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(共35張PPT)
11.3 乘法公式
11.3.1 兩數(shù)和乘以這兩數(shù)的差
1.能用多項(xiàng)式乘法推導(dǎo)平方差公式，會(huì)用圖形的面積割補(bǔ)說(shuō)明平方差公式.
2.掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，能運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算.
3.會(huì)用乘法公式簡(jiǎn)化運(yùn)算.
多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式
( a+b )( m+n ) =
am
+an
+bm
+bn
計(jì)算下列各題：
(x+5)(x-5)=______________________=_________.
(2+a)(2-a)=______________________=_________.
(2m+1)(2m-1)=________________________=_________.
x·x-5x+5x-5×5
x -25
2×2-2a+2a-a·a
4-a
2m·2m-2m+2m-1×1
4m -1
觀察上述算式和運(yùn)算結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)了什么？
等式左邊為兩個(gè)數(shù)的和與差的積；
等式右邊為這兩個(gè)數(shù)的平方的差.
根據(jù)上述規(guī)律，可以得到：
(a+b)(a-b)=a -b .
這就是說(shuō)，兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積，等于這兩數(shù)的平方的差.
這個(gè)公式叫做兩數(shù)和與這兩數(shù)差的乘法公式，有時(shí)也簡(jiǎn)稱(chēng)為平方差公式.
a
b
b
嘗試：用幾何圖形的面積來(lái)驗(yàn)證 (a+b)(a-b)=a -b .
一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形，按左圖的方式進(jìn)行分割，去掉一個(gè)邊長(zhǎng)是b的正方形后，剩余部分拼接為長(zhǎng)方形，請(qǐng)你用等式表示圖中圖形面積變化的運(yùn)算.
a
b
a
a
a
b
a
b
b
b
=
-
_____________________=____________________-________.
(a+b)(a-b)
a
b
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2.
公式特點(diǎn)：
公式左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，這兩項(xiàng)中有一項(xiàng)相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)；等號(hào)的右邊是乘式中兩項(xiàng)的平方差(相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方)．
利用這個(gè)公式，可以直接計(jì)算兩數(shù)和乘以這兩數(shù)的差.
例1 計(jì)算：
(1)(a+3)(a-3). (2)(2a+3b)(2a-3b).
(3)(1+2c)(1-2c). (4)(-2x-y)(2x-y).
解： (1) (a+3)(a-3)
=a2-32
=a2-9.
(2)(2a+3b)(2a-3b)
=(2a)2-(3b)2
=4a2-9b2.
(4)(-2x-y)(2x -y)
=(-y-2x)(-y +2x)
=(-y)2 -(2x)2
=y2-4x2.
法二：(-2x-y)(2x-y)
=-(2x+y)(2x-y)
=-[(2x)2 -y2]
=y2-4x2.
(3) (1+2c)(1-2c)
=12-(2c)2
=1-4c2.
你還有其他解法嗎？
例2 街心花園有一塊邊長(zhǎng)為a米的正方形草坪， 經(jīng)統(tǒng)一規(guī)劃后，南北向增加2米，東西向減少2米. 改造后得到一塊長(zhǎng)方形的草坪.求這塊長(zhǎng)方形草坪的面積.
解：(a+2)(a-2) = a2- 4.
答：改造后的長(zhǎng)方形草坪的面積是(a2-4)平方米.
例3 簡(jiǎn)便計(jì)算：2 018 ×2 022.
解：2 018×2 022
=(2 020-2)×(2 020 +2)
=2 0202-22
=4 080 400 -4
=4 080 396.
寫(xiě)成兩數(shù)和乘以?xún)蓴?shù)差的形式
本題運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，關(guān)鍵是找到兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)，再將原兩個(gè)數(shù)與這個(gè)平均數(shù)進(jìn)行比較，變形成兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積的形式，再利用平方差公式求解．
根據(jù)平方差公式填空：
(1)(-3a+2)(-3a-2)=(-3a)2-22=________；
(2)(2x-3)(________)=4x2-9；
(3)(________)(5a+1)=1-25a2.
下列運(yùn)算正確的是(　　)
A．(a+b)(b-a)=a2-b2 B．(2m+n)(2m-n)=2m2-n2
C．(xm+3)(xm-3)=x2m-9 D．(x-1)(x+1)=(x-1)2
9a2-4
2x+3
1-5a
C
運(yùn)用平方差公式計(jì)算：
(1) 2 019×2 021-2 0202；
(2) 1.03×0.97;
(3) 99×101×10 001;
(4) (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1;
(5) (a+b)2-(a-b)2.
解： (1) 2 019×2 021-2 0202
=(2 020-1)×(2 020+1)-2 0202
=2 0202-1-2 0202
=-1；
(2) 1.03×0.97
=(1+0.03)×(1-0.03)
=12-0.032
=1-0.000 9
=0.999 1；　
(3) 99×101×10 001
=(100-1)×(100+1) × 10 001
=(1002-1 )× 10 001
=(10 000-1)×(10 000+1)
=10 0002-1
=99 999 999；
(4) (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1
=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1
=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)+1
=(24-1)(24+1)(28+1)+1
=(28-1)(28+1)+1
=216-1+1
=216；
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1) =
1×(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)，
再根據(jù) 1=2-1進(jìn)行變式計(jì)算
(5)(a+b)2-(a-b)2
=[(a+b)-(a-b)][(a+b)+(a-b)]
=(a+b-a+b)(a+b+a-b)
=2b·2a
=4ab；
平方差公式的逆用：
a2-b2=(a+b)(a-b)．
平方差公式：
( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2
左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，有一項(xiàng)完全相同，
另一項(xiàng)互為相反數(shù)
右邊是左邊兩項(xiàng)的平方差，
即相同項(xiàng)2－相反項(xiàng)2
公式中的a，b可以是單項(xiàng)式，還可以多項(xiàng)式.
平方差公式可以逆用：
a2-b2=(a+b)(a-b)．
11.3.2 兩數(shù)和（差）的平方
1.通過(guò)探索完全平方公式的計(jì)算規(guī)律，掌握完全平方公式；
2.能夠運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行整式乘法的運(yùn)算.
用多項(xiàng)式乘法法則計(jì)算：(a+b)2.
(a+b)2=( a + b ) ( a + b )
=a2
+ab
+ab
+b2
(a+b)2=a2+2ab+b2
做一做
利用這個(gè)公式，可以直接計(jì)算兩數(shù)和的平方.
(a+b)2=a2+2ab+b2
這就是說(shuō)，兩數(shù)和的平方，等于這兩數(shù)的平方和加上它們的積的2倍.
這個(gè)公式叫做兩數(shù)和的平方公式.
觀察下圖，用等式表示下圖中圖形面積的運(yùn)算：
a
a
b
b
a
a
b
b
a2
ab
ab
b2
=
+
+
(a+b)2
a2
2ab
=
+
+
b2
試一試
計(jì)算：
例1
（1）(2x+3y)2
（2）(2a+ )2
解
=(2x)2+2·2x·3y+(3y)2
=4x2+12xy+9y2
=(2a)2+2·2a· +( )2
=4a2+2ab+
把2x和3y分別看成a和b
推導(dǎo)兩數(shù)差的平方公式.
(a-b)2
=[a+(-b)]2
=a2+2a·(-b)+(-b)2
=a2-2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
兩數(shù)差的平方，等于這兩數(shù)的平方和減去它們的積的2倍.
試一試
觀察下圖，用等式表示下圖中圖形面積的運(yùn)算：
a
b
a
b
a2
ab
ab
b2
=
-
+
(a-b)2
a2
2ab
=
-
+
b2
計(jì)算：
例2
（1）(3x-2y)2
=(3x)2-2·(3x)·(2y)+(2y)2
=9x2-12xy+4y2
解法一
解法二
解法三
已知x+y=4，xy=2，
求（1）x2+y2；（2）3x2-xy+3y2；（3）x-y
(1)x2+y2=(x+y)2-2xy=42-2×2=16-4=12
(2)3x2-xy+3y2=3(x+y)2-7xy=3×42-7×4=3×16-28=20
解
(3)(x-y)2＝(x+y)2-4xy
=42-4×2=8
所以 x-y= =
拓展練習(xí)
1.計(jì)算：
（1）(x+3)2
（2）(2x+y)2
解 (x+3)2
=x2+2·x·3+32
=x2+6x+9
(2x+y)2
=(2x)2+2·2x·y+y2
=4x2+4xy+y2
2.計(jì)算：
（1）(x-3)2
（2）(2m-3n)2
解 (x-3)2
=x2-2·x·3+32
=x2-6x+9
(2m-3n)2
=(2m)2-2·2m·3n+(3n)2
=4m-12mn+9n2
3.計(jì)算：
（1）(-2m+n)2
（2）(-2m-n)2
解 (-2m+n)2
=(-2m)2+2·(-2m)·n+n2
=4m2-4mn+n2
(-2m-n)2
=(2m)2+2·2m·n+n2
=4m2+4mn+n2
=[- (2m+n)]2
= (2m+n)2
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
兩數(shù)差的平方，等于這兩數(shù)的平方和減去它們的積的2倍.
這就是說(shuō)，兩數(shù)和的平方，等于這兩數(shù)的平方和加上它們的積的2倍.

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