　
任務驅動三：如圖,E是矩形ABCD的邊CD上一點,BF⊥AE于點F,試說明:△ABF∽△EAD.
　　　　
　　　　
　　　　
任務驅動四：如圖,AD∥BC,∠D=90°,DC=7,AD=2,BC=4.若在邊DC上有點P使△PAD和△PBC相似,則存在多少個這樣的點P
　　　　
　　　　
1.如圖,在矩形ABCD中,E是邊AD上的任意一點,連接BE,過點E作BE的垂線交BC的延長線于點F,交邊CD于點P,則圖中共有相似三角形 (　　)
A.6對 B.5對
C.4對 D.3對
2.如圖,正方形ABCD的邊長為2,AE=EB,線段MN的兩端點分別在CB、CD上滑動,且MN=1,當CM為何值時△AED與以M、N、C為頂點的三角形相似
　　　　
參考答案
【預習導學】
知識點
1.△A''B''C''∽△ABC　傳遞性
對點自測
解:(1)相似.
理由:在平行四邊形ABCD中,
∵∠D+∠C=180°,AB∥CD,
∴∠BAF=∠AED.
∵∠AFB+∠BFE=180°,∠D+∠C=180°,∠BFE=∠C,
∴∠AFB=∠D,
∴△ABF∽△EAD.
(2)∵△ABF∽△EAD,
∴=.
∵AB=3,∠BAE=30°,
∴BE=,AE=2,
∴=,
∴BF=.
【合作探究】
任務驅動一
C
變式訓練　=
任務驅動二
證明:∵==,
∴△ABC ∽△ADE,∴∠BAC=∠DAE.
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,
∴∠BAD=∠CAE.
任務驅動三
證明:∵在矩形ABCD中,AB∥CD,∠D=90°,
∴∠BAF=∠AED.
∵BF⊥AE,
∴∠AFB=90°,
∴∠AFB=∠D,
∴△ABF∽△EAD.
任務驅動四
解:∵AD∥BC,∠D=90°,∴∠C=∠D=90°.
∵DC=7,AD=2,BC=4,設PD=x,
∴PC=7-x.
①若PD∶PC=AD∶BC,則△PAD∽△PBC,
∴=,解得PD=;
②若PD∶BC=AD∶PC,則△PAD∽△BPC,
∴=,解得PD=.
∴存在3個這樣的點P.
素養小測
1.A
2.解:∵AE=EB,∴AD=2AE,
又△AED與以M、N、C為頂點的三角形相似,
∴當CM與AD是對應邊時,CM=2CN,
∴CM2+CN2=MN2=1,
即CM2+CM2=1,
解得CM=;
當CM與AE是對應邊時,CM=CN,
∴CM2+CN2=MN2=1,
即CM2+4CM2=1,解得CM=.
∴當CM為或時,△AED與以M、N、C為頂點的三角形相似.

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