資源簡介

4.6 利用相似三角形測高
素養目標
1.建立陽光測高、標桿測高、鏡子反射測高等數學問題的模型.
2.能夠運用三角形相似的知識,解決不能直接測量的物體長度和高度(如測量金字塔高度問題、測量河寬問題)等的一些實際問題.
◎重點::應用相似三角形的判定、性質等知識解決實際問題.
【預習導學】
知識點一：利用陽光下的影子
閱讀教材本課時“方法1”,回答以下問題.
如圖,△ACB與△DBE有什么關系 為什么
　　　　
知識點二：利用標桿
閱讀教材本課時“方法2”,回答以下問題.
如圖,為測量旗桿的高度,需要構造相似三角形,請你在圖中添加適當的輔助線構造相似三角形,并寫出相似三角形及求旗桿高度的關系式.
知識點三：利用鏡子反射
閱讀教材本課時“方法3”,回答以下問題.
如圖,說說△ACB∽△DBE的理由.
　如圖,小李打網球時,球恰好打過網,且落在離網4 m的位置上,則球拍擊球的高度h為　　　　m.
【合作探究】
任務驅動一：如圖,小華在地面上放置一個平面鏡E來測量居民樓AB的高度,鏡子與居民樓的距離EB=20 m,鏡子與小華的距離ED=2 m時,小華剛好從鏡子中看到居民樓頂端點A.已知小華的眼睛距地面的高度CD=1.5 m,求居民樓AB的高度.
任務驅動二：如圖,陽光從教室的窗戶射入室內,窗戶框AB在地面上的影長DE=1.8 m,窗戶下檐到地面的距離BC=1 m,EC=1.2 m,求窗戶的高AB.
　　　　
任務驅動三：小明想利用太陽光測量樓高.他帶著皮尺來到一棟樓下,發現對面墻上有這棟樓的影子,針對這種情況,他設計了一種測量方案,具體測量情況如下:
如示意圖,小明邊移動邊觀察,發現站到點E處時,可以使自己落在墻上的影子與這棟樓落在墻上的影子重疊,且高度恰好相同.此時,測得小明落在墻上的影子高度CD=1.2 m,CE=0.8 m,CA=30 m(點A、E、C在同一直線上).已知小明的身高EF是1.7 m,請你幫小明求出樓高AB.(結果精確到0.1 m)
　　　　
方法歸納交流　利用相似三角形的性質可以解決實際應用問題,關鍵是運用所學知識與具體的實物聯系在一起,通過正確地畫出幾何圖形,將已知與未知融入其中,同時利用相似三角形的對應邊成比例的知識列出關系式,構造出方程,從而根據問題求解.
　《孫子算經》是我國古代重要的數學著作,其有題譯文如下:“有一根竹竿在太陽下的影子長15尺,同時立一根1.5尺的小標桿,它的影長是0.5尺(如圖).”則可求得這根竹竿的長度為 (　　)
A.5尺
B.4.5尺
C.50尺
D.45尺
參考答案
【預習導學】
知識點一
相似.因為光線平行,可得∠DEB=∠CBA,AC與BD都垂直于地面,故∠DBE=∠BCA=90°,根據兩角對應相等可得△ACB∽△DBE.
知識點二
過點E作EG垂直于AB于點G,交CD于點H,可得到直角三角形EGA和矩形EGBF,因CD平行于AB,可得△EAG∽△ECH,根據相似三角形的性質可得=.
知識點三
∵入射角=反射角,
∴∠ABC=∠EBD.
∵DE、AC都垂直于地面,
∴∠E=∠C=90°,∴△ACB∽△DEB.
對點自測　1.4
【合作探究】
任務驅動一
解:由題意可知CE可看作入射光線,EA為反射光線,如圖,可作法線EF,則EF⊥BD,由物理知識可知∠1=∠2,所以∠CED=∠AEB,又CD⊥DE,AB⊥BE,所以△CDE∽△ABE,則=,即=,所以AB=15 m.
任務驅動二
解:∵BE∥AD,∴△BCE∽△ACD,∴=,即=,且BC=1,DE=1.8,EC=1.2,∴=,∴1.2AB=1.8,
∴AB=1.5(m).
任務驅動三
解:如圖,過點D作DG⊥AB,分別交AB、EF于點G、H,
則EH=AG=CD=1.2,DH=CE=0.8,DG=CA=30,∵EF∥AB,∴=.
由題意,知FH=EF-EH=1.7-1.2=0.5,
∴=,解得BG=18.75,
∴AB=BG+AG=18.75+1.2=19.95≈20.0,
∴樓高AB約為20.0米.
素養小測
D

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