資源簡介

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第一章：二次函數能力提升測試題答案
一．選擇題：（本題共10小題，每小題3分，共30分）
溫馨提示：每一題的四個答案中只有一個是正確的，請將正確的答案選擇出來！
1.答案： B
解析：拋物線的頂點坐標為（1，2），
向右平移2個單位，再向下平移3個單位后的圖象的頂點坐標為（3，﹣1），
所以，所得圖象的解析式為
故選擇：B.
2.答案：B
解析：根據題意得：拋物線的頂點坐標為（m，n），且在第四象限，
∴m＞0，n＜0，
則一次函數y=mx+n經過第一、三、四象限．
故答案為 ：B．
3.答案：D
解析：∵y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，
∴二次函數的對稱軸為直線x＝1，頂點坐標為（1，﹣2），
故A，C錯誤，不符合題意；
∵﹣1＜0，
∴拋物線開口向下，
∵頂點坐標為（1，﹣2），
∴圖象與x軸沒有交點，
故D正確，符合題意；
∵拋物線開口向下，對稱軸為直線x＝1，
∴當x＞1時，y隨x的增大而減小，
故B錯誤，不符合題意．
故選擇：D．
4.答案：C
解析：A選項，a＝1＞0，開口向上，故該選項不符合題意；
B選項，圖象的對稱軸為x＝2，故該選項不符合題意；
C選項，當x＝0時，y=5，圖象與y軸交于點（0，5）故該選項符合題意；D選項，圖象可以由y＝x2的圖象向右平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度得到，故該選項不符合題意；
故選擇：C．
5.答案：D
解析：設利潤為w元，
由題意得：w＝y（x﹣10）＝﹣2（x﹣30）（x﹣10），
則拋物線的對稱軸為直線x＝（30+10）＝20，
當15≤x≤26時，
拋物線的對稱性x＝20時，取得最大值為200，
當x＝26時，w取得最小值為128，
即銷售這種文具每天可得最小利潤128元，
故選擇：D．
6.答案：C
解析：二次函數y=x2+2x+3=（x+2）2+1，對稱軸為直線x=-2．
A、a=＞0，開口向上，本選項不符合題意；B、當時，y隨x的增大而減小，本選項不符合題意；C、該函數的最小值為1，大于零，本選項符合題意；
D、該函數圖象與y軸的交點為（0，3），位于y軸的正半軸，本選項不符合題意；
故選擇：C．
7.答案：B
解析：如圖，把y=3.05代入函數，
解得：x＝1.5或x＝﹣1.5（舍），
則L＝3+1.5＝4.5m.
故選擇：B.
8.答案：C
解析：∵拋物線開口向上，
∴a＞0，
∵對稱軸，
∴a、b同號，而a＞0，
∴b＞0，
∵拋物線與y軸的交點在y軸的負半軸，
∴c＜0，
∴abc＜0，
因此①正確；
由于拋物線過點（1，0）點，
∴a+b+c＝0，
又∵對稱軸為x＝﹣1，即，
∴b＝2a，
∴a+2a+c＝0，
即3a+c＝0，
而a＞0，
∴2a+c＜0，
因此②正確；
由圖象可知，拋物線與x軸的一個交點坐標為（1，0），而對稱軸為x＝﹣1，由對稱性可知，
拋物線與x軸的另一個交點坐標為（﹣3，0），
∴9a﹣3b+c＝0，
因此③正確；
由二次函數的最小值可知，
當x＝﹣1時，y最小值＝a﹣b+c，
當x＝m時，y＝am2+bm+c，
∴am2+bm+c≥a﹣b+c，
即am2+bm﹣a+b≥0，
因此④不正確；
綜上所述，正確的結論有①②③，共3個，
故選擇：C．
9.答案：D
解析：∵二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸是直線x＝﹣1，
∴，
∴2a﹣b＝0，故①正確；
∵二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸是直線x＝﹣1，與x軸的一個交點在1和2之間，
∴另一個交點在﹣4和﹣3之間，
∴方程ax2+bx+c＝0一定有一根在﹣3和﹣4之間，故②正確；
∵拋物線與y軸的交點縱坐標是2，
∴拋物線與直線y＝1一定有兩個交點，
∴方程ax2+bx+c﹣1＝0一定有兩個不等實根，故③正確；
∵拋物線開口向下，與y軸的交點縱坐標是2，與x軸的一個交點在1和2之間，
∴當x＝1時，y＞0，
∴a+b+2＞0，
∴a+b＞﹣2，故④正確．
故選擇：D．
10.答案：B
解析：∵y＝x2﹣mx+1＝（x﹣m）2+（﹣m2+1），
∴圖象f的對稱軸為直線x＝m，
當m≤2時，拋物線開口向上，
∴當x＝m時，y有最小值，y最小＝﹣m2+1＝0，
解得m＝，
當m＞2時，拋物線開口向上，在﹣4≤x≤2時，y隨x的增大而減小，
∴x＝2時，y有最小值，y最小＝（2﹣m）2+（﹣m2+1）＝0，
解得m＝（不合題意，舍去），
綜上，m＝．
故選擇：B．
二．填空題（本題共6小題，每題3分，共18分）
溫馨提示：填空題必須是最簡潔最正確的答案！
11.答案：
解析：拋物線的形狀、開口方向與拋物線y＝﹣3x2相同，
則a＝﹣3，
則拋物線的表達式為：y＝﹣3（x+2）2+1，
故答案為：y＝﹣3（x+2）2+1．
12.答案：>
解析：∵二次函數的解析式為y＝（x﹣1）2+1，
∴該拋物線開口向上，且對稱軸為直線：x＝1.
＜ y隨x的增大而減小，
∵點A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函數y＝（x﹣1）2+1的圖象上，且0＞x2＞x1，
∴y1＞y2.
故答案為：＞.
13.答案：35
解析：設該文具定價為x元，每天的利潤為y元，
根據題意得：y＝（x-20）[250-10（x-25）]
＝（x-20）（-10x+500）
＝-10x2+700x-10000
＝-10（x-35）2+2250，
∵-10＜0，
∴當x＝35時，y最大，最大值為2250.
故答案為：35.
14.答案：
解析：∵函數y＝x2＋3x＋c的對稱軸為，且開口向上，
∴距離對稱軸越遠，函數值越大，
∵A（﹣1，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3），距離對稱軸的距離依次為：
∴
故答案為：.
15.答案：
解析：∵關于x的方程的兩根滿足，
∴，
∴，
∵
∴
∵二次函數
∴對稱軸為直線，頂點為，圖象開口向上，
∴當時y隨x的增大而減小，
∵在對稱軸的左側，，
∴當時，點距對稱軸最近，頂點最高，此時頂點縱坐標取得最大值，
∴,
∴，
∴頂點縱坐標的最大值是．
故答案為：．
16.答案：（1）2或﹣2； （2）b＞2或﹣3＜b＜﹣2．
解析：（1）把點（b﹣2，c）代入，得c＝（b﹣2）2﹣b（b﹣2）+c，
∴b＝±2，
故答案為：2或﹣2；
（2）二次函數的圖象開口向上，對稱軸是直線，
∵點（b﹣2，y1），（2b，y2），（2b+6，y3）都在該函數圖象上，且y1＜y2＜y3，
∴|b﹣2﹣b|＜|2b﹣b|＜|2b+6﹣b|，即2＜|b|＜|b+6|，
當b＞0時，b＞2，
當﹣6＜b＜0時，﹣3＜b＜﹣2，
當b＜﹣6時，不合題意，
∴b＞2或﹣3＜b＜﹣2．
故答案為：b＞2或﹣3＜b＜﹣2．
三．解答題（共8題，共72分）
溫馨提示：解答題應將必要的解答過程呈現出來！
17.解析：（1）將（﹣1，0）、（3，0）代入y＝x2+bx+c
得，
∴，
∴y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴拋物線開口向上，頂點坐標為（1，﹣4），
∴x＝1時，y最小值為﹣4，
∵1﹣（﹣2）＞2﹣1，
∴x＝﹣2時，y＝4+4﹣3＝5為最大值，
∴當﹣2≤x≤2時，y的最大值與最小值的差為5﹣（﹣4）＝9．
18.解析：（1）由題意得：A（ 1，0），B（0，a），
∴OA＝1，OB＝ a，
∵，
∴
解得：a＝ 1，
∴拋物線的解析式為y＝ （x＋1）2；
（2）∵A（ 1，0），B（0， 1），
∴直線AB為y＝ x 1，
過C作CD⊥x軸，交直線AB于點D，
設C（x， （x＋1）2），則D（x， x 1），
∴CD＝ （x＋1）2＋x＋1，
∵S△ABC＝S△ACD＋S△BCD＝[ （x＋1）2＋x＋1]×1，
∴
∵
∴△ABC面積的最大值是
19.解析：（1）拋物線的對稱軸為直線
（2）解：∵y＝﹣x2+（a﹣1）x+a＝﹣[x2﹣（a﹣1）x﹣a]＝﹣（x+1）（x﹣a），
∴該拋物線一定經過定點（﹣1，0）
（3）解：∵二次函數圖象頂點在y軸右側，
∴
∴a＞1，
設二次函數圖象與x軸交點分別為C，D，C在D左側，
令y＝0，則﹣（x+1）（x﹣a）＝0，
∴x＝﹣1或a，
∴C（﹣1，0），D（a，0），
∴CD＝a+1，
∵點A（m，n）在該二次函數圖象上，且n＞0，
∴A在CD上方，
∵過點（m+3，0）作y軸的平行線，與二次函數圖象的交點在x軸下方，如圖，
∴CD≤3，
∴a+1≤3，
∴a≤2，
∴1＜a≤2.
20.解析：（1）∵矩形ABCD，
∴CD=AB，AD=BC，∠D=∠C=∠B=∠A=90°，
∵AE＝AH＝CG＝CF，
∴DG=BE，DH=BC
∴△AEH≌△CFG，△EBF≌△HDG，
∴S＝S矩形ABCD-2S△AEH-2S△EFB＝2×4-2×x2-2× （4-x）（2-x）＝-2x2+6x（0＜x＜2）．
（2）解：S＝-2x2+6x＝-2（x- ）2+ ．
所以當x＝ 時，S的值最大，最大值為 ．
21.解析：（1）∵每個書包漲價x元，
∴y＝（40﹣30+x）（600﹣10x）＝﹣10x2+500x+6000，
答：y與x的函數關系式為：y＝﹣10x2+500x+6000；
（2）∵y＝﹣10x2+500x+6000
＝﹣10（x2﹣50x）+6000，
＝﹣10（x2﹣50x+252）+6250+6000
＝﹣10（x﹣25）2+12250，
∴當x＝25時，y 有最大值12250，
即當書包售價為65元時，月最大利潤為12250元，10000元不是月最大利潤；
（3）解方程﹣10x2+500x+6000＝0
得，x1＝60，x2＝﹣10，
即當漲價60元時和降價10元時利潤y 的值為0，
由該二次函數的圖象性質可知，
當漲價大于60元時以及降價超過10元時利潤y 的值為負，
所以書包售價在大于30元且低于100元時商場就有利潤．
22.解析：（1）①由題意，∵二次函數y＝x2﹣2ax﹣3的圖象經過點（2，﹣3），
∴4﹣4a﹣3＝﹣3．
∴a＝1．
②由①得，y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
又a＝1＞0，
∴當x＞1時，y隨x的增大而增大．
（2）證明：由題意，∵點A（m，0），B（n，0），
∴拋物線的對稱軸是直線．
∴拋物線為y＝x2﹣（m+n）x﹣3．
又C（m+1，p），D（n+1，q），
∴p＝（m+1）2﹣（m+n）（m+1）﹣3＝m﹣n﹣mn﹣2，q＝（n+1）2﹣（m+n）（n+1）﹣3
＝n﹣m﹣mn﹣2．
∴p+q＝﹣2mn﹣4．
又點A（m，0）在拋物線上，
∴m2﹣（m+n）m﹣3＝0．
∴mn＝﹣3．
∴p+q＝﹣2×（﹣3）﹣4＝2．
23.（1）解析：∵點B的坐標為，點A在點B左側，
∴點A的坐標為，將代入．
，解得：，
∴拋物線的函數表達式為；
（2）解：在拋物線上存在點P，使得△BPE是以BE為直角邊的直角三角形．
理由如下：由得拋物線的對稱軸為直線，
∴，
∵拋物線的對稱軸與經過點B的直線交于點E，
∴當時，，
∴點E的坐標為，則DE=BD=2，
∴.
當時，則，過點P作于點Q，如圖．
則是等腰直角三角形，∴PQ=BQ，
設點P的坐標為，
∴，解得：（舍），
當時，，點P的坐標為；
設直線BP的函數表達式為，
將點代入，
得，解得，
∴直線BP的函數表達式為．
將直線BP平移至經過點E，此時直線與拋物線的交點分別為，
則，可設直線的函數表達式為，
將代入，得，解得，
∴直線的函數表達式為．
∴，解得：．
∴點P的坐標為．
綜上可得，在拋物線上存在點P，使得△BPE是以BE為直角邊的直角三角形，
點P的坐標為．
24.解析：（1）證明：拋物線y＝﹣x2+2mx﹣m2+4中，
令y＝0，則拋物線轉化成二次方程﹣x2+2mx﹣m2+4＝0，
∵a＝﹣1，b＝2m，c＝4﹣m2，
Δ＝b2﹣4ac＝4m2﹣4×（﹣1）×（4﹣m2）＝4m2+16﹣4m2＝16＞0，
∴該二次函數圖象與x軸一定有2個交點；
（2）∵m＝2，
∴y＝﹣x2+4x，
令y＝0，則﹣x2+4x＝0，即x1＝0，x2＝4，
∴拋物線圖象與x軸的交點為（0，0）和（4，0），
∵點M（n，y1），N（n+2，y2）都在該二次函數的圖象上，且y1y2＜0，
∴①，即﹣2＜n＜0，②，即2＜n＜4，
綜上所述，﹣2＜n＜0或2＜n＜4，
（3）∵y＝﹣x2+2mx﹣m2+4＝﹣（x﹣m）2+4，
∴拋物線的對稱軸為直線x＝m，
①若，即m＜2，
則當x＝m時，ymax＝4，當x＝5時，ymin＝﹣（5﹣m）2+4，
∴4﹣[﹣（5﹣m）2+4]＝8，
∴m1＝5+2（舍去），m2＝5﹣2（舍去），
②若2≤m≤5，則當x＝m時，ymax＝4，當x＝m﹣3時，ymin＝﹣5，
∵4﹣（﹣5）＝9≠8，不符合題意，舍去；
③若5＜m≤8時，則當x＝5時，ymax＝﹣（5﹣m）2+4，當x＝m﹣3時，ymin＝﹣5，
∴﹣（5﹣m）2+4﹣（﹣5）＝8，
∴m1＝6，m2＝4（舍去），
綜上所述，m＝6．
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第一章：二次函數能力提升測試題
一．選擇題：（本題共10小題，每小題3分，共30分）
溫馨提示：每一題的四個答案中只有一個是正確的，請將正確的答案選擇出來！
1．將二次函數的圖象先向右移動2個單位，向下平移3個單位，得到的圖象對應的表達式是（　　）
A． B． C． D．
2．如果二次函數的圖像如圖所示，那么一次函數 的圖像經過（　　）
A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限
3．關于二次函數y＝﹣x2+2x﹣3的圖象，下列說法正確的是（　　）
A．對稱軸是直線x＝﹣1 B．當x＞﹣1時，y隨x的增大而減小
C．頂點坐標為（﹣1，﹣2） D．圖象與x軸沒有交點
4.關于二次函數y＝（x﹣2）2+1，下列說法中錯誤的是（　　）
A．圖象的開口向上 B．圖象的對稱軸為x＝2 C．圖象與y軸交于點（0，1）
D．圖象可以由y＝x2的圖象向右平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度得到
5．某超市以每件10元的價格購進一種文具．經過市場調查發現，該文具每天的銷售數量y（件）與銷售單價x（元）（15≤x≤26）之間滿足y＝﹣2x+60，則銷售這種文具每天可得（　　）
A．最大利潤150元 B．最大利潤128元 C．最小利潤150元 D．最小利潤128元
6.二次函數的圖象和性質描述正確的是( )
A．函數圖象開口朝下 B．當時，y隨x的增大而增大
C．函數的最小值大于零 D．函數圖象與y軸的交點位于軸負半軸
7.小明在浙BA某場比賽中，有一次投籃，球的運動路線是拋物線的一部分，
如圖所示，若命中籃圈中心，則他與籃底的距離L是（　 　 　）
A．4.6m B．4.5m C．4m D．3.5m
8．二次函數y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，以下結論正確的個數為（　　）
①abc＜0；②c+2a＜0；③9a﹣3b+c＝0；④am2﹣a+bm+b＞0（m為任意實數）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
9．二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸是直線x＝﹣1，與y軸的交點縱坐標是2，與x軸的一個交點在1和2之間．有下列結論：①2a﹣b＝0；②方程ax2+bx+c＝0一定有一根在﹣3和﹣4之間；③方程ax2+bx+c﹣1＝0一定有兩個不等實根：④a+b＞﹣2．其中正確的結論有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
10．若當﹣4≤x≤2時，二次函數的最小值為0，則（　　）
A． B． C． D．或
二．填空題（本題共6小題，每題3分，共18分）
溫馨提示：填空題必須是最簡潔最正確的答案！
11．已知一條拋物線的形狀、開口方向與拋物線y＝﹣3x2相同，它的頂點坐標為（﹣2，1），則此拋物線的解析式 　 　
12．已知點A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函數y＝（x﹣1）2+1的圖象上，若0＞x2＞x1，則y1　 　y2.（填“＞”、“＜”或“＝”）.
13．某商場經營一種文具，進價為20元/件，當銷售單價是25元時，每天的銷售量為250件；銷售單價每上漲1元，每天的銷售量就減少10件.那么該文具定價為 　 　元時每天的最大銷售利潤最大.
14．若函數y＝x2＋3x＋c的圖象過點A（﹣1，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3），則y1，y2，y3的大小關系是　 　（用“＜”連接）．
15.若關于x的方程的兩根滿足，則二次函數的頂點縱坐標的最大值是____________
16．已知二次函數．
（1）若點（b﹣2，c）在該函數圖象上，則b的值為 　 　
（2）若點（b﹣2，y1），（2b，y2），（2b+6，y3）都在該函數圖象上，且y1＜y2＜y3，則b的取值范圍為 　 　
三．解答題（共8題，共72分）
溫馨提示：解答題應將必要的解答過程呈現出來！
17．（本題6分）已知關于x的二次函數y＝x2+bx+c的圖象過點（﹣1，0），（3，0）．
（1）求這個二次函數的解析式；（2）求當﹣2≤x≤2時，y的最大值與最小值的差．
18．（本題6分）如圖，拋物線 的頂點為A，與 軸的負半軸交于點B，且,
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點C是該拋物線上A、B兩點之間的一點，求最大時，點C的坐標．
19．（本題8分）已知拋物線（為常數）的頂點在y軸右側.
（1）求該拋物線的對稱軸（用含a的代數式表示）；
（2）試說明無論為何值.該拋物線一定經過一個定點，并求出這個定點的坐標；
（3）若點A（m，n）在該二次函數圖象上，且n＞0，過點（m+3，0）作y軸的平行線，與二次函數圖象的交點在x軸下方，求的范圍.
20．（本題8分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA上一點（不與各頂點重合），且AE＝AH＝CG＝CF，記四邊形EFGH面積為S（圖中陰影），AE＝x．
（1）求S關于x的函數表達式，并直接寫出自變量x的取值范圍．
（2）當x為何值時，S的值最大，并寫出S的最大值．
21．（本題10分）某商場將進價為30元的書包以40元售出，平均每月能售出600個，調查表明：這種書包的售價每上漲1元，其銷售量就減少10個．
（1）請寫出每月售出書包的利潤y元與每個書包漲價x元間的函數關系式；
（2）設每月的利潤為10000的利潤是否為該月最大利潤？如果是，請說明理由；如果不是，請求出最大利潤，并指出此時書包的售價應定為多少元；
（3）請分析并回答售價在什么范圍內商場就可獲得利潤．
22．（本題10分）已知二次函數y＝x2﹣2ax﹣3（a為常數）．
（1）若該二次函數的圖象經過點（2，﹣3）．
①求a的值．②自變量x在什么范圍內時，y隨x的增大而增大？
（2）若點均在該二次函數的圖象上，求證：．
23.（本題12分）如圖，已知拋物線（為常數，且）與軸交于兩點（點A在點B左側），與軸交于點C，．拋物線的對稱軸與軸交于點D，與經過點B的直線交于點E．
(1)求拋物線的函數表達式；
(2)在拋物線上是否存在點P，使得△BPE是以BE為直角邊的直角三角形 若存在，求出所有得合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．
24．（本題12分）已知二次函數的解析式為y＝﹣x2+2mx﹣m2+4．
（1）求證：該二次函數圖象與x軸一定有2個交點；
（2）若m＝2，點M（n，y1），N（n+2，y2）都在該二次函數的圖象上，且y1y2＜0，求n的取值范圍；
（3）當m﹣3≤x≤5時，函數最大值與最小值的差為8，求m的值．
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