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11.4 整式的除法
11.4.1 單項式除以單項式
1. 理解單項式除以單項式的運算法則.
2.能熟練地進行單項式除法運算.
計算：
a2n÷an=____；
(-c)4 ÷(-c)2=____；
(x4)6 ÷(x6)2 ·(-x4 )2=_____________________；
6a3×2a2=______；
4a2b3×3ab=________；
-2a2b3c×3ab=_________.
an
c2
x24 ÷x12 ·x8=x12 ·x8=x20
12a5
12a3b4
-6a3b4c
同底數冪的除法：
am÷an=am-n.
單項式乘單項式的步驟：
1.系數相乘作積的系數；
2.同底數冪相乘作積的因式；
3.單獨出現的字母，連同指數作積的一個因式保留．
猜一猜：
單項式除以單項式的法則會是怎樣？
3a2·(_____)=12a5c2
(_______)·x2y3=-7x3y7z
利用乘法和除法互為逆運算的關系，可得：
12a5c2÷3a2=
-7x3y7z÷x2y3=
4a3c2
-7xy4z
4a3c2
-7xy4z
觀察結果中的系數，字母及字母指數有何規律？
試一試
想一想
通過觀察發現，總結出：
單項式除以單項式，其結果(商式)仍是一個_______；
商式的系數=_______________÷____________；
(同底數冪)商的指數=______________-____________；
被除式里單獨有的冪，___________________.
單項式
(被除式的指數)
寫在商式里面作因式
(被除式的系數)
(除式的系數)
(除式的指數)
把系數、同底數冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式中出現的字母，則連同它的指數一起作為商的一個因式．
單項式除以單項式法則
例1 計算：
(1)24a3b2÷3ab2 ； (2)-21a2b3c÷3ab；
(3)(6xy2)2÷3xy.
解：(1)24a3b2÷3ab2
=(24÷3)(a3÷a)(b2÷b2)
=8a3-1·1
=8a2 ；
(2)-21a2b3c÷3ab
=(-21÷3) (a2÷a)(b3÷b)c
=(-21÷3)a2-1b3-1c
=-7ab2c ；
注意符號和只在被除式中出現的字母.
(3)(6xy2)2÷3xy
=36x2y4÷3xy
=(36÷3)(x2÷x)(y4÷y)
=12xy3.
根據以上題目，總結出單項式除以單項式的步驟：
①系數相除作商的系數；
②同底數冪相除作商的因式；
③只在被除式中有的字母，連同指數作為商的一個因式.
先做積的乘方，
再進行單項式除法.
分析：先利用單項式除以單項式法則計算等式左邊的式子，再與等式右邊
的式子進行比較求解．
1. 下列計算結果正確的是(　　)
A.(-a3)2÷a2=-a4 B.(a-b)2=a2-b2
C. (ab)2÷(-ab)=-ab D. 3a2+2a3=5a5
解析： A、(-a3)2÷a2=a6÷a2 =a4 ，故本選項錯誤；
B、(a-b)2=a2-2ab+b2，故本選項錯誤；
C、 (ab)2÷(-ab)=-ab ，故本選項正確；
D、不是同類項，不能合并，故本選項錯誤．
C
2. 計算：
(1) (2ab2)2 ·(-a3b)3÷(-a3b2) ； (2) (3a2)3(4b3)2÷(6ab)2；
(3) 12(a-b)5÷3(a-b)2.
解：(1) (2ab2)2 ·(-a3b)3÷(-a3b2)
=22a2b4 ·(-a9b3) ÷(-a3b2)
= -4a11b7 ÷(-a3b2)
=4a11-3 b7-2
=4a8 b5；
(2) (3a2)3(4b3)2÷(6ab)2
= 33a6·42b6÷62a2b2
=27a6·16b6÷36a2b2
=(27×16÷36)(a6÷a2)(b6÷b2)
=12a4b4；
(3) 12(a-b)5÷3(a-b)2
=(12÷3) [(a-b)5÷(a-b)2]
=4(a-b)3.
把a-b看作是一個整體來計算.
3.已知18a8b3c÷6ambn=3a3c，求2m-n的值.
解：∵18a8b3c÷6ambn
=(18÷6)(a8÷am)(b3÷bn)c
=3a8-m b3-nc，
∴ 3a8-m b3-nc =3a3c，
∴ 8-m=3，3-n=0，
∴ m=5， n=3，
∴ 2m-n=2×5-3=7.
單項式除以單項式法則：
把系數、同底數冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式
中出現的字母，則連同它的指數一起作為商的一個因式．
單項式除以單項式的步驟：
①系數相除作商的系數；
②同底數冪相除作商的因式；
③只在被除式中出現的字母，連同指數作為商的一個因式.
11.4.2 多項式除以單項式
掌握多項式除以單項式的運算法則.
熟練運用多項式除以單項式的運算法則進行計算.
1. 計算：
4a2b3+3a2b3=______；
4a3c2-3a3c2=_______；
3a2b3c · 5a3b2=________；
15a3b5c÷5a2b3=_______；
(3x2-2x+1) 3x2=___________.
7a2b3
15a5b5c
9x4-6x3+3x2
a3c2
3ab2c
2. 單項式與多項式相乘的法則：用_______去乘_______的每一項，再把所得的積_______.
單項式
多項式
相加
x·(_____)=ax+bx；
(_______)·m=ma+mb+mc.
利用乘法和除法互為逆運算的關系，可以得到：
(ax+bx)÷x=
(ma+mb+mc)÷m=
a+b
a+b+c
a+b；
根據上面的兩個等式，你能說出多項式除以
單項式的法則是什么嗎？
a+b+c.
試一試
想一想
多項式除以單項式，先用這個多項式的每一項除以這個
單項式，再把所得的商相加．
即：(ma+mb+mc)÷m= ma÷m+mb÷m+mc÷m= a+b+c.
多項式除以單項式法則
例1 計算：
(1) (9x4-15x2+6x)÷3x；
(2) (28a3b2c+a2b3-14a2b2) ÷( -7a2b)；
(3) (9a5b8-21a4b6＋6a3b7)÷(-ab2)3.
解： (1) (9x4-15x2+6x) ÷3x
= 9x4÷3x-15x2÷3x+6x÷3x
= 3x3-5x+2；

(3) (9a5b8-21a4b6＋6a3b7)÷(-ab2)3
=(9a5b8-21a4b6＋6a3b7)÷(-a3b6)
=9a5b8 ÷(-a3b6)-21a4b6 ÷(-a3b6) ＋6a3b7÷(-a3b6)
=-9a2b2 +21a -6b.
注意：
1.多重運算時，先算乘方，再算乘除；
2.計算時不要漏項，不要把“-”漏掉.
多項式除以單項式的步驟：
①多項式的每一項除以單項式；
②把每一項除得的商相加．
在進行多項式除以單項式時，應注意：
①運算的基本思路是：把多項式除以單項式轉化為
單項式除以單項式的商的和；
②多項式(沒有同類項)除以單項式，結果的項數與
多項式的項數相同，這是檢驗是否漏項的方法之一.
（1）(3ab-2a)÷a
1.計算：
（2）(5ax2+15x)÷5x
=3ab÷a-2a÷a
=3b-2
=5ax2÷5x+15x÷5x
=ax+3
1.計算：
（3）(12m2n-15mn2)÷6mn
（4）(x3-2x2y)÷(-x2)
=12m2n÷6mn-15mn2÷6mn
=2m-2.5n
=x3÷(-x2)-2x2y÷(-x2)
=-x+2y
（1）(4a3b3-6a2b3c-2ab5)÷(-2ab2)
2.計算：
解 (4a3b3-6a2b3c-2ab5)÷(-2ab2)
=4a3b3÷(-2ab2)-6a2b3c÷(-2ab2)-2ab5÷(-2ab2)
=-2a2b+3abc+b3
（2）(x2y3- x3y2+2x2y2)÷ xy2
解 （2）(x2y3- x3y2+2x2y2)÷ xy2
=x2y3÷ xy2- x3y2÷ xy2 +2x2y2÷ xy2
=2xy-x2+4x
多項式除以單項式法則：
先用這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的相加．
多項式除以單項式的實質：
把多項式除以單項式轉化為單項式除以單項式的商的和.
整式除法運算時應注意：
1.逐項相除，不要漏項；
2.注意符號的變化；
3.結果通常要按某一字母升冪或降冪的順序排列.

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