資源簡介

廣東省廣州市黃廣牛劍高級中學2024-2025學年高二上學期10月聯考數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．（2024高二上·廣州月考）已知平面直角坐標系內兩點，，則過點且與直線垂直的直線的方程為（　　）
A． B． C． D．
2．（2024高二上·廣州月考）已知空間向量，，則B點到直線的距離為（　　）
A． B． C． D．
3．（2024高二上·廣州月考）直線關于軸對稱的直線方程是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024高二上·廣州月考）如圖，一個電路中有三個電器元件，每個元件正常工作的概率均為，這個電路是通路的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024高二上·廣州月考）如圖，在三棱錐中，設，若，，則（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024高二上·廣州月考）某射擊運動員射擊6次，命中的環數如下：7，9，6，9，10，7，則關于這組數據的說法正確的是（　　）
A．極差為10 B．中位數為7.5 C．平均數為8.5 D．標準差為
7．（2024高二上·廣州月考）設，若過定點A的動直線和過定點B的動直線交于點，AB中點為Q，則的值為（　　）
A． B．
C． D．與m的取值有關
8．（2024高二上·廣州月考）已知甲袋中有標號分別為1，2，3，4的四個小球，乙袋中有標號分別為2，3，4，5的四個小球，這些球除標號外完全相同，第一次從甲袋中取出一個小球，第二次從乙袋中取出一個小球，事件表示“第一次取出的小球標號為3”，事件表示“第二次取出的小球標號為偶數”，事件表示“兩次取出的小球標號之和為7”，事件表示“兩次取出的小球標號之和為偶數”，則（　　）
A．與相互獨立 B．與是互斥事件
C．與是對立事件 D．與相互獨立
二、多選題：本題共3小題，共15分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.
9．（2024高二上·廣州月考）下列命題不正確的是（　　）
A．經過定點的直線都可以用方程表示
B．直線過點，傾斜角為，則其方程為
C．在坐標軸上截距相等的直線都可以用方程來表示
D．直線在軸上截距為2
10．（2024高二上·廣州月考）已知事件 ， ，且 ， ，則下列結論正確的是（　　）
A．如果 ，那么 ，
B．如果 與 互斥，那么 ，
C．如果 與 相互獨立，那么 ，
D．如果 與 相互獨立，那么 ，
11．（2024高二上·廣州月考）已知在棱長為1的正方體中，為正方體內及表面上一點，且，其中，，則下列說法正確的是（　　）
A．當時，對任意，恒成立
B．當時，與平面所成的最大角的正弦值為
C．當時，線段上的點與線段上的點的距離最小值為
D．當時，存在唯一的點，使得平面平面
三、填空題：本小題共3小題，每小題5分，共15分．
12．（2024高二上·廣州月考）已知向量，且，則　 　．
13．（2024高二上·廣州月考）盒中裝有5個大小、質地相同的小球，其中3個白球和2個黑球．兩位同學先后輪流不放回摸球，每次摸一球，當摸出第二個黑球時結束游戲，或能判斷出第二個黑球被哪位同學摸到時游戲也結束．設游戲結束時兩位同學摸球的總次數為，則　 　．
14．（2024高二上·廣州月考）已知，及兩直線：，：，作直線垂直于，，且垂足分別為C、D，則　 　，的最小值為　 　
四、解答題：本小題共5小題，共60分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15．（2024高二上·廣州月考）已知直線：與：的交點為.
（1）求過點且平行于直線：的直線方程；
（2）求過點且垂直于直線：直線方程；
（3）求平行于且與其距離為3的直線方程.
16．（2024高二上·廣州月考）如圖，三棱錐中，平面，是棱上一點，且.
（1）證明：平面；
（2）若，求與平面所成角的正弦值.
17．（2024高二上·廣州月考）一家水果店為了解本店蘋果的日銷售情況，記錄了過去200天的日銷售量（單位：kg），將全部數據按區間分成5組，得到圖所示的頻率分布直方圖．
（1）求圖中a的值；并估計該水果店過去200天蘋果日銷售量的平均數（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）；
（2）若一次進貨太多，水果不新鮮，進貨太少，又不能滿足顧客的需求.店長希望每天的蘋果盡量新鮮，又能85%地滿足顧客的需要（在100天中，大約有85天可以滿足顧客的需求）.請問，每天應該進多少水果
（3）在日銷售量為蘋果中用分層抽樣方式隨機抽6個蘋果，再從這6蘋果中隨機抽取2個蘋果，求抽取2個蘋果都來自日銷售量在的概率.
18．（2024高二上·廣州月考）如圖所示，在四棱錐中，側面平面，是邊長為2的等邊三角形，底面為直角梯形，其中，，．
（1）取線段中點，連接，判斷直線與平面是否平行并說明理由；
（2）求到平面的距離；
（3）線段上是否存在一點，使得平面與平面夾角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
19．（2024高二上·廣州月考）已知點P和非零實數，若兩條不同的直線，均過點P，且斜率之積為，則稱直線，是一組“共軛線對”，如直線：，：是一組“共軛線對”，其中O是坐標原點.
（1）已知，是一組“共軛線對”，求，的夾角的最小值；
（2）已知點 點和點分別是三條直線PQ，QR，RP上的點（A，B，C與P，Q，R均不重合），且直線PR，PQ是“共軛線對”，直線QP，QR是“共軛線對”，直線RP，RQ是“共軛線對”，求點P的坐標；
（3）已知點，直線，是“共軛線對”，當的斜率變化時，求原點O到直線，的距離之積的取值范圍.
答案解析部分
1．【答案】A
【知識點】用斜率判定兩直線垂直；直線的點斜式方程；直線的一般式方程
【解析】【解答】解：由題意知，，，
則直線的斜率，
因為直線與直線垂直，根據兩直線垂直，若存在斜率，
則兩斜率乘積為，所以直線的斜率，
由直線經過點，
則由點斜式方程可得直線的方程為，即.
故答案為：A.
【分析】利用兩點確定出直線的斜率，再利用兩直線垂直斜率之積等于-1，從而求出的值，最后由點斜式方程得出過點且與直線垂直的直線的方程.
2．【答案】A
【知識點】空間向量的夾角與距離求解公式
【解析】【解答】解：因為，，
所以在上的投影向量的模為，
則點B到直線的距離為.
故答案為：A.
【分析】利用數量積求投影向量的模的公式，從而得出在上的投影向量的模，再利用勾股定理得出點B到直線的距離.
3．【答案】C
【知識點】與直線關于點、直線對稱的直線方程
【解析】【解答】解：設是所求直線上任意一點，
則關于軸對稱的點為，且在直線上，
代入可得，
則直線關于軸對稱的直線方程為.
故答案為：C.
【分析】設是所求直線上任意一點，再結合點對稱性和已知條件，從而代入得出直線關于軸對稱的直線方程.
4．【答案】B
【知識點】互斥事件與對立事件；相互獨立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：因為元件都不正常的概率，
則元件至少有一個正常工作的概率為，
又因為電路是通路，
則元件正常工作，元件至少有一個正常工作同時發生，
所以這個電路是通路的概率.
故答案為：B.
【分析】根據已知條件和對立事件求概率公式以及相互獨立事件乘法求概率公式，從而得出這個電路是通路的概率.
5．【答案】C
【知識點】空間向量基本定理
【解析】【解答】解：連接，
則
.
故答案為：C.
【分析】由題意結合空間向量的線性運算和空間向量基本定理，從而找出正確的選項.
6．【答案】D
【知識點】眾數、中位數、平均數；極差、方差與標準差
【解析】【解答】解：命中的環數從小到大排列為：6，7，7，9，9，10，
A、極差為，故A錯誤；
B、中位數為，故B錯誤；
C、平均數為，故C錯誤；
D、標準差為，故D正確.
故答案為：D.
【分析】先將數據從小到大排列，再利用極差、中位數、平均數、標準差的定義逐項計算判斷即可.
7．【答案】A
【知識點】過兩條直線交點的直線系方程；恒過定點的直線；平面內兩點間距離公式的應用
【解析】【解答】解：因為經過的定點為，所以，
將直線變形為，
所以，直線經過定點，故，
因為，所以兩直線垂直，如圖，
因此為直角三角形，
所以.
故答案為：A.
【分析】先求解出直線經過的定點坐標，再根據兩直線垂直得出為直角三角形，再結合中點的性質和兩點距離公式，從而得出的值.
8．【答案】D
【知識點】互斥事件與對立事件；相互獨立事件
【解析】【解答】解：由題意可得基本事件總數為，
設，
，
，
，
由題意可得與可以同時發生，故不是互斥事件，故B錯誤；
易知與不同時發生，即與為互斥事件，
但不是對立事件，比如當發生時與均不發生，故C錯誤；
又因為，
則，，
所以與不相互獨立，與相互獨立，故A錯誤、D正確.
故答案為：D.
【分析】根據已知條件和互斥事件、對立事件以及相互獨立事件的定義，從而逐項判斷找出正確的選項.
9．【答案】A,C,D
【知識點】直線的點斜式方程；直線的斜截式方程；直線的截距式方程
【解析】【解答】解：對于A，因為方程不能表示傾斜角為且過的直線，
故A錯誤；
對于B，因為直線過點，傾斜角為，則其方程為，故B正確；
對于C，當直線在坐標軸上截距相等且為0時，不能用表示，故C錯誤；
對于D，令，得，所以直線在軸上截距為，故D錯誤.
故答案為：ACD．
【分析】根據直線的點斜式方程可以表示斜率存在的所有直線，則判斷出選項A；根據直線的傾斜角為的直線方程表示方法，則判斷出選項B；根據直線的截距式不能表示的直線，則判斷出選項C；根據直線的截距的定義，則判斷出選項D，從而找出假命題的選項.
10．【答案】A,B,D
【知識點】互斥事件的概率加法公式；相互獨立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】A．若 ，則 ， ，A符合題意；
B． 與 互斥，則 ， 是不可能發生的， ，B符合題意；
C． 與 相互獨立，則 ，C不符合題意；
D． 與 相互獨立，則 與 ， 與 也相互獨立， ，同理 ，D符合題意．
故答案為：ABD．
【分析】根據互斥事件與相互獨立事件的概念及概率公式判斷，即可得到答案。
11．【答案】A,C,D
【知識點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；空間中直線與直線之間的位置關系；直線與平面所成的角；與二面角有關的立體幾何綜合題；點、線、面間的距離計算
【解析】【解答】解：因為，其中，，
則點在平面上（含邊界）．
對于A，當時，，
則點P在連接的中點的線段上運動，
則，平面，
所以平面，平面，
則，而，平面，
所以平面，平面，
則，故A正確；
對于B，當時，點在線段上，設平面，
因為平面，平面，
所以，
又因為，平面，
所以平面，平面，
則，同理可證，平面，
所以平面，
則在平面上的射影為，
當時，與平面所成的角最大，
因為，
所以，
則，
又因為，
所以，，
則，
所以與平面所成的最大角的正弦值為，故B錯誤；
對于C，當時，點在線段上，因為，
則為平行四邊形，
所以，平面，平面，
則平面，
所以線段上的點與線段上的點的距離最小值為點到平面的距離，
由等體積法，
得（d為點到平面的距離），
則，
所以點到平面的距離為，
則線段上的點與線段上的點的距離最小值為，故C正確；
對于D，設的中點為，當時，，
所以，點在線段上，
因為，平面，平面，
所以平面，
又因為點P是平面和平面的一個交點，
所以平面和平面的交線為過點P和BC平行的直線，
又因為平面，
所以，交線也垂直于平面，
設在平面上的射影為M，
則為平面與平面所成二面角的平面角，
當平面平面時，為直角，此時M點在以AB為直徑的半圓上，
設N為E點在上的投影，則N為的中點，所以M點也在BN上，
顯然BN與以AB為直徑的半圓相交，滿足為直角的點M是唯一的，
則點是唯一的，故D正確.
故答案為：ACD.
【分析】先確定點在平面上（含邊界），再結合線面垂直的性質定理，則判斷出選項A；先確定點P的位置，設平面，再確定當時，與平面所成的角最大，再結合解三角形的方法，則判斷出選項B；將線段上的點與線段上的點的距離轉化為點到平面的距離，再結合等體積法和三棱錐的體積公式，從而得出 線段上的點與線段上的點的距離最小值，則判斷出選項C；先確定點在線段上，再作出兩平面所成二面角的平面角，再結合二面角為直角判斷出BN與以AB為直徑的半圓相交，則滿足為直角的點M是唯一的，從而得出點是唯一的，則判斷出選項D，進而找出說法正確的選項.
12．【答案】
【知識點】空間向量平行的坐標表示
【解析】【解答】解：因為向量共線，
所以，
解得，
所以.
故答案為：.
【分析】根據已知條件結合空間向量共線的充要條件，從而列式計算得出m，n的值，進而得出的值.
13．【答案】
【知識點】互斥事件的概率加法公式；相互獨立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：當時，游戲結束時兩位同學摸球的情況為：白黑黑，黑白黑，白白白，
則.
故答案為：.
【分析】分析出游戲結束時兩位同學摸球的情形，再利用獨立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，從而得出的值.
14．【答案】；
【知識點】兩條直線的交點坐標；平面內兩點間距離公式的應用；平面內兩條平行直線間的距離
【解析】【解答】解：由題意知，兩直線：，：互相平行，
作直線垂直于，，且垂足分別為C、D，如圖所示，
由兩平行線間的距離公式，可得，
因為，及兩直線：，：，
作直線垂直于，，且垂足分別為C、D，
設直線的方程為，
聯立方程組，
解得，同理得出，
所以，
其中表示點與點和之間的距離之和，
當點重合時，取得最小值，
所以的最小值為，
的最小值為．
故答案為，．
【分析】利用兩平行直線間的距離公式求出的值；設直線CD的方程為，從而得出點C坐標和點D坐標，再利用幾何法和兩點距離公式，從而得出的最小值．
15．【答案】（1）解：由 ，
解得，
所以點的坐標是，
因為所求直線與平行，
則設所求直線的方程為，
把點的坐標代入，得 ，則，
則所求直線的方程為．
（2）解：因為所求直線與垂直，
則設所求直線的方程為，
把點的坐標代入得，得，
則所求直線的方程為．
（3）解：設平行于的直線方程為，
由題意可得，
解得或，
則所求直線方程為或.
【知識點】直線的一般式方程；直線的一般式方程與直線的平行關系；直線的一般式方程與直線的垂直關系；兩條直線的交點坐標；平面內兩條平行直線間的距離
【解析】【分析】（1）先聯立兩直線方程得出交點的坐標，再根據所求直線與直線： 平行，則得出兩直線斜率相等，縱截距不相等，從而設所求直線為，再代入點的坐標得出的值，從而確定直線方程.
（2）根據所成直線與已知直線：垂直，再利用兩直線垂直斜率之積等于-1，從而設所求直線為，再代入點的坐標得出的值，從而確定直線方程.
（3）根據兩直線平行關系，設直線方程為，再根據題意結合兩平行線間距離公式，從而得出平行于且與其距離為3的直線方程.
（1）由 解得，所以點的坐標是，
因為所求直線與平行，所以設所求直線的方程為，
把點的坐標代入得 ，得，
故所求直線的方程為．
（2）因為所求直線與垂直，所以設所求直線的方程為，
把點的坐標代入得，得，
故所求直線的方程為．
（3）設平行于的直線方程為，
由題意可得，解得或，
所以所求直線方程為或.
16．【答案】（1）證明：因為，所以，
由，即，
又因為，可得為邊上的高，所以
因為平面且平面所以
又因為且平面，所以平面；
（2）解：因為平面且，
以為坐標原點，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：
因為，可得，
則，
設平面的法向量為，則，
令，可得，所以，
設直線與平面所成角為，則，
故與平面所成角的正弦值為.
【知識點】直線與平面垂直的判定；用空間向量研究直線與平面所成的角
【解析】【分析】（1）根據的面積相等，得到再由平面證得結合線面垂直的判定定理，證明平面即可；
（2）以為坐標原點，建立空間直角坐標系，利用空間向量法求解即可.
（1）證明：因為，所以，
由，即，
又因為，可得為邊上的高，所以
因為平面且平面所以
又因為且平面，所以平面.
（2）解：因為平面且，
以為坐標原點，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，
如圖所示，因為，可得，
則，
設平面的法向量為，則，
令，可得，所以，
設直線與平面所成角為，
則，
故與平面所成角的正弦值為.
【點睛】
17．【答案】（1）解：由直方圖可得，樣本落在，，…，的頻率分別為，，0.2，0.4，0.3，
由，解得，
則樣本落在，，…，頻率分別為0.05，0.05，0.2，0.4，0.3，
所以該蘋果日銷售量的平均值為：
；
（2）解：為了能地滿足顧客的需要，即估計該店蘋果日銷售量的分位數，
依題意，日銷售量不超過的頻率為，
則該店蘋果日銷售量的分位數在，
所以日銷售量的分位數為，
所以每天應該進蘋果；
（3）解：由日銷售量為的頻率分別為0.2，0.4知，
抽取的蘋果來自日銷售量中的有2個，不妨記為，
來自日銷售量為的蘋果有4個，不妨記為，
任意抽取2個蘋果，有，，共有15個基本事件，其中2個蘋果都來自日銷售中的有6個基本事件，則.
【知識點】古典概型及其概率計算公式；用樣本估計總體的百分位數
【解析】【分析】（1）在頻率分布直方圖中，所有矩形的面積和為1，所有矩形的面積乘以其底端中點之和即為平均值；
（2）能地滿足顧客的需要即求該店蘋果日銷售量的分位數，通過矩形的面積和確定分位數在，再利用公式計算即可；
（3）由分層抽樣確定來自日銷售量中的有2個，來自日銷售量為的蘋果有4個，再列出基本事件，根據古典概型概率公式求解即可.
（1）由直方圖可得，樣本落在，，…，的頻率分別為，，0.2，0.4，0.3，
由，解得．
則樣本落在，，…，頻率分別為0.05，0.05，0.2，0.4，0.3，
所以，該蘋果日銷售量的平均值為：
.
（2）為了能地滿足顧客的需要，即估計該店蘋果日銷售量的分位數．
依題意，日銷售量不超過的頻率為，
則該店蘋果日銷售量的分位數在，
所以日銷售量的分位數為．
所以，每天應該進蘋果．
（3）由日銷售量為的頻率分別為0.2，0.4知，
抽取的蘋果來自日銷售量中的有2個，不妨記為，
來自日銷售量為的蘋果有4個，不妨記為，
任意抽取2個蘋果，有，，共有15個基本事件，其中2個蘋果都來自日銷售中的有6個基本事件，由古典概型可得.
18．【答案】（1）解：平面．
理由如下：取中點，連接，
因為為的中點，且，，
所以，且，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，
因為平面，平面，
所以平面．
（2）解：取的中點，連接，，
因為為等邊三角形，所以，
又因為平面平面，平面平面，
平面，
所以平面，
以為坐標原點，直線，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，如圖所示，
則，，，，，
所以，，
設平面的法向量為，
所以，
令，則，
又因為，
所以，點到平面的距離為：
．
（3）解：設，，
所以，
所以，，
則，，
設平面的法向量為，
則，
令，則，
因為平面的法向量為，
所以
化簡得，
又因為，
所以，
則，
則存在點，此時．
【知識點】空間中直線與平面之間的位置關系；點、線、面間的距離計算；用空間向量研究二面角
【解析】【分析】（1）取中點，連接，先利用中位線定理得出線線平行，再利用平行四邊形定義判斷出四邊形為平行四邊形，從而得出，再利用線線平行證出線面平行，即證出平面．
（2）利用已知條件和等邊三角形三線合一得出線線垂直，再利用線線垂直證出線面垂直，從而建立空間直角坐標系，則得出點的坐標和向量的坐標，再利用兩向量垂直數量積為0的等價關系和數量積的坐標表示 ，從而求出平面的法向量，再結合向量的坐標表示得出向量的坐標，根據數量積求點到平面的距離公式，從而得出點到平面的距離.
（3）利用向量共線的坐標表示和兩向量垂直數量積為0的等價關系和數量積的坐標表示，從而得出平面的法向量，再利用向量的坐標表示得出向量的坐標，再由數量積求向量夾角公式和已知條件得出線段上存在點，使得平面與平面夾角的余弦值為，并求出此時的值．
（1）平面．
理由如下證明：取中點，連接，
因為為的中點，且，，
所以，且，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，因為平面，平面，
所以平面．
（2）取的中點，連接，，
因為為等邊三角形，
所以，
又因為平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
如圖所示，
以為坐標原點，直線，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，
則，，，，，
，，
設平面的法向量為，
所以，
令，則，
又，
故到平面的距離．
（3）設，，
所以，
所以，，
則，，
設平面的法向量為，
則，
令，則，
又平面的法向量為，
于是，
化簡得，又，
得，
即，
故存在點，此時．
19．【答案】（1）解：設直線的斜率為，
則直線的斜率為，兩直線的夾角為，
所以 ，
等號成立的條件是，
所以的最小值為，
則兩直線的夾角的最小值為.
（2）解：設直線的斜率分別為，
則，
得或，
當時，
直線的方程為，直線的方程為，
聯立得；
當時，
直線的方程為，直線的方程為，
聯立得，與點C重合，舍去，
則所求為.
（3）解：由題意，可設，即，
即，其中，
則
，
因為（等號成立的條件是），
所以，
則，
所以，
所以.
【知識點】基本不等式在最值問題中的應用；兩條直線的交點坐標；平面內點到直線的距離公式；平面內兩直線的夾角與到角問題
【解析】【分析】（1）設直線的斜率為，則直線的斜率為，兩直線的夾角為，再利用夾角公式和基本不等式求最值的方法，從而可得直線和直線的夾角的最小值.
（2）設直線PR，PQ，QR的斜率分別為，從而可得，進而求解可得的值，則得到直線PR與直線PQ的方程，再聯立兩直線方程得出點P的坐標.
（3）設出直線，的方程，先求出原點到它們的距離，從而計算的值，再轉化變形結合基本不等式求最值的方法，從而可得原點O到直線，的距離之積的取值范圍．
（1）設的斜率為，則的斜率為，兩直線的夾角為，
則 ，
等號成立的條件是，所以的最小值為，
則兩直線的夾角的最小值為；
（2）設直線的斜率分別為，
則，得或，
當時，直線的方程為，直線的方程為，聯立得，；
當時，直線的方程為，直線的方程為，聯立得，，與點C重合，舍去；
故所求為；
（3）由題意可設即，即，其中，
故
由于（等號成立的條件是），
所以，故即，
所以.
1 / 1廣東省廣州市黃廣牛劍高級中學2024-2025學年高二上學期10月聯考數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．（2024高二上·廣州月考）已知平面直角坐標系內兩點，，則過點且與直線垂直的直線的方程為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】用斜率判定兩直線垂直；直線的點斜式方程；直線的一般式方程
【解析】【解答】解：由題意知，，，
則直線的斜率，
因為直線與直線垂直，根據兩直線垂直，若存在斜率，
則兩斜率乘積為，所以直線的斜率，
由直線經過點，
則由點斜式方程可得直線的方程為，即.
故答案為：A.
【分析】利用兩點確定出直線的斜率，再利用兩直線垂直斜率之積等于-1，從而求出的值，最后由點斜式方程得出過點且與直線垂直的直線的方程.
2．（2024高二上·廣州月考）已知空間向量，，則B點到直線的距離為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】空間向量的夾角與距離求解公式
【解析】【解答】解：因為，，
所以在上的投影向量的模為，
則點B到直線的距離為.
故答案為：A.
【分析】利用數量積求投影向量的模的公式，從而得出在上的投影向量的模，再利用勾股定理得出點B到直線的距離.
3．（2024高二上·廣州月考）直線關于軸對稱的直線方程是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】與直線關于點、直線對稱的直線方程
【解析】【解答】解：設是所求直線上任意一點，
則關于軸對稱的點為，且在直線上，
代入可得，
則直線關于軸對稱的直線方程為.
故答案為：C.
【分析】設是所求直線上任意一點，再結合點對稱性和已知條件，從而代入得出直線關于軸對稱的直線方程.
4．（2024高二上·廣州月考）如圖，一個電路中有三個電器元件，每個元件正常工作的概率均為，這個電路是通路的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】互斥事件與對立事件；相互獨立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：因為元件都不正常的概率，
則元件至少有一個正常工作的概率為，
又因為電路是通路，
則元件正常工作，元件至少有一個正常工作同時發生，
所以這個電路是通路的概率.
故答案為：B.
【分析】根據已知條件和對立事件求概率公式以及相互獨立事件乘法求概率公式，從而得出這個電路是通路的概率.
5．（2024高二上·廣州月考）如圖，在三棱錐中，設，若，，則（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知識點】空間向量基本定理
【解析】【解答】解：連接，
則
.
故答案為：C.
【分析】由題意結合空間向量的線性運算和空間向量基本定理，從而找出正確的選項.
6．（2024高二上·廣州月考）某射擊運動員射擊6次，命中的環數如下：7，9，6，9，10，7，則關于這組數據的說法正確的是（　　）
A．極差為10 B．中位數為7.5 C．平均數為8.5 D．標準差為
【答案】D
【知識點】眾數、中位數、平均數；極差、方差與標準差
【解析】【解答】解：命中的環數從小到大排列為：6，7，7，9，9，10，
A、極差為，故A錯誤；
B、中位數為，故B錯誤；
C、平均數為，故C錯誤；
D、標準差為，故D正確.
故答案為：D.
【分析】先將數據從小到大排列，再利用極差、中位數、平均數、標準差的定義逐項計算判斷即可.
7．（2024高二上·廣州月考）設，若過定點A的動直線和過定點B的動直線交于點，AB中點為Q，則的值為（　　）
A． B．
C． D．與m的取值有關
【答案】A
【知識點】過兩條直線交點的直線系方程；恒過定點的直線；平面內兩點間距離公式的應用
【解析】【解答】解：因為經過的定點為，所以，
將直線變形為，
所以，直線經過定點，故，
因為，所以兩直線垂直，如圖，
因此為直角三角形，
所以.
故答案為：A.
【分析】先求解出直線經過的定點坐標，再根據兩直線垂直得出為直角三角形，再結合中點的性質和兩點距離公式，從而得出的值.
8．（2024高二上·廣州月考）已知甲袋中有標號分別為1，2，3，4的四個小球，乙袋中有標號分別為2，3，4，5的四個小球，這些球除標號外完全相同，第一次從甲袋中取出一個小球，第二次從乙袋中取出一個小球，事件表示“第一次取出的小球標號為3”，事件表示“第二次取出的小球標號為偶數”，事件表示“兩次取出的小球標號之和為7”，事件表示“兩次取出的小球標號之和為偶數”，則（　　）
A．與相互獨立 B．與是互斥事件
C．與是對立事件 D．與相互獨立
【答案】D
【知識點】互斥事件與對立事件；相互獨立事件
【解析】【解答】解：由題意可得基本事件總數為，
設，
，
，
，
由題意可得與可以同時發生，故不是互斥事件，故B錯誤；
易知與不同時發生，即與為互斥事件，
但不是對立事件，比如當發生時與均不發生，故C錯誤；
又因為，
則，，
所以與不相互獨立，與相互獨立，故A錯誤、D正確.
故答案為：D.
【分析】根據已知條件和互斥事件、對立事件以及相互獨立事件的定義，從而逐項判斷找出正確的選項.
二、多選題：本題共3小題，共15分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.
9．（2024高二上·廣州月考）下列命題不正確的是（　　）
A．經過定點的直線都可以用方程表示
B．直線過點，傾斜角為，則其方程為
C．在坐標軸上截距相等的直線都可以用方程來表示
D．直線在軸上截距為2
【答案】A,C,D
【知識點】直線的點斜式方程；直線的斜截式方程；直線的截距式方程
【解析】【解答】解：對于A，因為方程不能表示傾斜角為且過的直線，
故A錯誤；
對于B，因為直線過點，傾斜角為，則其方程為，故B正確；
對于C，當直線在坐標軸上截距相等且為0時，不能用表示，故C錯誤；
對于D，令，得，所以直線在軸上截距為，故D錯誤.
故答案為：ACD．
【分析】根據直線的點斜式方程可以表示斜率存在的所有直線，則判斷出選項A；根據直線的傾斜角為的直線方程表示方法，則判斷出選項B；根據直線的截距式不能表示的直線，則判斷出選項C；根據直線的截距的定義，則判斷出選項D，從而找出假命題的選項.
10．（2024高二上·廣州月考）已知事件 ， ，且 ， ，則下列結論正確的是（　　）
A．如果 ，那么 ，
B．如果 與 互斥，那么 ，
C．如果 與 相互獨立，那么 ，
D．如果 與 相互獨立，那么 ，
【答案】A,B,D
【知識點】互斥事件的概率加法公式；相互獨立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】A．若 ，則 ， ，A符合題意；
B． 與 互斥，則 ， 是不可能發生的， ，B符合題意；
C． 與 相互獨立，則 ，C不符合題意；
D． 與 相互獨立，則 與 ， 與 也相互獨立， ，同理 ，D符合題意．
故答案為：ABD．
【分析】根據互斥事件與相互獨立事件的概念及概率公式判斷，即可得到答案。
11．（2024高二上·廣州月考）已知在棱長為1的正方體中，為正方體內及表面上一點，且，其中，，則下列說法正確的是（　　）
A．當時，對任意，恒成立
B．當時，與平面所成的最大角的正弦值為
C．當時，線段上的點與線段上的點的距離最小值為
D．當時，存在唯一的點，使得平面平面
【答案】A,C,D
【知識點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；空間中直線與直線之間的位置關系；直線與平面所成的角；與二面角有關的立體幾何綜合題；點、線、面間的距離計算
【解析】【解答】解：因為，其中，，
則點在平面上（含邊界）．
對于A，當時，，
則點P在連接的中點的線段上運動，
則，平面，
所以平面，平面，
則，而，平面，
所以平面，平面，
則，故A正確；
對于B，當時，點在線段上，設平面，
因為平面，平面，
所以，
又因為，平面，
所以平面，平面，
則，同理可證，平面，
所以平面，
則在平面上的射影為，
當時，與平面所成的角最大，
因為，
所以，
則，
又因為，
所以，，
則，
所以與平面所成的最大角的正弦值為，故B錯誤；
對于C，當時，點在線段上，因為，
則為平行四邊形，
所以，平面，平面，
則平面，
所以線段上的點與線段上的點的距離最小值為點到平面的距離，
由等體積法，
得（d為點到平面的距離），
則，
所以點到平面的距離為，
則線段上的點與線段上的點的距離最小值為，故C正確；
對于D，設的中點為，當時，，
所以，點在線段上，
因為，平面，平面，
所以平面，
又因為點P是平面和平面的一個交點，
所以平面和平面的交線為過點P和BC平行的直線，
又因為平面，
所以，交線也垂直于平面，
設在平面上的射影為M，
則為平面與平面所成二面角的平面角，
當平面平面時，為直角，此時M點在以AB為直徑的半圓上，
設N為E點在上的投影，則N為的中點，所以M點也在BN上，
顯然BN與以AB為直徑的半圓相交，滿足為直角的點M是唯一的，
則點是唯一的，故D正確.
故答案為：ACD.
【分析】先確定點在平面上（含邊界），再結合線面垂直的性質定理，則判斷出選項A；先確定點P的位置，設平面，再確定當時，與平面所成的角最大，再結合解三角形的方法，則判斷出選項B；將線段上的點與線段上的點的距離轉化為點到平面的距離，再結合等體積法和三棱錐的體積公式，從而得出 線段上的點與線段上的點的距離最小值，則判斷出選項C；先確定點在線段上，再作出兩平面所成二面角的平面角，再結合二面角為直角判斷出BN與以AB為直徑的半圓相交，則滿足為直角的點M是唯一的，從而得出點是唯一的，則判斷出選項D，進而找出說法正確的選項.
三、填空題：本小題共3小題，每小題5分，共15分．
12．（2024高二上·廣州月考）已知向量，且，則　 　．
【答案】
【知識點】空間向量平行的坐標表示
【解析】【解答】解：因為向量共線，
所以，
解得，
所以.
故答案為：.
【分析】根據已知條件結合空間向量共線的充要條件，從而列式計算得出m，n的值，進而得出的值.
13．（2024高二上·廣州月考）盒中裝有5個大小、質地相同的小球，其中3個白球和2個黑球．兩位同學先后輪流不放回摸球，每次摸一球，當摸出第二個黑球時結束游戲，或能判斷出第二個黑球被哪位同學摸到時游戲也結束．設游戲結束時兩位同學摸球的總次數為，則　 　．
【答案】
【知識點】互斥事件的概率加法公式；相互獨立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：當時，游戲結束時兩位同學摸球的情況為：白黑黑，黑白黑，白白白，
則.
故答案為：.
【分析】分析出游戲結束時兩位同學摸球的情形，再利用獨立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，從而得出的值.
14．（2024高二上·廣州月考）已知，及兩直線：，：，作直線垂直于，，且垂足分別為C、D，則　 　，的最小值為　 　
【答案】；
【知識點】兩條直線的交點坐標；平面內兩點間距離公式的應用；平面內兩條平行直線間的距離
【解析】【解答】解：由題意知，兩直線：，：互相平行，
作直線垂直于，，且垂足分別為C、D，如圖所示，
由兩平行線間的距離公式，可得，
因為，及兩直線：，：，
作直線垂直于，，且垂足分別為C、D，
設直線的方程為，
聯立方程組，
解得，同理得出，
所以，
其中表示點與點和之間的距離之和，
當點重合時，取得最小值，
所以的最小值為，
的最小值為．
故答案為，．
【分析】利用兩平行直線間的距離公式求出的值；設直線CD的方程為，從而得出點C坐標和點D坐標，再利用幾何法和兩點距離公式，從而得出的最小值．
四、解答題：本小題共5小題，共60分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15．（2024高二上·廣州月考）已知直線：與：的交點為.
（1）求過點且平行于直線：的直線方程；
（2）求過點且垂直于直線：直線方程；
（3）求平行于且與其距離為3的直線方程.
【答案】（1）解：由 ，
解得，
所以點的坐標是，
因為所求直線與平行，
則設所求直線的方程為，
把點的坐標代入，得 ，則，
則所求直線的方程為．
（2）解：因為所求直線與垂直，
則設所求直線的方程為，
把點的坐標代入得，得，
則所求直線的方程為．
（3）解：設平行于的直線方程為，
由題意可得，
解得或，
則所求直線方程為或.
【知識點】直線的一般式方程；直線的一般式方程與直線的平行關系；直線的一般式方程與直線的垂直關系；兩條直線的交點坐標；平面內兩條平行直線間的距離
【解析】【分析】（1）先聯立兩直線方程得出交點的坐標，再根據所求直線與直線： 平行，則得出兩直線斜率相等，縱截距不相等，從而設所求直線為，再代入點的坐標得出的值，從而確定直線方程.
（2）根據所成直線與已知直線：垂直，再利用兩直線垂直斜率之積等于-1，從而設所求直線為，再代入點的坐標得出的值，從而確定直線方程.
（3）根據兩直線平行關系，設直線方程為，再根據題意結合兩平行線間距離公式，從而得出平行于且與其距離為3的直線方程.
（1）由 解得，所以點的坐標是，
因為所求直線與平行，所以設所求直線的方程為，
把點的坐標代入得 ，得，
故所求直線的方程為．
（2）因為所求直線與垂直，所以設所求直線的方程為，
把點的坐標代入得，得，
故所求直線的方程為．
（3）設平行于的直線方程為，
由題意可得，解得或，
所以所求直線方程為或.
16．（2024高二上·廣州月考）如圖，三棱錐中，平面，是棱上一點，且.
（1）證明：平面；
（2）若，求與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明：因為，所以，
由，即，
又因為，可得為邊上的高，所以
因為平面且平面所以
又因為且平面，所以平面；
（2）解：因為平面且，
以為坐標原點，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：
因為，可得，
則，
設平面的法向量為，則，
令，可得，所以，
設直線與平面所成角為，則，
故與平面所成角的正弦值為.
【知識點】直線與平面垂直的判定；用空間向量研究直線與平面所成的角
【解析】【分析】（1）根據的面積相等，得到再由平面證得結合線面垂直的判定定理，證明平面即可；
（2）以為坐標原點，建立空間直角坐標系，利用空間向量法求解即可.
（1）證明：因為，所以，
由，即，
又因為，可得為邊上的高，所以
因為平面且平面所以
又因為且平面，所以平面.
（2）解：因為平面且，
以為坐標原點，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，
如圖所示，因為，可得，
則，
設平面的法向量為，則，
令，可得，所以，
設直線與平面所成角為，
則，
故與平面所成角的正弦值為.
【點睛】
17．（2024高二上·廣州月考）一家水果店為了解本店蘋果的日銷售情況，記錄了過去200天的日銷售量（單位：kg），將全部數據按區間分成5組，得到圖所示的頻率分布直方圖．
（1）求圖中a的值；并估計該水果店過去200天蘋果日銷售量的平均數（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）；
（2）若一次進貨太多，水果不新鮮，進貨太少，又不能滿足顧客的需求.店長希望每天的蘋果盡量新鮮，又能85%地滿足顧客的需要（在100天中，大約有85天可以滿足顧客的需求）.請問，每天應該進多少水果
（3）在日銷售量為蘋果中用分層抽樣方式隨機抽6個蘋果，再從這6蘋果中隨機抽取2個蘋果，求抽取2個蘋果都來自日銷售量在的概率.
【答案】（1）解：由直方圖可得，樣本落在，，…，的頻率分別為，，0.2，0.4，0.3，
由，解得，
則樣本落在，，…，頻率分別為0.05，0.05，0.2，0.4，0.3，
所以該蘋果日銷售量的平均值為：
；
（2）解：為了能地滿足顧客的需要，即估計該店蘋果日銷售量的分位數，
依題意，日銷售量不超過的頻率為，
則該店蘋果日銷售量的分位數在，
所以日銷售量的分位數為，
所以每天應該進蘋果；
（3）解：由日銷售量為的頻率分別為0.2，0.4知，
抽取的蘋果來自日銷售量中的有2個，不妨記為，
來自日銷售量為的蘋果有4個，不妨記為，
任意抽取2個蘋果，有，，共有15個基本事件，其中2個蘋果都來自日銷售中的有6個基本事件，則.
【知識點】古典概型及其概率計算公式；用樣本估計總體的百分位數
【解析】【分析】（1）在頻率分布直方圖中，所有矩形的面積和為1，所有矩形的面積乘以其底端中點之和即為平均值；
（2）能地滿足顧客的需要即求該店蘋果日銷售量的分位數，通過矩形的面積和確定分位數在，再利用公式計算即可；
（3）由分層抽樣確定來自日銷售量中的有2個，來自日銷售量為的蘋果有4個，再列出基本事件，根據古典概型概率公式求解即可.
（1）由直方圖可得，樣本落在，，…，的頻率分別為，，0.2，0.4，0.3，
由，解得．
則樣本落在，，…，頻率分別為0.05，0.05，0.2，0.4，0.3，
所以，該蘋果日銷售量的平均值為：
.
（2）為了能地滿足顧客的需要，即估計該店蘋果日銷售量的分位數．
依題意，日銷售量不超過的頻率為，
則該店蘋果日銷售量的分位數在，
所以日銷售量的分位數為．
所以，每天應該進蘋果．
（3）由日銷售量為的頻率分別為0.2，0.4知，
抽取的蘋果來自日銷售量中的有2個，不妨記為，
來自日銷售量為的蘋果有4個，不妨記為，
任意抽取2個蘋果，有，，共有15個基本事件，其中2個蘋果都來自日銷售中的有6個基本事件，由古典概型可得.
18．（2024高二上·廣州月考）如圖所示，在四棱錐中，側面平面，是邊長為2的等邊三角形，底面為直角梯形，其中，，．
（1）取線段中點，連接，判斷直線與平面是否平行并說明理由；
（2）求到平面的距離；
（3）線段上是否存在一點，使得平面與平面夾角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）解：平面．
理由如下：取中點，連接，
因為為的中點，且，，
所以，且，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，
因為平面，平面，
所以平面．
（2）解：取的中點，連接，，
因為為等邊三角形，所以，
又因為平面平面，平面平面，
平面，
所以平面，
以為坐標原點，直線，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，如圖所示，
則，，，，，
所以，，
設平面的法向量為，
所以，
令，則，
又因為，
所以，點到平面的距離為：
．
（3）解：設，，
所以，
所以，，
則，，
設平面的法向量為，
則，
令，則，
因為平面的法向量為，
所以
化簡得，
又因為，
所以，
則，
則存在點，此時．
【知識點】空間中直線與平面之間的位置關系；點、線、面間的距離計算；用空間向量研究二面角
【解析】【分析】（1）取中點，連接，先利用中位線定理得出線線平行，再利用平行四邊形定義判斷出四邊形為平行四邊形，從而得出，再利用線線平行證出線面平行，即證出平面．
（2）利用已知條件和等邊三角形三線合一得出線線垂直，再利用線線垂直證出線面垂直，從而建立空間直角坐標系，則得出點的坐標和向量的坐標，再利用兩向量垂直數量積為0的等價關系和數量積的坐標表示 ，從而求出平面的法向量，再結合向量的坐標表示得出向量的坐標，根據數量積求點到平面的距離公式，從而得出點到平面的距離.
（3）利用向量共線的坐標表示和兩向量垂直數量積為0的等價關系和數量積的坐標表示，從而得出平面的法向量，再利用向量的坐標表示得出向量的坐標，再由數量積求向量夾角公式和已知條件得出線段上存在點，使得平面與平面夾角的余弦值為，并求出此時的值．
（1）平面．
理由如下證明：取中點，連接，
因為為的中點，且，，
所以，且，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，因為平面，平面，
所以平面．
（2）取的中點，連接，，
因為為等邊三角形，
所以，
又因為平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
如圖所示，
以為坐標原點，直線，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，
則，，，，，
，，
設平面的法向量為，
所以，
令，則，
又，
故到平面的距離．
（3）設，，
所以，
所以，，
則，，
設平面的法向量為，
則，
令，則，
又平面的法向量為，
于是，
化簡得，又，
得，
即，
故存在點，此時．
19．（2024高二上·廣州月考）已知點P和非零實數，若兩條不同的直線，均過點P，且斜率之積為，則稱直線，是一組“共軛線對”，如直線：，：是一組“共軛線對”，其中O是坐標原點.
（1）已知，是一組“共軛線對”，求，的夾角的最小值；
（2）已知點 點和點分別是三條直線PQ，QR，RP上的點（A，B，C與P，Q，R均不重合），且直線PR，PQ是“共軛線對”，直線QP，QR是“共軛線對”，直線RP，RQ是“共軛線對”，求點P的坐標；
（3）已知點，直線，是“共軛線對”，當的斜率變化時，求原點O到直線，的距離之積的取值范圍.
【答案】（1）解：設直線的斜率為，
則直線的斜率為，兩直線的夾角為，
所以 ，
等號成立的條件是，
所以的最小值為，
則兩直線的夾角的最小值為.
（2）解：設直線的斜率分別為，
則，
得或，
當時，
直線的方程為，直線的方程為，
聯立得；
當時，
直線的方程為，直線的方程為，
聯立得，與點C重合，舍去，
則所求為.
（3）解：由題意，可設，即，
即，其中，
則
，
因為（等號成立的條件是），
所以，
則，
所以，
所以.
【知識點】基本不等式在最值問題中的應用；兩條直線的交點坐標；平面內點到直線的距離公式；平面內兩直線的夾角與到角問題
【解析】【分析】（1）設直線的斜率為，則直線的斜率為，兩直線的夾角為，再利用夾角公式和基本不等式求最值的方法，從而可得直線和直線的夾角的最小值.
（2）設直線PR，PQ，QR的斜率分別為，從而可得，進而求解可得的值，則得到直線PR與直線PQ的方程，再聯立兩直線方程得出點P的坐標.
（3）設出直線，的方程，先求出原點到它們的距離，從而計算的值，再轉化變形結合基本不等式求最值的方法，從而可得原點O到直線，的距離之積的取值范圍．
（1）設的斜率為，則的斜率為，兩直線的夾角為，
則 ，
等號成立的條件是，所以的最小值為，
則兩直線的夾角的最小值為；
（2）設直線的斜率分別為，
則，得或，
當時，直線的方程為，直線的方程為，聯立得，；
當時，直線的方程為，直線的方程為，聯立得，，與點C重合，舍去；
故所求為；
（3）由題意可設即，即，其中，
故
由于（等號成立的條件是），
所以，故即，
所以.
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