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(共39張PPT)
11.5 因式分解
11.5 課時1 提公因式法
2.通過探究多項式因式分解的過程，能夠確認多項式的公因式，會運用提公因式法分解因式.
1.理解因式分解的定義及它與整式乘法的聯系;
本章我們學習了整式的乘法，它分為幾種形式
計算：
6ab2-3a2b+3ab2；
6a2+13ab+6b2；
a3+4a2b+6ab2+4b3.
單項式與單項式相乘；
單項式與多項式相乘；
多項式與多項式相乘.
3a·(2b2-ab+b2)=
(3a+2b)(3b+2a)=
(a+2b)(a2+2ab+2b2)=
討論：210能被哪些質數整除？
分析：要解決這個問題，需要把210分解為幾個質數
相乘的形式.
解：210=2×3×5×7，所以210能被2、3、5、7整除.
類似地，在式的變形中，有時也需要我們把一個多項式寫成幾個整式的乘積的形式.
m·(a+b+c)=____________， (a+1)·a=________.
觀察上面兩個等式，可以得到：
ma+mb+mc=( )( )，
a2+a=( )( ).
a+b+c
a+1
ma+mb+mc
a2+a
m
a
像等式ma+mb+mc=m(a+b+c) ，把一個多項式化為幾個整式的積的形式，叫做多項式的因式分解，也叫做多項式的分解因式．
試一試
因式分解與整式乘法有何關系
ma+mb+mc
m(a+b+c)
因式分解
整式乘法
整式乘法與因式分解是兩種互逆的變形，
即：多項式 整式乘積的形式.
因式分解
整式乘法
想一想
判斷下列各式是整式乘法還是因式分解
x2-4y2=(x+2y)(x-2y) ___________；
2x(x-3y)=2x2-6xy ___________；
(5a-1)2=25a2-10a+1 ___________；
x2+4x+4=(x+2)2 ___________；
(a-3)(a+3)=a2-9 ___________；
m2-42=(m+4)(m-4) ___________；
2πR+2πr=2π(R+r) ___________.
因式分解
整式乘法
整式乘法
整式乘法
因式分解
因式分解
因式分解
下列各多項式的結構有什么共同特點？
ax-ay ma+mb+mc 2πR+2πr
a
m
2π
多項式ma+mb+mc中的每一項都含有一個相同的因式m，我們稱之為公因式．
探究發現
多項式中的公因式是如何確定的？
找出3x2y2–6xy3的公因式：
最大公約數
相同字母
公因式
3
x y
x y2
看系數　
觀 察方 向
看字母
看指數
最低指數
所以3x2y2–6xy3= 3xy2(x–2y).
思考討論
確定公因式的方法：
1.看系數：公因式系數是多項式各項系數的最大公約數；
2.看字母：字母是多項式各項中都含有的相同的字母；
3.看字母的指數：各相同字母的指數取次數最低的.
提公因式法
如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提取
出來，將多項式分解成公因式與另一個因式的乘積的
形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法．
用字母表示為：ma+mb+mc＝m(a+b+c)．
例1 把下列多項式分解因式:
(1)-5a2 +25a；
(2)3a2 -9ab.
解： (1) -5a2+25a
=-5a(a - 5)；
(2)3a2 -9ab
=3a(a-3b).
當多項式的第一項系數是負數時，一般地，先提出負號，再進行因式分解．但應注意，這時留在括號內的每一項的符號都要改變.
提公因式后，另一個因式：
①項數應與原多項式的項數一樣；
②不再含有公因式．
例2 用提公因式法將下列各式分解因式：
(1) 4x2y3+8x2y2z-12xy2z； (2) -a2b3c+2ab2c3-ab2c；
(3) 5x(x-2y)3-20y(2y-x)3.
(2)-a2b3c+2ab2c3-ab2c
=-(a2b3c-2ab2c3+ab2c)
=-ab2c(ab-2c2+1)；
解： (1) 4x2y3+8x2y2z-12xy2z
=4xy2(xy+2xz-3z)；
(3) 5x(x-2y)3-20y(2y-x)3
=5x(x-2y)3+20y(x-2y)3
=5(x-2y)3(x+4y)．
公因式可以是單項式，也可以是多項式.
1. 2x(-x+y)2-(x-y)3分解因式應提取的公因式是(　　)
A．-x+y B．x-y
C．(x-y)2 D．以上都不對
解析： ∵ 2x(-x+y)2-(x-y)3=2x(x-y)2-(x-y)3，
∴ 2x(-x+y)2-(x-y)3的公因式為(x-y)2 .
C
2. 把下列各式分解因式：
(1) 2a2bc+8a3b； (2) a(a-b)3+2a2(b-a)2-2ab(b-a).
解： (1) 2a2bc+8a3b
=2a2b·c+2a2b·4a
=2a2b(c+4a)；
(2) a(a-b)3+2a2(b-a)2-2ab(b-a)
=a(a-b)3+2a2(a-b)2+2ab(a-b)
=a(a-b)[(a-b)2+2a(a-b)+2b]
=a(a-b)(3a2-4ab+b2+2b).
3. 已知2m-n=3， 4m+3n=1，求5n(2m-n)2-2(n-2m)3的值.
解：5n(2m-n)2-2(n-2m)3
=5n(2m-n)2+2(2m-n)3
=(2m-n)2[5n+2(2m-n)]
=(2m-n)2(4m+3n)，
所以5n(2m-n)2-2(n-2m)3 =32×1=9.
因式分解的概念：
把一個多項式化為幾個整式的積的形式，叫做多項式
的因式分解，也叫做多項式的分解因式．
確定公因式的方法：
一看系數：多項式各項系數的最大公約數；　
二看字母：多項式各項中都含有的相同的字母；　
三看指數：各相同字母的指數取次數最低的.
提公因式法分解因式的步驟：
第一步，找出各項的公因式；
第二步，提出公因式；
第三步，將多項式化成兩個因式乘積的形式.
用提公因式法分解因式應注意的問題：
(1)公因式提取要徹底；
(2)首項為負先提負；
(3)提取公因式莫漏1．
11.5 課時2 公式法
2.能夠熟練地運用公式法分解因式.
1.進一步熟悉平方差公式和完全平方公式，知道公式法的概念.
把下列各式分解因式：
3a3b2+12ab3=
a(x-y)2-b(y-x)2=
本章學習的乘法公式：
平方差公式： (a+b)(a-b) =a2-b2；
完全平方公式： (a+b)2=a2+2ab+b2，
(a-b)2=a2-2ab+b2.
3ab2(a2+4b2)；
(a-b)(x-y)2.
(a+2b)·(a-2b)=___________；
(a+2)·(a-2)=____________.
觀察上面兩個等式，可以得到：
a2-4b2=( )( )；
a2-4 =( )( ).
a+2b
a+2
a2-4b2
a2-4
a-2b
a-2
試一試
根據整式乘法和因式分解的互逆關系，你對因式分解的方法有什么新的發現？
把整式乘法的平方差公式，反過來就得到因式分解的公式：
a2-b2
整式乘法
因式分解
(a+b)(a-b)
想一想
根據a2-b2 = (a+b)(a-b)可知：
等式左邊為兩個數平方的差，
等式右邊為兩個數的和與這兩個數的差的積.
即兩個數的平方差等于這兩個數的和與這兩個數的
差的積.
平方差公式中的字母a，b不僅可以代表數，還可以
代表單項式或多項式.
例1 分解因式： (1) 25x2-16y2； (2) (x+y)2-(x-2y)2.
解: (1) 25x2-16y2
=(5x)2-(4y)2
=(5x+4y)(5x-4y)；
(2) (x+y)2-(x-2y)2
=[(x+y)+(x-2y)][(x+y)-(x-2y)]
=(x+y+x-2y)(x+y-x+2y)
= 3y(2x-y) .
適用于平方差公式因式分解的多項式必須是“二項式形式”，它的每一項都為平方項且符號相反．
(a+2b)·(a+2b)=___________；
(a-2)·(a-2)=____________.
觀察上面兩個等式，可以得到：
a2+4ab+4b2=( )( )；
a2-4a+4=( )( ).
a+2b
a-2
a2+4ab+4b2
a2-4a+4
a+2b
a-2
試一試
a2±2ab+b2
(a±b)2
整式乘法
因式分解
把整式乘法的完全平方公式，反過來就得到因式分解的公式：
我們把形如a2±2ab+b2的式子叫做完全平方式.
根據整式乘法和因式分解的互逆關系，你對因式分解的方法有什么新的發現？
想一想
根據a2±2ab+b2 =(a±b)2可知：
等式左邊為兩個數的平方和加上(或減去)這兩個數的積的2倍，等式右邊為兩個數的和(或差)的平方 .
即兩個數的平方和加上(或減去)這兩個數的積的2倍，
等于這兩個數的和(或差)的平方 .
完全平方公式中的字母a，b不僅可以代表數，還可以代表單項式或多項式.
把乘法公式的等號兩邊互換位置，
就可以得到用于分解因式的公式，
用來把某些具有特殊形式的多項
式分解因式，這種因式分解的方
法叫做公式法.
例2 分解因式：
(1) x2+4xy+4y2； (2) (x-2y)2+2(x-2y)+1.
解: (1) x2+4xy+4y2
= x2+2·x ·2y + (2y)2
= (x+2y)2；
(2) (x-2y)2+2(2y-x)+1
= (x-2y)2+2(x-2y)+1
= (x-2y+1)2.
(1) 利用完全平方公式可以把完全平方式因式分解；
(2)完全平方式必須是“三項式形式”．
例3 分解因式：
(1) x4-y4；
(2) 4x3y-4x2y2+xy3；
(3) 3x3-12xy2.
解: (1) x4-y4
= (x2)2-(y2)2
= (x2+y2)(x2-y2)
= (x2+y2) (x+y)(x-y)；
分解因式必須進行到每一個多項式都不能再分解為止.
(2) 4x3y-4x2y2+xy3
= xy(4x2-4xy+y2)
= xy(2x -y)2；
(3) 3x3-12xy2
= 3x(x2-4y2)
= 3x[x2- (2y)2]
= 3x(x+2y) (x-2y) .
用公式法分解因式時，
若多項式中各項有公因式，要先提取公因式，再用
相應的公式來分解因式．
1. (1)下列各式中不能用平方差公式分解的是（ ）
A.-a2+b2 B.-x2-y2
C.49x2y2-z2 D.16m4-25n2
解： A、-a2+b2=b2-a2=(b+a)(b-a)；
B、 -x2-y2= -(x2+y2)是兩數的平方和，不能用平方差
公式分解；
C、49x2y2-z2 =(7xy+z)(7xy-z)；
D、16m4-25n2 =(4m2 +5n)(4m2 -5n)．
B
(2) 下列各式中能用完全平方公式分解的是（ ）
①x2-4x+4; ②6x2+3x+1; ③ 4x2-4x+1;
④ x2+4xy+2y2 ; ⑤9x2-20xy+16y2
A.①② B.①③ C.②③ D.①⑤
解：①x2-4x+4=(x-2)2；③4x2-4x+1=(2x-1)2，
則能用完全平方公式分解的是①③．
B
2. 分解多項式:
(1) 4x2y-4xy2+y3； (2) x2 (x-2)+(2-x)；(3) (x2+1)2-4x2.
解: (1) 4x2y-4xy2+y3
= y(4x2-4xy+y2)
= y(2x-y)2 ；
(2) x2 (x-2)+(2-x)
= (x-2)(x2-1)
= (x-2)(x-1)(x+1) ；
(3) (x2+1)2-4x2
= (x2+1+2x)(x2+1-2x)
= (x+1)2(x-1)2 .
3. 利用簡便方法計算:
(1) 73.562-26.442； (2) 8002-2×800×799+7992.
解：
(1) 73.562-26.442
=(73.56+26.44)(73.56-26.44)
=100×47.12
=4 712；
(2) 8002-2×800×799+7992
= (800-799)2
= 12
= 1.
4. 已知x-y=1，xy=2，求x3y-2x2y2+xy3的值.
解：因為x-y=1，xy=2，
所以x3y-2x2y2+xy3
= xy(x2-2xy+y2)
= xy(x-y)2
= 2×1
= 2．
公式法分解因式：
平方差公式： a2-b2 = (a+b)(a-b).
完全平方公式： a2+2ab+b2 =(a+b)2，
a2-2ab+b2 = (a-b)2 ．
因式分解的步驟：
(1)先觀察多項式各項是否有公因式，有公因式的要
先提公因式．
(2)當多項式各項沒有公因式時，觀察多項式是否
符合平方差公式或完全平方公式的特征，若符合則
利用公式法分解．
(3)當用上述方法不能直接分解時，可將其適當地
變形整理，再進行分解．
(4)每個因式必須分解到不能再繼續分解為止．

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